9.1. TEORIA DE COLAS.pptx

2
TEORIA DE COLAS
• Las LINEAS DE ESPERA,FILAS DE ESPERA o COLAS, son realidades
cotidianas:
•Personas esperando para realizar sus transacciones ante una caja
en un banco,
•Estudiantes esperando por obtener copias en la fotocopiadora,
•Vehículos esperando pagar ante una estación de peaje o continuar
su camino, ante un semáforo en rojo,
•Máquinas dañadas a la espera de ser rehabilitadas.
Se forman debido a un desequilibrio temporal entre la demanda del
servicio y la capacidad del sistema para suministrarlo.

3
TEORIA DE COLAS
• Los Modelos de Líneas de Espera son de gran utilidad tanto en las áreas de Manufactura como
en las de Servicio.
• Los Análisis de Colas relacionan:
• la longitud de la línea de espera,
•el promedio de tiempo de espera
y otros factores como:
• la conducta de los usuarios a la llegada y en la cola,
Los Análisis de Colas ayudan a entender el comportamiento de estos sistemas de servicio (la
atención de las cajeras de un banco, actividades de mantenimiento y reparación de
maquinaria, el control de las operaciones en planta, etc.).

4
TEORIA DE COLAS
•Desde la perspectiva de la Investigación de Operaciones, los
pacientes que esperan ser atendidos por el odontólogo o las
prensas dañadas esperando reparación, tienen mucho en
común.
•Ambos (gente y máquinas) requieren de recursos humanos y
recursos materiales como equipos para que se los cure o se los
haga funcionar nuevamente.

5
TEORIA DE COLAS
Costos de Servicio y Costos de Espera
• Los Administradores reconocen el equilibrio que debe haber entre el COSTO DE
proporcionar buen SERVICIO y el COSTO del tiempo DE ESPERA del cliente o de
la máquina que deben ser atendidos.
• Los Administradores desean que las colas sean lo suficientemente cortas con la
finalidad de que los clientes no se irriten e incluso se retiren sin llegar a utilizar el
servicio o lo usen pero no retornen más.
• Sin embargo los Administradores contemplan tener una longitud de cola
razonable en espera, que sea balanceada, para obtener ahorros significativos en
el COSTO DEL SERVICIO

6
TEORIA DE COLAS
Equilibrio entre Costos de Espera y Costos de Servicio
Nivel Óptimo de Servicio Nivel de Servicio
Costo por TIEMPO
DE ESPERA
Costo por proporcionar
el SERVICIO
Costo
Costo
Total
Mínimo
COSTO TOTAL
ESPERADO

7
TEORIA DE COLAS
Costos de Servicio vs Nivel de Servicio
• Los COSTOS DE SERVICIO se incrementan si se mejora el NIVEL DE
SERVICIO. Los Administradores de ciertos centros de servicio pueden
variar su capacidad teniendo personal o máquinas adicionales que son
asignadas a incrementar la atención cuando crecen excesivamente los
clientes.
• En supermercados se habilitan cajas adicionales cuando es
necesario.
• En bancos y puntos de chequeo de aeropuertos, se contrata
personal adicional para atender en ciertas épocas del día o del año.

8
TEORIA DE COLAS
•Cuando el servicio mejora, disminuye el costo de tiempo
perdido en las líneas de espera.
• Este costo puede reflejar pérdida de productividad de los
operarios que están esperando que compongan sus equipos o
puede ser simplemente un estimado de los clientes perdidos
a causa de mal servicio y colas muy largas.
•En ciertos servicios (IESS, Bancos, Cedulación) el costo de la
espera puede ser intolerablemente alto.

9
TEORIA DE COLAS
COLAS MAS COMUNES
SITIO ARRIBOS EN COLA SERVICIO
Supermercado Compradores Pago en cajas
Peaje Vehículos Pago de peaje
Consultorio Pacientes Consulta
Sistema de Cómputo Programas a ser corridos Proceso de datos
Compañía de teléfonos Llamadas Efectuar comunicación
Banco Clientes Depósitos y Cobros
Mantenimiento Máquinas dañadas Reparación
Muelle Barcos Carga y descarga

10
TEORIA DE COLAS
Características de una LINEA DE ESPERA
• Una cola de espera está compuesta de tres elementos:
1.Arribos o ingresos al sistema
2.Disciplina en la cola
3.Servicio
• Estos tres componentes tienen ciertas características que
deben ser examinadas antes de desarrollar el aspecto
matemático de los modelos de cola.

I.G. Andrade D. I.O. II - I.S. - U.D.A. 11
TEORIA DE COLAS
• 1. CARACTERISTICAS DE ARRIBO:
• La fuente de ingreso que genera los arribos o clientes para el
servicio tiene tres características principales:
a. Tamaño de la población que arriba
b. Patrón de llegada a la cola
c. Comportamiento de las llegadas.
1.a.Tamaño de la Población:
El tamaño de la población puede ser:
infinito (ilimitado) o
limitado (finito).

12
TEORIA DE COLAS
1. CARACTERISTICAS DE ARRIBO:
1.a. Tamaño de la Población:
Infinito (ilimitado): Cuando el número de clientes o arribos en un
momento dado es una pequeña parte de los arribos potenciales.
Para propósitos prácticos poblaciones ilimitadas pueden
considerarse a los vehículos que se acercan a un caseta de peaje,
los aficionados a un partido del mundial de Fútbol, clientes en un
supermercado.
LA MAYORÍA DE LOS MODELOS ASUME ARRIBO INFINITO.
Población de arribo limitada o finita: cuando se tienen muy pocos
servidores y el servicio es restringido. Ej.: los pacientes en un
consutorio médico

I.G. Andrade D. I.O. II - I.S. - U.D.A. 13
TEORIA DE COLAS
• 1.b. Patrón de arribo al sistema:
• Los clientes arriban a ser atendidos de una manera programada (un
paciente cada 15 minutos) o de una manera aleatoria.
• Se consideran que los arribos son aleatorios cuando éstos son
independientes de otros y su ocurrencia no puede ser predecida
exactamente.
• Frecuentemente en problemas de colas, el número de arribos por
unidad de tiempo pueden ser estimados por medio de la
Distribución de Poisson que es una distribución discreta de
probabilidad.

14
TEORIA DE COLAS
• DISTRIBUCION DE POISSON:
• P(x) = Probabilidad de x arribos
• .x= número de arribos por unidad de tiempo
•  = rata promedio de arribo
.e = 2.71828
  ,...
4
,
3
,
2
,
1
,
0
_
!



x
para
x
e
x
P
x



15
TEORIA DE COLAS
1.c. Comportamiento de los arribos:
La mayoría de los modelos de colas asume que los clientes son
pacientes o sea que esperan en la cola hasta ser servidos y no se
pasan entre colas. Desafortunadamente, la vida es complicada y la
gente se reniega. Aquellos que se impacientan por la espera, se
retiran de la cola sin completar su transacción.
Esta situación sirve para acentuar el estudio de la teoría de colas y el
análisis de las líneas de espera, ya que un cliente no servido es un
cliente perdido y hace mala propaganda de ese negocio.

16
TEORIA DE COLAS
2. CARACTERISTICAS DE LA LINEA DE
ESPERA:
• La LINEA DE ESPERA es el segundo componente de un sistema de
colas. La longitud de la cola puede ser también LIMITADA o ILIMITADA.
• Cola LIMITADA es aquella que por aspectos físicos no puede
incrementarse a tamaños infinitos. Puede ser el caso de una
peluquería que tiene pocos barberos y sillas para atender.
• Estudiaremos los modelos de colas asumiendo colas de longitud
infinita. Una cola es ILIMITADA cuando su tamaño no tiene
restricción como es el caso de una caseta de peaje que sirve a los
vehículos que arriban.

17
TEORIA DE COLAS
2. CARACTERISTICAS DE LA LINEA DE
ESPERA:
• Una segunda característica de las líneas de espera se refiere a la DISCIPLINA EN
LA COLA mediante la cual los clientes reciben el servicio. La mayoría de los
sistemas usan la regla Primero En Entrar Primero En Salir (First In First Out) [PEPS
(FIFO)]. Se denomina también FIFS (First In First Served).
• En las áreas de emergencia de hospitales sin embargo se omite esta regla
dependiendo de la gravedad de las lesiones de las personas que arriban por
auxilio médico.
• En supermercados, personas con menos de 10 artículos tienen la caja express
que atiende a este tipo de clientes. Pero en la cola se les atiende con la política
PEPS.

18
TEORIA DE COLAS
CARACTERISTICAS DE LA LINEA DE ESPERA
3. Características del Servicio
El tercer elemento de un sistema de colas es el SERVICIO. En él son importantes
dos propiedades básicas:
1. La configuración del sistema de servicio.
2. El patrón de tiempos de servicio
3.1. CONFIGURACIONES BASICAS PARA EL SERVICIO:
Los sistemas para el servicio son clasificados en función del numero de canales
(servidores) y el número de fases (número de paradas que deben hacerse
durante el servicio).
Sistema de cola de un solo canal: tiene un solo servidor. Ejemplos de ello son
los cajeros para automovilistas o los establecimientos de comida rápida.

19
TEORIA DE COLAS
CARACTERISTICAS DE LA LINEA DE ESPERA
3.1. Configuraciones básicas para el Servicio
• Sistema de cola multi-canal: Son principalmente los cajeros de un
banco en los cuales hay una sola cola y varias personas atendiendo
a los clientes en diversas cajas.
• Sistema de una sola fase: es aquel en el cual el cliente recibe el
servicio de una sola estación y luego abandona el sistema. Un
restaurant de comida rápida en el cual la persona que toma la
orden también le entrega el alimento y cobra, es un sistema de una
sola fase
• Sistema multifase: cuando se pone la orden en una estación, se
paga en una segunda y se retira lo adquirido en una tercera

20
TEORIA DE COLAS
Configuraciones Básicas de Sistemas de Colas
SERVIDOR
COLA
SERVICIO
FASE 2
COLA
ARRIBOS
SERVICIO
FASE 1
SALIDAS
SISTEMA UN CANAL, UNA FASE
ARRIBOS
UN SOLO CANAL, MULTIFASE
SALIDAS

21
TEORIA DE COLAS
SISTEMA MULTICANAL UNA FASE
ARRIBOS
COLA
CANAL 1
CANAL 2
CANAL 3
SALIDAS

22
SISTEMA MULTICANAL MULTIFASE
ARRIBOS
COLA FASE 2
CANAL 1
FASE 1
CANAL 2
FASE 2
CANAL 2
SALIDAS
FASE 1
CANAL 1
TEORIA DE COLAS

23
TEORIA DE COLAS
3.2. Distribución del Tiempo de Servicio
• Los patrones de servicio son similares a los patrones de llegada. Pueden ser
constantes o aleatorios.
I. Si el tiempo de servicio es constante, toma la misma cantidad de tiempo
atender a cada cliente. Es común con servicios dados por medio de máquinas
(Lavadora automática de carros).
II. Si el tiempo de servicio es distribuído aleatoriamente – que es el caso más
común – se lo representa por la DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD
EXPONENCIAL NEGATIVA de la forma e-x para x  0. Esta es una hipótesis
matemática muy conveniente, cuando los arribos siguen la distribución de
Poisson.

TEORIA DE COLAS
Medición del Rendimiento de las Colas
• Los modelos de colas ayudan a los administradores a tomar decisiones
para balancear los costos de servicio deseables con los costos de espera
en la línea.
• Los principales factores que se evalúan en estos modelos son:
1. Tiempo promedio que cada cliente u objeto permanece en la cola
2. Longitud de cola promedio
3. Tiempo promedio que cada cliente permanece en el sistema (tiempo
de espera + tiempo de servicio).
4. Número de clientes promedio en el sistema.
5. Probabilidad de que el servicio se quede vacío
6. Factor de utilización del sistema
7. Probabilidad de la presencia de un específico número de clientes en el

25
TEORIA DE COLAS
Notación de los Modelos de Colas
• Reconociendo la diversidad de los sistemas de colas, Kendall (1953)
propuso un sistema de notación para sistemas de servidores paralelos
que ha sido adoptado universalmente.
• Una versión resumida de esta convención está basada en el formato
A/B/c/N/K. Estas letras representan las siguientes características del
sistema:
• A = Distribución de tiempo entre arribos.
• B = Distribución del tiempo de servicio.
Los siguientes son símbolos comunes para A y B:
M = exponencial o Markov (1)
D = constante o determinística

26
TEORIA DE COLAS
• Ek = Erlang de orden k
• P H = Tipo fase
• H = Hiperexponencial
• G = Arbitrario o general
• GI = General independiente
• .c = número de servidores paralelos
• N = Capacidad del sistema
• K = Tamaño de la población.
Nota(1): A causa de las suposiciones de distribución exponencial en los
procesos de arribo, estos modelos son llamados
MARKOVIANOS

27
TEORIA DE COLAS
•Por ejemplo: M/M/1// significa un solo servidor,
capacidad de cola ilimitada y población infinita de arribos
potenciales. Los tiempos entre arribos y los tiempos de
servicio son distribuídos exponencialmente.
•Cuando N y K son infinitos, pueden ser descartados de la
notación. M/M/1// es reducido a M/M/1.

28
TEORIA DE COLAS
Variedad de Modelos de Colas
• Existe una cantidad enorme de Modelos de Colas que pueden utilizarse.
Nos vamos a concentrar en 4 de los modelos más usados. Modelos más
complejos pueden ser desarrollados mediante el uso de la Simulación y
se los encuentra en textos especializados sobre el tema.
• Los 4 modelos de colas a estudiar asumen:
oArribos según la Distribución de Poisson
oDisciplina PEPS
oUna sola fase de servicio.
• Modelo A: Un canal, Arribos según la Distribución de Poisson;
Tiempos de Servicio exponenciales

29
TEORIA DE COLAS
Variedad de Modelos de Colas
•Modelo B: Multicanal
•Modelo C: Tiempo de Servicio constante
•Modelo D: Población Limitada
•Modelo A: Modelo de Colas de un solo canal, con arribos que
siguen la distribución de Poisson y Tiempos de Servicio
Exponenciales: (Modelo M/M/1)
•Los casos más comunes de problemas de colas incluyen la línea
de espera de canal único o servidor único. En este caso los
arribos crean una sola cola a ser servida por una sola
estación.

30
TEORIA DE COLAS
Modelo A: M/M/1
• Asumimos que existen las siguientes condiciones:
1. Los clientes son servidos con una política PEPS y cada arribo
espera a ser servido sin importar la longitud de la línea o cola.
2. Los arribos son independientes de arribos anteriores, pero el
promedio de arribos, no cambia con el tiempo.
3. Los arribos son descritos mediante la distribución de probabilidad
de Poisson y proceden de una población muy grande o infinita.
4. Los tiempos de servicio varían de cliente a cliente y son
independientes entre sí, pero su rata promedio es conocida.

I.G. Andrde D. 31
TEORIA DE COLAS
Modelo A: (M/M/1) – Modelo B: (M/M/S)
5. Los tiempos de servicio se representan mediante la distribución de probabilidad
exponencial negativa.
6. La rata de servicio es más rápida que la rata de arribo.
Tabla 5.3 Render Pág. 192
• Modelo B: Modelo de cola multicanal (M/M/S)
• Dos o más servidores o canales están disponibles para atender a los clientes
que arriban.
• Los clientes forman una sola cola y se los atiende de acuerdo al servidor que
queda libre.
• Asumimos que los arribos siguen la distribución de probabilidad de Poisson y
los tiempos de servicio son distribuídos exponencialmente.

32
TEORIA DE COLAS
Modelo B: (M/M/S) Modelo C: (M/D/1)
• Los servicios se los hace de acuerdo a la política primero en llegar primero en ser
servido (PEPS) y todos los servidores atienden a la misma rata.
• Modelo C: Modelo de Tiempo de Servicio Constante (M/D/1)
• Algunos sistemas tienen tiempos de servicio constantes en lugar de
exponencialmente distribuídos. Cuando los clientes son atendidos o equipos son
procesados con un ciclo fijo como es el caso de una lavadora de carros
automatizada o ciertos entretenimientos en los parques de diversiones, el
asumir servicio constante es adecuado.

33
TEORIA DE COLAS
Modelo D: Población limitada
• Modelo D: Modelo de Población limitada.-
• Este modelo puede ser usado por ejemplo si estamos considerando
reparaciones de equipo en una fábrica que tiene 5 máquinas. Este
modelo permite cualquier número de reparadores a ser considerados.
• La razón por la cual este modelo difiere de los otros tres es que ahora
hay una relación de dependencia entre la longitud de la cola y la rata
de arribo. La situación extrema sería si en la fábrica tenemos 5
máquinas, todas se han dañado y necesitan reparación; siendo en este
caso la rata de arribo CERO. En general, si la línea de espera crece, la
rata de llegada tiende a cero

34
RESUMEN DE LOS MODELOS DE
COLAS DESCRITOS
MODELO NOMBRE N° DE
CANALES
N° DE
FASES
PATRÓN DE
ARRIBO
PATRÓN DE
SERVICIO
TAMAÑO DE LA
POBLACIÓN
DISCIPLINA DE
COLA
A SIMPLE
M/M/1
UNO UNA POISSON EXPONENCIAL INFINITA PEPS
B MULTI-
CANAL
M/M/S
MULTI
CANAL
UNA POISSON EXPONENCIAL INFINITA PEPS
C SERVICIO
CONSTANTE
(M/D/1)
UNO UNA POISSON CONSTANTE INFINITA PEPS
D POBLACION
LIMITADA
UNO UNA POISSON EXPONENCIAL FINITA PEPS

35
FÓRMULAS PARA COLAS
MODELO A: SISTEMA SIMPLE O M/M/1























1
servicio)
de
tiempo
espera
de
(tiempo
sistema
el
en
permanece
unidad
una
que
promedio
Tiempo
sistema
del
n
utilizació
de
Factor
sistema
el
en
(clientes)
unidades
de
promedio
Número
sistema
el
en
unidades
de
número
tiempo
de
período
por
servidos
cosas
o
gente
de
promedio
Número
tiempo
de
período
por
arribos
de
promedio
Número
S
S
S
S
W
W
L
L
n

36
MODELO A: SISTEMA SIMPLE O M/M/1
 
 
 
 
1
2
sistema
el
en
estén
unidades
k"
"
de
más
que
de
ad
Probabilid
1
1
vacía)
está
servicio
de
unidad
(la
sistema
el
en
unidades
cero
de
ad
Probabilid
1
1
sistema
el
en
estén
clientes
"
n
"
que
de
ad
Probabilid
cola
la
en
espera
unidad
una
que
promedio
Tiempo
cola
la
en
unidades
de
promedio
Número






















































k
k
n
k
n
o
o
n
n
n
n
S
q
S
q
P
P
P
P
P
P
W
W
L
L






















37
MODELO B: SISTEMA MULTICANAL O M/M/S
    

































































Po
M
M
L
L
M
M
M
M
n
P
P
M
M
S
s
M
M
n
n
n
o
o
2
1
0
.!.
1
:
sistema
el
en
unidades
o
personas
de
promedio
número
para
!
1
!
1
1
sistema
el
en
unidades
o
personas
CERO
existan
que
de
ad
Probabilid
canal
cada
en
servicio
de
promedio
tasa
arribo
de
promedio
tasa
abiertos
canales
de
número

38
MODELO B: SISTEMA MULTICANAL O M/M/S
   












q
S
q
q
S
S
q
q
S
M
S
s
L
W
W
W
L
L
L
L
L
Po
M
M
W
W
























1
servicio
por
esperando
cola
la
en
da
tar
se
unidad
o
persona
una
que
promedio
Tiempo
servicio
de
espera
en
cola,
o
línea
la
en
unidades
o
personas
de
promedio
Número
1
!
1
)
(atendida)
servida
siendo
y
cola
la
(en
sistema,
el
en
permanece
unidad
una
que
promedio
Tiempo
2

39
MODELO C: SERVICIO CONSTANTE O MODELO
M/D/1
 
 











1
sistema,
el
en
espera
de
promedio
Tiempo
sistema,
el
en
clientes
de
promedio
Número
2
cola,
la
en
espera
de
promedio
Tiempo
2
cola,
la
de
promedio
Longitud
2








q
S
q
S
q
q
W
W
L
L
W
L

40
FORMULAS PARA COLAS
MODELO D: POBLACIÓN LIMITADA
servicio
de
Factor
cola
la
en
espera
unidad
una
que
promedio
Tiempo
unidad
la
a
atención
de
ntos
requerimie
entre
servicio
Tiempode
promedio
servicio
de
Tiempo
s
potenciale
clientes
de
Número
servicio
de
canales
de
Número
servicio
el
esperando
unidades
de
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Número
servicio
de
sector
el
en
o
cola
en
están
no
que
unidades
de
promedio
Número
servidas
siendo
unidades
de
promedio
Número
eficiencia
de
Factor
cola
la
en
esperar
que
tenga
unidad
una
que
de
ad
Probabilid
:
NOTACIÓN











X
W
U
T
N
M
L
J
H
F
D

41
FORMULAS PARA COLAS
MODELO D: POBLACIÓN LIMITADA
 
   
 
H
L
J
N
FNX
H
X
NF
J
XF
F
T
L
N
U
T
L
W
F
N
L
U
T
T
X















...
..........
Población
la
de
Cuantía
servido
siendo
promedio
Número
1
ento
funcionami
en
promedio
Número
1
........
espera
de
promedio
Tiempo
1
........
espera
en
promedio
Número
...
..........
..........
Servicio
de
Factor
:
FÓRMULAS

Desempeño del sistema de colas
• Para evaluar el desempeño se busca conocer dos
factores principales:
1. El número de clientes que esperan en la cola
2. El tiempo que los clientes esperan en la cola y en
el sistema

http://www.auladeeconomia.com
Medidas del desempeño del sistema de colas
1. Número esperado de clientes en la cola
Lq
2. Número esperado de clientes en el
sistema Ls
3. Tiempo esperado de espera en la cola
Wq
4. Tiempo esperado de espera en el
sistema Ws

http://www.auladeeconomia.com
Medidas del desempeño del sistema de colas:
fórmulas generales











q
s
q
q
s
s
q
s
L
L
W
L
W
L
W
W
1

ejemplo
• Suponga una estación de gasolina a la cual llegan en
promedio 45 clientes por hora
• Se tiene capacidad para atender en promedio a 60
clientes por hora
• Se sabe que los clientes esperan en promedio 3
minutos en la cola

ejemplo
•La tasa media de llegadas  es 45 clientes
por hora o 45/60 = 0.75 clientes por
minuto
•La tasa media de servicio  es 60 clientes
por hora o 60/60 = 1 cliente por minuto

ejemplo
clientes
W
L
clientes
W
L
W
W
W
q
q
s
s
q
s
q
25
.
2
3
75
.
0
3
4
75
.
0
min
4
1
1
3
1
min
3


















ejercicio
•Suponga un restaurant de comidas
rápidas al cual llegan en promedio 100
clientes por hora
•Se tiene capacidad para atender en
promedio a 150 clientes por hora
•Se sabe que los clientes esperan en
promedio 2 minutos en la cola
•Calcule las medidas de desempeño del
sistema

Probabilidades como medidas del desempeño
•Beneficios:
•Permiten evaluar escenarios
•Permite establecer metas
•Notación:
•Pn : probabilidad de tener n clientes en
el sistema
•P(Ws ≤ t) : probabilidad de que un
cliente no espere en el sistema más
de t horas

Factor de utilización del sistema
•Dada la tasa media de llegadas  y la tasa
media de servicio , se define el factor de
utilización del sistema .
•Generalmente se requiere que  < 1
•Su fórmula, con un servidor y con s
servidores, respectivamente, es:






s



Factor de utilización del sistema - ejemplo
• Con base en los datos del ejemplo anterior,  = 0.75, 
= 1
• El factor de utilización del sistema si se mantuviera un
servidor es
 = / = 0.75/1 = 0.75 = 75%
• Con dos servidores (s = 2):
 = /s = 0.75/(2*1) = 0.75/2 = 37,5%

Modelos de una cola y un servidor
• M/M/1: Un servidor con llegadas de Poisson y tiempos de
servicio exponenciales
• M/G/1: Un servidor con tiempos entre llegadas
exponenciales y una distribución general de tiempos de
servicio
• M/D/1: Un servidor con tiempos entre llegadas
exponenciales y una distribución degenerada de tiempos
de servicio
• M/Ek/1: Un servidor con tiempos entre llegadas
exponenciales y una distribución Erlang de tiempos de
servicio

Modelo M/M/1
1
,
0
)
(
)
(
)
(
)
1
(
)
(
1
)
(
)
1
(
)
1
(
1
2













































t
e
t
W
P
e
t
W
P
n
L
P
P
W
W
L
L
t
q
t
s
n
s
n
n
q
s
q
s

Modelo M/M/1: ejemplo
•Un lavacar puede atender un auto cada 5
minutos y la tasa media de llegadas es de 9
autos por hora
•Obtenga las medidas de desempeño de
acuerdo con el modelo M/M/1
•Además la probabilidad de tener 0 clientes en
el sistema, la probabilidad de tener una cola
de más de 3 clientes y la probabilidad de
esperar más de 30 min. en la cola y en el
sistema

Modelo M/M/1: ejemplo
17
.
0
)
60
/
30
(
22
.
0
)
60
/
30
(
32
.
0
)
3
(
25
.
0
)
1
(
min
15
25
.
0
)
(
min
20
33
.
0
1
25
.
2
)
(
3
75
.
0
12
9
,
12
,
9
)
1
(
)
1
(
1
3
0
0
2



































t
q
t
s
s
q
s
q
s
e
W
P
e
W
P
L
P
P
hrs
W
hrs
W
clientes
L
clientes
L

























Modelo M/M/1: ejercicio
• A un supermercado llegan en promedio 80 clientes
por hora que son atendidos entre sus 5 cajas.
• Cada caja puede atender en promedio a un cliente
cada 3 minutos
• Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con
el modelo M/M/1
• Además la probabilidad de tener 2 clientes en el
sistema, la probabilidad de tener una cola de más de
4 clientes y la probabilidad de esperar más de 10 min.
en la cola

Modelo M/G/1
1
1
1
)
1
(
2
0
2
2
2






















w
q
q
q
s
q
q
s
P
P
L
W
W
W
L
L
L

Modelo M/G/1: ejemplo
min. y la tasa media de llegadas es de 9
autos/hora,  = 2 min.
acuerdo con el modelo M/G/1
• Además la probabilidad de tener 0 clientes
en el sistema y la probabilidad de que un
cliente tenga que esperar por el servicio

Modelo M/G/1: ejemplo
75
.
0
25
.
0
1
min
7
.
8
145
.
0
min
7
.
13
228
.
0
1
31
.
1
)
1
(
2
06
.
2
75
.
31
.
1
0
2
2
2






























w
q
q
q
s
q
q
s
P
P
hrs
L
W
hrs
W
W
clientes
L
clientes
L
L

Modelo M/G/1: ejercicio
• A un supermercado llegan en promedio 80 clientes por
hora que son atendidos entre sus 5 cajas.
• Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3
minutos. Suponga  = 5 min
• Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el
modelo M/G/1
• Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema y
la probabilidad de que un cliente tenga que esperar por el
servicio

Modelo M/D/1
1
1
)
1
(
2
2













q
q
q
s
q
s
s
L
W
W
W
L
W
L

Modelo M/D/1: ejemplo
min.
•La tasa media de llegadas es de 9
autos/hora.
acuerdo con el modelo M/D/1

Modelo M/D/1: ejemplo
min
5
.
7
125
.
0
min
5
.
12
21
.
0
1
125
.
1
)
1
(
2
875
.
1
2












hrs
L
W
hrs
W
W
clientes
L
clientes
W
L
q
q
q
s
q
s
s






Modelo M/D/1: ejercicio
•A un supermercado llegan en promedio 80
clientes por hora que son atendidos entre
sus 5 cajas.
•Cada caja puede atender en promedio a un
cliente cada 3 minutos.
acuerdo con el modelo M/D/1

Modelo M/Ek/1
1
1
)
1
(
2
)
1
(
2














q
q
q
s
q
s
s
L
W
W
W
k
k
L
W
L

Modelo M/Ek/1: ejemplo
• Un lavacar puede atender un auto cada 5 min.
• La tasa media de llegadas es de 9 autos/hora. Suponga 
= 3.5 min (aprox.)
• Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con
el modelo M/Ek/1

Modelo M/Ek/1: ejemplo
min
25
.
11
1875
.
0
min
25
.
16
2708
.
0
1
6875
.
1
)
1
(
2
)
1
(
437
.
2
2













hrs
L
W
hrs
W
W
clientes
k
k
L
clientes
W
L
q
q
q
s
q
s
s






Modelo M/Ek/1: ejercicio
•A un supermercado llegan en promedio 80
clientes por hora que son atendidos entre
sus 5 cajas.
•Cada caja puede atender en promedio a un
cliente cada 3 minutos. Suponga k= 4
acuerdo con el modelo M/Ek/1

Modelos de un servidor: Ejercicio: complete el cuadro
ejemplo lavacar
Modelo Ls Ws Lq Wq
M/M/1
M/G/1
M/D/1
M/Ek/1

Modelos de varios servidores
• M/M/s: s servidores con llegadas de Poisson y
tiempos de servicio exponenciales
• M/D/s: s servidores con tiempos entre llegadas
exponenciales y una distribución degenerada de
tiempos de servicio
• M/Ek/s: s servidores con tiempos entre llegadas
exponenciales y una distribución Erlang de tiempos
de servicio

M/M/s, una línea de espera
0
0
0
0
2
1
0
0
!
1
,
!
,
!
1
)
(
)!
1
(
!
!
1
P
s
s
s
P
k
n
si
P
s
s
P
k
n
si
P
n
P
W
W
L
W
L
L
P
s
s
L
n
s
s
s
P
s
w
s
n
n
n
n
n
q
s
q
q
q
s
s
q
s
n
n
s

























































M/M/s, una línea de espera
)
4
6
)(
3
(
3
4
2
2
4
2
3














q
q
L
s
Si
L
s
Si

Análisis económico de líneas de espera
Costos
Tasa de servicio
Tasa óptima
de servicio
Costo de espera
Costo del servicio
Costo total

74
Ejercicio 1
Los trabajos que deben realizarse en una máquina específica
llegan según un proceso de entradas Poisson con tasa media de
2 por hora. Suponga que la máquina se descompone y su
reparación tardará 1 hora. ¿Cuál es la probabilidad de que el
número de trabajos que llegan durante este tiempo sea:
a)0
b)2
c)5 o más?

75
Ejercicio 2
El tiempo requerido por un mecánico para reparar una
máquina tiene una distribución exponencial con media de
4 horas. Sin embargo, una herramienta especial reduciría
esta media a 2 horas. Si el mecánico repara una máquina
en menos de 2 horas, se le pagan $100; de otra manera se
le pagan $80. Determine el aumento esperado en el pago
del mecánico si usa esta herramienta especial.

76
Ejercicio 3
Un sistema de colas tiene tres servidores con
tiempos de servicio esperados de 20, 15 y 10
minutos. Los tiempos de servicio tienen una
distribución exponencial. Cada servidor ha estado
ocupado con el cliente actual durante cinco
minutos. Determine el tiempo esperado que falta
para la siguiente terminación de un servicio.

77
Ejercicio 4
Considere un sistema de colas con dos tipos de clientes. Los clientes tipo
1 llegan según un proceso de Poisson con tasa media de 5/hora. Los
clientes tipo 2 también llegan con un proceso de Poisson con tasa media
de 5/hora.
El sistema tiene dos servidores, que sirven a ambos tipos de clientes.
Para los dos tipos, el tiempo de servicio tiene distribución exponencial
con media de 10 minutos. El servicio es FIFO.
a)¿Cuál es la distribución de probabilidad (y su media) del tiempo entre
llegadas consecutivas de clientes de cualquier tipo?
b) Cuando llega un cliente tipo 2, encuentra dos clientes tipo 1 en el
proceso de ser servidos y ningún otro cliente en el sistema. ¿Cuál es la
distribución de probabilidad (y su media) del tiempo de espera en la cola
para este cliente tipo 2?

78
Nº Cliente Tiempo
entre
llegadas
Tiempo
de
Servicio
1 2 1
2 1 3
3 3 6
4 1 2
5 1 1
6 4 1
7 2 4
8 5 2
9 2 5
10 4 1
11 2 1
12 - 3
Determinar:
1. Tiempo promedio de espera en la
cola
2. Tiempo promedio de espera en el
sistema.
3. Número esperado en el sistema.
4. Número esperado en la cola
EJERCICIO: SIMULANDO EVENTOS EN EL SISTEMA

80
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
Llegada Tiempo Tiempo Tiempo Tiempo Clientes Clientes en
Tiempo Abandono Inicio término Espera en Espera en en Cola el sistema
Maestro Cliente Servicio servicio la Cola el Sistema
1 0
2 1
3 2
4 3
5 5
6 6
7 7
8 8
9 11
10 12
11 13
12 14
13 15
14 19
15 20
16 21
17 24
18 26
19 27
20 28
21 31

81
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
Llegada Tiempo Tiempo Tiempo Tiempo Clientes Clientes en
Tiempo Abandono Inicio término Espera en Espera en en Cola el sistema
Maestro Cliente Servicio servicio la Cola el Sistema
1 0 1-A 0 1 0 1 0 1
2 1 1-D 0 0
3 2 2A 2 5 0 3 0 1
4 3 3A 5 11 2 8 1 2
5 5 2D 0 1
6 6 4A 11 13 5 7 1 2
7 7 5A 13 14 6 7 2 3
8 8 6A 14 15 6 7 3 4
9 11 3D 2 3
10 12 7A 15 19 3 7 3 4
11 13 4D 2 3
12 14 8A,5D 19 21 5 7 2 3
13 15 6D 1 2
14 19 9A,7D 21 26 2 7 1 2
15 20 10A 26 27 6 7 2 3
16 21 8D 1 2
17 24 11A 27 28 3 4 2 3
18 26 12A, 9D 28 31 2 5 2 3
19 27 10D 1 2
20 28 11D 0 1
21 31 12D 0 0

82
EJERCICIO: SIMULANDO EVENTOS EN EL SISTEMA: RESULTADOS
Tiempo Tiempo
Espera en Espera en el
la Cola Sistema
Suma 40 70
Promedio 40/12 70/12
Tpo Espera 3 1/3 5 5/6
Tasa 12/31
Promedio 0,4 W = (Tasa Llegada)*(Tw)= 0,4*5 5/6 = 2 1/4
Llegada 70/31 2,258064516
L = (Tasa Llegada)*(TL) = 0,4*3 1/3 1 2/7
1,29
Estime la probabilidad de encontrar al servidor ocioso: ?????
C 02

83
Estacionamiento
Un almacen tiene un pequeño estacionamiento adyacente con
espacio para tres autos. Los autos entran y usan uno de los
espacios a una tasa media de 2 por hora. Para n = 0,1,2,3, la
probabilidad es
a)Describa este ejemplo como un sistema de colas.
b)Determine las medidas básicas ,
c)Use el resultado de b para determinar el tiempo promedio que
un auto permanece en …el espacio de estacionamiento.
n
P 2
,
0
;
3
,
0
;
3
,
0
;
2
,
0 3
2
1
0 


 P
P
P
P
W
L T
T ,
L
W ,

84
Probabilidades----Sistema de Colas
Un sistema de colas tiene dos servidores, una distribución del tiempo entre
llegadas exponencial con una media de 2 horas, y una distribución de tiempo
de servicio exponencial con una media de 2 horas para cada servidor.
Suponga que justo a las 12 llegó un cliente.
a.- Cuál es la probabilidad que la próxima llegada sea i) antes de la 1:00 PM,
ii) Entre la 1:00 y las 2:00 PM y iii) después de las 2:00 PM
b.- Suponga que ningún cliente adicional llega antes de la 1:00 PM. Ahora
cuál es la probabilidad que la próxima llegada sea entre la 1:00 y las 2:00
PM.
c.- Suponga que ambos servidores están sirviendo clientes a la 1:00 PM. Cuál
es la probabilidad que ningún cliente ha completado servicios (i) Antes de las
2:00, (ii) Antes de la 1:10 PM y (iii) antes de las 1:01 PM.

85
Lavado de Autos
Un sistema de lavado automático de autos opera con una sola
máquina. Los autos llegan de acuerdo a una distribución de
poisson con una media de 4 autos por hora y pueden esperar en
el estacionamiento del local si la máquina esta ocupada. El
tiempo para limpiar y lavar el auto es exponencial con una
media de 10 minutos. Los autos que no pueden estacionar en el
espacio destinado por el local, pueden esperar en la calle.
A.-El administrador desea estimar el tamaño del espacio de
estacionamiento propio. ¿???????.
B.-Determine la tasa de servicio que satisface la condición que
el tiempo de espera en el sistema sea menos que 10 minutos.

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