Teoria de colas - Modelos y simulación UNSAAC

Ing. Luis Palma Modelos y Simulación
Universidad Nacional de San Antonio Abad del Cusco
Departamento Académico de Informática
Ing. Luis Palma
CAPITULO X
TEORÍA DE COLAS

• La teoría de colas es el estudio matemático del
comportamiento de líneas de espera. Esta se presenta,
cuando los “clientes” llegan a un “lugar” demandando un
servicio a un “servidor”, el cual tiene una cierta capacidad
de atención. Si el servidor no está disponible
inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se
forma la línea de espera.
• Algunos estudio han llegado a la conclusión que, por
término medio, un ciudadano promedio pasa cinco años
de su vida esperando en distintas colas, y de estos
cinco años casi seis meses esperando que cambie la luz
en los semáforos (claro aquellos que respetan los
semáforos).
COLAS

• PROCESO DE COLAS: Los clientes que requieren un
servicio se forman en una fase de entrada. Estos clientes
entran al sistema y se unen a una cola. Llegado el
momento se selecciona un cliente de la cola, para recibir la
prestación del servicio, que se hace según alguna regla
conocida como disciplina de servicio. Luego, se realiza el
servicio requerido por el cliente en un servidor o
mecanismo prestador del correspondiente servicio,
finalmente el cliente sale del sistema de colas.
DEFINICIONES BÁSICAS

PROCESO DE COLAS

• POBLACIÓN POTENCIAL: Una característica de la fuente
de entrada es su tamaño. El tamaño es el número total de
clientes que pueden requerir servicio en determinado
momento.
• CLIENTE: Es todo individuo, entidad o elemento de la
población potencial que solicita servicio, por ejemplo
llamadas telefónicas que esperan ser atendidas, vehículos
que esperan cargar gasolina, pacientes que esperan
atención hospitalaria, etc. es infinito o finito.
CARACTERISTICAS

• CAPACIDAD DE LA COLA: Es el máximo número de
clientes que pueden estar haciendo cola (antes de
comenzar a ser servidos). Puede suponerse finita o infinita.
• MECANISMO DE SERVICIO: La instalación de servicio
consiste en uno o más canales paralelos de servicio,
llamados servidores
• REDES DE COLAS. Sistema donde existen varias colas y
los trabajos fluyen de una a otra.
CARACTERISTICAS

• DISCIPLINA DE SERVICIO: La disciplina de servicio se
refiere al orden en el que se seleccionan los clientes de la
cola para recibir el servicio. Por ejemplo, puede ser:
• FIFO (first in first out) PEPS Primero en Entrar Primero en Salir
• LIFO (last in first out) Ultimo en Entrar Primero en Salir
• SIRO (random selection of service) Servicio en que se selecciona
los clientes de manera aleatoria
• PRIORIDAD Los clientes se atienden de acuerdo a alguna prioridad
especificada.
• Procesamiento equilibrado, también llamado Processor Sharing:
Sirve a todos los clientes por igual. La capacidad del sistema se
comparte entre los clientes y todos experimentan el mismo retraso.
CARACTERISTICAS

• CANALES MÚLTIPLES: Instalación de servicio con dos o
más servidores en paralelo.
• DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL: Se utiliza en algunos
modelos de cola para describir el patrón de los tiempos de
servicios.
• DISTRIBUCIÓN POISSON: Se utiliza para describir el
proceso aleatorio de llegadas en algunos modelos de
línea de espera.
CARACTERISTICAS

• David G. Kendall introdujo una notación para los modelos de líneas de
espera. Esta notación de Kendall para describir las colas y sus
características se representa por una secuencia de valores: A/B/C/D/E/F
donde las letras significan:
• A: Parámetro que describe el proceso de llegada. Es posible describir las
llegadas por medio de una distribución de probabilidad, se utiliza la
constate “M” para indicar que la distribución de probabilidad es POISSON
• B: Describe el tiempo que dura el servicio, se usa distribuciones de
probabilidad, se utiliza la conntante “M” para inidicar que la distribución de
probabilidd es EXPONENCIAL.
• C: Representa el número de servidores.
• D: Representa la capacidad del sistema, o el número máximo de clientes
permitidos en el sistema incluyendo los que reciben servicio. Cuando el
número está al máximo, las llegadas siguientes son rechazadas.
• E: Disciplina en el servicio: FIFO, LIFO, SIRO, ALEATORIO.
• F: Especifica el tamaño de la población de los que provienen los elementos
que ingresan al sistema de líneas de espera.
NOTACIÓN DE KENDALL

COLA INFINITA CON UN SERVIDOR

COLA DE N CLIENTE CON UN SERVIDOR

COLA CON “K” SERVIDORES EN PARALELO

COLA CON “K” SERVIDORES EN SERIE

Asumimos que existen las siguientes condiciones:
• Los clientes son servidos por una política PEPS y cada arribo
espera a ser servido sin importar la longitud de la cola.
• Los arribos son independientes entre si, pero el promedio de
arribos no cambia con el tiempo.
• Los arribos son descritos mediante la distribución de
probabilidad de Poisson y proceden de una población my grande
o infinita.
• Los tiempos de servicio varían de cliente a cliente y son
independientes entre si, pero el promedio es conocido.
• Los tiempos de servicio se representan mediante la distribución
de probabilidad exponencial.
• El promedio de servicio es más rápido que el promedio de
llegadas
MODELO M/M/1

• : Número promedio de arribos por periodo de tiempo
• µ: Número promedio de entes servidos por periodo de
tiempo
• : Numero de unidades en el sistema
• Ls: Número promedio de unidades (clientes) en el sistema
• : factor de utilización del sistema
FORMULAS





s
L


 

• Ws: Tiempo promedio que una unidad permanece en el
sistema = (tiempo de espera + tiempo de servicio)
• Lq: número promedio de unidades en la cola
• Wq: Tiempo promedio que una unidad espera en la cola
s
q L
L *
)
(
2









 

1
s
W
s
q W
W *
)
(









• Pn: probabilidad de que n clientes estén en la cola
• Po: probabilidad de que exista cero unidades en el sistema
• Pn>k: Probabilidad de que mas de k unidades estén en el
sistema
n
n
n
P 





*
)
1
(
*
1 



















)
1
(
1
0 






P
1

 








k
k
n
P



• Dos o mas servidores están disponibles para atender a los
clientes que arriban.
• Los clientes forman una sola cola y se atiende de acuerdo
al servidor que quede libre.
• Asumimos que los arribos siguen una distribución de
probabilidad de Poisson y los tiempos de servicio
exponencialmente.
• Los servicios se hacen de acuerdo a la política primero en
llegar primero en ser atendido (PEPS) y todos los
servidores atiende con un promedio unico
MODELO M/M/S

• M: número de canales abiertos.
• : tasa promedio de arribo.
• µ: tasa promedio de servicio en cada canal.
• Po: probabilidad de que existan CERO clientes en el
sistema.
• Ls: número promedio de clientes en el sistema.
FORMULAS









































M
para
M
M
M
n
P M
M
n
n
n
,
!
1
!
1
1
1
0
0
















 0
2
)
(
)!
1
(
P
M
M
L
M
s

• Ws: tiempo promedio que una unidad permanece en el
sistema (en la cola y siendo servido)
• Lq: número promedio de clientes en la cola.
• Wq: tiempo promedio que un cliente se tarda en la cola.







s
M
s
L
P
M
M
W 










1
)
(
)!
1
(
0
2






 s
s
q L
L
L


q
s
q
L
W
W 


1

• Algunos sistemas tienen un tiempo de servicio constante ,
un servicio de lavado de vehículos, espera en un semáforo
con tiempo fijo, en un peaje etc.
• Lq: Longitud promedio de la cola.
• Wq: tiempo promedio de espera en la cola.
• Ls: número promedio de clientes en el sistema.
• Ws: tiempo promedio de espera en el sistema
MODELO M/D/1
)
(
2
2






q
L
)
(
2 





q
W



 q
s L
L

1

 q
s W
W

• Este modelo puede ser aplicado por ejemplo a reparación
de equipos de una fábrica que tiene 5 maquinas.
• Este modelo difiere del resto porque hay una dependencia
de la longitud de la cola con la media de arribos. Si las 5
maquinas de la fabrica están malogradas el promedio de
arribo es CERO.
• Este modelo permite cualquier número de canales de
servicio.
MODELO DE POBLACIÓN LIMITADA

• D: probabilidad de que una unidad tenga que esperar en la cola
• F: factor de eficiencia.
• H: número promedio de unidades siendo servidas.
• J: número promedio de unidades que no están en la cola o en el
sector de servicio.
• L: número promedio de unidades esperando el servicio
• M: número de canales de servicio.
• N: número de clientes potenciales.
• T: tiempo de servicio promedio.
• U: tiempo de servicio entre requerimientos de atención a la
unidad.
• W: tiempo promedio que una unidad espera en la cola.
• X: factor de servicio.
FORMULAS

U
T
T
X


)
1
( F
N
L 

XF
F
T
L
N
U
T
L
W
)
1
(
)
( 




)
1
( X
NF
J 

FNX
H 
H
L
J
N 



• Los clientes llegan a una ventanilla bancaria de servicio al
auto, según la distribución de Poisson con media de 10 por
hora, el tiempo de servicio por cliente es exponencial con
media de 5 minutos. El espacio en frente de la ventanilla,
incluyendo al auto al que se esta dando servicio, puede
acomodar un máximo de 3 automóviles. Otros vehículos
pueden esperar fuera de este espacio.
a) ¿Cual es la probabilidad de que un cliente que llega pueda
manejar directamente hasta el espacio frente a la ventanilla?.
b) ¿Cual es la probabilidad de que un cliente que llega tendrá que
aguardar fuera del espacio indicado?
c) ¿Cuántos espacios deberán proporcionar en frente de la ventanilla
de manera que todos los clientes que llegan puedan esperar frente
a está al menos 20% del tiempo?
EJERCICIO

• Un restaurante de comida rápida tiene una ventanilla para dar
servicio a automóviles. Se estima que los autos llegan de
acuerdo a una distribución de Poisson a una tasa de 2 cada 5
segundos y que hay espacio suficiente para dar cabida a una fila
de 10 automóviles. Otros autos que llegan pueden esperar fuera
de este espacio de ser necesario. Los empleados quedan 15
minutos en promedio en surtir un pedido, pero el tiempo de
servicio varia en realidad, según una distribución exponencial.
Determinar:
a) La probabilidad de que el estacionamiento este inactivo.
b) El número esperado de clientes en espera, pero que no se les atiende
en el momento.
c) El tiempo de espera calculando hasta que un cliente hacer su pedido
en ventanilla.
d) La probabilidad de que la cola sea mayor que la capacidad de espacio
que conduce a la ventanilla de servicio de automóviles.
EJERCICIO

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