Semana 2 1_

Enith Cecilia Niebles Lara
Ingeniera Civil

Especialista educación Matemática
Curso para hacer clase Estadística Inferencial

SEMANA 2
2. Estadística Inferencial
2.1 Teoría del Muestreo
Uno de los propósitos de la estadística inferencial es estimar las características
poblacionales desconocidas, examinando la información obtenida de una muestra,
de una población. El punto de interés es la muestra, la cual debe ser
representativa de la población objeto de estudio.
Se seguirán ciertos procedimientos de selección para asegurar que las muestras
reflejen observaciones a la población de la que proceden, ya que sólo se pueden
hacer observaciones probabilísticas sobre una población cuando se usan
muestras representativas de la misma.
Una población está formada por la totalidad de las observaciones en las cuales
se tiene cierta observa.
Una muestra es un subconjunto de observaciones seleccionadas de una
población.
-

Muestras Aleatorias

Cuando nos interesa estudiar las características de poblaciones grandes, se
utilizan muestras por muchas razones; una enumeración completa de la población,
llamada censo, puede ser económicamente imposible, o no se cuenta con el
tiempo suficiente.
A continuación se verán algunos usos del muestreo en diversos campos:
1. Política. Las muestras de las opiniones de los votantes se usan para que
los candidatos midan la opinión pública y el apoyo en las elecciones.
2. Educación. Las muestras de las calificaciones de los exámenes de
estudiantes se usan para determinar la eficiencia de una técnica o
programa de enseñanza.
3. Industria. Muestras de los productos de una línea de ensamble sirve para
controlar la calidad.
4. Medicina. Muestras de medidas de azúcar en la sangre de pacientes
diabéticos prueban la eficacia de una técnica o de un fármaco nuevo.
5. Agricultura. Las muestras del maíz cosechado en una parcela proyectan en
la producción los efectos de un fertilizante nuevo.
6. Gobierno. Una muestra de opiniones de los votantes se usaría para
determinar los criterios del público sobre cuestiones relacionadas con el
bienestar y la seguridad nacional.
1

Ingeniera Civil

-


Errores en el Muestreo

Cuando se utilizan valores muestrales, o estadísticos para estimar valores
poblacionales, o parámetros, pueden ocurrir dos tipos generales de errores: el
error muestral y el error no muestral.
El error muestral se refiere a la variación natural existente entre muestras
tomadas de la misma población.
Cuando una muestra no es una copia exacta de la población; aún si se ha tenido
gran cuidado para asegurar que dos muestras del mismo tamaño sean
representativas de una cierta población, no esperaríamos que las dos sean
idénticas en todos sus detalles. El error muestral es un concepto importante que
ayudará a entender mejor la naturaleza de la estadística inferencial.
Los errores que surgen al tomar las muestras no pueden clasificarse como errores
muéstrales y se denominan errores no muestrales.
El sesgo de las muestras es un tipo de error no muestral. El sesgo muestral se
refiere a una tendencia sistemática inherente a un método de muestreo que da
estimaciones de un parámetro que son, en promedio, menores (sesgo negativo), o
mayores (sesgo positivo) que el parámetro real.
El sesgo muestral puede suprimirse, o minimizarse, usando la aleatorización.
La aleatorización se refiere a cualquier proceso de selección de una muestra de
la población en el que la selección es imparcial o no está sesgada; una muestra
elegida con procedimientos aleatorios se llama muestra aleatoria.
-

Técnicas de Muestreo Aleatorio

Los tipos más comunes de técnicas de muestreo aleatorios son el muestreo
aleatorio simple, el muestreo estratificado, el muestreo por conglomerados y el
muestreo sistemático.


Muestreo Aleatorio Simple

Si una muestra aleatoria se elige de tal forma que todos los elementos de la
población tengan la misma probabilidad de ser seleccionados, la llamamos
muestra aleatoria simple.

2

Ingeniera Civil


Ejemplo
Suponga que nos interesa elegir una muestra aleatoria de 5 estudiantes en un
grupo de estadística de 20 alumnos. 20C5 da el número total de formas de elegir
una muestra no ordenada y este resultado es 15,504 maneras diferentes de tomar
la muestra. Si listamos las 15,504 en trozos separados de papel, una tarea
tremenda, luego los colocamos en un recipiente y después los revolvemos,
entonces podremos tener una muestra aleatoria de 5 si seleccionamos un trozo de
papel con cinco nombres. Un procedimiento más simple para elegir una muestra
aleatoria sería escribir cada uno de los 20 nombres en pedazos separados de
papel, colocarlos en un recipiente, revolverlos y después extraer cinco papeles al
mismo tiempo.
Otro método para obtener una muestra aleatoria de 5 estudiantes en un grupo de
20 utiliza una tabla de números aleatorios. Se puede construir la tabla usando una
calculadora o una computadora. También se puede prescindir de estas y hacer la
tabla escribiendo diez dígitos del 0 al 9 en tiras de papel, las colocamos en un
recipiente y los revolvemos, de ahí, la primera tira seleccionada determina el
primer número de la tabla, se regresa al recipiente y después de revolver otra vez
se selecciona la seguida tira que determina el segundo número de la tabla; el
proceso continúa hasta obtener una tabla de dígitos aleatorios con tantos números
como se desee.
Hay muchas situaciones en las cuales el muestreo aleatorio simple es poco
práctico, imposible o no deseado; aunque sería deseable usar muestras aleatorias
simples para las encuestas nacionales de opinión sobre productos o sobre
elecciones presidenciales, sería muy costoso o tardado.


Muestreo Estratificado

El muestreo estratificado requiere de separar a la población según grupos que
no se traslapen llamados estratos, y de elegir después una muestra aleatoria
simple en cada estrato. La información de las muestras aleatorias simples de cada
estrato constituiría entonces una muestra global.
Ejemplo
Suponga que nos interesa obtener una muestra de las opiniones de los profesores
de una gran universidad. Puede ser difícil obtener una muestra con todos los
profesores, así que supongamos que elegimos una muestra aleatoria de cada
colegio, o departamento académico; los estratos vendrían a ser los colegios, o
departamentos académicos.

3

Ingeniera Civil




Muestreo por Conglomerados

El muestreo por conglomerados requiere de elegir una muestra aleatoria simple
de unidades heterogéneas entre sí de la población llamadas conglomerados.
Cada elemento de la población pertenece exactamente a un conglomerado, y los
elementos dentro de cada conglomerado son usualmente heterogéneos o
disímiles.
Ejemplo
Suponga que una compañía de servicio de televisión por cable está pensando en
abrir una sucursal en una ciudad grande; la compañía planea realizar un estudio
para determinar el porcentaje de familias que utilizarían sus servicios, como no es
práctico preguntar en cada casa, la empresa decide seleccionar una parte de la
ciudad al azar, la cual forma un conglomerado.
En el muestreo por conglomerados, éstos se forman para representar, tan
fielmente como sea posible, a toda la población; entonces se usa una muestra
aleatoria simple de conglomerados para estudiarla. Los estudios de instituciones
sociales como iglesias, hospitales, escuelas y prisiones se realizan, generalmente,
con base en el muestreo por conglomerados.


Muestreo Sistemático

El muestreo sistemático es una técnica de muestreo que requiere de una
selección aleatoria inicial de observaciones seguida de otra selección de
observaciones obtenida usando algún sistema o regla.
Ejemplo
Para obtener una muestra de suscriptores telefónicos en una ciudad grande,
puede obtenerse primero una muestra aleatoria de los números de las páginas del
directorio telefónico; al elegir el vigésimo nombre de cada página obtendríamos un
muestreo sistemático, también podemos escoger un nombre de la primera página
del directorio y después seleccionar cada nombre del lugar número cien a partir
del ya seleccionado. Por ejemplo, podríamos seleccionar un número al azar entre
los primeros 100; supongamos que el elegido es el 40, entonces seleccionamos
los nombres del directorio que corresponden a los números 40, 140, 240, 340 y así
sucesivamente.

4

Ingeniera Civil


Error Muestral
Cualquier medida conlleva algún error. Si se usa la media para medir, estimar, la
media poblacional µ, entonces la media muestral, como medida, conlleva algún
error. Por ejemplo, supongamos que se ha obtenido una muestra aleatoria de
tamaño 25 de una población con media µ = 15: si la media de la muestra es x=12,
entonces a la diferencia observada x- µ = -3 se le denomina el error muestral.
Una media muestral x puede pensarse como la suma de dos cantidades, la media
poblacional µ y el error muestral; si e denota el error muestral, entonces:
̅ = µ+E

Ejemplo
Se toman muestras de tamaño 2 de una población consistente en tres valores, 2, 4
y 6, para simular una población "grande" de manera que el muestreo pueda
realizarse un gran número de veces, supondremos que éste se hace con
reemplazo, es decir, el número elegido se reemplaza antes de seleccionar el
siguiente, además, se seleccionan muestras ordenadas. En una muestra
ordenada, el orden en que se seleccionan las observaciones es importante, por
tanto, la muestra ordenada (2,4) es distinta de la muestra ordenada (4,2). En la
muestra (4,2), se seleccionó primero 4 y después 2. La siguiente tabla contiene
una lista de todas las muestras ordenadas de tamaño 2 que es posible seleccionar
con reemplazo y también contiene las medidas muéstrales y los correspondientes
errores
muéstrales.
La
media
poblacional
es
igual
a
µ = (2+4+6)/3 = 4. Ver la tabla en la siguiente página.
Nótese las interesantes relaciones siguientes contenidas en la tabla:
La media de la colección de medias muéstrales es 4, la media de la población de
la que se extraen las muestras. Si
x denota la media de todas las medias
muéstrales entonces tenemos:
µ x = (3+4+3+4+5+5+2+4+6)/9 = 4
La suma de los errores muéstrales es cero.
E1 + E2 + E3 + . . . +Ee9 = (-2) + (-1) + 0 + (-1) + 0 + 1 + 0 + 1 + 2 = 0

5

Ingeniera Civil


Muestras ordenadas

̅

(2,2)

2

2 – 4 = -2

(2,4)

3

3 – 4 = -1

(2,6)

4

4–4=0

(4,2)

3

3 – 4 = -1

(4,4)

4

4–4=0

(4,6)

5

5–4=1

(6,2)

4

4–4=0

(6,4)

5

5–4=1

(6,6)

6

6–4=2

Error muestral e = ̅ - µ

En consecuencia, si ̅ se usa para medir, estimar, la media poblacional
promedio de todos los errores muéstrales es cero.

x,

el

Distribuciones Muestrales de una población

Las muestras aleatorias obtenidas de una población son, por naturaleza propia,
impredecibles. No se esperaría que dos muestras aleatorias del mismo tamaño y
tomadas de la misma población tenga la misma media muestral o que sean
completamente parecidas; puede esperarse que cualquier estadístico, como la
media muestral, calculado a partir de las medias en una muestra aleatoria, cambie
su valor de una muestra a otra, por ello, se quiere estudiar la distribución de todos
los valores posibles de un estadístico. Tales distribuciones serán muy importantes
en el estudio de la estadística inferencial, porque las inferencias sobre las
poblaciones se harán usando estadísticas muéstrales. Como el análisis de las
distribuciones asociadas con los estadísticos muéstrales, podremos juzgar la
confiabilidad de un estadístico muestral como un instrumento para hacer
inferencias sobre un parámetro poblacional desconocido.
Como los valores de un estadístico, tal como x, varían de una muestra aleatoria a
otra, se le puede considerar como una variable aleatoria con su correspondiente
distribución de frecuencias.

6

Ingeniera Civil


La distribución de frecuencia de un estadístico muestral se denomina distribución
muestral. En general, la distribución muestral de un estadístico es la de todos
sus valores posibles calculados a partir de muestras del mismo tamaño.


Distribución Muestral De Medias

Suponga que se han seleccionado muestras aleatorias de tamaño 20 en una
población grande. Se calcula la madia muestral x para cada muestra; la colección
de todas estas medias muéstrales recibe el nombre de distribución muestral de
medias, lo que se puede ilustrar en la siguiente figura

Suponga que se eligen muestras aleatorias de tamaño 20, de una población
grande, y se calcula la desviación estándar de cada una. La colección de todas
estas desviaciones estándar muéstrales se llama distribución muestral de la
desviación estándar, y lo podemos ver en la siguiente figura:

7

Ingeniera Civil


Ejemplo
Se eligen muestras ordenadas de tamaño 2, con reemplazo, de la población de
valores 0, 2, 4 y 6. Encuentre:
µ , la media poblacional.
ρ, la desviación estándar poblacional.
µ x, la media de la distribución muestral de medias.
ρ x, la desviación estándar de la distribución muestral de medias.
Además, grafique las frecuencias para la población y para la distribución muestral
de medias.
Solución:
a. La media poblacional es:

b. La desviación estándar de la población es:

c. A continuación se listan los elementos de la distribución muestral de la
media y la correspondiente distribución de frecuencias.

8

Ingeniera Civil


La
media de la
distribución
muestral de
medias es:

d) La desviación
estándar de
la

distribución muestral de medias es:

De aquí que podamos deducir que:
Como para cualquier variable aleatoria, la distribución muestral de medias tiene
una media o valor esperado, una varianza y una desviación estándar, se puede
demostrar que la distribución muestral de medias tiene una media igual a la media
poblacional. Esto es:1

-

Distribución Muestral

Para cada muestra se puede calcular un estadístico, tal como la media,
desviación típica, etc., que variará de una muestra a otra, de ésta forma se
obtiene una distribución del estadístico que se conoce con el nombre de
distribución muestral, como se había dicho anteriormente.
1

Teoría del muestreo. Unidad 1. Instituto Tecnológico de Chihuahua.
http://virtual.uptc.edu.co/ova/estadistica/docs/libros/estadistica1/cap01.html

9

Tomado

de

Ingeniera Civil




Distribución Muestral de Medias
Supóngase que se han extraído de una población finita todas las posibles
muestras:

-

Sin reemplazamiento de tamaño n, siendo el tamaño de la población N>n,
entonces,
̅

=

Donde
̅ = Media Poblacional de la distribución muestra de medias.
= Media poblacional
Además,
̅

=

√

√

-Si el muestreo es con reemplazamiento los datos anteriores se convierten en
y ̅=
̅ =
√

Ahora:
Llamaremos:
Media Muestral de Medias Muestrales
muestras en la distribución muestral.

̅=

∑ ̅

Donde k= Número de

Error estándar de la Distribución Muestral de media Muestrales =
̅ =√ ̅
Ejemplo:
Supóngase que las alturas de 3000 estudiantes de una universidad se
distribuyen normalmente con una media de 68 pulgadas y una desviación
estándar de 3 pulgadas. Sí se toman 80 muestras de estudiantes c/u.
Cuál será la Media muestral de medias y la Desviación Muestral de
Medias si:
a) Si realiza con reemplazamiento
b) Sí se realiza sin reemplazamiento.

10

Ingeniera Civil


Solución:
Datos:
X

̅

N
= 68 pulgadas
= 3.0 pulgadas

Número de muestras lo llamaremos k = 80
N= 3000; n = 25
a) Con reemplazamiento.
De acuerdo con el teorema Central de Límite que dice: “En una
población cualquiera, a medida que n aumenta, la distribución, de las
medias Muestrales se aproxima a una distribución normal con una
media
y un error estándar de ̅ = “
̅ =
√

Por tanto:

̅

=

= 68 Pulgadas y
̅

=

√

=

√

= 0.6 pulgadas

b) Sin reemplazamiento :
̅
̅

=

√

=

√

= 68 Pulgadas
=

√

= 0.6 pulgadas

Podemos esperar que la distribución muestral de medias se distribuya
aproximadamente en forma normal con una media de 68 Pulgadas y
una desviación típica de 0.6 pulgadas.
Ejemplo 2:
Del ejercicio anterior:
a) ¿Cuantas muestras esperaría encontrar en una media entre 66,8 y 68,3
pulgadas?
Solución:
Sabemos que x
Y que

, (es decir, que la distribución es aproximad mente Normal)
= 68 pulgadas,

̅=

0.6 pulgadas

11

Ingeniera Civil


Entonces estandarizamos la variable aleatoria X en Z, de acuerdo a lo estudiado
en el capítulo anterior.
Z=

̅̅̅̅̅̅̅̅
̅
̅

;

Zo

=

= - 2.0

Z1

=

= 0.5 ;

En forma gráfica se tiene:

x
66.8

68.3
68

0.5

z

O
-2

El área bajo la curva nos indicará el porcentaje de muestras en la
población.
P(66.8 < X< 68.3) = P( -2.0 < Z < 0.5) = Ver Tabla

A31 y A32

N(0.5) – N(-2.0) = 0.6915 – 0.0228 = 0.669
De acuerdo al problema anterior, hay 80 muestras de 25 estudiantes en
una población de 3000 estudiantes, con una regla de tres tenemos:
100%
66.9%

80 muestras
X

X = 53.5; Se logran aproximadamente 53 Muestras
c) ¿Cuantas muestras esperaría encontrar en una media Menor de
66.8 Pulgadas?
12

Ingeniera Civil


Z=

= - 2.667 Ver Tabla A31 y A32
O sea N(-2.667) = 0.0038
x

68

100%
0.38%

66.4

80 Muestras
x

X = 0.3 Muestras
Cuando la media es menor de 66.4 pulg, no se logra ni una sola muestra

Estadística Inferencial

Estadística inferencial usa la muestra estudiada en la estadística
descriptiva para pronosticar y hacer inferencia sobre un fenómeno, para
sacar conclusiones y de esta forma tomar decisiones y solucionar
problemas.
Métodos Clásicos de Hacer Inferencia
1) Por medio de Estimación Puntual
2) Por medio de intervalos de Confianza
3) Por medio de Pruebas de Hipótesis
1) Utilizando Estimación Puntual
La estimación puntual utiliza el estadígrafo para estimar el parámetro de la
población de interés.
Para ello se basa en dos criterios para determinar la bondad del estimador:



Que sea insesgado, es decir que no posea sesgo respecto al parámetro.
Que tenga una varianza mínima.

En la estimación puntual se utiliza el estadígrafo como estimador de su propio
parámetro así:
13

Ingeniera Civil


̅ Se utiliza como estimador del parámetro
S Se utiliza como estimador del parámetro
S2 Se utiliza como estimador del parámetro

2) Intervalos de Confianza
Es el rango de valores encontrado estadísticamente, dentro del cual se
espera que se encuentre un parámetro poblacional en estudio (
)
Límite Inferior < <Limite superior; se le llama Intervalo de confianza de
(1- ) 100%.


A la fracción (1o
Grado de confianza, es la probabilidad que deseamos para que un
parámetro se encuentre dentro del intervalo calculado. Los
coeficientes más usados son (1- ) = 90%, 95%, 99%

Si fijamos un coeficiente de confianza de 95%, estamos indicando que
tenemos una confianza de que de 100 intervalos calculados, en 95 de
ellos el parámetro poblacional caerá dentro de éstos, es decir que solo
en 5 intervalos el parámetro estará fuera.

= Es la probabilidad de que el parámetro esté fuera del intervalo,
Ejemplo:
Si fijamos una confianza del 95% es porque estamos sugiriendo un
= 0.05
Nota:
Entre más amplio sea el intervalo de confianza, podemos tener más
confianza de que el intervalo dado contenga el parámetro desconocido.
Pero veamos éste ejemplo.
Ejemplo:
Se tiene una confianza del 95% de que la vida útil de unas bombillas esta
entre 6 y 7 años y se tiene una confianza del 99% de que la vida útil de las
bombillas esté entre 3 y 10 años. ¿Cuál intervalo cree usted que es
conveniente? En este caso por supuesto es mejor tener un intervalo más
pequeño.
Algunas veces las restricciones en el tamaño de nuestra muestra nos
impiden tener intervalos cortos sin sacrificar algo de nuestro grado de
confianza.

14

Ingeniera Civil


- Estimación de la Media poblacional para una Muestra.
Utilizando Estimación: Por Intervalos de Confianza, con varianza conocida.
Consideremos ahora la estimación por intervalo de
, si la muestra se
selecciona a partir de una población Normal, o en caso de que no sea
Normal, el tamaño de la muestra n es suficientemente grande, podemos
establecer un intervalo de confianza para , basándonos en el teorema
del límite central, podemos esperar que la distribución de ̅ esté distribuida
en forma aproximadamente Normal, media ̅ =
y desviación estándar
de ̅ = .
√

Al escribir z

vemos que la probabilidad P( - z

de
Z=

para Z por arriba del cual encontramos en la gráfica un área

̅

, por tanto P( - z
√

<

̅

,

<z

<Z<z

) = 1 - , donde

)=1-

√

En la gráfica vemos claramente el intervalo calculado:

Curva Normal Estándar
1-

Z
0
P( - z < Z < z ) = 1 Realizando manipulación algebraica llegamos al intervalo de confianza

P( ̅ - z

√

<

< ̅+z

√

)=1-

Se utilizará la media muestral ̅ (como estimación puntual), para estimar la
media poblacional
Se selecciona una muestra pequeña de tamaño n de una población cuya
varianza
se conoce y se calcula la media ̅ para obtener el siguiente
15

Ingeniera Civil


intervalo de confianza de (1) 100%. Es importante resaltar que
recurrimos al teorema del límite central.
Sí ̅ es la media de una muestra aleatoria de tamaño n de una población
con varianza
conocida. Un intervalo de confianza (1- ) 100% para
Está dada por:
̅-z

√

<

< ̅+z

√

En donde z

es el valor Z que deja un área de

a la derecha.
Nota:
Para muestras pequeñas que se seleccionan de poblaciones no normales,
no podemos esperar que nuestro grado de confianza sea preciso. Sin
embargo, para muestras de tamaño n
30, sin importar la forma de la
mayor parte de la población la teoría de muestreo garantiza buenos
resultados.
Ejemplo:
Un grupo de biólogos encuentra en cierto rio, que la concentración
promedio de zinc que se saca del agua a partir de una muestra de
mediciones de contaminantes, en 36 sitios diferentes es de 2,6 gramos por
mililitro. Encuentre los intervalos de confianza de 95 % y 99% para la
concentración media de zinc en el rio. Suponga que la desviación estándar
de la población es 0.3
Solución:
La estimación puntual
es ̅ = 2.6 gr/mililitro, el valor Z, que deja un
área de 0.025 a la derecha y por tanto un área de 0.975 a la izquierda, es
Z0.025 = 1.96 (Ver Tabla
A31 y A32) o en el libro Walpóle - Myer. Se
anexa tabla al final del capítulo 2

0.975

0.025
Z(-0.025)

0.025

Z

Z0.025 = 1.96

Por tanto realizando los cálculos vemos que el intervalo de confianza de
955 es:
16

Ingeniera Civil

2.6 - 1.96 (

√


)<

< 2.6 + 1.96 (

√

)

Que se reduce a
2.5<

< 2.70

Vemos ahora que se requiere un intervalo para estimar
más alto de precisión.

con un grado

Nota: El intervalo de confianza de (1- ) 100% proporciona una estimación
de precisión de nuestra estimación puntual. Si es realmente un valor real
del intervalo, entonces ̅ estima a sin error.
La mayor parte de las veces, sin embargo,
̅ no será exactamente igual
y la estimación puntual es un error. La magnitud de éste error es el
valor absoluto de la diferencia entre
y ̅ , o sea, │
̅ │ y
podemos tener (1) 100% de confianza de que ésta diferencia no
excederá de
. Esto se puede ver fácilmente en el siguiente
√

diagrama con un intervalo de confianza hipotético:
Error

̅-z

̅+z
̅

√

√

Ahora, se tiene que, podemos tener una confianza de (1si se
utiliza ̅ como una estimación de (1- ) 100% de que el error no
excederá de z

√

En el ejemplo anterior:
│

│= 0.1 ó │

│= 0.1

Tenemos que el 95% de confianza de que la media muestral
difiere de la media real por una cantidad menor que 0.1

̅ = 2.6

Ejercicio: Desarrolle el ejemplo anterior con un intervalo de confianza de
99% 2

2

Estimación por intervalos de confianza. Alicia Ledema. UNLP. Apartes tomados del sitio web
http://www.ing.unlp.edu.ar/fismat/estadistica/estadistica/archivos/Capitulo5_ESTIMACION_POR_INT
ERVALO_ES_DE_CONFIANZA.pdf

17

Semana 2 1_

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a Semana 2 1_

Similar a Semana 2 1_ (20)

Más de angiegutierrez11

Más de angiegutierrez11 (20)

Semana 2 1_