Este documento resume conceptos clave del cálculo vectorial, incluyendo puntos críticos de funciones de varias variables, clasificación de puntos críticos, y el criterio de la segunda derivada. Explica cómo determinar máximos y mínimos locales analizando las derivadas parciales de primer y segundo orden. También presenta un ejemplo de cómo calcular el volumen máximo de una caja rectangular.

2. CÁLCULO VECTORIAL
Daniel Garzón
Departamento de Matemáticas, fı́sica y Estadı́stica
Universidad de La Sabana

3. PUNTOS CRÍTICOS DE FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES
En esta sección estudiaremos la clasificación y la descripción de los puntos
crı́ticos de una función de varias variables f, puntos en los cuales el plano
tangente a la superficie definida por una función f es paralelo al plano xy, nos
centraremos en la clasificación de los puntos crı́ticos de una función en R2
usando el método de la “segunda derivada.”
(0, 0) es un mı́nimo de f(x, y) = x2 + y2 − 4

4. PUNTOS CRÍTICOS DE FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES PUNTOS CRÍTICOS
CLASIFICACIÓN DE PUNTOS CRÍTICOS
DEFINICIÓN
Una función de dos variables tiene un mı́nimo local en (a, b), si
f(x, y) ≤ f(a, b) donde (x, y) es cualquiera de los elementos en un conjunto
de puntos de un circulo de radio suficientemente pequeño que contiene (a, b).
El número f(a, b) es llamado un valor máximo local. Si f(x, y) ≥ f(a, b)
donde (x, y) es cualquiera de los elementos en un conjunto de puntos de un
circulo de radio suficientemente pequeño que contiene (a, b).
FIGURA: Mı́nimo y máximo en dos funciones parabólicas

5. PUNTOS CRÍTICOS DE FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES PUNTOS CRÍTICOS
TEOREMA
Si f(x, y) tiene un máximo o un mı́nimo local en (a, b) y las derivadas de
primer orden de f existen, entonces
∂f
∂x
(a, b) = 0 y
∂f
∂y
(a, b) = 0
DEFINICIÓN
Un punto (a, b) es llamado un punto critico (o punto estacionario) de f si
fx(a, b) = 0 y fy(a, b) = 0 o si una de sus derivadas parciales no existe
EJEMPLO
1 Determinar si la funcion f(x, y) = x2 + y2 − 2x − 6y + 14 tiene
máximos o mı́nimos.
2 Hallar los valores extremos de f(x, y) = y2 − x2.

6. PUNTOS CRÍTICOS DE FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES PUNTOS CRÍTICOS
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
Supongamos que las segundas derivadas de f son continuas sobre una bola
abierta de centro (a, b), y supongamos que ∂f
∂x (a, b) = 0 y ∂f
∂y (a, b) = 0. Sea
H = H(a, b) =
∂2f
∂x2 (a, b) ∂2f
∂x∂y (a, b)
∂2f
∂y∂x(a, b) ∂2f
∂y2 (a, b)
1 Si H > 0 y ∂2f
∂x2 (a, b) > 0 entonces f(a, b) tiene un mı́nimo local.
2 Si H > 0 y ∂2f
∂x2 (a, b) < 0 entonces f(a, b) tiene un máximo local.
3 Si H < 0 entonces f(a, b) no tiene ni máximo ni mı́nimo local.
(Punto de silla).
4 Si H = 0 el criterio no de información sobre los puntos crı́ticos.

7. PUNTOS CRÍTICOS DE FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES PUNTOS CRÍTICOS
VOLUMEN MÁXIMO
Calcule el volumen de la caja rectangular más grande en el primer octante con
tres caras en los planos coordenados y un vértice en el plano x + 2y + 3x = 6.
representemos los lados de la caja por las variables x, y, z, de esta manera la
función (volumen) que debemos maximizar es V (x, y, z) = xyz con la
condición x + 2y + 3z = 6. Si despejamos la variable z de la condición y la
reemplazamos en V , entonces obtenemos la función
V (x, y) =
1
3
xy(6 − 2y − x)
De aquı́ tenemos que
∂V
∂x
=
1
3
(6y − 2y2
− 2xy)
∂V
∂y
=
1
3
(6x − x2
− 4xy)

8. PUNTOS CRÍTICOS DE FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES PUNTOS CRÍTICOS
VOLUMEN MÁXIMO
Al igualar a cero las anteriores derivadas, (para encontrar los puntos crı́ticos)
obtenemos los siguientes 4 sistemas de ecuaciones.
y = 0
x = 0
y = 0
6 − 4y − x = 0
x = 0
6 − 2y − 2x = 0
6 − 4y − x = 0
6 − 2y − 2x = 0
solo nos sirve la solución dada por el último sistema (¿Por qué?), la solución
de este sistema es (2, 1), de donde obtenemos que el volumen máximo es 4
3.

9. BIBLIOGRAFÍA
BIBLIOGRAFÍA
Stewart, J.,Multivariable Calculus. Cengage learning (2012).
Marsden, J. & Tromba, A., Cálculo Vectorial Addison Wesley (1998).