tema 7 Licencia CC BY-NC-ND

2. C ´ALCULO VECTORIAL
Daniel Garz´on
Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. COORDENADAS ESF ´ERICAS.
Los puntos P = (x, y, z) de una regi´on en coordenadas rectangulares, est´an
definidos en coordenadas esf´ericas, por la distancia ρ del punto P al origen,
el angulo formado por la proyecci´on del vector P sobre el plano xy con el
eje horizontal, y por el angulo formado por el vector (0, 0, 1) y el vector P.
Podemos pensar estos tres par´ametros ubicados en un tr´ıo de rectas que se
cortan ortogonalmente.

4. COORDENADAS ESF ´ERICAS.
INTEGRALES TRIPLES
INTEGRAL EN COORDENADAS ESF ´ERICAS
La transformaci´on φ esta definida por,
ϕ(ρ, θ, ϕ) = (ρ sin ϕ cos θ, ρ sin ϕ sin θ, ρ cos ϕ), esto define las coordenadas
rectangulares en t´erminos de las esf´ericas como
x = ρ sin ϕ cos θ
y = ρ sin ϕ sin θ
z = ρ cos ϕ
As´ı una integral en coordenadas rectangulares es transformada en
coordenadas esf´ericas como
D
f(x, y, z) dxdydz =
D
f(x(ρ, θ, ϕ), y(ρ, θ, ϕ), z(ρ, ϕ))
∂(x, y, z)
∂(ρ, ϕ, θ)
dρdϕdθ
=
D
f(r cos θ, r sin θ, z)r dρdϕdθ

5. COORDENADAS ESF ´ERICAS.
INTEGRALES TRIPLES
JACOBIANO DE LAS COORDENADAS ESF ´ERICAS
La expresi´on ∂(x,y,z)
∂(r,θ,z) se conoce como el Jacobiano y se calcula de la
siguiente manera
∂(x, y, z)
∂(ρ, ϕ, θ)
=
∂x
∂ρ
∂x
∂ϕ
∂x
∂θ
∂y
∂ρ
∂y
∂θ
∂x
∂ϕ
∂z
∂ρ
∂θ
∂ϕ
∂z
∂θ
∂(x, y, z)
∂(r, θ, z)
= ρ2
sin ϕ

6. COORDENADAS ESF ´ERICAS. C ´ALCULO DE L´IMITES EN UNA INTEGRAL TRIPLE
EJEMPLO
Hallar el volumen de la semiesfera z = 16 − x2 − y2.
Calculemos el volumen de la esfera usando coordenadas esf´ericas, as´ı
z = ρcosϕ 0 ≤ θ ≤ 2π
x = ρsinϕcosθ 0 ≤ ϕ ≤ π
y = ρsinϕsinθ 0 ≤ ρ ≤ 4
as´ı debemos calcular la integral
2π
0
π
0
4
0
ρ
2
sinϕdρdϕdθ =
2π
0
π
0
sinϕ
ρ3
3
4
0
dϕdθ =
2π
0
π
0
sinϕ
43
3
dϕdθ
De do0nde concluimos que el volumen de la semiesfera es
1
2
2π
0
π
0
4
0
ρ2
sinϕdρdϕdθ =
128π
3

7. BIBLIOGRAF´IA
BIBLIOGRAF´IA
Stewart, J.,Multivariable Calculus. Cengage learning (2012).
Marsden, J. & Tromba, A., C´alculo Vectorial Addison Wesley (1998).