Este documento trata sobre integrales dobles. Explica qué son las integrales dobles, cómo se pueden interpretar geométricamente y calcular sobre regiones planas arbitrarias. Además, clasifica las regiones de integración en dos tipos: cuando la región depende de las propiedades de la función o cuando depende de las propiedades intrínsecas de la región. Finalmente, provee ejemplos para ilustrar estos conceptos.
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Los muros paramétricos son una herramienta poderosa en el diseño arquitectónico que ofrece diversas ventajas, tanto en el proceso creativo como en la ejecución del proyecto.
Los atletas olímpicos de la antigüedad participaban en los juegos movidos por el afán de
gloria, pero sobre todo por las suculentas recompensas que obtendrían si ganaban..
Es una presentación desde el punto de vista histórico, escultórico y pictórico, gracias a la
cual podemos apreciar a través del tiempo como el arte ha contribuido a la historia de
los olímpicos.
2. C ´ALCULO VECTORIAL
Daniel Garz´on
Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana
3. INTEGRALES DOBLES
En esta lecci´on estudiaremos el sentido e interpretaci´on geom´etrica de una
integral doble, aprenderemos a calcular integrales dobles sobre regiones planas
arbitrarias, y clasificaremos estas regiones en dos tipos, cuando la regi´on de
integraci´on es definida por las propiedades de la funci´on, o cuando la regi´on
de integraci´on es definida por la propiedades intr´ınsecas de la misma regi´on.
FIGURA:
5
0
5
0
xy − 1
5
dxdy
4. INTEGRALES DOBLES INTEGRALES DOBLES
¿QU ´E ES UNA INTEGRAL DOBLE?
DEFINICI ´ON
La integral doble de una funci´on f(x, y) en dos variables
positiva, se puede interpretar como el volumen acotado por el
gr´afico de la funci´on y el plano xy, en la practica una integral
doble, es una integral unidimensional reiterada.
EJEMPLO
Calcular la integral doble de la funcion
f(x, y) = 1 − x2 − y2, sobre la region definida por
x2 + y2 ≤ 1.
El grafico de la funcion f(x, y) = 1 − x2 − y2 en la regi´on definida por,
x2 + y2 ≤ 1, es claramente media esfera centrada en el origen de radio 1, por
tanto tenemos que
x2+y2≤1
1 − x2 − y2dxdy =
2π
3
5. INTEGRALES DOBLES REGIONES DE INTEGRACI ´ON
DEFINICI ´ON
Normalmente las regiones donde debemos calcular una integral vienen
definidas por la propiedades geom´etricas de la funci´on, o por las propiedades
geom´etricas de la regi´on. Nosotros las dividiremos en dos tipos.
FIGURA: Regi´on de integraci´on
6. INTEGRALES DOBLES REGIONES DE INTEGRACI ´ON
TIPO 1
La regi´on de integraci´on no depende de la funci´on y la integral queda definida
por las propiedades geom´etricas intr´ınsecas de la regi´on de integraci´on en si.
En este caso, la regi´on se subdivide en tantas subregiones como sean
necesarias, cumpliendo que la primera variaci´on en x o y tenga una ´unica
expresi´on en el limite inferior y una ´unica expresi´on en el limite superior.
En este ejemplo, es necesario dividir la regi´on en dos, aunque la regi´on de
integraci´on esta definida por una expresi´on ´unica. Esto ya que la variaci´on
inferior de y tiene dos expresiones y = x e y = −x
7. INTEGRALES DOBLES REGIONES DE INTEGRACI ´ON
TIPO 2
La regi´on de integraci´on esta definida por las propiedades geom´etricas de la
funci´on, en este caso la funci´on se puede ver como definida a trozos, sobre
subregiones de la regi´on original, y se integra cada funci´on sobre la subregion
correspondiente. Veamos un ejemplo:
EJEMPLO
D
y − x2 dxdy D = {(x, y); −2 ≤ x ≤ 2, x2
≤ y ≤ 4}
En este caso la funci´on f(x, y) = y − x2 queda definida como una
funcion a trozos de la siguiente manera
y − x2 =
0 si 0 ≥ y − x2 < 1
1 si 1 ≥ y − x2 < 2
√
2 si 2 ≥ y − x2 < 3
√
3 si 3 ≥ y − x2 < 4
8. INTEGRALES DOBLES REGIONES DE INTEGRACI ´ON
As´ı, al hacer la integral de la funci´on definida a trozos, esta se subdivide en
cuatro integrales en las regiones definidas por la funci´on general, en este caso,
de funciones constantes.
D
y − x2 dxdy =
D3
1dxdy +
D2
√
2dxdy +
D1
√
3dxdy