Este documento presenta información sobre funciones cuadráticas. Explica que una función cuadrática es una función polinómica de grado dos cuya forma general es f(x)=ax^2 + bx + c. También describe que la gráfica de una función cuadrática es una parábola y explica cómo calcular las coordenadas de su vértice.

1. Materia: Matemática
Curso: 2º 1ª Humanidades
Colegio: José Manuel Estrada
Profesora: Juliana Isola
Año: 2011
Nicolás Sivero – Franco Maggi – Franco Guzmán – Sebastián Vera –
Leonardo Marrupe – Agustín Yurovich

2. Una Función Cuadrática o Función de segundo grado es
una Función Polinómica de grado dos.
La forma general de la función cuadrática es
a
b Números
c reales cualesquiera
a≠0

3. La curva que se obtiene al graficar una función
cuadrática se denomina PARÁBOLA
La recta de color verde
representa el Eje de simetría. El
punto en que se intersectan la
parábola con su Eje se
denomina vértice.
En el gráfico, el eje de simetría
está orientado hacia el semieje
positivo de las ordenadas
(Eje Y)

4. LAS COORDENADAS DEL VÉRTICE DE LA PARÁBOLA DEPENDEN DE LOS
VALORES DE LOS COEFICIENTES.
Si llamamos “v” al Vértice (Xv; Yv) a sus coordenadas
F(x)=Ax² + Bx + c , la abscisa de su vértice es
Xv = - b / 2a
“B” es el coeficiente del termino de primer grado y A el coeficiente
principal.
Una vez calculando Xv para hallar Yv basta con calcular la imagen de Xv ya
que el vertice es un punto que pertenece a la parábola ;
o sea que Yv = F(Xv)

5. El eje es una recta vertical que corta la parábola en el
vértice, su ecuación es : X=Xv ( recuerden que Xv es la
abscisa del vértice )
Ejemplo : T(x) = x² - 4x + 3
Xv = - (-4 / 2x1) = 2 Yv= t (2) = 22
- 4 x 2 + 3 = -1
Entonces el vértice es , es este caso , V= (2 ; -1 ). Además la
ecuación del eje es x=2

6. Una parábola es el conjunto de puntos en el plano que equidistan de un
punto fijo (llamado foco de la parábola) y de una recta fija (llamada la
directriz de la parábola) El punto medio entre el foco y la directriz se
llama vértice, la recta que pasa por el foco y por el vértice se llama eje de la
parábola.
La forma canónica de la ecuación de una parábola con vértice u = ( h, k) y
directriz es y= k – p es
(x – h) ²= 4p (y - k)
El eje de la parábola es vertical y el foco F está a /P/ unidades (orientadas)
del vértice. Si P<0, la parábola abre hacia arriba y el foco está en ( h,k+p );
si P> 0, la parábola abre hacia abajo y el foco está en ( h,k-p).
Si la directriz es x = h - p(eje horizontal), la ecuación es
(y-k) ² = 4p (x-h)
El eje de la parábola es horizontal y el foco F está a /P/ unidades
(orientadas) del vértice. Si P>0 , la parábola abre hacia la derecha y el foco
está en ( h+ p,k ); si ,p<0 la parábola abre hacia la izquierda y el foco está
en (h – p, k) .

7. y ² -6y – 4x + 17 =0
Para hallar la ecuación canónica debemos completar el cuadrado en a. De la
ecuación de la parábola tenemos que
y ² - 6y +9 -9-4x +17 = 0
(y-3) ² - 4 (x-2) = 0
(y-3) ² = 4 ( x- 2 )
De donde obtenemos que p = 1 y el vértice u = (2;3 ) , por lo tanto, la parábola
abre hacia la derecha y tiene el foco en F = (3 , 3) , la recta directriz es x = 1.

8. •Si en una función cuadrática el coeficiente del término de Primer
grado, el término independiente o ambos son cero/s: La ecuación se
denomina Incompleta.
f(x) = 2.X²
*Si en una función cuadrática posee todas sus partes, es
decir, |ax²+bx+c|: La ecuación se denomina Completa.
f(x) = 2X² + 4X + 1

9. Los ceros o raíces de una función son los valores de la variable independiente (x)
cuya imagen es igual a 0 (cero)
Por Ejemplo:
(-2;0) y (2;0) son los ceros de la
función x2 - 4
A la función incompleta determinada, tenemos que
igualarla a 0 (cero) obteniendo así, los ceros de la
función.
F(x) = 0

10. Para hallar los ceros en esta clase de funciones debemos
resolverla mediante la utilización de la fórmula:
El doble signo (+/-) es una forma abreviada de escribir que un
cero se halla sumando y el otro restando:
* Ejemplo: las soluciones de la ecuación 3x² + 7/4x – 3/8= 0 son
los ceros de la función f(x)= 3x² + 7/4x – 3/8.

11. Ejemplo de resolucion:
Teniendo: f(x)=X² + 2X – 3
-2 + / - 2² - 4 . 1 . (-3)
2.1
-2 +/- 16
2
-2 +/- 4
2
-2 + 4 =1 - 2 – 4 = -3
2 2

12. Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un
binomio de la siguiente manera:
A esta forma de expresión se la llama forma canónica. Siendo a el coeficiente
principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del vértice de la parábola. Para
llegar a esta expresión se parte de la forma polinómica y se realiza el siguiente
procedimiento:
*Dado:
Se extrae a como factor común en el término cuadrático y en el lineal 2.

13. *Se completa el trinomio cuadrado perfecto, sumando y restando para no alterar la
igualdad:
igualdad.
•Se factoriza formando el cuadrado de un binomio:
•Sustituyendo:
•La expresión queda:

14. Ejemplo:
X² + 6X – 7 = 0
X² + 6X = 7
(se eleva al cuadrado la mitad del coeficiente de X y se suma en ambos lados)
X² + 6X + 3² = 7 + 3²
( X + 3 ) ² = 16
(Se extrae la raiz cuadrada de ambos miembros. RECORDAR, el binomio es igual a + / - la
raiz del segundo miembro)
( X + 3)² = 16

15. X+3=4 X+3=-4
X=4-3 X=-4-3
X=1 X = -7
COMPROBAMOS
1+3=4 -7+3=4

16. Para comenzar se parte de la siguiente ecuación:
f(x) = ax² + bx + c
Conociendo los tres puntos del plano XY por los que pasa una
función Polinómica de segundo grado:
Se cumple que:
A, B y C son incógnitas
(Solo habrá solución si el determinante de los coeficientes de las incógnitas es
distinto de cero)

17. Un ejemplo sencillo, teniendo los siguientes puntos:
P=(X;Y)
Reemplazamos los valores de cada numero:
P1 = (0;1) (i) 1 = a.0² + b.0 + c
P2 = (1 ; 1) (ii) 1 = a.1²+ b.1 + c
P3 = (-2 ; 7) (iii) 7 = a.(-2)² + b.(-2) + c
Obtenemos los valores:
(I) 1= a.0+b.0+c 1= C
(ii) 1= a.1+b.1+c (1) 1-1(c) = a+b A+B= 0 A=-B
(iii) 7=4a-2b+1 (c) 7-1= 4 a-2b 6= 4A-2B

18. A Continuación utilizaremos los valores obtenidos anteriormente:
1= C
A=-B
6= 4A-2B
•Reemplazando para obtener el valor de “B”:
•6= 4A-2B 6= 4.(-b)–2b 6= -4b -2b 6=-6b 6: (-6)= b -1=B
•A=-B a= -b(-1) a= -(-1) A=1
Entonces, una vez obtenido el valor de cada uno de las letras, podemos obtener la
parábola:
Y= 1x² + (-1)x+1 “Y= x² -x +1”

19. FIN DE LA PRESENTACIÓN
Muchas Gracias por recurrir a nuestra
biblioteca virtual.
Profesora: Juliana Isola
Alumnos :Nicolás Sivero – Franco Maggi – Franco Guzmán – Sebastián Vera – Leonardo
Marrupe – Agustín Yurovich
Curso: 2º 1ª Humanidades
Año: 2011
MATERIAL DE CONSULTA:
INTERNET WIKIPEDIA, YAHOO RESPUESTAS, YOUTUBE
BIBLIOGRAFIA “MATEMATICA” Números reales. El lenguaje del álgebra. Funciones.
Polinomios. Proporcionalidad y semejanza. Trigonometría. Vectores – Editorial Santillana