Aritmética

1. ARITMÉTICA
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo Semestral Intensivo San Marcos
Docente: Oscar Espinoza Anccasi

2. Proporciones

3. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
PROPORCIÓN
Es la igualdad entre dos razones
de la misma clase.
Las proporciones pueden ser
proporción aritmética o
proporción geométrica
C U R S O D E A R I T M É T I C A

4. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Proporción Aritmética
Es la igualdad de dos razones aritméticas
C U R S O D E A R I T M É T I C A
Ejemplo
• 24 − 18 = 6
• 15 − 9 = 6
24 − 18 = 15 − 9
términos medios
términos extremos
En General
a − b = c − d
Donde
• a y d son términos extremos
• b y c son términos medios
Propiedad
La suma de los
términos extremos
En toda proporción aritmética se cumple
=
La suma de los
términos medios
Si tenemos las razones aritméticas
Podemos generar la proporción aritmética

5. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Tipos de proporción aritmética
C U R S O D E A R I T M É T I C A
Proporción aritmética
discreta
Proporción aritmética
continua
Sus términos medios son
diferentes
Sus términos medios son
iguales
a – b = c – d a – b = b – c
Donde:
d : es la cuarta diferencial
de a, b y c
Donde:
c: es la tercera diferencial
de a y b
b: es la media diferencial
de a y c
b =
𝐚+𝐜
𝟐
Se cumple
Aplicación 1:
¿Cuál es la cuarta diferencial de 27, 14 y 75?
Resolución
27 14
− = 75 x
−
13 = 75 x
−
x = 62
Aplicación 2:
¿Cuál es la media diferencial de 64 y 28?
Resolución
64 x
− = x 28
−
2x = 92
x = 46

6. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Proporción Geométrica
Es la igualdad de dos razones geométricas
C U R S O D E A R I T M É T I C A
Ejemplo
24
12
=
términos medios
términos extremos
En General
Donde
• a y d son términos extremos
• b y c son términos medios
Propiedad
El producto de los
términos extremos
En toda proporción geométrica se cumple
=
El producto de los
términos medios
10
5
2
= 2
24
12
=
10
5
a
b
=
c
d
Si tenemos las razones geométricas
•
•
Podemos generar la proporción geométrica

7. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Tipos de proporción geométrica
C U R S O D E A R I T M É T I C A
Proporción geométrica
discreta
Proporción geométrica
continua
Sus términos medios son
diferentes
Sus términos medios son
iguales
Donde:
d : es la cuarta
proporcional de a, b y c
Donde:
c: es la tercera
proporcional de a y b
b: es la media
proporcional de a y c
b = 𝒂. 𝒄
Se cumple
Aplicación 1:
¿Cuál es la cuarta proporcional de 10, 15 y 18?
Resolución
Aplicación 2:
¿Cuál es la media proporcional de 20 y 45?
Resolución
a
b
=
c
d
a
b
=
b
c
10
15
=
18
x
10 x = 270
x 27
=
20
x
=
x
45
900 = x2
30 x
=

8. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Observaciones referentes a las proporciones
C U R S O D E A R I T M É T I C A
Observación 1 Observación 3
Observación 2
Si en problema solo se indica la palabra proporción,
se entenderá que hace referencia a la proporción
geométrica
A partir de una proporción geométrica se pueden
obtener otras proporciones geométricas.
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
= k entonces
Si
•
𝑎+𝑏
𝑏
=
𝑐+𝑑
𝑑
•
𝑎
𝑎+ 𝑏
=
𝑐
𝑐+ 𝑑
•
𝑎 + 𝑏
𝑎 − 𝑏
=
𝑐 + 𝑑
𝑐 − 𝑑
•
𝑎 −𝑏
𝑎
=
𝑐 −𝑑
𝑐
En una proporción geométrica continua, todos los
términos, excepto el ultimo se pueden expresar en función
del ultimo termino y la constante de proporcionalidad.
a
b
=
b
c
= k
dk2
dk
=
dk
d
= k

9. Igualdad de
razones
geométricas

10. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Igualdad de razones geométricas
Es la expresión que se obtiene al igualar dos o mas
razones geométricas equivalentes.
C U R S O D E A R I T M É T I C A
Ejemplo
15
=
Si tenemos las siguientes razones geométricas
En General
Donde
• 𝑎1 ; 𝑎2 ; 𝑎3 ; … ; 𝑎𝑛 son los antecedentes
• 𝑏1 ; 𝑏2 ; 𝑏3 ; … ; 𝑏𝑛 son los consecuentes
• k es la constante de proporcionalidad
Además
3
15
5
= 3
𝑎1
𝑏1
=
12
4
= 3
Se puede general una igualdad de razones geométricas
9
3
= 3
5
9
=
3
12
=
4
consecuentes
antecedentes
constante de
proporcionalidad
𝑎2
𝑏2
=
𝑎3
𝑏3
=
𝑎𝑛
𝑏𝑛
=
… k
1°termino
2° termino
= k
3°termino
4° termino
=
5°termino
6° termino
=

11. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Propiedades de la igualdad de razones geométricas
C U R S O D E A R I T M É T I C A
Propiedad 1
10
=
5
6
=
3
18
=
9
2
10
=
5
2
+ 6
3
+
18
=
9
2
10
5
−
−
10
=
5
2
+ 18
9
+
6
−
3
−
Si
suma y/o diferencia de antecedentes
= k
suma y/o diferencia de consecuentes
Propiedad 2
10
=
5
6
=
3
18
=
9
2
10
=
5
22
× 6
3
×
10
=
5
6
3
×
×
Si
producto de antecedentes
=
producto de consecuentes
18
×
9
×
23
kn
n : cantidad de razones que se multiplican

12. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Igualdad de razones geométricas continua
Es aquella igualdad de razones geométricas donde
a partir de la segunda razón , todo antecedente es
igual al consecuente de la razón anterior.
C U R S O D E A R I T M É T I C A
Ejemplos
54
=
En General
3
a
b
=
18
18
=
6
6
=
2
b
c
=
c
d
= k
16
=
24
24
=
36
36
=
54
2
3
Observación
En una igualdad de razones geométrica continua, todos los
términos, excepto del ultimo se pueden expresar en
función del ultimo termino y la constante de
proporcionalidad.
a
b
=
b
c
=
c
d
= k
= =
dk2
d
= k
dk2
dk3
dk3
dk4
•
•

13. w w w . a d u n i . e d u . p e