Este documento presenta los objetivos y contenidos de una sesión de clase sobre magnitudes y proporcionalidad. Se estudiará el reparto proporcional simple y compuesto, la regla de compañía y sistemas de engranajes, y la proporcionalidad en problemas de obras. Se resuelven ejemplos de reparto proporcional directo e inverso, aplicación de la regla de compañía y cálculo de vueltas en engranajes.

2. Docente: ADUNI
Tema: MAGNITUDES II
(SEMANA 5)
ARITMÉTICA

3. O B J E T I V O S
Estudia el reparto proporcional en sus
formas simple y compuesta .
1
Estudiar la regla de compañía y los sistemas
de engranajes.
2
Estudiar la proporcionalidad en problemas
de obras.
3

4. INTRODUCCIÓN
En esta sesión de clase trabajaremos algunas aplicaciones usuales en magnitudes que suelen tocarse en exámenes
de admisión. Observa bien las imágenes que se muestran a continuación:
Niños recibiendo propina de sus
padres, por ejemplo: “La propina es
proporcional a su edad”.
En una obra, por ejemplo: “Si los
obreros son muy eficientes, se
necesitan menos de ellos” .
Socios de una misma empresa, por
ejemplo: “La ganancia es
proporcional al capital invertido”.

5. Sean:
𝐴
30
=
𝐵
40
=
𝐶
50
𝟑 𝟒 𝟓
De aquí:
𝐴 = 3𝑘
𝐵 = 4𝑘
𝐶 = 5𝑘
3𝑘 + 4𝑘 + 5𝑘 = 720 12𝑘 = 720
Reemplazando: 𝐴 = 180 ; 𝐵 = 240 ; 𝐶 = 300
RESOLUCIÓN:
Johnny reparte 720 soles directamente proporcional a las
edades de sus 3 trabajadores los cuales son: 30; 40 y 50 años
respectivamente. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?
Sean: 𝐷; 𝐸 y 𝐹 las partes que le corresponde a cada hijo.
RESOLUCIÓN:
𝐷 3 =
× 𝐸 4 =
× 𝐹 6
×
𝐌𝐂𝐌 𝟑;𝟒; 𝟔 = 𝟏𝟐
Entonces:
4𝑘 + 3𝑘 + 2𝑘 = 450
Omar reparte 450 soles entre sus tres hijos en forma
inversamente proporcional al número de faltas que tuvieron en
el colegio que son 3; 4 y 6. ¿Cuánto le corresponde a cada hijo?
𝑘 = 50
Reemplazando: 𝐷 = 200 ; 𝐸 = 150 ; 𝐹 = 100
Por lo tanto, a cada uno le corresponde 180, 240 y 300 soles
Reparto Simple Directo
= 12𝑘
4𝑘 3𝑘
Por lo tanto, a cada uno le corresponde 200, 150 y 100 soles
Reparto Simple Inverso
= 𝑘
𝑑𝑖𝑛𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 :720 soles
𝑑𝑖𝑛𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 :450 soles.
APLICACIÓN 1
APLICACIÓN 2
REPARTO PROPORCIONAL
𝐴; 𝐵 y 𝐶 las partes que le corresponde a cada trabajador.
𝑘 = 60
Por dato:
𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠
𝐸𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
= 𝑐𝑡𝑒
9𝑘 = 450
De aquí:
𝐷 = 4𝑘
𝐸 = 3𝑘
𝐹 = 2𝑘
Por dato:
𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 #𝐹𝑎𝑙𝑡𝑎𝑠 = 𝑐𝑡𝑒
×
2𝑘

6. Se reparte una bonificación de 890 soles entre tres
personas en forma DP al número de hijos que tienen que
son: 2; 3 y 4, e IP al número de tardanzas que tienen que
son 3; 2 y 5 respectivamente. ¿Cuánto le corresponde a
cada uno?
RESOLUCIÓN:
𝐺
=
𝐻
=
𝐽
Sean:
Entonces :
Partes
𝐺
𝐻
𝐽
𝑫𝑷
Número de hijos
3
2
4
Número de tardanzas
𝑰𝑷
𝟑
𝟐
𝟓
MCM(3,2,5)=30
Dividiendoentre 30:
𝐺
20
=
𝐻
45
=
𝐽
24
Reemplazando:
𝐺 = 200 ; 𝐻 = 450 ; 𝐽 = 240
Simplificandose tiene:
Por lo tanto, a cada uno le corresponde 200, 450 y 240 soles
REPARTO COMPUESTO
𝑑𝑖𝑛𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 :890 soles
APLICACIÓN 3
𝐺; 𝐻 y 𝐽 las partes
× 3
2
× 2
3
× 5
4
𝐺 3
2 30
=
𝐻 2
3 30
=
𝐽 5
4 30
× × ×
× × ×
𝐺 = 20𝑘
𝐻 = 45𝑘
𝐽 = 24𝑘
20𝑘 + 45𝑘 + 24𝑘 = 890 𝑘 = 10
89𝑘 = 890
De aquí:
= 𝑘

7. GANANCIA
TIEMPO
DP
CAPITAL
DP
Se concluye que:
; (Tiempo: Cte)
; (Capital: Cte)
Omar y Mateo inician un negocio aportando 3000 y 4000
soles permaneciendo en el negocio 8 y 10 meses
respectivamente. Al terminar el negocio obtuvieron una
ganancia total de 5000 soles ¿Cuánto le corresponde de
dicha ganancia a cada socio?
RESOLUCIÓN:
Aplicandola regla de compañía:
𝐺𝑀𝑎𝑡𝑒𝑜 = 5𝑘
3𝑘 + 5𝑘 = 5000
Reemplazando:
𝐺𝑂𝑚𝑎𝑟
3
Además:
𝐺𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 5000
𝐺𝑂𝑚𝑎𝑟 = 3 625 = 1875
= = 𝑘
𝐺𝑀𝑎𝑡𝑒𝑜
5
=
𝐺𝑂𝑚𝑎𝑟 = 3𝑘 ;
𝑘 = 625
Por lo tanto, les corresponde 3125 y 1875 soles
APLICACIÓN 4
REGLA DE COMPAÑÍA
Tiene por objetivo repartir una ganancia; con respecto a
los capitalesy tiempos de permanencia de los socios.
(𝐺𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎)
𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 (𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜)
= 𝑐𝑡𝑒
×
Graficando:
Omar:
Mateo:
3000
8 meses
4000
10 meses
3
4
𝐺𝑂𝑚𝑎𝑟
3 8
×
𝐺𝑀𝑎𝑡𝑒𝑜
4 10
×
𝐺𝑀𝑎𝑡𝑒𝑜 = 5 625 = 3125

8. ENGRANADAS:
Rueda A
Rueda B
Se cumple:
SISTEMA DE ENGRANAJES
UNIDAS MEDIANTE UN MISMO EJE:
Rueda C
Rueda D
Se cumple:
𝑁° 𝑑𝑒 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝐶 = 𝑁° 𝑑𝑒 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝐷
En un sistema de engranajes, la rueda A de 20 dientes
engrana con la rueda B de 36 dientes. Determine
cuántas vueltas dará B cuando A gire 72 vueltas.
APLICACIÓN 5
RESOLUCIÓN
Piden: El valor de 𝑋.
B
36 dientes
A
20 dientes
𝑋 vueltas
72 vueltas
Se sabe:
(# de dientes)(# de vueltas)= constante
𝑋 = 40 vueltas
20 72 = 36 𝑋
× ×
𝑁° 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑰𝑷 𝑁° 𝑑𝑒 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠
𝐷𝐴 𝑉𝐴 = 𝐷𝐵 𝑉𝐵
× ×
Entonces:

9. # de obreros
Dificultad
Obra
Eficiencia
# de h/d
# de días
Se cumple que:
(#𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠)(#𝑑𝑒 𝑑í𝑎𝑠)(#𝑑𝑒 ℎ/𝑑)(𝐸𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎)
(𝑂𝑏𝑟𝑎)(𝐷𝑖𝑓𝑖𝑐𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑)
= 𝑐𝑡𝑒
Tenga en cuenta que:
𝑫𝑷
𝑫𝑷
𝑰𝑷
𝑰𝑷
𝑰𝑷
APLICACIÓN 6
Se sabe que 8 obreros, construyen 48 metros de un muro
en 15 días. ¿Cuántos días se requieren para que 12 obreros
construyan96 metros del mismo muro?
RESOLUCIÓN:
Por dato:
# Obreros Obra (#metros) #Días
8 48 15
12 96
Piden: El número de días.
𝑎
(#𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠)(#𝑑𝑒 𝑑í𝑎𝑠)
(𝑂𝑏𝑟𝑎)
= 𝑐𝑡𝑒
Sabemos:
8 × 15
48
12 × 𝑎
96
= 𝑎 = 20
Por lo tanto, se requieren de 20 días.
EN UNA OBRA
Reemplazando:

10. BIBLIOGRAFÍA
 Asociación Fondo de Investigadores y Editores.
Aritmética Esencial - Colección Esencial.
Lumbreras Editores, 2014.
 Asociación Fondo de Investigadores y Editores.
Aritmética: Compendio académico de
MATEMÁTICA. Lumbreras Editores, 2008.

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