La Transformada de Fourier

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSIÓN PORLAMAR
ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL
Bachilleres:
Karlos Yrrael Rosas Serra.
C.I.: 26.243.591
V semestre Ing. Civil
Porlamar, 2016

𝑛 = ∑ ( 𝑛
𝑘
)𝑥 𝑘 𝑎 𝑛−𝑘
𝑛
𝑘=0
𝐴 = 𝜋𝑟2
Definicion de la Transformada de Fourier
Sea f(t) una función localmente integrable cuya integral valor absoluto esta
acotada en R. Se define su transformada de Fourier como:
Siendo la anti-transformada o transformada inversa
Estas expresiones nos permiten calcular la expresión F(ω) (dominio de la
frecuencia) a partir de f(t) (dominio del tiempo)
y viceversa. 𝑥+ 𝑎)

Notación: A la función F() se le llama transformada de Fourier de f(t) y
se denota Fo es decir
en forma similar, a la expresión que nos permite obtener f(t) a partir de f(ω) se le llama
transformada inversa de fourier y se denota por f -1 es decir:

Las series de Fourier son útiles para el estudio de señales periódicas pero, desafortunadamente,
este tipo de señales no son tan frecuentes en la práctica como las no-periódicas. Esta situación requiere
el desarrollo de una teor´
nal aperiódica1
definida en todo el intervalo real y denotemos por xT (t) (T > 0)
la señal 2T-periódica que se obtiene a partir de x(t) haciendo xT (t) = x(t) para t ∈ (−T, T] y
extendiendo periódicamente con periodo 2T. Si suponemos que x(t) es suficientemente suave (e.g.,
es C1
(R)), entonces tendremos la identidad
x(t) = xT (t) =
1
2T
∞
k=−∞
T
−T
x(s)e−(πi/T)ks
ds e(πi/T)kt
, para t ∈ (−T, T] (1)
Evidentemente, si hacemos T → ∞ en el segundo miembro de la igualdad anterior, entonces la
igualdad l´ımite será válida para todo t ∈ R y su valor será igual al de la señal de partida x(t).
Ahora, estudiemos qué le sucede al segundo miembro si hacemos T → ∞. Tomando ∆f =
1/(2T) y fk = k∆f, podemos reescribir (1) como
x(t) =
∞
k=−∞
∆f
T
−T
x(s)e−2πifks
ds e2πifkt
, para t ∈ (−T, T]
Ahora bien, |fk+1 − fk| = ∆f = 1/2T ( k ∈ Z ) y, por tanto, podemos interpretar los puntos {fk}
como nodos equiespaciados de una partición de Riemann para la integral l´ımite
∞
−∞
∞
−∞
x(s)e−2πifs
ds e2πift
df
nal
aperiódica x(t)) se satisface la siguiente identidad (llamada: Teorema integral de Fourier):
−∞
∞
−∞
x(s)e−2πifs
ds e2πift
df
∞
x(t) =
Es decir, podemos concluir que (bajo ciertas condiciones restrictivas sobre la suavidad de la se˜
De las series de Fourier a la Transformada de Fourier: primerasconsideraciones
Haciendo el cambio de variable ξ = 2πf, podemos reescribir la anterior fórmula como
x(t) =
1
2π
∞
−∞
∞
−∞
x(s)e−iξs
ds eiξt
dξ
Definición 1 La señal
F(x)(ξ) := x(ξ) :=
∞
−∞
x(s)e−iξs
ds
nal (aperiódica) x(t) ∈ L1
(R).
Definición 2 La señal
F−1
(y)(t) :=
1
2π
∞
−∞
y(ξ)eiξs
dξ
toma el nombre de transformada de Fourier inversa de la señal (aperiódica) y(ξ).
Nota 1 Es evidente que el teorema integral de Fourier se puede reescribir como
x(t) =
1
2π
∞
−∞
∞
−∞
x(s)e−iξs
ds eiξt
dξ
=
1
2π
∞
−∞
F(x)(ξ)eiξt
dξ = F−1
(F(x))(t)
y, de manera análoga,
F(F−1
(y))(ξ) = y(ξ).
toma el nombre de transformada de Fourier de la se˜
atica m´
Sea x(t) una se˜
ıa matem´ as ambiciosa.

La palabra ”transformada” indica que estamos trabajando con una herramienta para transformar
un tipo determinado de problema en otro. De hecho, la transformada de Fourier será útil (como vere-
mos) para simplificar el estudio de la solución de cierto tipo de ecuaciones diferenciales, convirtiendo
el problema de la solución de una ED en un problema de solución de ecuaciones algebraicas. La moti-
vación para dicho estudio está en el hecho de que la transformada de Fourier posee buenas propiedades
algebraicas cuando se aplica a las derivadas sucesivas de una señal, o al trasladar la señal, etc. En este
apartado estudiamos las propiedades más sencillas de la transformada de Fourier.
A continuación exponemos una lista de las propiedades elementales de F(x)(ξ) = ˆx(ξ) (Algunas
de las demostraciones son muy sencillas y las dejamos como ejercicio).
Nota 2 Mantenemos ambas notaciones, F(x) y ˆx para la transformada de Fourier, porque a veces
una de ellas es más cómoda o más clarificadora que la otra. Por otra parte, esto ayuda a que el
estudiante se familiarize con ambas notaciones y, por tanto, le permitirá leer fácilmente diferentes
textos sobre el tema (ya que por ahora no hay acuerdo unánime para la notación en esta materia).
Linealidad La transformada de Fourier es un operador lineal. Más precisamente, si x1, x2 ∈
L1
(R), y a, b ∈ R, entonces ax1 + bx2(ξ) = ax1(ξ) + bx2(ξ).
Traslación en el tiempo. Dado a ∈ R, se tiene que
F[x(t − a)](ξ) = e−iaξ
F[x(t)](ξ) y F[eiaξ
x(t)](ξ) = F[x(t)](ξ − a)
Demostración. En realidad, esta propiedad es trivial: basta hacer un cambio de variable, como
se observa a continuación:
F[x(t − a)](ξ) =
∞
−∞
e−iξt
x(t − a)dt
=
∞
−∞
e−iξ(s+a)
x(s)ds (donde s = t − a)
= e−iaξ
F[x(t)](ξ).
La otra fórmula se demuestra de forma análoga.
Cambios de escala. Si δ > 0 y xδ(t) = δ−1
x(t/δ), entonces
F[xδ](ξ) = F[x](δξ) y F[x(δt)](δξ) = F(x)δ(ξ).
Demostración. De nuevo un simple cambio de variable sirve para nuestros objetivos:
F[xδ](ξ) = δ−1
∞
−∞
e−iξt
x(t/δ)dt
= δ−1
∞
−∞
e−iξδs
x(s)δds (donde s =
t
δ
)
= F[x](δξ)
La demostración de la segunda fórmula es análoga.
b´Teoremas asicos sobre la transformada de Fourier

Derivación. Si x es continua y derivable a trozos, con x (t) ∈ L1
(R), entonces
F(x )(ξ) = iξF(x)(ξ).
Además, si tx(t) es integrable entonces
F(tx(t))(ξ) = iF(x) (ξ).
Demostración. En este caso vamos a utilizar la fórmula de integración por partes, para el cálcu-
lo de ˆx :
ˆx (ξ) =
∞
−∞
e−iξt
x (t)dt
= e−iξt
x(t)
t=∞
t=−∞
+ iξ
∞
−∞
e−iξt
x(t)dt
= iξˆx(ξ)
Antes de continuar desarrollando la teor´ıa, vamos a calcular algunas transformadas de Fourier:
Ejemplo 1 Consideremos la señal escalón
ua(t) =
1 si |t| < a
0 en otro caso
Su transformada de Fourier es
F(ua)(ξ) =
∞
−∞
ua(s)e−iξs
ds
=
a
−a
e−2πiξs
ds =
e−iξs
−iξ
s=a
s=−a
=
e−iaξ
− eiaξ
−iξ
=
cos(−aξ) + i sin(−aξ) − cos(aξ) − i sin(aξ)
−iξ
= 2
sin(aξ)
ξ

Ejemplo 2 Sea x(t) = exp(−|t|). Entonces
x(ξ) =
∞
−∞
e−|t|
e−iξt
dt
=
0
−∞
et
e−iξt
dt +
∞
0
e−t
e−iξt
dt
= −
0
−∞
e−u
eiξu
du +
∞
0
e−t
e−iξt
dt
=
∞
0
e−t
(eiξt
+ eiξt
)dt =
∞
0
2e−t
cos(ξt)dt
= 2 − cos(ξt)e−t ∞
0
+ ξ
∞
0
e−t
sin(ξt)dt
= 2 1 + ξ e−t
sin(ξt)
∞
0
− ξ
∞
0
e−t
cos(ξt)dt
= 2 1 −
1
2
ξ2
x(ξ) ; pues ya hemos visto que
∞
0
e−t
cos(ξt)dt =
1
2
x(ξ).
De modo que
x(ξ) = 2 1 −
1
2
ξ2
x(ξ) = 2 − ξ2
x(ξ)
y, por tanto,
x(ξ) =
2
ξ2 + 1
.
Hay otros ejemplos cuyo cálculo no es tan sencillo como en los casos anteriores. Esto, unido a su
importancia para las aplicaciones, los traslada a la categor´ıa de teoremas:
Teorema 1 Si x(t) = exp(−t2
), entonces x(ξ) =
√
π exp(−ξ2
/4).
Demostración. El primer paso para el cálculo de x(ξ) =
∞
−∞
e−t2
e−iξt
dt consiste en agrupar en un
sólo término el producto e−t2
e−iξt
, de manera que aparezca como exponente un cuadrado perfecto.
As´ı, si tenemos en cuenta que
t +
iξ
2
2
= t2
+ iξt−
ξ2
4
,
resulta que
− t2
+ iξt = −
ξ2
4
− t +
iξ
2
2
y, por tanto,
x(ξ) =
∞
−∞
e−t2
e−iξt
dt =
∞
−∞
e−ξ2
4
−(t+iξ
2 )
2
dt
= e−ξ2
4
∞
−∞
e−(t+iξ
2 )
2
dt,

lo que reduce nuestro problema al cálculo de la integral
∞
−∞
e−(t+iξ
2 )
2
dt.
Para ello, vamos a demostrar el siguiente resultado técnico:
Lema 1 ∞
−∞
e−t2
dt =
√
π.
Demostración. Denotemos por I la integral que queremos calcular: I =
∞
−∞
e−t2
dt. Entonces
I2
=
∞
−∞
e−t2
dt
∞
−∞
e−s2
ds =
∞
−∞
∞
−∞
e−(t2+s2)
dtds.
Si hacemos el cambio de variable a coordenadas polares,
t = ρ cos θ
s = ρ sin θ
,
cuyo Jacobiano es igual a ρ, podemos entonces hacer uso del teorema de integración por cambio de
variables, para obtener que
I2
=
2π
0
∞
0
ρe−ρ2
dρdθ =
2π
0
dθ
∞
0
ρe−ρ2
dρ
= 2π
∞
0
ρe−ρ2
dρ = 2π
−1
2
e−ρ2
∞
0
= 2π
1
2
= π.
Por tanto, I =
√
π.
Tomamos ahora en consideración la fórmula integral de Cauchy, aplicada a la función entera
f(z) = exp(−z2
). Como se trata de una función sin singularidades, la integral γ
exp(−z2
)dz se
anula sobre cualquier curva cerrada γ. Consideramos, pues, la curva γ = γ1 + γ2 + γ3 + γ4, cuyo
grafo es el borde del rectángulo [−R, R] × [0, ξ/2] y que está orientada positivamente (de modo que
γ1 va desde −R hasta R, γ2 va desde R hasta R + iξ
2
, γ2 va desde R + iξ
2
hasta −R + iξ
2
y γ2 va desde
−R + iξ
2
hasta −R). Entonces
0 =
γ
e−z2
dz =
γ1
e−z2
dz +
γ2
e−z2
dz +
γ3
e−z2
dz +
γ4
e−z2
dz
=
R
−R
e−t2
dt −
R
−R
e−(t+iξ
2 )
2
dt.
Como esta igualdad se satisface paa todo R > 0, se concluye que
∞
−∞
e−(t+iξ
2 )
2
dt =
∞
−∞
e−t2
dt =
√
π

y, por tanto,
x(ξ) =
√
πe−ξ2
4 ,
que es lo que quer´ıamos demostrar.
Ya hemos mencionado anteriormente que si la señal es absolutamente integrable en R entonces su
transformada de Fourier es acotada. En realidad, el siguiente resultado, más fuerte, se satisface:
Teorema 2 (Lema de Riemann-Lebesgue) Si x ∈ L1
(R) entonces
l´ım
ξ→±∞
F(x)(ξ) = 0.
Otro resultado importante (y, en principio, inesperado) consiste en que podemos garantizar la con-
tinuidad de x(ξ), para ξ ∈ R, incluso para señales x(t) discontinuas. Más precisamente, se satisface
el siguiente teorema:
Teorema 3 Supongamos que x : R → C; t → x(t) es continua a trozos y absolutamente integrable
(i.e.,
∞
−∞
|x(t)|dt < ∞). Entonces x(ξ) es continua en todo ξ ∈ R.
Demostración. Para demostrar el teorema, vamos a hacer uso de un resultado técnico de análisis real
que no cabe demostrar en un curso del nivel que nos proponemos, pero s´ı podremos utilizar. Se trata
de una versión del teorema de la convergencia dominada de Lebesgue adaptada al contexto en que
nos encontramos:
Teorema 4 (Convergencia dominada, Lebesgue) Supongamos que tenemos una familia de funciones
xh : R → C (h ∈ R), continuas a trozos tales que existe una cierta función g verificando que
|xh(t)| ≤ |g(t)| para todo t, h ∈ R
y
∞
−∞
g(x)dx < ∞. Si además sabemos que existe el l´ımite puntual
x(t) = l´ım
h→0
fh(t); t ∈ R,
entonces
l´ım
h→0
∞
−∞
xh(t)dt =
∞
−∞
(l´ım
h→0
xh(t))dt =
∞
−∞
x(t)dt.
Nota: Para la demostración de este resultado, ver [?].
Ahora podemos demostrar la continuidad de x(ξ). Para ello, fijado ξ ∈ R hacemos los siguientes
cálculos:
x(ξ + h) − x(ξ) =
∞
−∞
x(t)(e−i(ξ+h)t
− e−iξt
)dt
=
∞
−∞
x(t)e−iξt
(e−iht
− 1)dt =
∞
−∞
xh(t)dt,

donde xh(t) = x(t)e−iξt
(e−iht
− 1). Es claro que, para ξ, h, t ∈ R se tiene que
|xh(t)| = |x(t)||e−iξt
||(e−iht
− 1)| ≤ 2|x(t)|
Como g(t) = 2|x(t)| es absolutamente integrable, y existe el l´ımite puntual
l´ım
h→0
xh(t) = x(t)e−iξt
l´ım
h→0
(e−iht
− 1) = 0, t ∈ R;
se concluye que podemos utilizar el teorema de la convergencia dominada, de modo que
l´ım
h→0
(x(ξ + h) − x(ξ)) = l´ım
h→0
∞
−∞
xh(t)dt =
∞
−∞
(l´ım
h→0
xh(t))dt = 0,
que es lo que quer´
x(ξ) es absolutamente integrable, entonces
x(t) ∈ C(R).
Es más, si utilizamos una versión más fuerte del Teorema de la convergencia dominada (ver [?]),
se puede demostrar el siguiente (importante) resultado:
Teorema 5 (Riemann-Lebesgue + Continuidad de ˆx(ξ)) Sean L1
(R) y C0(R) dotados de sus nor-
mas usuales x(t) L1(R) =
∞
−∞
|x(t)|dt y x(t) C0(R) = supt∈R |x(t)|. Entonces F : L1
(R) →
C0(R) es un operador acotado. Lo mismo sucede con el operador transformada de Fourier inversa,
F−1
: L1
(R) → C0(R)
Otra propiedad importante de la transformada de Fourier es el siguiente resultado:
Teorema 6 Supongamos que las funciones x(t)es1t
y x(t)es2t
son continuas a trozos y absolutamente
integrables en toda la recta real, y s1 < s2. Entonces la función
F(z) =
∞
−∞
x(t)e−izt
dt
existe y es holomorfa en la banda
D = {z ∈ C : Imz ∈ (s1, s2)}.
Demostración. Sea z = w + is ∈ D. Entonces, para t ≥ 0, se tiene que
|x(t)e−izt
| = |x(t)|est
≤ |x(t)|es2t
Además, para t ≤ 0, se tiene que
|x(t)e−izt
| = |x(t)|est
≤ |x(t)|es1t
.
Por tanto,
∞
−∞
|x(t)e−izt
|dt ≤
0
−∞
|x(t)|es1t
dt +
∞
0
|x(t)|es2t
dt < ∞.
ıamos probar.
Corolario 1 En las condiciones del teorema anterior, si

Esto demuestra la existencia de F(z) para z ∈ D. Por otra parte, fijados z∗
∈ D, y {zn} → z∗
({zn}n∈N ⊂ D), se tiene que
|F(zn) − F(z∗
)| ≤
∞
−∞
|e−iznt
− e−iz∗t
||x(t)|dt.
Ahora bien, sabemos que l´ımn→∞ |e−iznt
− e−iz∗t
| = 0 (puntutalmente en t ∈ R) y, por tanto, necesi-
tamos (para utilizar el Teorema de Convergencia Dominada) encontrar una función y(t) ∈ L1
(R) tal
que |e−iznt
− e−iz∗t
|x(t) ≤ y(t) para todo t ∈ R y todo n ≥ 0. Es fácil comprobar que la función y(t)
definida por y(t) = 2es2t
|x(t)| si t ≥ 0, y(t) = 2es1t
|x(t)| si t < 0 satisface dichos requisitos. Por
tanto, F es continua en D. Tomamos ahora γ una curva cerrada en D. Entonces, utilizando el teorema
de Fubini, vemos que
γ
F(z)dz =
γ
(
∞
−∞
x(t)e−izt
dt)dz
=
∞
−∞
(
γ
x(t)e−izt
dz)dt (por Fubini)
=
∞
−∞
0dt (por el Teor. Integral de Cauchy)
= 0
y, por tanto , podemos usar el Teorema de Morera para afirmar que F ∈ H(D), que es lo que
quer´ıamos demostrar.
Corolario 2 Si ˆx(ξ) tiene soporte compacto entonces x(t) es la restricción a R de una función entera
x(z).
on y Transformada de Fourier
Dadas dos señales x(t), y(t) absolutamente integrables en R, recordamos que su convolución
está dada por la fórmula
(x ∗ y)(t) =
∞
−∞
x(s)y(t − s)ds.
En realidad, la convolución está bien definida desde el momento en que una de las señales sea acotada
(en R) y la otra sea absolutamente integrable.
Proposición 1 La convolución de señales es una operación conmutativa.
Demostración. Basta hacer el cambio de variables t − s = u, de modo que:
x ∗ y(t) =
∞
−∞
x(s)y(t − s)ds = −
−∞
∞
x(t − u)y(u)du
=
∞
−∞
x(t − u)y(u)du = y ∗ x(t).
Convoluci´

Proposición 2 Si x(t) e y(t) son señales continuas a trozos y absolutamente integrables en R, en-
tonces su convolución, x ∗ y(t) es también una señal absolutamente integrable. Es más, se verifica la
desigualdad
x ∗ y L1(R ≤ x L1(R) y L1(R)
Demostración. Como las señales son absolutamente integrables, podemos utilizar el Teorema de
Fubini, para cambiar el orden de integración en los siguientes cálculos:
x ∗ y L1(R) =
∞
−∞
x ∗ y(t) dt
=
∞
−∞
∞
−∞
x(s)y(t − s)ds dt
≤
∞
−∞
∞
−∞
|x(s)||y(t − s)|dsdt
=
∞
−∞
∞
−∞
|x(s)|ds |y(t − s)|dt (por Fubini)
= x L1(R)
∞
−∞
|y(t − s)|dt = x L1(R) y L1(R),
como quer´ıamos demostrar.
Teorema 7 Supongamos que x, y ∈ L1
(R). Entonces
x ∗ y(ξ) = ˆx(ξ)ˆy(ξ)
Demostración. Ya sabemos que x ∗ y(t) es absolutamente integrable, de modo que podemos utilizar
el teorema de Fubini otra vez en nuestros cálculos:
x ∗ y(ξ) =
∞
−∞
x ∗ y(t)e−iξt
dt
=
∞
−∞
∞
−∞
x(s)y(t − s)ds e−iξt
dt
=
∞
−∞
∞
−∞
x(s)e−iξs
y(t − s)e−iξ(t−s)
dsdt
=
∞
−∞
∞
−∞
x(s)e−iξs
ds y(t − s)e−iξ(t−s)
dt
= ˆx(ξ)
∞
−∞
y(t − s)e−iξ(t−s)
dt
= ˆx(ξ)ˆy(ξ),
que es lo que quer´
on anterior es útil en teor´ıa de señales, puesto que los
filtros son normalmente operadores de convolución y, usando el resultado anterior, podemos convertir
ıamos demostrar.
Evidentemente el teorema de convoluci´

una operación relativamente complicada (la convolución de señales en el dominio del tiempo) en
otra muy sencilla (el producto de señales en el dominio de la frecuencia). Esto lleva a pensar que
quizás cierto tipo de problemas que se plantean de forma natural en el dominio del tiempo se puedan
trasladar (v´ıa la transformada de Fourier) al dominio de la frecuencia, donde (supuestamente) serán
más fáciles de resolver. En tal caso, una vez obtenida la solución en el dominio de la frecuencia,
será necesario llevársela al domino del tiempo v´ıa una transformación que deberá funcionar como el
operador inverso de la transformada de Fourier. Con esto, queda motivado el contenido de la siguiente
sección.
En las secciones anteriores llegamos mediante una serie de argumentos heur´ısticos a la expresión
x(t) =
1
2π
∞
−∞
F(x)(ξ)eiξt
dξ.
Ahora vamos a estudiar en detalle bajo qué condiciones sobre la señal x(t) se satisface dicha fórmula.
De la misma forma que no fue sencillo el estudio de la convergencia de las series de Fourier, la
respuesta a la pregunta que nos formulamos ahora no es trivial en absoluto. Para empezar, pudiera
suceder que F(x) = x /∈ L1
(R) y, por tanto, la expresión
∞
−∞
F(x)(ξ)eiξt
dξ no sea convergente. Un
ejemplo de que esto es perfectamente posible lo da la identidad (que ya demostramos en su momento)
F(ua)(ξ) = 2
sin(aξ)
ξ
.
por otra parte, aún en el caso de que x ∈ L1
(R) es posible que para comprobar la fórmula
x(t) =
1
2π
∞
−∞
∞
−∞
x(s)e−iξs
ds eiξt
dξ
no baste con substituir por el valor de x(s) y realizar el cálculo de la integral doble, pues podr´ıa suced-
er que no podamos hacer ciertas operaciones como, por ejemplo, intercambiar el orden de integración
(debido a que no hay convergencia absoluta para la integral doble).
Pero podemos intentar lo siguiente:
Primero multiplicamos el integrando x(ξ) por una función Φε(ξ) que decrezca muy rápido para
ξ → ±∞ pero que, si hacemos ε → 0, se aproxime uniformemente a la función 1. De esta
forma, para ε > 0 fijo, podemos hacer las cuentas (intercambiar el orden de integración, etc)
pues la correspondiente integral doble es absolutamente convergente.
A continuación intentamos llegar a nuestro resultado tomando ε → 0.
Existen varias elecciones de Φε(ξ) que funcionan (y, por tanto, existen varias versiones del Teore-
ma Integral de Fourier2
). Una posibilidad es tomar Φε(ξ) = e−ε2ξ2/2
y, de hecho, el correspondiente
teorema es muy usado para el estudio de procesos estocásticos. Nosotros vamos a elegir Φε(ξ) de
El teorema integral de Fourier

forma un poco más drástica. Tomamos: Φε(ξ) = χ[−1
ε
, 1
ε
](ξ), lo que es equivalente a interpretar la
integral
∞
−∞
eiξt
x(ξ)dξ como su valor principal. Es decir, para nuestro teorema, no suponemos la
convergencia de la integral impropia en el sentido estricto sino que interpretamos que denota su valor
principal,
v.p
∞
−∞
x(ξ)eiξt
dξ = l´ım
r→∞
M
−M
x(ξ)eiξt
dξ.
De esta forma, llegamos a demostrar el siguiente (importante) resultado:
Teorema 8 (Teorema Integral de Fourier) Supongamos que x(t) es continua a trozos, absoluta-
mente integrable en R, en cada punto admite ambas derivadas laterales, y que en los puntos de
discontinuidad está definida como
x(t) = (x(t+) + x(t−))/2.
Entonces
x(t) = l´ım
M→∞
1
2π
M
−M
eiξt
x(ξ)dξ =
1
2π
v.p
∞
−∞
eiξt
x(ξ)dξ (t ∈ R)
Demostración. Utilizamos el teorema de Fubini para ver que
1
2π
M
−M
x(ξ)eiξt
dξ = 1
2π
M
−M
∞
−∞
x(s)e−iξs
ds eiξt
dξ
= 1
2π
∞
−∞
x(s)
M
−M
e−iξs
eiξt
dξ ds
= 1
2π
∞
−∞
x(s) eiξ(t−s)
i(t−s)
ξ=M
ξ=−M
ds
= 1
2π
∞
−∞
x(s)2 sin(M(t−s))
t−s
ds
= 1
π
t
−∞
x(s)sin(M(t−s))
t−s
ds + 1
π
∞
t
x(s)sin(M(t−s))
t−s
ds
Si hacemos el cambio de variable u = s − t, entonces
1
2π
M
−M
x(ξ)eiξt
dξ =
1
π
0
−∞
x(u + t)
sin(Mu)
u
du +
1
π
∞
0
x(u + t)
sin(Mu)
u
du.
Vamos a demostrar que
1
π
∞
0
x(t + u)
sin(Mu)
u
du =
x(t+)
2
y
1
π
0
−∞
x(u + t)
sin(Mu)
u
du =
x(t−)
2
.
En realidad, basta que hagamos una de estas pruebas (la otra es análoga). Lo primero que hacemos es
descomponer la integral 1
π
∞
0
x(t + u)sin(Mu)
u
du en dos trozos, como sigue
1
π
∞
0
x(t + u)
sin(Mu)
u
du =
1
π
π
0
x(t + u)
sin(Mu)
u
du +
1
π
∞
π
x(t + u)
sin(Mu)
u
du

(la elección de la constante π no es, de todas formas, significativa). La función
y(t) =
1
π
x(t+u)
u
si u ≥ π
0 si u < π
es continua a trozos y absolutamente integrable en R, de modo que podemos utilizar el Teorema de
Riemann Lebesgue para garantizar que
l´ım
M→∞
∞
−∞
y(t) sin(Mt)dt = 0
Por tanto, l´ımM→∞
1
M
∞
π
x(t+u)
u
sin(Mu)du = 0 y sólo tenemos que estudiar el l´ımite
l´ım
M→∞
1
π
π
0
x(t + u)
sin(Mu)
u
du.
Ahora bien, sabemos que h(u) = x(t+u)−x(t+)
u
es continua a trozos y, por tanto, también como conse-
cuencia del Teorema de Riemann-Lebesgue, se tiene que
l´ım
M→∞
1
π
π
0
x(t + u)
sin(Mu)
u
du
= l´ım
M→∞
1
π
π
0
x(t + u) − x(t+
)
u
sin(Mu)du + x(t+
)
π
0
sin(Mu)
u
du
= l´ım
M→∞
x(t+
)
π
π
0
sin(Mu)
u
du
Si hacemos el cambio de variable s = Mu, obtenemos que du
u
= ds
s
y, por tanto,
l´ım
M→∞
π
0
sin(Mu)
u
du = l´ım
M→∞
πM
0
sin(s)
s
ds =
∞
0
sin(s)
s
ds
La demostración del teorema se concluye si tenemos en cuenta que
∞
0
sin(s)
s
ds = π
2
, hecho que
separamos en forma de nota.
Nota 3 Veamos que
∞
0
sin(s)
s
ds = π
2
. Como sin(s)
s
es continua en [0, ∞), la integral impropia será con-
vergente si y solo si lo es la integral
∞
a
sin(s)
s
ds para alguna elección de a > 0. Para demostrar esto
último, hacemos integración por partes.
∞
a
sin(s)
s
ds =
− cos s
s
s=∞
s=a
+
∞
a
sin(s)
s2
ds
Ahora bien, sin s
s2 ≤ 1
s2 y
∞
a
1
s2 ds < ∞. Esto demuestra que nuestra integral impropia existe.
Teniendo en cuenta que sin u
u
es una función continua concluimos que la integral impropia
∞
0
sin(s)
s
ds
se podrá representar como
∞
0
sin(s)
s
ds = l´ım
Rn→∞
Rn
0
sin(s)
s
ds

para alguna elección de la sucesión {Rn}∞
n=0. Para hacer efectivos los cálculos, tomamos Rn =
(n + 1
2
)π, de modo que
∞
0
sin u
u
du = l´ım
n→∞
π
0
sin((n + 1/2)t)
t
dt
= l´ım
n→∞
π
0
2 sin(1
2
t)
t
sin((n + 1/2)t)
2 sin(1
2
t)
dt
= l´ım
n→∞
π
0
2 sin(1
2
t)
t
Dn(t)dt
=
π
2
l´ım
t→0+
2 sin(1
2
t)
t
=
π
2
,
Esto finaliza la prueba.
nales Generalizadas
Uno de los problemas que tiene el concepto de transformada de Fourier es que para calcular F(x)
es necesario asumir que x ∈ L1
(R) o, mediante el argumento explicado en la seccióón anterior, tam-
bien podemos ampliar dicho cálculo al caso en que x(t) es una señal de energ´
nales en espacios menos restrictivos?. Por ejem-
plo, ¿es posible definir F(x) cuando x ∈ Lp
(R), p ∈ (1, ∞)? (Una idea podr´ıa ser considerar los
elementos de Lp
(R) como funciones generalizadas).
Si tenemos en cuenta que para toda funci´
ıa finita, x ∈ L2
(R).
¿Podemos definir la transformada de Fourier de se˜
Transformada de Fourier de Se˜
on φ ∈ S se tiene que F (φ) ∈ S, entonces
podemos definir transformada de Fourier de una señal generalizada x 2 G del siguiente modo
Definici´
F(x){φ} = x{F(φ)}
También usamos la notación
on anterior se está utilizando la caracterización de las funciones generalizadas
como distribuciones temperadas (i.e., funcionales continuos h : S → C). Ver Teorema ??.
El concepto que acabamos de introducir permite hacer un uso muy extenso de las transformadas de
Fourier ya que en principio no hay grandes restricciones para las funciones generalizadas. En particu-
lar, esto se hará notar en el estudio del teorema del muestreo clásico. Ahora, para que la transformada
de Fourier que acabamos de introducir sea útil es imprescindible comprobar que las propiedades
básicas de la transformada de Fourier cl´
on generalizada arbitraria. Definimos su transformada de Fourier
(generalizada) F(x) mediante la f´
asica se conservan.
on 4 Sea x ∈ G una funci´
ormula siguiente:
x = F(x).
Nota 5 En la definici´

on de Fourier para señales generalizadas) Sea x(t) ∈ G una fun-
ción generalizada. Entonces para toda señal φ ∈ S se tiene que
1
2π
x{φ(t)} = x{φ(−t)},
y, por tanto, podemos afirmar que x(t) = 1
2π
x(−t).
Demostración. Sean x ∈ G y φ ∈ S. Entonces
1
2π
x{φ(t)} =
1
2π
∞
−∞
x(t)φ(t)dt
=
1
2π
∞
−∞
x(t)φ(t)dt
=
∞
−∞
x(t)φ(−t)dt
= x{φ(−t)}
ervese con qué facilidad hemos podido demostrar el teorema de inversión para señales
generalizadas, a pesar de lo dificil que fue su prueba para las señales ordinarias. Ahora bien: dicha
simplicidad es engañosa puesto que nuestra prueba descansa sobre el hecho de que se conoce el
teorema de inversión de Fourier para las funciones φ que están en la clase de Schwartz, que son
señales ordinarias.
Ejemplo 3 Vamos a calcular la transformada de Fourier de la función delta de Dirac δ. Por defini-
ción, F(δ){φ} = δ{F(φ)} = F(φ)(0) y, por tanto,
F(δ){φ} = ˆφ(0) =
∞
−∞
φ(s) · 1ds = 1{φ}.
asica se conservan.
Teorema 10 (Teorema de inversi´
Nota 6 Obs´
para toda señal φ ∈ S. Por tanto, hemos demostrado que F(δ) = 1. Además, utilizando el teorema de
inversión de Fourier, y el hecho de que δ es par, podemos afirmar que F(1)(t) =
ˆˆδ(t) = 2πδ(−t) =
2πδ(t). Además, si consideramos las traslaciones de la señal delta de Dirac, δw(t) = δ(t − w),
entonces obtenemos que
δw{φ} =
∞
−∞
δ(t − w)ˆφ(t)dt
=
∞
−∞
δ(s)ˆφ(s + w)dt
= ˆφ(w)
=
∞
−∞
e−iwt
φ(t)dt
= (e−iwt
){φ},
es decir, δ(· − w)(t) = exp(−wit).

Ejemplo 4 El ejemplo anterior sirve (entre otras cosas) para calcular la transformada de Fourier de
una exponencial compleja, x(t) = exp(iwt). Para ello basta aplicar el Teorema 10, pues
x(t) = δ(· − w)(t) = 2πδ(−t − w) = 2πδ(t + w).
Ejemplo 5 Otro ejemplo importante es el cálculo de la transformada de Fourier del tren de impulsos
III{φ}T = ∞
n=−∞ φ(nT). Claramente, IIIT {φ} = ∞
n=−∞ δ(· − nT) {φ}. Por tanto,
IIIT {φ} =
∞
n=−∞
δ(· − nT){φ}
=
∞
n=−∞
exp(−inTt){φ}
=
∞
n=−∞
φ(nT)
=
2π
T
∞
n=−∞
φ(
2π
T
n) (gracias a la Fórmula de Poisson (3)).
=
2π
T
III2π
T
{φ}.
Es decir, IIIT = 2π
T
III2π
T
.
Teniendo en cuenta la conocida fórmula de derivación de Leibnitz,
(fg)(n)
=
n
k=0
n
k
f(k)
g(n−k)
,
se puede demostrar que si la se˜
entonces, para toda señal φ ∈ S se tiene que αφ ∈ S. Veámoslo. Para ello, calculamos las derivadas
(αφ)(n)
=
n
k=0
n
k
α(k)
φ(n−k)
.
nal α satisface
α(k)
∈ CSG para todo k ∈ N,
Como α(k)
∈ CSG y φ(n−k)
∈ S para todo k ≤ n, se tiene que las funciones α(k)
φ(n−k)
pertenecen a
S para todo k ≤ n y, por tanto, también se tiene que (αφ)(n)
∈ S.
Obviamente, si la señal α satisface la condición (4), podemos definir para toda señal generalizada
x ∈ G, el producto generalizado
(α · x){φ} = x{φ · α}.
Obviamente, si la señal α satisface la condición (4), podemos definir para toda señal generalizada
x ∈ G, el producto generalizado
(α · x){φ} = x{φ · α}.

on de señales generalizadas se puede definir de la siguiente forma: Supong-
amos que las señales β, β , β , · · · pertenecen a S. Entonces, para toda señal x ∈ G se define el
producto de convolución
(β ∗ x){φ} :=
∞
−∞
x(t)(φ ∗ β)(t)dt,
donde β(t) := β(−t).
Vamos a probar que entonces se satisface la siguiente importante propiedad:
Teorema 11 (Producto y Convolución) Sean α(t) verificando (4) y x ∈ G. Entonces
α · x =
1
2π
α ∗ x.
Demostración. Para empezar, si tenemos en cuenta que α verifica (4), entonces β = α satisface las
condiciones necesarias para definir el producto de convolución β ∗ x, puesto que β = α = 2πα.
Sea ϕ ∈ S. Entonces, para toda señal φ ∈ S se tiene que
(ϕα){φ} =
∞
−∞
(ϕα)(t)φ(t)dt
=
∞
−∞
α(t)(φ(t)ϕ(t))dt
=
1
2π
∞
−∞
α(t)(φ ∗ ϕ)(t)dt
=
1
2π
∞
−∞
=
1
2π
∞
−∞
=
1
2π
∞
−∞
(α ∗ ϕ)(t)φ(t)dt =
1
2π
(α ∗ ϕ){φ}
Por otra parte, la convoluci´
lo que demuestra que (ϕα) = 1
2π
(α ∗ ϕ) siempre que ϕ ∈ S. En particular, hemos dado una prueba
expl´ıcita de que para toda señal ϕ ∈ S se tiene que ϕ ∗ α ∈ S y, por tanto, el producto de convolución
α ∗ x{φ} está bien definido.
Terminamos la demostración calculando α · x{φ} expl´ıcitamente:
(α · x){φ} =
∞
−∞
x(t)α(t)φ(t)dt
=
∞
−∞
α(t)(φ(t)x(t))dt
=
1
2π
∞
−∞
α(t)(φ ∗ x)(t)dt
=
1
2π
∞
−∞
=
1
2π
∞
−∞
=
1
2π
∞
−∞
(α ∗ x)(t)φ(t)dt =
1
2π
(α ∗ x){φ}

Ya sabemos que una clase amplia de filtros se pueden representar a través de la convolución
contra la respuesta del sistema LTI al impulso unidad (i.e., Lx = x ∗ h, donde h = Lδ). Si tomamos
la transformada de Fourier a ambos lados de la igualdad, obtenemos que el sistema LTI se puede
representar en el dominio de la frecuencia como
y = F(Lx) = F(x)F(h) = x · h
Generalmente, se emplea la notación siguiente: X(w) = x(w) representa la entrada del sistema e
Y (w) = y(w) representa la salida del sistema (ambas en el dominio de la frecuencia). En tal caso, la
señal H(w) = h(w) caracteriza completamente el sistema (en el dominio de la frecuencia). La señal
H(w) recibe el nombre de función de transferencia del sistema. Evidentemente, la fórmula
Y (w) = X(w)H(w),
que describe completamente el sistema en el dominio de la frecuencia, es más sencilla (en principio)
que la correspondiente fórmula en el dominio del tiempo. Esto, además, posee importantes aplica-
ciones para el diseño de filtros: veamos por qué.
3. Transformada de Fourier y sistemas LTI: diferentes tipos de
filtros
Consideremos la señal exponencial truncada:
xT (t) = eiwt
χ[−T,T](t) =
eiwt
|t| ≤ T
0 otro caso
y sea L un filtro con respuesta al impulso unidad dada por (Lδ)(t) = h(t). Entonces se tiene que
(LxT )(t) = (xT ∗ h)(t) =
∞
−∞
xT (t − s)h(s)ds
=
T+t
T−t
eiw(t−s)
h(s)ds
= eiwt
T+t
T−t
e−iws
h(s)ds
Si ahora tomamos l´ımite T → ∞ en ambos miembros de la igualdad, entonces obtenemos que
L(eiwt
)(t) = h(w)eiwt
.
Es decir: eiwt
es un autovector del operador L y su autovalor asociado es precisamente H(w) = h(w).
Esto nos lleva a considerar el siguiente concepto:
Definición 5 Sea H(w) = A(w)e−iΦ(w)
la función de transferencia del filtro L, donde se supone
que A(w) ≥ 0 y Φ(w) ∈ R para todo w. Entonces llamamos espectro de amplitud del sistema a la
función A(w) y espectro de fase a la función Φ(w). Decimos que el sistema no produce distorsión
en las amplitudes si la función A(w) = A0 > 0 es constante. Decimos que el filtro produce un
desplazamiento en la fase si la función Φ(w) es lineal, Φ(w) = wt0. En tal caso, decimos que el
filtro es ideal, ya que no produce distorsión en la fase.

Teorema 12 Supongamos que h(t) = (Lδ)(t), la respuesta al impulso unidad es una señal real.
Entonces el espectro de amplitudes del sistema es una funci´
on impar.
Demostración. Como H(w) = A(w)e−iΦ(w)
= h(w), tenemos que
H(w) =
∞
−∞
e−iwsh(s)ds =
∞
−∞
eiws
h(s)ds = H(−w).
Por tanto,
A(w)e−iΦ(w) = A(w)eiΦ(w)
= H(w) = H(−w) = A(−w)e−iΦ(−w)
,
lo que nos lleva a las igualdades
A(w) = A(−w) (i.e., A es par)
Φ(−w) = −Φ(w) (i.e., Φ es impar),
que es lo que quer´ıamos probar.
A continuación, vamos a describir la construcción de algunos tipos (importantes) de filtros ideales:
Una propiedad sencilla de los espectros de fase y de amplitud de un filtro, es la siguiente:
on par y el espectro de frecuencias del
sistema es una funci´
En el caso de un filtro ideal paso-bajo queremos eliminar la influencia de todas las frecuencias w
que sobrepasen en amplitud una frecuencia dada (i.e., con |w| ≥ w0 para cierto valor fijo w0 > 0),
y no distorsionar la influencia de las frecuencias w que satisfacen |w| < w0. Como el filtro es ideal,
tendremos que Φ(w) = wt0 para cierto t0 fijo. Ambas exigencias nos llevan derechos a la expresión
Hw0 (w) =
e−iwt0
|w| ≤ w0
0 otro caso
.
Como H(w) = h(w), podemos usar el teorema de inversión de la transformada de Fourier para
obtener que la respuesta al impulso unidad del correspondiente sistema LTI viene dada por
hw0 (t) =
1
2π
∞
−∞
Hw0 (w)eiwt
dw =
1
2π
w0
−w0
eiw(t−t0)
dw
=
sin(w0(t − t0))
π(t − t0)
y, por tanto, nuestro filtro está dado por
Lw0 (x)(t) =
∞
−∞
x(s)
sin(w0(t − s − t0))
π(t − s − t0)
ds
un tipo de distorsión sobre el espectro de
amplitudes o el espectro de fases. Esto significa que podr´ıamos tomar como filtro paso todo el sistema
L obtenido como l´ımite del sistema Lw0 calculado en el apartado anterior, para w0 → ∞,
(Lx)(t) = l´ım
w0→∞
∞
−∞
x(s)
sin(w0(t − s − t0))
π(t − s − t0)
ds
=
∞
−∞
x(s)δ(t − t0 − s)ds = x(t − t0)
3.0.1. Filtros ideales paso bajo
3.0.2. Filtros ideales paso todo
En el caso de un filtro ideal paso-todo, no deseamos ning´

Esto demuestra que los únicos filtros ideales paso-todo que existen son las traslaciones en el tiempo.
0 un filtro ideal que elimine todas las componentes de frecuencia de la señal
para frecuencias que satisfacen |w| < w0 para cierto w0 fijo, pero deje intactas las componentes de
frecuencia |w| ≥ w0 (diremos entonces que Sw0 es un filtro ideal paso alto) y sea Lw0 el filtro paso
bajo descrito anteriormente. Entonces Sw0 + Lw0 es forzosamente un filtro paso todo y, por tanto,
(Sw0 x)(t) = x(t − t0) − (Lw0 x)(t) para cierta elección de t0.
3.0.3. Filtros ideales paso alto
Denotemos por Sw
nal
excepto aquellas que están muy cerca de una componente de frecuencia prefijada, wc = 0. Para ello,
fijamos un valor pequeño w0 << wc y entendemos como frecuencias cercanas a wc aquellas para las
que |w − wc| < w0. Como el espectro de amplitudes es par (estamos tratando con señales reales),
el comportamiento cerca de −wc está sujeto a la relación A(−w) = A(w). Como de todas formas
queremos que el filtro sea ideal, la correspondiente función de transferencia debe ser forzosamente de
la forma
Hwc,w0 (w) =
e−iwt0
si máx{|w − wc|, |w + wc|} ≤ w0
0 otro caso
La respuesta al impulso unidad es, por tanto:
hwc,w0 (w) =
1
2π
∞
−∞
Hwc,w0 (w)eiwt
dw
=
1
2π
−wc+w0
−wc−w0
eiw(t−t0)
dw +
1
2π
wc+w0
wc−w0
eiw(t−t0)
dw
=
1
π(t − t0)
{sin((wc + w0)(t − t0)) − sin((wc − w0)(t − t0))}
=
1
3.0.4. Filtros ideales de banda estrecha
En muchas aplicaciones queremos eliminar todas las componences de frecuencia de una se˜
sin(wc(t − t0)) cos(wc(t − t0)).
π(t − t0)

donde φ(n)
es la n-ésima derivada de φ. Denotamos al espacio de Schwartz por el símbolo .
Teorema
Tanto la transformada de Fourier como la transformada de Fourier inversa son aplicaciones lineales
Además vale la fórmula de inversión:
El espacio de Schwartz es invariante con respecto a los operadores diferenciales con coeficientes
polinomiales, es decir de la forma
donde Pk son polinomios.
Debido a las propiedades
y
la transformada de Fourier es una herramienta muy importante para el estudio de las ecuaciones
diferenciales tanto para la teoría como para su resolución práctica.
La transformada de Fourier en el espacio de Schwartz
El espacio de Schwartz consiste de las funciones φ tomando valores complejos, definidas en ℝ e
infinitamente diferenciables tales que para todo y enteros no negativos

En algunas ocasiones se define la transformada con un factor multiplicativo diferente de , siendo
Función Transformada
(Función unitaria de Heaviside)
Tabla de transformadas básicas
frecuente en ingeniería el uso de un factor unidad en la transformada directa y un factor de en la
transformada inversa. A continuación se lista una tabla de funciones y sus transformadas de Fourier
con un factor unidad. Si se desea utilizar otro factor, sólo debe multiplicar la segunda columna por ese
factor.

APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER EN LA
INGENIERÍA
El poder extraordinario y la flexibilidad de las series y transformadas de
Fourier se ponen de manifiesto en la asombrosa variedad de las aplicaciones
que ellas tienen en diversas ramas de la matemática y de la física matemática,
desde teoría de números y geometría hasta mecánica cuántica.
La transformada de Fourier tiene muchas aplicaciones en la ingeniería,
especialmente para la caracterización frecuencial de señales y sistemas
lineales. Es decir, la transformada de Fourier se utiliza para conocer las
características frecuenciales de las señales y el comportamiento de los
sistemas lineales ante estas señales.
La transformada de Fourier se utiliza para pasar una señal al dominio
de frecuencia para así obtener información que no es evidente en el dominio
temporal. Por ejemplo, es más fácil saber sobre qué ancho de banda se
concentra la energía de una señal analizándola en el dominio de la frecuencia.
También sirve para resolver ecuaciones diferenciales con mayor facilidad
y, por consiguiente, se usa para el diseño de controladores clásicos de
sistemas realimentados, si conocemos la densidad espectral de un sistema y
la entrada podemos conocer la densidad espectral de la salida. Esto es muy
útil para el diseño de filtros de radiotransistores.

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