Este documento trata sobre la correlación y el espectro de señales deterministas. 1) Explica cómo clasificar señales en señales de energía finita y señales de potencia media finita, y presenta ejemplos de cada tipo. 2) Introduce el teorema de Parseval para señales de energía finita, el cual establece la equivalencia entre la energía de una señal en el dominio del tiempo y la frecuencia. 3) Discuta brevemente las propiedades de correlación y densidad espectral de energía y potencia

1. Señales y Sistemas I
Correlación y espectro de señales
deterministas
Asunción Moreno
Departamento de Teoría de la Señal y Comunicaciones
Universitat Politècnica de Catalunya (UPC)
<asuncion.moreno@upc.edu>
con la colaboración de Antonio Bonafonte
Junio 2009
v. 1.6

2. ÍNDICE
TEMA 4 Correlación y espectro de señales deterministas _________________ 3
4.1 Energía y Potencia__________________________________________________3
4.1.1 Tipos de señales ______________________________________________________ 4
4.2 Señales de Energía finita. ____________________________________________9
4.2.1 Teorema de Parseval. __________________________________________________ 9
4.2.2 Densidad Espectral de Energía ___________________________________________ 9
4.3 Señales de Potencia media finita._____________________________________10
4.3.1 Señales periódicas. Teorema de Parseval __________________________________ 11
4.3.2 Señales periódicas. Densidad espectral de potencia __________________________ 11
4.3.3 Señales no periódicas _________________________________________________ 14
4.4 Correlación y densidad espectral de Energía ___________________________16
4.4.1 Distancia entre dos señales de energía finita________________________________ 16
4.4.2 Función de correlación mutua o cruzada __________________________________ 17
4.4.3 Función de autocorrelación. ____________________________________________ 19
4.4.4 Correlación y Densidad espectral de Energía a través de sistemas lineales ________ 22
4.5 Correlación y Densidad espectral de potencia de señales de P.M.F. ________23
4.5.1 Correlación de señales de potencia media finita _____________________________ 23
4.5.2 Densidad espectral de potencia__________________________________________ 24
4.5.3 Relaciones de Correlación y Densidad espectral de potencia en sistemas lineales e
invariantes. _________________________________________________________________ 25
4.5.4 Señales periódicas____________________________________________________ 27
4.6 Problemas _______________________________________________________34

3. Tema 4. Correlación y espectro de señales deterministas v1.6 3
TEMA 4 Correlación y espectro de señales deterministas
Una herramienta útil en análisis de señales y sistemas es la correlación. La correlación obtiene
información sobre las señales en base a promediados temporales y su transformada de Fourier permite
obtener funciones de Densidad Espectral de Energía o Potencia, dependiendo de las características de
las señales y sistemas bajo estudio. Esta propiedad es particularmente interesante puesto que la
información puede obtenerse incluso si la señal carece de Transformada de Fourier. Las herramientas
basadas en correlación de señales y su transformada de Fourier, son básicas en el análisis de procesos.
En este capítulo se estudian aplicadas a señales deterministas. El objetivo es facilitar su comprensión y
para ello se desarrolla el significado de la correlación como medida de parecido entre señales, se
establecen las propiedades de la correlación cuando las señales bajo estudio están relacionadas por
sistemas lineales e invariantes. En la colección de problemas se muestra una serie de aplicaciones
donde la utilización de la autocorrelación es básica: medida de tiempo de retardo con aplicación a
sistemas de radar, medida de sistemas lineales e invariantes a partir de señales contaminadas con ruido
o interferencias, y utilización del filtro adaptado en sistemas de comunicaciones digitales.
4.1 Energía y Potencia
En ocasiones, las herramientas a utilizar en la representación de señales vienen condicionadas por
alguna característica de las mismas. En particular, la Energía o Potencia de una señal permite
clasificar el conjunto de señales en señales de Energía finita y señales de Potencia media finita y las
técnicas desarrolladas en este capítulo se aplicarán en función de esta característica.
La energía o potencia de una señal cualquiera, se define de forma similar a la definición en términos
eléctricos. Supongamos una resistencia R con una tensión aplicada v(t), por la que pasa una corriente
i(t)=v(t)/R. La potencia instantánea disipada es
| v (t ) | 2
P (t ) = (4.1)
R
o equivalentemente
P (t ) =| i (t ) | 2 R (4.2)
La energía total y la potencia media se definen como las integrales
∞
E = ∫ P(t )dt (4.3)
−∞
1 T /2
P = lim
T →∞ T ∫−T / 2 P(t )dt (4.4)

4. respectivamente. De una forma equivalente haciendo R=1 se define para cualquier señal x(t):
Energía de una señal
∞
∫ | x(t ) | dt
2
Ex = (4.5)
−∞
Potencia media
T /2
Energía en T 1
∫ | x(t ) | dt
2
Px = lim = lim (4.6)
T →∞ T T →∞ T
−T / 2
4.1.1 Tipos de señales
Atendiendo a la energía o potencia de una señal, éstas se clasifican en:
• Señales de energía finita (E.F.): 0 < Ex < ∞
• Señales de potencia media finita (P.M.F.): 0< Px < ∞
• Señales que no satisfacen ninguna de las propiedades anteriores y no son ni de E.F. ni de P.M.F.
Una señal de E.F. tiene potencia media nula y una señal de P.M.F. tiene energía infinita. Las señales
de E.F. cumplen los criterios de convergencia de la transformada de Fourier. Dentro de este grupo
están todas las señales de duración finita de interés en procesado de señal (variación acotada), y
algunas de duración infinita. Dentro del grupo de señales de P.M.F. se encuentran las señales
periódicas (variación acotada) señales de duración infinita cuya transformada de Fourier se ha
obtenido por medio de funciones de distribución (escalón, rampa, …) y las correspondientes a
procesos aleatorios.
___________________________________________________________________________________
EJEMPLO 4.1
La exponencial causal es una señal de duración infinita y E.F.
x(t)
t
0

5. Tema 4. Correlación y espectro de señales deterministas v1.6 5
x(t ) = e −αt u (t ) α >0
∞
1 (4.7)
∫
E x = e − 2αt dt =
0
2α
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
EJEMPLO 4.2
El escalón es una señal de P.M.F.
x(t)
1
t
−T/2 0 T/2
x(t ) = u (t )
T /2 T /2
1 1 1T
Px = lim
T →∞ T
∫
−T / 2
u 2 (t )dt = lim
T →∞ T
∫ dt = lim T 2 =
0
T →∞
(4.8)
1
=
2
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
EJEMPLO 4.3
Es posible construir señales que no son ni de E.F. ni de P.M.F. Un ejemplo es la señal:
x(t ) = t −α / 2 u (t − 1) 0 <α <1 (4.9)
x(t)
1
t
0 1

6. Por ser α <1, la integral correspondiente al cálculo de la energía
∞
Ex = ∫
1
t −α dα = ∞ (4.10)
diverge. La potencia media
1 T /2 1 (T / 2)1−α − 1
Px = lim
T →∞ T ∫
1
t −α dt = lim
T →∞ T 1−α
(4.11)
El numerador crece con un orden inferior al primero y por tanto al tomar el límite
Px = 0 (4.12)
___________________________________________________________________________________
Un grupo muy importante de señales de P.M.F. lo forman las señales periódicas. Una señal periódica
de periodo T0 tiene la propiedad de que la integral en cualquier intervalo de duración T0 es constante
t 0 + T0 T0
∫t0
x(t )dt = ∫ 0
x(t )dt = ∫< T0 >
x(t )dt (4.13)
donde t0 es una constante arbitraria. Esta propiedad puede aplicarse para simplificar el cálculo de la
Potencia media. Eligiendo el intervalo de integración T de la ecuación (4.6) múltiplo del periodo,
T=MT0 la integral en el intervalo T, es M veces la integral en T0., por lo que
1 T /2 M
lim
T →∞ T ∫
−T / 2
| x(t ) | 2 dt = lim
M →∞ MT0 ∫<T0 >
| x(t ) | 2 dt
y el cáculo de la potencia media coincide con la potencia en un periodo
1
∫ | x(t ) | dt
2
Px = (4.14)
T0
T0
___________________________________________________________________________________
EJEMPLO 4.4
Sea la señal periódica x(t) sinusoidal:
x(t ) = A cos(2πf 0 t + θ ) (4.15)
Sustituyendo x(t) en (4.14) , se obtiene la potencia media

7. Tema 4. Correlación y espectro de señales deterministas v1.6 7
A2 T0 / 2
Px =
T0 ∫ −T0 / 2
cos 2 (2πf 0 t + θ )dt =
A2 T0 / 2 A2 T0 / 2
=
2T0 ∫−T0 / 2
dt +
2T0 ∫
−T0 / 2
cos(4πf 0t + 2θ )dt = (4.16)
A2
=
2
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
EJEMPLO 4.5
Sea la señal periódica x(t) compuesta por un tren de pulsos rectangulares
x(t)
1
t
−T
0
−τ/2 0 τ/2 T
0
∞
⎛ t − nT0 ⎞
x(t ) = ∑ Π⎜
⎝
n = −∞
τ ⎠
⎟ T0 > τ (4.17)
Dado que T0 > τ, la señal Π(t/τ) coincide con un periodo de la señal x(t) y por lo tanto su potencia
media es:
1 T0 / 2 ⎛t⎞ τ
Px =
T0 ∫ Π⎜ ⎟dτ =
−T0 / 2 ⎝ τ ⎠ T0 (4.18)
___________________________________________________________________________________
Las señales formadas por funciones de distribución no están incluidas en ninguno de los tipos
definidos en este apartado, ya que su cuadrado no está definido, Consideraremos no obstante que una
señal de la forma
∞
x(t ) = ∑ α δ (t − t
n = −∞
n n) (4.19)
admite la clasificación anterior dependiendo del valor que tomen los coeficientes αn. Será tratada
como una señal de E.F. si

8. ∞
∑|α
n = −∞
n |2 < ∞ (4.20)
y será tratada como una señal de P.M.F. si se verifica
1
0 < lim
T →∞ T ∑|α n
n |2 < ∞
(4.21)
n :| t n |< T / 2
Donde la suma se extiende a aquellos n tales que se corresponden a tn en el intervalo (-T/2, T/2).
___________________________________________________________________________________
EJEMPLO 4.6
La señal x(t) formada por impulsos
∞
x(t ) = ∑e
n = −∞
− a|n|T
δ (t − nT ), α >0 (4.22)
Será tratada como una señal de E.F. ya que verifica la propiedad (4.20). En efecto, por ser una
secuencia par en n, la suma se puede descomponer
∞ ∞
∑e
n = −∞
− 2α |n|T
= 1+ 2 ∑e
n =1
− 2αnT
(4.23)
y la suma de la progresión geométrica está acotada
∞
e −2αT
∑1
e − 2αnT =
1 − e − 2αT
(4.24)
Sustituyendo (4.24) en (4.23) se obtiene el resultado
∞
1 + e −2αT
∑e
n = −∞
− 2α | n |T
=
1 − e − 2αT
(4.25)
___________________________________________________________________________________

9. Tema 4. Correlación y espectro de señales deterministas v1.6 9
4.2 Señales de Energía finita.
4.2.1 Teorema de Parseval.
Sean las señales de E.F. x(t) e y(t) con transformada de Fourier X(f) e Y(f) respectivamente. El teorema
de Parseval para señales de E.F. establece:
∞ ∞
Ex = ∫ −∞
| x(t ) |2 dt = ∫−∞
| X ( f ) |2 df (4.26)
Demostración:
∞
Ex = ∫ −∞
x(t )x * (t )dt =
∞ ∞
=∫ ∫
x * (t ) X ( f )e j 2πft df dt =
−∞ −∞
∞ ∞
=∫ X ( f )∫ x * (t )e j 2πft dtdf = (4.27)
−∞ −∞
*
∞ ⎡ ∞ ⎤
= ∫−∞
X ( f )⎢
⎣ ∫−∞
x(t )e − j 2πft dt ⎥ df =
⎦
∞
= ∫−∞
| X ( f ) |2 df
Por tanto la energía de una señal puede calcularse conociendo el módulo de su transformada de
Fourier.
4.2.2 Densidad Espectral de Energía
Se define la Densidad Espectral de Energía según:
G xx ( f ) =| X ( f ) |2 (4.28)
E indica cómo está distribuida la energía a lo largo del eje frecuencial. La densidad espectral de
energía tiene las siguientes propiedades:
• Es una señal real por provenir directamente del módulo de una señal.
• Es no negativa como se deduce de su propia definición.
• Si x(t) es real, Gxx(f) es par, ya que X(f) es hermítica
___________________________________________________________________________________
EJEMPLO 4.7

10. En este ejemplo se comprobará el carácter de densidad espectral de energía de la función Gxx(f).
Supongamos una señal de E.F. x(t) con Densidad Espectral de Energía Gxx(f) que se aplica a un filtro
paso banda muy estrecho centrado a la frecuencia fc .
⎧ Δf
⎪1 f − f c <
H( f ) = ⎨ 2 (4.29)
⎪0 resto
⎩
La señal de salida tiene una densidad espectral de energía
G yy ( f ) =| Y ( f ) |2 =| X ( f ) H ( f ) |2 =
= Gxx ( f ) | H ( f ) |2
y la energía total de la señal de salida
f c + Δf / 2 − f c + Δf / 2
Ey = ∫ f c − Δf / 2
G xx ( f )df + ∫
− f c − Δf / 2
G xx ( f )df
(4.30)
G (f)
xx
Gxx(fc)
Δ
f
−fc 0 fc
si Δf es muy pequeño, Gxx(f)≈ Gxx(fc) en el intervalo de integración y si y(t) es real, Gxx(fc)= Gxx(-fc) la
energía se puede aproximar por
Ey≈ 2Gxx(fc) Δf
De manera que las dimensiones de la densidad espectral de energía son efectivamente joule/Hz
___________________________________________________________________________________
4.3 Señales de Potencia media finita.
El tratamiento de las señales de potencia media finita va a hacerse de forma diferenciada según se
trate de señales periódicas o no. La motivación está justificada ya que las propiedades de las señales
periódicas permiten establecer una forma específica para el teorema de Parseval y la densidad
espectral de potencia, por medio del D.S.F. de la señal. Por otra parte las señales de Potencia media

11. Tema 4. Correlación y espectro de señales deterministas v1.6 11
finita no tienen, en contraposición a las señales de E.F., una densidad espectral de potencia
relacionada explícitamente con la transformada de Fourier de la señal original , incluso si la señal
admite transformada.
4.3.1 Señales periódicas. Teorema de Parseval
La expresión (4.26) no aplica para señales periódicas puesto que la primera integral no converge y el
cuadrado de δ(t) no está definido. Sea una señal periódica de periodo T0 de la forma
∞
x(t ) = ∑ c ( m)e
m = −∞
j 2πmt / T0
(4.31)
donde c(m) son los coeficientes de su desarrollo en serie. El teorema de Parseval establece
∞
1
Px =
T0 ∫ <T0 >
| x(t ) | 2 dt = ∑ | c ( m) |
m = −∞
2
(4.32)
Demostración:
1
Px =
T0 ∫
T0
| x(t ) |2 dt =
∞
1
=
T0 ∫
T0
x * (t ) ∑ c ( m)e
m = −∞
j 2πmt / T0
dt =
∞
1
= ∑ c ( m) T ∫
m = −∞ 0 T0
x * (t )e j 2πmt / T0 dt = (4.33)
∞
= ∑ c ( m)c * ( m) =
m = −∞
∞
= ∑ | c ( m) |
m = −∞
2
La potencia de una señal periódica es igual a la suma de las amplitudes al cuadrado de las
componentes armónicas de la señal. Sólo se requiere información del módulo.
4.3.2 Señales periódicas. Densidad espectral de potencia
La densidad espectral de potencia de una señal periódica x(t) definida en (4.31), está formada por
impulsos

12. ∞
S xx ( f ) = ∑ | c ( m) |
m = −∞
2
δ ( f − mf 0 ) (4.34)
Donde f0=1/T0. Al integrar esta función sobre el eje frecuencial, se obtiene la potencia de la señal
como se puede comprobar mediante el teorema de Parseval enunciado en (4.32). Nótese que la
densidad espectral de potencia no es |X(f)|2.
___________________________________________________________________________________
EJEMPLO 4.8
Hallar la potencia de la señal periódica
x(t ) = A cos(2πf 0 t + θ ) + B cos(2πf1t + ϕ ) (4.35)
Donde, para asegurar que x(t) es periódica, el cociente
f0/f1 es entero (4.36)
x(t)
t
−3 0 3
Aplicando la fórmula de Euler, se obtiene directamente la expresión del D.S.F.
A jθ j 2πf 0t A − jθ − j 2πf 0t B jϕ j 2πf1t B − jϕ − j 2πf1t
x(t ) = e e + e e + e e + e e (4.37)
2 2 2 2
y la densidad espectral de potencia es, aplicando (4.34)
A2 A2 B2 B2
S xx ( f ) = δ ( f − f0 ) + δ ( f + f0 ) + δ ( f − f1 ) + δ ( f + f1 ) (4.38)
4 4 4 4
Y la potencia media total se obtiene integrando
A2 B 2
Px = + (4.39)
2 2
En la sección 4.5 se demostrará que no es necesaria la condición (4.36) para que la potencia de x(t)
sea (4.39).

13. Tema 4. Correlación y espectro de señales deterministas v1.6 13
S (f)
xx
f
−8 −6 −4 −2 2 4 6 8
Aplicando la señal x(t) a un filtro paso banda ideal muy estrecho alrededor de la frecuencia f0, se
obtiene a la salida una señal y(t) = A cos(2πf0t + ϕ). La potencia de la señal de salida es A2/2 watt y
coincide con la que se obtendría integrando Sxx(f) alrededor de esta frecuencia, confirmándose así el
carácter de Densidad Espectral de Potencia (watt/Hz) que tiene esta función.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
EJEMPLO 4.9
Hallar la función Densidad Espectral de Potencia y la potencia de la señal definida en el EJEMPLO
4.5.
Los coeficientes de D.S.F. de la señal x(t) son:
1 ⎡ ⎛t ⎞⎤ τ
c ( m) = F ⎢Π ⎜ ⎟⎥ = sinc(mτ / T0 ) (4.40)
T0 ⎣ ⎝ τ ⎠⎦ f = m / T0
T0
y por tanto la Densidad Espectral de Potencia es:
2 ∞
⎛τ ⎞
S xx ( f ) = ⎜ ⎟
⎜T ⎟
⎝ 0⎠
∑ sinc
m = −∞
2
(mτ / T0 )δ ( f − m / T0 ) (4.41)
La potencia media se obtiene integrando Sxx(f)
∞ 2 ∞
⎛τ ⎞
Px = ∫ ⎜ ⎟
⎜T ⎟
⎝ 0⎠
∑ sinc
m = −∞
2
(mτ / T0 )δ ( f − m / T0 )df =
−∞
(4.42)
2 ∞
⎛τ ⎞
=⎜ ⎟
⎜T ⎟
⎝ 0⎠
∑ sinc
m = −∞
2
(mτ / T0 )
Aplicando la fórmula de Poisson al par de transformadas

14. ⎛t⎞
Δ⎜ ⎟ ↔ τ sinc 2 ( fτ ) (4.43)
⎝τ ⎠
Se obtiene fácilmente
∞ ∞
1 ⎛ mT0 ⎞
T0 ∑
m = −∞
τ sinc 2 (mτ / T0 ) = ∑ Δ⎜
m = −∞ ⎝ τ ⎠
⎟ =1 (4.44)
ya que al ser τ < T0 todas las muestras que intervienen en el último sumatorio son nulas excepto la
correspondiente a m = 0. Sustituyendo en la expresión (4.42) este resultado se obtiene la potencia
media
τ
Px = (4.45)
T0
___________________________________________________________________________________
4.3.3 Señales no periódicas
Para hallar la potencia de una señal por medio de información en el dominio transformado, es
conveniente definir una función auxiliar compuesta por un tramo de duración T de la señal x(t)
⎛t⎞
xT (t ) = x(t )Π⎜ ⎟ (4.46)
⎝T ⎠
Cuya transformada de Fourier es XT(f). La potencia media puede expresarse en función de xT(t)
1 T /2 1 T /2 1 ∞
Px = lim
T →∞ T ∫
−T / 2
| x(t ) |2 dt = lim
T →∞ T ∫−T / 2
| xT (t ) |2 dt = lim
T →∞ T ∫
−∞
| xT (t ) |2 dt (4.47)
Al ser xT(t) una señal de duración finita, podemos afirmar que es de E.F. y por lo tanto aplica el
teorema de Parseval para señales de E.F.
∞ ∞
∫
−∞
| xT (t ) | 2 dt = ∫
−∞
| X T ( f ) | 2 df (4.48)
Sustituyendo (4.48) en (4.47) e intercambiando el límite y la integral se obtiene una expresión para el
cálculo de la potencia a partir de información en el dominio transformado
∞ | X T ( f ) |2
Px = ∫ lim
− ∞ T →∞ T
df (4.49)
La ecuación (4.49) muestra cómo obtener la potencia total a partir de la integral de una función en el
dominio de la frecuencia.

15. Tema 4. Correlación y espectro de señales deterministas v1.6 15
La densidad espectral de potencia se define como
| X T ( f ) |2
S xx ( f ) = lim (4.50)
T →∞ T
Es una función real y positiva y si x(t) es real, es una función par. Debe observarse que la densidad
espectral de potencia no es |X(f)|2 aunque x(t) admita transformada de Fourier
___________________________________________________________________________________
EJEMPLO 4.10
La señal escalón es una señal de P.M.F. no periódica. Para hallar su densidad espectral de potencia
formamos la señal auxiliar enventanada xT(t)
⎛t⎞ ⎛ t −T / 4 ⎞
xT (t ) = u (t )Π⎜ ⎟ = Π⎜ ⎟ (4.51)
⎝T ⎠ ⎝ T /2 ⎠
que tiene como transformada de Fourier:
T
XT ( f ) = sinc ( fT / 2)e − j 2πfT / 4 (4.52)
2
Sustituyendo XT(f) en (4.50) la densidad espectral de potencia
T sin 2 (πfT / 2)
S xx ( f ) = lim sinc 2 ( fT / 2) = lim (4.53)
T →∞ 4 T →∞ π 2 f 2T
2
|X (f)| /T
T
T/4
f
−2/T 0 2/T
Al tender T a infinito, si f ≠ 0 el denominador crece indefinidamente y el numerador está acotado, por
tanto tiende a cero. Si f=0 el resultado tiende a infinito, por lo tanto la densidad espectral de potencia
del escalón es una delta en el origen de área K. Para calcular K, podemos utilizar el teorema de
Parseval para señales de E.F. puesto que la señal enventanada es de E.F.

16. 2
∞ sin 2 (πfT / 2) 1 ∞ ⎛ t −T / 4 ⎞
K= ∫
−∞ π 2 f 2T
df =
T ∫
−∞
Π⎜
⎝ T /2 ⎠
⎟ dt =
(4.54)
1 T /2 1
=
T ∫ 0
dt =
2
Finalmente, la expresión de la densidad espectral de potencia del escalón
1
S xx ( f ) = δ(f ) (4.55)
2
y la potencia media:
∞ 1
Px = ∫ −∞
S xx ( f )df =
2
(4.56)
Nótese que S xx ( f ) ≠| F [u (t )] |2 .
___________________________________________________________________________________
4.4 Correlación y densidad espectral de Energía
4.4.1 Distancia entre dos señales de energía finita
En un espacio vectorial dotado de un producto escalar, se define la norma de un vector
|| x ||= ( x, x) (4.57)
y distancia entre vectores
d ( x, y ) =|| x − y || (4.58)
En el conjunto de señales se define el producto escalar entre las señales de energía finita x(t) e y(t)
como
∞
( x, y ) = ∫−∞
x(t ) y * (t )dt (4.59)
y la distancia entre señales:
∞
d 2 ( x, y ) = ∫−∞
| x(t ) − y (t ) | 2 dt (4.60)
En general, estamos interesados en buscar la distancia entre dos señales cuando una de ellas se
desplaza τ, es decir, buscamos su parecido para todos sus valores relativos.

17. Tema 4. Correlación y espectro de señales deterministas v1.6 17
∞
∫
d 2 ( x(t + τ ), y (t )) =
−∞
| x(t + τ ) − y (t ) | 2 dt =
(4.61)
∞ ∞ ∞ ∞
=∫ | x(t ) | 2 dt + ∫ | y (t ) | 2 dt − ∫ x(t + τ ) y * (t )dt − ∫ x * (t + τ ) y (t )dt
−∞ −∞ −∞ −∞
Definiendo:
∞
R xy (τ ) = ∫ −∞
x(t + τ ) y * (t )dt (4.62)
La distancia resultante se puede expresar según
d 2 (( x(t + τ ), y (t )) = E x + E y − R xy (τ ) − R xy (τ ) =
*
(4.63)
= E x + E y − 2 Re R xy (τ ) [ ]
Si las señales x(t), y(t) son reales
d 2 (( x(t + τ ), y (t )) = E x + E y − 2 R xy (τ ) (4.64)
La función Rxy(τ) es un indicador de la medida de parecido entre señales. Dado que en la medida de
distancia los valores de Energía son independientes del desplazamiento τ, la distancia entre las señales
será menor para aquellos valores de desplazamiento relativo entre ellas τ, en que Rxy(τ) sea mayor
4.4.2 Función de correlación mutua o cruzada
Se define la función de correlación mutua o cruzada entre dos señales de E.F.
∞ ∞
R xy (τ ) = ∫ −∞
x(t + τ ) y * (t )dt = ∫−∞
x(t ) y * (t − τ )dt (4.65)
Puede demostrarse fácilmente que la correlación cruzada entre dos señales de E.F. se puede expresar
mediante la ecuación de convolución:
R xy (τ ) = x(τ ) ∗ y * (−τ ) (4.66)
Propiedades:
• Es una función acotada por el producto de las energías de las señales
2
Rxy (τ ) ≤ Ex Ey (4.67)
La demostración de esta propiedad se realiza aplicando la desigualdad de Schwarz:

18. 2
2 ∞
R xy (τ ) = ∫ −∞
x(t + τ ) y ∗ (t )dt ≤
∞ ∞
∫ ∫
2 2
≤ x(t + τ ) dt y (t ) dt = (4.68)
−∞ −∞
= Ex E y
El valor máximo se alcanza cuando las señales son proporcionales:
x(t + τ ) = k y (t ) (4.69)
• R xy (τ ) = R * (−τ )
yx (4.70)
Esta propiedad puede demostrarse a partir de la igualdad
*
∞ ⎡ ∞ ⎤
∫−∞
x(t + τ ) y * (t )dt = ⎢
⎣ ∫
−∞
x * (t + τ ) y (t )dt ⎥
⎦
Si x(t) e y(t) son reales, Rxy(τ) = Ryx(− )
τ
• Transformada de Fourier de la correlación cruzada
[ ]
F R xy (τ ) = X ( f )Y ∗ ( f ) = G xy ( f ) (4.71)
A la función Gxy(f) se le denomina Densidad espectral de energía mutua o cruzada. No tiene
sentido físico excepto si x(t) ≡ y(t).
___________________________________________________________________________________
EJEMPLO 4.11
Sean las señales
x1 (t ) = 2 cos πtΠ (t ), x 2 (t ) = Π (t − 2), x 3 (t ) = 3 / 2 Δ (t ) (4.72)
Es inmediato comprobar que todas estas señales tienen la misma energía Exi=1. La correlación cruzada
entre cualquiera de ellas y la señal y(t) = Π(t), también de energía unitaria, está acotada al valor 1,
como puede comprobarse a partir de la propiedad 1. Por la misma propiedad, el valor máximo se
alcanza en la correlación cruzada entre x2(t) y Π(t) y además toma este valor en τ = 2.
x (t) Rx y(τ)
1
1
1.5 1
t τ
−2 2 −2 2

19. Tema 4. Correlación y espectro de señales deterministas v1.6 19
x (t)
2
Rx y(τ)
2
1.5 1
t τ
−2 2 −2 2
x (t)
3
Rx y(τ)
3
1.5 1
t τ
−2 2 −2 2
___________________________________________________________________________________
4.4.3 Función de autocorrelación.
Se define la función de autocorrelación Rxx(τ) de una señal x(t) de E.F. con transformada de Fourier
X(f)
∞
Rxx (τ ) = ∫
−∞
x(t + τ ) x* (t )dt (4.73)
Que puede expresarse alternativamente
R xx (τ ) = x(τ ) ∗ x * (−τ ) (4.74)
Densidad espectral de energía
La transformada de Fourier de la función de autocorrelación de una señal es la densidad espectral de
energía y sí tiene sentido físico
F [Rxx (τ )] = G xx ( f ) (4.75)
Esta propiedad se verifica tomando tomando transformada de Fourier en ambos miembros de la
ecuación (4.74)
F [R xx (τ )] = X ( f ) X * ( f ) =
2
(4.76)
= X( f )
Que es la definición de la densidad espectral de energía (4.28)

20. Propiedades:
• La energía de una señal es el valor de su autocorrelación en el origen
R xx (0) = E x (4.77)
Se demuestra evaluando (4.73) en τ = 0.
• El máximo de la autocorrelación está en el origen.
R xx (τ ) ≤ R xx (0) (4.78)
Se demuestra sustituyendo y(t )= x(t) en (4.67) y aplicando (4.77)
• La autocorrelación es una función Hermítica.
∗
R xx (τ ) = R xx (−τ ) (4.79)
Se demuestra sustituyendo y(t) = x(t) en (4.70).
• Si x(t) es real, su autocorrelación es real y par
R xx (τ ) = R xx (−τ ) (4.80)
• La transformada de Fourier de la autocorrelación es no negativa.
F [R xx (τ )] ≥ 0 ∀f (4.81)
Como se comprueba en (4.76)
• Energía de la suma de dos señales
Sea la señal z(t) formada por la suma de otras dos señales:
z (t ) = x(t ) + y (t ) (4.82)
La función de autocorrelación de z(t) viene dada por:
R zz(τ)=R xx(τ)+R yy(τ)+R xy(τ)+R yx(τ) (4.83)
La energía de z(t) es el valor de su autocorrelación en el origen:
Ez=Ex+Ey+ R xy(0)+ R yx(0) (4.84)
Para que la energía de z(t) sea la suma de las energías de x(t) e y(t), se debe cumplir:
R xy(0)+ R yx(0)=2 R e[R xy(0)]=0 (4.85)
Las señales que cumplen esta propiedad se denominan incoherentes.

21. Tema 4. Correlación y espectro de señales deterministas v1.6 21
Si además se verifica que la correlación en el origen vale cero, las señales se denominan
ortogonales.
R xy(0) = R yx(0) = 0 (4.86)
Finalmente si la correlación cruzada es nula, las señales se llaman incorreladas
R xy(τ) = R yx(τ) = 0 (4.87)
La Figura 1 muestra a la izquierda varias señales y a la derecha su correspondiente función de
autocorrelación. Las señales son pulsos de duración 2.5 seg: rectangular, sinc y chirp (seno de
frecuencia creciente) y todas de energía unitaria. Las funciones de autocorrelación muestran simetría
par, el valor en el origen es Rxx(0) = Ex = 1 y su duración es el doble que la duración de la señal.
1
0.1
0.5
0 0
-0.1 -0.5
-5 0 5 -5 0 5
1
0.1
0.5
0 0
-0.1 -0.5
-5 0 5 -5 0 5
1
0.1
0.5
0 0
-0.1 -0.5
-5 0 5 -5 0 5
a) b)
Figura 1. a) Señales de duración finita: pulso rectangular, pulso sinc y pulso chirp. Las señales tienen
la misma duración y energía. b) autocorrelación de las mismas.

22. 4.4.4 Correlación y Densidad espectral de Energía a través de sistemas lineales
Sea y(t) la señal de salida de un sistema lineal e invariante con respuesta impulsional h(t), cuando a su
entrada se aplica x(t).
∞
y (t ) = x(t ) * h(t ) = ∫−∞
x (t − t ' )h(t ' )dt ' (4.88)
Se verifican las siguientes relaciones:
Rxy (τ ) = Rxx (τ ) ∗ h∗ (−τ ) (4.89)
R yx (τ ) = Rxx (τ ) ∗ h(τ ) (4.90)
R yy (τ ) = Rxx (τ ) ∗ h(τ ) ∗ h∗ (−τ ) (4.91)
La demostración de la propiedad (4.89) puede realizarse expresando y*(t) por medio de la ecuación de
convolución en (4.65)
∞ ⎡ ∞ ⎤
R xy (τ ) = ∫
−∞
x (t + τ ) ⎢
⎣ ∫
−∞
x * (t − t ' )h * (t ' )dt '⎥dt
⎦
(4.92)
Intercambiando el orden de integración
∞ ⎡ ∞ ⎤
R xy (τ ) = ∫
−∞
h * (t ' ) ⎢
⎣ ∫
−∞
x(t + τ )x * (t − t ' )dt ⎥ dt ' =
⎦
∞
= ∫
−∞
R xx (τ + t ' )h * (t ' )dt ' = (4.93)
= R xx (τ ) ∗ h * (−τ )
Las demás propiedades se demuestran fácilmente de forma similar. Tomando transformada de Fourier
se verifican las siguientes propiedades para las densidades espectrales
Gxy ( f ) = Gxx ( f ) H ∗ ( f ) (4.94)
G yx ( f ) = G xx ( f ) H ( f ) (4.95)
2
G yy ( f ) = Gxx ( f ) H ( f ) (4.96)
___________________________________________________________________________________
EJEMPLO 4.12
La correlación cruzada entre la señal y(t) = x(t-td) y la señal x(t)

23. Tema 4. Correlación y espectro de señales deterministas v1.6 23
R yx (τ ) = Rxx (τ ) ∗ δ (τ − t d ) = Rxx (τ − t d )
ya que podemos suponer que y(t) es la salida de un retardador cuando a la entrada se aplica x(t). Por
las propiedades de la autocorrelación, se deduce que la correlación cruzada entre la entrada y la salida
de un retardador tiene un máximo de valor Ex en τ = td.
___________________________________________________________________________________
4.5 Correlación y Densidad espectral de potencia de señales de P.M.F.
4.5.1 Correlación de señales de potencia media finita
La correlación cruzada de señales de Potencia media finita se define mediante la expresión:
1 T /2
Rxy (τ ) = lim
T →∞ T ∫−T / 2
x(t + τ ) y * (t )dt (4.97)
y la función de autocorrelación:
1 T /2
Rxx (τ ) = lim
T →∞ T ∫−T / 2
x(t + τ ) x * (t )dt (4.98)
Propiedades:
Es inmediato comprobar, de forma similar a la del apartado 4.4.2 que las propiedades de la correlación
cruzada de dos señales de P.M.F. son análogas a las de señales de E.F.
R xy (τ ) ≤ Px Py (4.99)
R xy (τ ) = R * (−τ )
yx (4.100)
Con la salvedad de que la ecuación (4.66) no se verifica para señales de P.M.F. La función de
autocorrelación de una señal de P.M.F. verifica:
• El máximo de la autocorrelación está en el origen.
Rxx (τ ) ≤ Rxx (0) (4.101)
• La autocorrelación es una función Hermítica.
∗
R xx (τ ) = R xx (−τ ) (4.102)

24. • Si x(t) es real, su autocorrelación es real y par
R xx (τ ) = R xx (−τ ) (4.103)
• La potencia de una señal es el valor de su autocorrelación en el origen
R xx (0) = Px (4.104)
4.5.2 Densidad espectral de potencia
En el apartado 4.3.3 se definió la densidad espectral de potencia de una señal x(t) como:
1
S xx ( f ) = lim G xT xT ( f ) (4.105)
T →∞ T
siendo xT(t) =x(t)Π(t/T). El teorema de Wiener Kintchine establece que la transformada de Fourier de
la autocorrelación es la Densidad espectral de potencia:
F [Rxx (τ )] = S xx ( f ) (4.106)
Para comprobarlo, basta calcular la correlación de la señal enventanada xT(t) y comprobar que
1
R xx (τ ) = lim R x x (τ ) (4.107)
T →∞ T T T
y tomando transformada de Fourier en ambos miembros de la ecuación y aplicando que xT(t) es una
señal de E.F.
⎡ 1 ⎤
F [R xx (τ )] = F ⎢ lim R xT xT (τ )⎥
⎣T →∞ T ⎦
1
= lim G xT xT ( f ) (4.108)
T →∞ T
= S xx ( f )
___________________________________________________________________________________
EJEMPLO 4.13
Una señal de P.M.F. es el escalón. Su función de autocorrelación

25. Tema 4. Correlación y espectro de señales deterministas v1.6 25
1 T /2
Ruu (τ ) = lim ∫
T → ∞ T −T / 2
u (t + τ )u (t )dt =
1 T /2
= lim
T →∞ T 0 ∫
u (t + τ )dt =
⎧ 1 T /2
⎪ lim
= ⎨T →∞ T −τ / 2
∫
dt τ < 0
(4.109)
1 T
⎪ lim
⎩ T →∞ T 0 ∫
dt τ > 0
⎧ 1 T
⎪Tlim T ( 2 + τ ) τ < 0
= ⎨ →∞
1T
⎪ lim τ >0
⎩ T →∞ T 2
y tomando el límite para los dos casos, se obtiene que la función de autocorrelación es una constante
de valor ½
Ruu(τ) =½ (4.110)
La densidad espectral de potencia es su transformada de Fourier:
Suu(f) = ½ δ(f) (4.111)
Como se obtuvo en el EJEMPLO 4.10
___________________________________________________________________________________
4.5.3 Relaciones de Correlación y Densidad espectral de potencia en sistemas lineales e
invariantes.
Sea un sistema L.I. caracterizado por h(t). La salida y(t) cuando a su entrada se aplica x(t) puede
expresarse por la ecuación de convolución.
∞
∫
y (t ) = x (t ) * h(t ) = x(t − t ' )h(t ' )dt '
−∞
(4.112)
Las relaciones entre las correlaciones de la entrada y la salida son idénticas a las establecidas para
señales de E.F.
Rxy (τ ) = Rxx (τ ) ∗ h∗ (−τ ) (4.113)
R yx (τ ) = Rxx (τ ) ∗ h(τ ) (4.114)
R yy (τ ) = Rxx (τ ) ∗ h(τ ) ∗ h∗ (−τ ) (4.115)

26. Tomando transformada de Fourier se verifican las siguientes propiedades:
S xy ( f ) = S xx ( f ) H ∗ ( f ) (4.116)
S yx ( f ) = S xx ( f ) H ( f ) (4.117)
2
S yy ( f ) = S xx ( f ) H ( f ) (4.118)
A continuación se demuestra la segunda de las relaciones indicadas. El resto de demostraciones es
análogo. Expresando y(t+τ) por medio de la ecuación de convolución (4.112) se obtiene
⎡
T /2 ∞ ⎤
R yx (τ ) = lim
T →∞ ∫ ⎢
−T / 2 ⎣ ∫
−∞
x (t + τ − t ' )h(t ' )dt '⎥x * (t )dt
⎦
(4.119)
Intercambiando el orden de integración
∞ ⎡ T /2 ⎤
R yx (τ ) = ∫
−∞
h(t ' ) ⎢ lim
⎣T →∞ ∫
−T / 2
x(t + τ − t ' )x * (t )dt ⎥ dt ' =
⎦
∞
= ∫
−∞
R xx (τ − t ' )h(t ' )dt ' =
= R xx (τ ) ∗ h(τ )
(4.120)
___________________________________________________________________________________
EJEMPLO 4.14
Medida de tiempo de retardo en señales contaminadas con ruido
La correlación cruzada se utiliza en aplicaciones de detección de pulsos habitualmente contaminados
con ruido. Suponga un sistema de radar que transmite la señal x(t). Esta choca contra un blanco y se
refleja, de forma que en el receptor, localizado en la misma posición que el emisor, se recibe la señal
y(t) = x(t-td) + n(t)
donde td es el tiempo que tarda la señal en ir al blanco y volver y n(t) es ruido que se ha sumado a la
señal. El receptor del radar realiza la correlación cruzada entre y(t) y una copia idéntica de la señal
original. Se tiene
1 T /2
R yx (τ ) = lim ∫
y (t + τ ) x * (t )dt =
T →∞ T −T / 2
1 T /2
= lim
T →∞ T −T / 2 ∫[ x(t − t d + τ ) + n(t + τ )]x * (t )dt =
= Rxx (τ − t d ) + Rnx (τ )

27. Tema 4. Correlación y espectro de señales deterministas v1.6 27
Si la señal y el ruido están incorrelados, (su parecido es nulo), lo cual es habitual ya que están
generados de forma totalmente independiente, Rnx(τ) ≈ 0 , por lo que la correlación cruzada Ryx(τ)
presentará un máximo en τ=td . La detección de la posición del máximo de Ryx(τ) permite hallar td,
que es lo que tarda la señal radar en ir y volver del blanco y dado que la señal de radar se propaga a la
velocidad de la luz, la distancia al blanco será:
d= td/2c
La figura 2 ilustra este comportamiento. Se ha elegido como señal a transmitir x(t) una señal chirp
como la mostrada en la Figura 1. La Figura 2 a) presenta y(t), la señal recibida contaminada con ruido.
La figura 2 b) presenta la correlación cruzada entre y(t) y la señal transmitida x(t). La posición del
pico determina el retardo td buscado.
0.2 10
5
0
0
-0.2 -5
0 5 10 0 5 10
a) b)
Figura 2. a) Pulso Chirp contaminado con ruido, b) Correlación cruzada entre el pulso chirp
contaminado con ruido y el pulso limpio.
___________________________________________________________________________________
4.5.4 Señales periódicas
Correlación de dos fasores
Es interesante estudiar la correlación cruzada de dos fasores porque será básico en el estudio de
señales periódicas. Sean las señales x(t) e y(t) definidas a continuación:
x(t ) = a1e j 2πf1t y (t ) = a 2 e j 2πf 2t (4.121)
Demostraremos que la correlación cruzada tiene la expresión
⎧ 0 f1 ≠ f 2
R xy (τ ) = ⎨ * j 2πf1t (4.122)
⎩a1 a 2 e f1 = f 2
La correlación cruzada entre estos dos fasores se calcula aplicando la definición:

28. 1 T /2
∫ a1e j 2πf1 (t +τ ) a2 e − j 2πf 2t dt =
*
R xy (τ ) = lim
T →∞ T −T / 2
1 T /2
∫ a1a2 e j 2πf1τ e − j 2π ( f1 − f 2 )t dt =
*
= lim (4.123)
T →∞ T −T / 2
1 T /2
= a1a 2 e j 2πf1τ lim ∫ e − j 2π ( f1 − f 2 )t dt
*
T →∞ T −T / 2
Resolviendo el límite de la ecuación
1 T /2 1 sin(π ( f1 − f 2 )T )
lim
T →∞ T ∫−T / 2
e − j 2π ( f1 − f 2 )t dt = lim
T →∞ T π ( f1 − f 2 )
=
= lim sinc(( f1 − f 2 )T ) = (4.124)
T →∞
⎧0 f1 ≠ f 2
=⎨
⎩1 f1 = f 2
Donde para hallar el límite se ha aplicado el hecho de que si las frecuencias son distintas, el
numerador permanece acotado mientras el denominador crece indefinidamente y por tanto el resultado
es cero. Si las frecuencias son iguales, la exponencial en la integral toma el valor 1, la integral toma el
valor T y por tanto el resultado al tomar el límite es 1.
Finalmente, sustituyendo (4.124) en (4.123) se obtiene (4.122). Este resultado indica que la
correlación cruzada (o medida de parecido) entre dos fasores de distinta frecuencia es nula.
Autocorrelación de una señal periódica
Una señal x(t) periódica de periodo T0 verifica la igualdad:
x(t+T0) = x(t)
Aplicando esta propiedad en la definición de la autocorrelación de una señal se obtienen dos
resultados:
La autocorrelación de una señal periódica también es periódica y del mismo periodo de la señal:
1 T /2
R xx (τ ) = lim
T →∞ T −T / 2 ∫
x(t + τ ) x ∗ (t )dt =
1 T /2
= lim
T →∞ T −T / 2 ∫
x(t + τ + T0 ) x ∗ (t )dt = (4.125)
= R xx (τ + T0 )
La autocorrelación de una señal periódica puede calcularse mediante la expresión:

29. Tema 4. Correlación y espectro de señales deterministas v1.6 29
1
R xx (τ ) =
T0 ∫<T0 >
x(t + τ ) x ∗ (t )dt (4.126)
En efecto, al ser el integrando periódico de periodo T0, se verifica que:
t0 +T0 T0
∫t0
x(t + τ ) x ∗ (t )dt = ∫0
x(t + τ ) x ∗ (t )dt =
(4.127)
= ∫<T0 >
x(t + τ ) x ∗ (t )dt
siendo t0 una constante arbitraria
Si elegimos el intervalo T múltiplo de T0, T=MT0 y aplicamos la anterior propiedad, el valor de la
integral en cada intervalo de T0 seg. es el mismo y por tanto se obtiene:
1 T /2
R xx (τ ) = lim
T →∞ T ∫ −T / 2
x(t + τ ) x ∗ (t )dt =
1 MT0 / 2
= lim
M →∞ MT0 ∫ − MT0 / 2
x(t + τ ) x ∗ (t )dt =
(4.128)
M T0 / 2
∫
∗
= lim x(t + τ ) x (t )dt =
M →∞ MT0 −T0 / 2
1
=
T0 ∫ <T0 >
x(t + τ ) x ∗ (t )dt
___________________________________________________________________________________
EJEMPLO 4.15
Hallar la función de autocorrelación de la señal mostrada en la Figura 4.14 a)
∞
x(t ) = ∑ (t − nT )Π(t − nT )
n = −∞
0 0 T0 = 1 seg.
Dado que la autocorrelación de x(t) es periódica, calcularemos la autocorrelación en un periodo.
Elegimos en primer lugar el intervalo –1/2 < τ < 0. La señal x(t+τ) se muestra en la Figura 4.14 b)
para un desplazamiento τ = -0.25. Aplicando (4.128) se obtiene la autocorrelación
τ − 0.5 0.5
Rxx (τ ) = ∫ − 0.5
t (t + τ + 1)dt + ∫
−τ − 0.5
t (t + τ )dt =
-0.5 <τ < 0
1 1 1
= τ2 + τ +
2 2 12
Por ser la autocorrelación una función par, la expresión en un periodo es:

30. 1 2 1 1
R xx (τ ) = τ − |τ | + -0.5 <τ < 0.5
2 2 12
Y la extensión periódica se muestra en la Figura 4.14 c). Finalmente la potencia del diente de sierra
x(t) es
Px = R xx (0) = 1 / 12
x(t)
0.5
t
−2 −1 1 2
−0.5
a)
x(t+τ)
0.5
t
−2 −1 −τ 1 2
−0.5
b)
R (τ)
xx
0.1
τ
−2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2
−0.1
c)
Figura 4.14 a) señal original, b) señal desplazada c) función de autocorrelación

31. Tema 4. Correlación y espectro de señales deterministas v1.6 31
___________________________________________________________________________________
El cálculo de la autocorrelación puede hacerse también a partir del D.S.F. de la señal original:
Sea la señal x(t) periódica de periodo T0, y c(m) los coeficientes de su D.S.F.
∞
x(t ) = ∑ c ( m )e
m = −∞
j 2πmt / T0
(4.31)
Sustituyendo (4.31) en la expresión (4.128), obtenemos el D.S.F. de la autocorrelación:
∞ ∞
1
Rxx (τ ) =
T0 ∫ < T0 >
∑
m = −∞
c(m)e j 2πm (t +τ ) / T0 ∑ c ( n )e
n = −∞
* − j 2πnt / T0
=
∞ ∞
1
= ∑
m = −∞
c * (m)e j 2πmτ / T0 ∑ c ( n) T ∫ e
n = −∞ 0
j 2π ( m − n )t / T0
< T0 >
=
(4.129)
∞
= ∑ c ( m)c ( m )e
m = −∞
* j 2πmτ / T0
=
∞
∑ c ( m)
2
= e j 2πmτ / T0
m = −∞
Ya que la correlación de los fasores a las frecuencias m/T0 y n/T0 es cero salvo cuando n = m.
La expresión (4.129) confirma que la autocorrelación de una señal periódica es también periódica del
mismo periodo, y que los coeficientes de su D.S.F. pierden la información de fase.
Tomando transformada de Fourier, se obtiene la Densidad Espectral de Potencia:
∞
∑ c (m)
2
S xx ( f ) = δ ( f − m / T0 ) (4.34)
m = −∞
___________________________________________________________________________________
EJEMPLO 4.16
Hallar la autocorrelación de una sinusoide.
x(t ) = cos(2πf 0t + θ ) (4.130)
Aplicando la fórmula de Euler, se obtiene de forma inmediata el D.S.F.
1 jθ j 2πf 0 t 1 − jθ − j 2πf 0 t
x(t ) = e e + e e (4.131)
2 2
Identificando los coeficientes del D.S.F. se obtiene:

32. 1 jθ 1 1 − jθ 1
c(1) =| e |= c(−1) =| e |= (4.132)
2 2 2 2
y la función de autocorrelación es:
1 j 2πf 0t 1 − j 2πf 0t
R xx (τ ) = e + e =
4 4 (4.133)
1
= cos(2πf 0 t )
2
Tomando transformada de Fourier, se obtiene la densidad espectral de Potencia
1 1
S xx ( f ) = δ ( f − f0 ) + δ ( f + f0 ) (4.134)
4 4
___________________________________________________________________________________
EJEMPLO 4.16
Se desea hallar el D.S.F. de la autocorrelación y la densidad espectral de potencia de la señal x(t)
definida en el EJEMPLO 4.14. Para resolver este ejercicio, podemos buscar el D.S.F. de la señal x(t) y
aplicar (4.126), o bien hallar directamente el D.S.F. de la autocorrelación cuyo periodo está definido
en el EJEMPLO 4.14. Optaremos por el primero de estos dos métodos. Para hallar el D.S.F. de la
señal x(t), elegimos como función básica
xb (t ) = tΠ (t )
Del par de transformadas
1 d πfcos(πf ) − sin(πf )
tΠ (t ) ↔ sin c( f ) =
− j 2π df − jπ 2 f 2
Obtenemos los coeficientes c(m) del D.S.F.
⎧ 0 m=0
X b (m / T0 ) ⎪ (−1) m
c ( m) = =⎨ m≠0
T0 ⎪ − j 2πm
⎩
Por lo tanto el D.S.F. de la autocorrelación es:
2
⎛ 1 ⎞ j 2πmτ
R xx (τ ) = ∑ ⎜
m≠0 ⎝
⎟ e
2πm ⎠
=
∞
1
= ∑ 2π
m =1
2
m2
cos(2πmτ )

33. Tema 4. Correlación y espectro de señales deterministas v1.6 33
y la densidad espectral de potencia es su transformada de Fourier
∞
1
S xx ( f ) = ∑ 2π
m =1
2
m2
(δ ( f − m) + δ ( f + m))
que se muestra en la Figura 4.16
S (f) x100
xx
3
2
1
f
−8 −6 −4 −2 2 4 6 8
Figura 4.16 Densidad espectral de potencia de la señal del EJEMPLO 4.15
Correlación cruzada de dos señales periódicas.
Sean las señales periódicas
∞ ∞
∑ ∑c
j 2πmf y t
x(t ) = c x (m) e j 2πmf x t y (t ) = y ( m) e (4.135)
m = −∞ m = −∞
Estas dos señales están formadas por suma de fasores. La correlación cruzada entre fasores de distinta
frecuencia es nula, por lo tanto únicamente los fasores comunes en ambas señales, si existen,
contribuirán en el cálculo de Rxy(τ). Los fasores comunes serán aquellos que cumplen: nfx = mfy con n
y m enteros. Llamando fr = Nfx = Mfy, siendo N y M los enteros menores que cumplen la igualdad
anterior, y aplicando (4.122), es fácil comprobar que se obtiene:
∞ ∞
Rxy (τ ) = ∑
m = −∞
cr (m) e j 2πmf r t = ∑ c (mN ) c (mM ) e
m = −∞
x
*
y
j 2πmf r t
(4.136)
La correlación cruzada será cero cuando las dos señales no tengan fasores comunes. Esto ocurrirá
siempre que el cociente fx/fy no sea un número racional

34. 4.6 Problemas
⎛ t ⎞ ⎛ t ⎞ ⎛ t ⎞
4. 1) Sabiendo que ∏⎜ T
⎜ ⎟*∏⎜
⎟ ⎜T ⎟ = T0 Δ⎜
⎟ ⎜T ⎟
⎟
⎝ 0⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠
x(t) y(t)
A A
-T T t -3T 3T t
Fig. 4.1) a)
a) Determine y dibuje la correlación cruzada Rxy(τ)
b) Encuentre Ryx(τ)
c) Obtenga la correlación cruzada de las dos señales de la figura 4.1)b). Relacione Rvz(τ) con
Rxy(τ)
v(t) z(t)
1 1
-3 -1 1 3
-3 3 t t
-1
Fig. 4.1)b)
4.2) Sean y1(t)=x(t)*h1(t), y2(t)=x(t)*h2(t). Calcule Ry1y2 (τ) en función de Rxx(τ) y las respuestas
impulsionales de los filtros
4. 3) Calcule la función de correlación cruzada de x(t) e y(t) definidas por:
a) x(t)=Acos(2πf0t) y(t)=Bcos(2π2f0t)
b) x(t)=Acos(2πf0t) y(t)=Bsen(2πf0t)
c) x(t)=Acos(2πf0t) y(t)=Bsen(2πf1t)
d) x(t)=Acos(2πf0t)+ Bsen(2πf1t) y(t)=sen(2πf1t)
e) x(t)=Acos(2πf0t)+ Bsen(2πf1t) y(t)=sen(2π2f1t)

35. Tema 4. Correlación y espectro de señales deterministas v1.6 35
4. 4) Demuestre que si x(t) e y(t) son dos señales de p.m.f.
a) Rxy(τ) = R*yx(-τ)
b) |Rxx(τ)| ≤ Rxx(0)
4. 5) Demuestre, a partir de la expresión de la función de autocorrelación de una señal de p.m.f
que si x(t) es periódica de periodo T0, Rxx(t) es periódica de periodo T0.
4. 6) Halle la densidad espectral de energía y, a partir de ella, la autocorrelación y la energía de
la señal x(t) =A Π[(t-td)/τ]
4. 7) Halle la densidad espectral de energía y, a partir de ella, la autocorrelación y la energía de
la señal x(t) =A sinc 2W(t-td)
4. 8) Halle la densidad espectral de energía y, a partir de ella, la autocorrelación y la energía de
la señal x(t) =e-atu(t)
4. 9) Halle la autocorrelación y, a partir de ella, la potencia y densidad espectral de potencia de
la señal x(t) = A sgn(t)
4. 10) Sean x(t) e y(t) dos señales de energía finita. ¿bajo qué condiciones Rxy(τ) = Ryx (τ)?
4. 11) Sean x(t) e y(t) dos señales de energía finita y z(t) = y(t-t0). Demostrar que Rxz(τ) =
Rxy(τ+t0) y que Rzx(τ) = Ryx(τ−t0)
4. 12) Se desea medir la respuesta frecuencial de un circuito. Para ello se dispone de las señales
x(t) e y(t) según el esquema de la figura 4. 12) a) Una solución es calcular la transformada
de Fourier de la entrada y la salida y hacer el cociente:
Y(f)
H(f) = X(f)
x(t) y(t) x(t) y(t)
h(t) h(t) +
i(t)
Fig. 4. 12) a Fig. 4. 12) b
(Considere todas las señales reales y de Energía Finita en todo el ejercicio).
a) Demuestre que las siguientes alternativas también son válidas
Gyx(f) Gyy(f)
H1(f) = G (f) H2(f) = G (f)
xx xy
b) Suponga que la medida de y(t) se realiza de forma que se introduce una interferencia i(t)
como se muestra en la figura 4 12) b. Calcule Gyx(f), Gyy(f) y Gxy(f) en función de H(f),
Gxx(f) y Gxi(f).

36. c) Si Gxi(f) = 0. ¿Qué método elegiría para calcular H(f)?. Razone la respuesta.
Y(f) Gyx(f) Gyy(f)
Ho(f) = X(f) , H1(f) = G (f) , H2(f) = G (f)
xx xy
4. 13) Uno de los filtros más utilizados en aplicaciones donde se requiere la detección de pulsos es el
filtro adaptado. Se llama así porque está diseñado o adaptado para maximizar la salida en un
instante determinado siempre que a su entrada se aplique el pulso al que esta adaptado. Tiene la
ventaja adicional de que es “robusto” frente al ruido e interferencias. Sea x(t) una señal real y
acotada con energía Ex y h(t) un filtro real, acotado y con energía Eh . Sea y(t) la salida del
filtro cuando a éste se le aplica x(t)
a) Utilizando la desigualdad de Schwartz, compruebe que la salida siempre está acotada
según la expresión |y(t)|2 ≤ Ex Eh
Compruebe que si el filtro es h(t) = k x(t0-t),
b) La salida y(t) alcanzará la cota Ex Eh en el instante t= to.
c) Relacione y(t) con Rxx(t)
d) Dibuje h(t) causal y de energía unitaria si x(t) es la señal de la figura 4 13). Especifique
para ese filtro el instante en el que la salida será máxima.
x (t)
1
T t
Fig 4 13)
e) Si a la entrada del filtro diseñado en el apartado d) se aplica z(t) = x(t) + n(t), con n(t)
incorrelado con x(t), ¿cuánto valdría el valor máximo de la salida? ¿Cómo influye n(t)?
f) Si la señal de entrada del fltro diseñado en el apartado d) es v(t) = x(t - 4), calcule el
instante en el que la salida es máxima.
4. 14) Se desea diseñar un sistema de mando a distancia que pueda transmitir 4 informaciones
distintas. Cada una de ellas se codificará con un pulso xi(t) de energía Ex y duración T, y se
transmitirá. El receptor mostrado en la siguiente figura consta de una serie de filtros (banco
de filtros adaptados) hk(t) = xk(T-t), un muestreador que toma muestras T segundos después
de recibir la entrada, un comparador y un elemento de decisión que determina la entrada al
comparador cuyo valor es máximo.

37. Tema 4. Correlación y espectro de señales deterministas v1.6 37
v1
h1(t)
T
v2
h2(t) Compara
x i (t) T
i
y
v3
h3(t) decide
T
v4
h4(t)
T
Fig 4. 14) a
a) Relacione yk(t), la salida del filtro k-ésimo con la función de correlación cruzada entre el
pulso xk(t) y el pulso de entrada xi(t)
b) Calcule vk= yk(T) ,el valor de la salida del filtro késimo en el instante T, cuando a la
entrada se aplica xi(t). Distinga k=i, k≠i
c) Calcule los valores obtenidos en cada salida (v1…v4) sabiendo que los pulsos son
ortogonales si a la entrada se aplica x2(t)
d) Elija un conjunto de cuatro pulsos ortogonales entre los presentados en la figura 4. 14) b.
e) Calcule los valores v1 … v4 si el sistema se diseña con los pulsos elegidos en el apartado
anterior y a la entrada se aplica la señal que ha descartado en dicho apartado.
f) ¿Cómo modificaría el esquema para eliminar falsas detecciones por pulsos interferentes
como el anterior?

38. x1(t) x4(t)
1 1
t 1 t
1
-1
x2(t) x5(t)
1 1
1 t 1 t
-1 -1
x3(t)
1
t
1
-1
Fig 4. 14) b
4. 15)Un sistema de control como el de la Fig 4. 14) a gestiona N alarmas diferentes. Cuando la
alarma n-ésima se activa, transmite una señal xn(t) al centro de control. Para detectar cuál es
la alarma activada se utiliza un sistema que consiste en
1. filtrar la señal recibida xn(t) por un conjunto de N filtros en paralelo cada uno de
respuesta impulsional hk(t)=xk(T0-t), k=1,…N,
2. medir la salida yk(t) de cada filtro en el instante T0,
3. comparar los valores yk(T0) k=1,…N
4. buscar el filtro que da máximo valor a la salida en t=T0
5. decidir que la alarma pulsada se corresponde con el número de filtro que proporciona el
valor mayor de la salida en el instante T0
⎛ t − (T0 / 2) ⎞
xn (t ) = sen(2πnf 0t )∏ ⎜
⎜ ⎟
⎟ y k (T0 ) = (x n (t) * h k (t) ) t = T0
⎝ T0 ⎠
a) Dibuje x1(t), x2(t) y x3(t)
b) Calcule la energía de xn(t). Compruebe que todas las señales tienen la misma energía
c) Compruebe que las señales xi(t) y xj(t) son ortogonales si i≠j

39. Tema 4. Correlación y espectro de señales deterministas v1.6 39
d) Relacione la salida del filtro k-ésimo yk(t) cuando a su entrada se aplica xn(t), con n≠ k,
con la correlación cruzada entre xn(t) y xk(t)
e) Calcule yk(T0), la salida del filtro k-ésimo en el instante T0 cuando a su entrada se aplica
xn(t), con n≠ k
f) Calcule yk(T0), la salida del filtro k-ésimo en el instante T0 cuando a su entrada se aplica
xn(t) con n=k
g) Explique porqué funciona el sistema. ¿es importante que las señales xi(t) sean
ortogonales? Razone la respuesta
4. 16)Se desea diseñar un sistema que permita, a personas con discapacidad, averiguar el estado de ciertos
dispositivos (ej. semáforos) sin necesidad de utilizar señalización adicional molesta para otros usuarios.
Supondremos en este ejercicio un dispositivo con dos estados (rojo y verde). El sistema transmite un tren
de pulsos xr(t) mientras está en un estado (rojo) y otro tren de pulsos xv(t) mientras está en el otro estado
(verde). Sea:
N −1 M −1
xr (t ) = ∑ pr (t − nTo ) xv (t ) = ∑ p (t − nT )
v o
n =0 n=0
Donde NTo es el intervalo de tiempo en que el semáforo está en rojo y MT0 es el intervalo de
tiempo en que el semáforo está en verde y en la figura 1 se muestran los pulsos pr(t) y pv(t) de
duración T << T0
pr(t) pv(t)
1 1
t t
-1 T T
-1
a) b)
rojo verde
Decisión r r r r r vvvvv
h(t) por
umbral A
c)
Figura 4 16. a) pr(t). b) pv(t), c) sistema

40. El receptor identifica el pulso transmitido y genera una señal que depende del pulso
identificado y que el usuario puede identificar fácilmente (acústica, táctil, movimiento,
calor…). Para identificar el pulso transmitido la señal recibida se aplica a un filtro de
respuesta impulsional h(t) = pr(T-t). Cuando la salida alcanza el nivel A, el sistema identifica
‘rojo’ mientras que cuando el sistema alcanza el valor –A, el sistema identifica ‘verde’. Se
pide:
a) Determine la función de autocorrelación de pr(t) entre las mostradas en la figura 2.
Justifique razonadamente su elección y preferiblemente sin calcular matemáticamente la
autocorrelación.
T T
a) b) c)
T/2
T T
T -T
-T -T/2 -T/2
-
T T
d) e) f)
T/2
-T/2 T/2
-T/2 T/2 T
-T/2 -T/2
Figura 4.16 b).
b) Calcule la energía de pr(t) y de pv(t)
c) Determine si los pulsos pr(t) y pv(t) son ortogonales.
d) Si a la entrada del receptor llega pr(t) relacione la salida del filtro, v(t), con la
autocorrelación de pr(t). ¿qué ocurre si a la entrada del receptor se aplica pv(t)?
e) Calcule el valor A con el que se compara v(t) y que servirá para identificar si el semáforo
está en rojo o en verde.
f) Justifique que el sistema no funciona si T=T0. Ayúdese de un dibujo de la señal de salida.

41. Tema 4. Correlación y espectro de señales deterministas v1.6 41
4. 17)Un sistema de radar transmite una señal x(t). Al cabo de T segundos, ésta alzanza el blanco y
retorna al punto de partida con una atenuación total α. Además se añade un ruido n(t).. La
señal recibida es por tanto xr(t) =αx(t-2T)+n(t). Suponga que la correlación entre la señal x(t)
y el ruido es constante de valor C. Calcule la correlación cruzada entre x(t) y xr(t). Si el
máximo está en t0, calcule T.