1) La transformada de Fourier y la serie de Fourier son métodos para descomponer señales continuas y discretas en componentes de frecuencia. 2) Estos métodos son útiles para el análisis frecuencial de señales y el diseño de algoritmos de transformada rápida de Fourier. 3) La transformada de Fourier descompone señales aperiódicas mientras que la serie de Fourier se aplica a señales periódicas.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
Extensión San Cristóbal
Transformada de Fourier
Autor:
Luz M. García P.
C.I.:24.152.025
Sección “U”
Profesor: Domingo Méndez
San Cristóbal, julio de 2016

2. Transformada de Fourier
Métodos sobre señales continuas
El análisis frecuencial sobre señales continuas se realiza básicamente a través de
la Serie y la Transformada de Fourier. La importancia de estos métodos radica en
la descomposición de la señal en frecuencia lo cual es muy útil, y el diseño de sus
algoritmos para su cálculo rápido (transformada rápida de Fourier).
 Serie de Fourier (Señales periódicas)
Sea x(t) una señal periódica con frecuencia fundamental f0, entonces se puede
descomponer como:
Donde es un conjunto ortogonal completo (base) para cierta
clase (espacio) de funciones x(t) de dimensión no finita. A esta sucesión se le
llama Serie de Fourier. Se puede demostrar que los coeficientes de Fourier están
dados por:
Donde
0
1
f
TP 
Una clase importante de funciones periódicas para las que existe su serie de
Fourier, es la de integrables en su cuadrado sobre un periodo, esto es:
Otra clase, son las que cumplen las condiciones de Dirichlet:
)1.....(..........)( 02 tjkf
k
k ectx 




 ...2,1,0,02
ke tfkj



PT
t
f
j
P
k dtetx
T
c 0
2
)(
1

 
PT
dttx
2
)(

3. 1. La función x(t) tiene un número finito de discontinuidades en cualquier
periodo.
2. La señal x(t) tiene un número finito de máximos y mínimos en un periodo.
3. La señal x(t) es absolutamente integrable sobre su periodo, esto es:
Estas condiciones son de existencia pero no necesarias.
En general ck son complejos. Si x(t) es real entonces ck y c-k son conjugados
complejos, entonces x(t) se puede escribir como:
donde ki
kk eCC 

Usando la propiedad de la suma coseno
De tiene una tercera representación de la señal como
donde
En esta tercera expresión se observa con mayor sencillez la descomposición de
x(t) en componentes de distintas frecuencias.
Un parámetro importante es la potencia promedio. Como x(t) es periódica, esta
potencia es finita (y energía infinita). Está dada por:
 
PT
dttx )(
)2()2cos(2)(
1
00 



k
kk tkfcctx 
)(sen)2(sen)cos()2cos()2cos( 000 kkk tfktfktfk  
  )3()2(sen)2cos()(
1
000 



k
kk tfkbtfkaatx 
kkk
kkk
cb
ca
ca


sen
cos
00




4. 
PT
P
x dttx
T
P
2
)(
1
Figura1.1: Densidad espectral de potencia
De acuerdo al teorema de Parseval, ésta se puede escribir como
Para señales reales, esta potencia es simétrica y es llamada densidad espectral
de potencia. De la figura 1.1 se puede observar que existe sólo para múltiplos de
la frecuencia fundamental y que el primer cuadrante contiene la información real.
Note también que puede expresarse como:
 





1
222
0
1
2
0
2
1
2
k
kk
k
kx baaccP
Otras gráficas importantes son la magnitud |ck| y la fase ck contra frecuencia.
Por ejemplo, sea el siguiente tren de pulsos:
Figura 1.2 Tren de pulsos
del cual:


























,2,1
fk
)kfsen(
0
2
0
0
2
2
2
k
T
A
k
T
A
c
P
P
k







k
kx cP
2

5. Note que en este caso x(t) es par, entonces los coeficientes de Fourier ck son
reales, en consecuencia, el espectro de fase es nulo.
En las gráficas 1.3 se mantiene el periodo TP constante y se varía el ancho del
pulso .
Figura 1.3
Se observa que al decrecer , es más ancho el espectro de potencia, el
espaciamiento entre líneas se mantiene constante, no depende de .
Fijemos ahora  y variemos TP, manteniendo TP>.
Figura 1.4
Se observa que el espaciamiento entre las líneas espectrales decrece a medida
que TP aumenta.

6.  Transformada de Fourier (Señales aperiódicas)
Una manera intuitiva de presentarla es considerando que una señal aperiódica
tiene un periodo que tiende a .
)(lim)( txtx P
TP 

donde xP(t) es una señal periódica (de periodo TP) formada a partir de x(t) como:
Figura 1.5
Donde
Y
Este coeficiente se puede escribir como:
Se remplaza por el infinito
Se define ahora la transformada de Fourier como:




k
tkfj
kP ectx 02
)(  


2/
2/
2 0
)(
1 P
P
T
T
tfkj
P
P
k dtetx
T
c 



2/
2/
2 0
)(
1 P
P
T
T
tfkj
P
k dtetx
T
c 




 dtetx
T
c tfkj
P
k
02
)(
1 




 dtetxfX
tfj 2
)()(

7. se observa que )(
1
0fkX
T
c
P
k  . Se puede definir la transformada inversa:
y las condiciones de existencia son las mismas que para la serie de Fourier,
modificando la integral:
a) 


dttx
2
)( , es decir, la señal x(t) es de energía
b) Condiciones de Dirichlet:
1. La función x(t) tiene un número finito de discontinuidades.
2. La señal x(t) tiene un número finito de máximos y mínimos.
3. La señal x(t) es absolutamente integrable, esto es: 


dttx )(
Es de resaltar que si (3) se cumple, entonces se cumplen (1) y (2).
La función
t
t
tx

 )2sen(
)(  cumple (a) pero no cumple (3), y se tiene:







10
11
)(
f
f
fX
De acuerdo al teorema de Parseval, la energía total Ex de la señal x(t) se puede
escribir como:





 dffXdttxEx
22
)()(
a la señal
2
)()( fXfSxx  se le llama espectro de densidad de energía de x(t). Si la
señal es real, entonces Sxx tiene simetría par.
Por ejemplo, sea la señal exponencial:







00
0
)(
t
te
tx
t
a



 dtetxfX
tfj 2
)()(

8. se tiene que su espectro está dado por :
Fj
fX a
21
1
)(


Verificando:
dtedteefX tfjtfjt
a 





0
)21(
0
2
)( 
mediante el método de cambio de variable
dtfjdu
tfju
)21(
)21(




multiplicando y dividiendo la integral por )21( fj  
dtefj
fj
tfj






0
)21(
)21(
)21(
1 


realizando el cambio de variable
   
)21(
1
10
)21(
1
)21(
1
)21(
1 0
0  fjfj
ee
fj
due
fj
u







 


Las gráficas de xa(t) y la magnitud del espectro |Xa(f)|

9. Figura 1.6
Métodos sobre señales discretas
 Serie de Fourier
Sea x(n) una sucesión con periodo N, esto es x(n)=x(n+N), entonces:
de donde
que también es periódica, ck+n=ck.
Por ejemplo, sea la señal nnx 0cos)(  . Si  20  , se tiene que 2/10 f ,
como no es racional, no se considera periódica. Sea 3/0   , entonces 6/10 f ,
es decir, periodo N=6, entonces




1
0
2
)(
N
k
N
n
kj
k ecnx






1
0
2
)(
1 N
n
N
n
kj
k enx
N
c


10. de donde c0=c2=c3=c4=0, c1=c5=
2
1
Figura 1.7
La potencia promedio de una señal periódica está dada por
Y su gráfica proporciona el espectro de densidad de potencia.
La energía sobre un periodo está dada por:
5,...,1,0)(
6
1 5
0
6
2
 

kenxc
k
n
kj
k

0
2
3
2
1
2
3
2
1
2
3
2
1
2
3
2
1
12
1
11
12
1
1
12
1
1111111
12
1
)1(
12
1
12
1
12
1
26
1
3
cos
6
1
3
cos
6
1
33
2
3
2
3
3
25
3
20
3
15
3
10
3
5
3
25
3
20
3
15
3
10
3
5
5
0
3
55
0
3
5
5
0
3
4
33
4
3
5
0
3
433
5
0
3
45
0
6
42
4











































































jjjj
eeee
eeeee
eeeee
eee
eeeee
ee
enenc
jjjj
jjjjj
jjjjj
n
n
j
n
n
n
j
nj
n
n
j
n
j
n
j
n
j
n
n
j
n
j
n
j
n
n
j
n
n
j








 






1
0
2
1
0
2
)(
1 N
k
k
N
n
x cnx
N
P






1
0
2
1
0
2
)(
N
k
k
N
n
n cNnxE

11. Nuevamente si x(n) es real, entonces c*k=c-k, o bien
Aún más:
Sea por ejemplo la señal:
Figura 1.8


























c.c.
10
sen
2
sen
10
1
...20,10,0
2
1
9,...,2,1
1
1
10
1
0
2
1
2
5 k
k
e
k
k
e
e
k
c k
j
k
j
kjk





nonsimetría-
parsimetría
kk
kk
cc
cc




kNk
kNk
cc
cc




 






4
0
10
21
0
21
0
2
10
11
)(
1
n
n
kjL
n
N
n
kjN
n
N
n
kj
k eAe
N
enx
N
c


12.  Transformada de Fourier
Se define por





n
nj
enxX 
 )()(
Se observa que
)()()()2( 2)2(
 
XeenxenxkX
n
knjnj
n
nkj
 






Es decir, es periódica con periodo 2.
Se obtiene que
Nuevamente esta transformada existe si x(n) es absolutamente sumable, esto es,
La energía se define por




n
x nxE
2
)( y usando el
teorema de Parseval, se obtiene que:
A
2
)(XSxx  se le llama espectro de densidad de energía.
Si x(n) es real, entonces )()(  XX  es de simetría par, )()(  XX  es
de simetría non y Sxx tiene simetría par.
Sea por ejemplo, la señal )(5.0)( nunx n
 . Note que:






dXEx
2
)(
2
1






 deXnx nj
)()(




n
nx )(

13. 

 



 5.01
1
5.0)(
0n
n
n
nx , concluimos que X() existe. Ésta es:
Figura 1.9
Ejemplo. Determinar la energía, la transformada de Fourier y el espectro de
densidad de energía de la secuencia:


 

c.c.0
10
)(
LnA
nx , con A>0
 
25.0cos1
1
5.01
1
5.01
1
)(S
entonces
5.01
1
)(
15.0como
5.05.0)()(
xx
00































jj
j
j
n
nj
n
njn
n
nj
ee
e
X
e
eeenxX

14. Figura 1.10
La señal es absolutamente sumable, su transformada es:
2
sen
2
sen
)(
1
...
1
1
)(
)1(
2
22
22
22
1
11
1
2
111
1
0











L
Ae
ee
ee
eAeX
r
raa
rararaa
e
e
AAeX
L
j
jj
LjLj
jLj
n
n
j
LjL
n
nj


















 
La magnitud y fase están dadas por:






1
0
222
)(
L
nn
x LAAnxE










c.c
2
sen
2
sen
0
)(




L
A
LA
X
2
sen
2
sen
)1(
2
)(




L
LAX 

15. Figura 1.11
 Propiedades de la Transformada de Fourier para señales discretas
Es importante hacer notar que X() es periódica con periodo 2, y este intervalo
es suficiente para especificar a X().
Figura 1.12
Linealidad: )()()()( 211211  XXanxnxa F

Simetría:
 Si x(n) es real
a) 



n
R nnxX  cos)()(




n
I nsennxX  )()(
b) RX y )(X tienen simetría par
IX y )(X tienen simetría non

16. c) )()(*   XX
 Si x(n) es real y par: 



1
cos)(2)0()(
n
R nnxxX 
0)( IX
0)( RX
 Si x(n) es real e impar:




1
)(2)(
n
R nsennxX  (non)
 Si x(n) es imaginaria
a) 



n
IR nsennxX  )()( (non)




n
II nnxX  cos)()( (par)
 Si x(n) es imaginaria y non: 



1
)(2)(
n
IR nsennxX  (non)
0)( IX
 Si x(n) es imaginaria y par: 0)( RX




1
cos)(2)0()(
n
III nnxxX  (par)
Desfasamiento en el tiempo: )()( 
Xeknx kjF 

Desfasamiento en la frecuencia: )()( 0
0


Xnxe Fnj
Reverso en el tiempo: )()(  Xnx F
Teorema de convolución: )()()()( 2121  XXnxnx F


17. Por ejemplo sea  111)()( 21

 nxnx
 cos21)()( 21  XX
 
   

22
2
21
23
2cos2cos43cos21)()(
jjjj
eeee
XX



Finalmente:  12321)()( 21

 nxnx
Teorema de modulación:
)(
2
1
)(
2
1
cos)( 00   XXnnx F
Teorema de Parseval:




dXXnxnx
n
 




 )()(
2
1
)()( 2121
Diferenciación:


d
dX
jnnx F )(
)( 
Señal en tiempo continuo
Dominio del tiempo Dominio de la
frecuencia
Señalperiódica
SeriesdeFurier
Continua y periódica Discreta y periódica
)()(
1 02
tdtx
T
c
pT
tkF
a
p
k 

 




k
tkFj
ka ecx 02 


18. Señalaperiodica
Transformadade
Furier
)()()( 2
tdetxFx Ftj
aa 



 
)()()( 2
FdeFxtx Ftj
aa 


 
Continua y aperiódica Continua y aperiódica
Señal en tiempo discreto
Dominio del tiempo Dominio de la
frecuencia
Señalperiódica
SeriesdeFurier
Discreta y periódica Discreta y aperiódica
Señalaperiodica
Transformadade
Furier





n
jwn
a enxFx )()( )()(
2
1
)(
2
wdewxnx jwn



Discreta y periódica Continua y periódica
 Transformada de Fourier Discreta
La DFT de N puntos de una secuencia x(n) de longitud LN se define por:
1,,1,0)()(
1
0
2
 



NkenxkX
N
n
N
n
kj


y su IDFT es:






1
0
2
)(
1 N
n
nk
N
j
k enx
N
c






1
0
2
)(
N
k
nk
N
j
k ecnx



19. 1,,1,0)(
1
)(
1
0
2
 


NnekX
N
nx
N
k
N
n
kj


Si x(n) es una sucesión aperiódica de energía finita con FT: 




n
nj
enxX 
 )()( , y
X() es muestreada a N frecuencias equiespaciadas
N
k
wk
2
 k=0, 1, …, N-1,
entonces
Sea xp(n) una sucesión periódica con periodo N, ésta puede ser representada por
una serie de Fourier como:
 


necx
N
n
N
n
kj
kP
1
0
2
donde 




1
0
2
)(
1 N
n
N
n
kj
Pk enx
N
c

, k=0, 1, …, N-1. Si se define una sucesión x(n) igual
a xP(n) en un periodo, la DFT de esta última es X(k)=NcK.
Por consiguiente, la DFT puede interpretarse como el espectro discreto de xP(n).
Esto es, si




r
P rNnxnx )()( , entonces k
N
n
N
n
kj
PK NcenxX  


1
0
2
)(

, k=0, 1, …, N-1
Por ejemplo, sea x(n),
Figura 1.13
Obtener la DFT de 3 puntos.
Usando la definición, se obtiene
66
3)2(3)1(6)0(

jj
eXeXX 

1,,1,0)()()(
2
2  





NkenxXkX
n
N
n
kj
N
k 





20. Otro ejemplo, es la exponencial mostrada que es equivalente a la analógica
mostrada. En la primera DFT, N=200, a x(n) se le añaden 100 ceros. En la
segunda la x(n) tiene 20 muestras 0, L=20 y N=200. Este efecto se revisará al
final del capítulo.