La transformada de Laplace es un operador lineal que transforma ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas, permitiendo resolver problemas con coeficientes constantes. Se define la transformada de Laplace de una función f(t) como una función L[f] de la variable s, convirtiendo una función en t a una función en s. La transformada de Laplace se puede usar para resolver ecuaciones diferenciales y integrales lineales, y su transformada inversa permite hallar la solución original buscada.

1. La transformada de laplace
-Definición:
La transformada de laplace es un operador lineal muy util para la resolucion
de ecuaciones diferenciales.
Laplace demostro como transformar las ecuaciones lineales no homogéneas
en ecuaciones algebraicas que pueden resolverse por medios algebraicos.
Denotamos al operador de Laplace por L, y como operador, actua sobre una
funcion f y devuelve otra funcion L [f]
La transformada de laplace de una función f(t), 0≤ t ≤ ∞ es una función L[f]
de una variable real s
-La transformada de laplace puede ser usada para resolver:
• Ecuaciones diferenciales
• Lineales
• Ecuaciones integrales
Aunque se puede resolver algún tipo de ED con coeficientes variables, en
general se aplica a problemas con coeficientes constantes.
-La transformada de laplace se utiliza de la siguiente manera:
• La letra s representa una variable, que para el proceso de integración se
considera constante
• La transformada de laplace convierte una función en t en una función en la
variable s
• Condiciones para la existencia de la transformada de una función:
• De orden exponencial
• Continua a trozos

2. -La transformada inversa de Laplace:
Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuación diferencial la convertimos en una
ecuación algebraica, la cual podemos resolver para , es decir, . Ahora,
como si pudiéramos devolvernos obtendríamos la solución que
buscamos. Es decir, necesitamos de la transformada inversa , para hallar la
función

3. Definimos la transformada inversa:
Si es la transformada de Laplace de una función continua , es decir,
, entonces la transformada inversa de Laplace de , escrita
es , es decir,
Ejemplo
Calcule
Solución
Puesto que
tenemos que
Observación existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa,
puede no ser única. En efecto, es posible que , siendo .
Para nuestro propósito esto no es tan malo como parece, pues, si y son continuas y
de orden exponencial en y , entonces ; pero, si y
son continuas y de orden exponencial en y , entonces se
puede demostrar que las funciones y son casi iguales; esto quiere decir, que
pueden diferir sólo en puntos de discontinuidad.