Transformada de laplace

TRANSFORMADA DE
LAPLACE
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
SEDE - BARCELONA
Bachilleres:
Zambrano, Gabriel
Zambrano, Leonardo
Lugo, Kevin

INTRODUCCIÓN
En este proyecto intentaremos hacer una recopilación de información y métodos para
resolver las diferentes ecuaciones diferenciales existentes por medio de la
transformada de Laplace, todo esto en base en investigaciones científicas realizadas
con un arduo esfuerzo.
El método de la transformada de Laplace es una vía para la solución de ecuaciones
diferenciales lineales y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que constituyen
los modelos matemáticos más frecuentes en la representación matemática de
problemas de circuitos.
El estudio de la transformada de Laplace es muy importante, pues su uso convierte
funciones habituales trascendentes, como funciones, sinusoidales amortiguadas y
exponenciales, en funciones algebraicas.

¿QUÉ ES UNA TRANSFORMADA DE
LAPLACE?
La transformada de Laplace es un tipo de transformada integral frecuentemente usada para la
resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias. La transformada de Laplace de una función
definida para todos los números positivos es la función:
-Siempre y cuando la integral esté definida. Cuando f(t)
es una distribución con una singularidad en 0, la
definición es:
-Cuando se habla de la transformada de Laplace,
generalmente se refiere a la versión unilateral.
También existe la transformada de Laplace bilateral,
que se define como sigue:
-La transformada de Laplace F(s) típicamente existe
para todos los números reales s > a, donde a es una
constante que depende del comportamiento de
crecimiento de . es llamado el operador de la
transformada de Laplace.

TRANSFORMADA DE LAPLACE
Ejemplo: Obtener la transformada de Laplace de f (t)=
t.
aplicando la integración por partes:
L{t} = Resultado:
Y en general : L{ }
=

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE
LAPLACE
Si y existen entonces:
Linealidad:
para cualquier constante real c.
Demostración:
Es una consecuencia directa de la convergencia de la suma en integrales impropias.
Ejemplo
Calcule
Solución
Como:
por la propiedad de linealidad:
Con la idea de aplicar la transformada de Laplace a la
solución de ecuaciones diferenciales necesitamos
calcular la transformada de una derivada

LAPLACE
Transformada de una derivada: Si es continua a trozos y de orden exponencial en el intervalo
, entonces:
Demostración
Integrando por partes:
Con un argumento similar podemos demostrar que:
Ejemplo:
Use el resultado anterior para calcular
Solución
Haciendo tenemos que:
y de aquí concluimos que:

LAPLACE
Integración: Demostración de la propiedad:
L + L L
L-1
Tenemos que:

LAPLACE
Transformada de la función escalón: Si representa la función escalón unitario entonces:
Determine la transformada de la función cuya gráfica es:
Solución
Esta función se describe como:
Así:
Usando la fórmula de la transformada de la función escalón:
Y por tanto:

LAPLACE
Primer Teorema de Traslación donde
Problema
Determine:
Solución
Para usar el primer teorema de traslación reconocemos:
Y por tanto:
Utilizando ahora la tabla de transformadas tenemos:
Haciendo álgebra:
Por tanto:

TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
La transformada de Laplace es una herramienta de gran alcance formulada para solucionar una
variedad amplia de problemas del inicial-valor. La estrategia es transformar las ecuaciones
diferenciales difíciles en los problemas simples de la álgebra donde las soluciones pueden ser
obtenidas fácilmente. Entonces se aplica La transformada inversa de Laplace para recuperar
las soluciones de los problemas originales.
En matemática, la transformada inversa de Laplace de una función F(s) es la función f(t) que
cumple con la propiedad
La transformada de Laplace junto con la transformada inversa de Laplace tienen un número de
propiedades que las hacen útiles para el análisis de sistemas dinámicos lineales.
donde es la transformada de Laplace.
Transformada Inversa de Laplace:

• Ejemplo
Calcule , donde esta dada por
Solución
Usando la definición de transformada
Pero, anteriormente hemos comprobado que
con lo cual las funciones y tienen la misma
transformada, de este modo, la transformada
inversa de
no es única.
El siguiente resultado establece el comportamiento
de en infinito.

PROPIEDADES DE LA TRANFORMADA
INVERSA
• Linealidad.
Versión para la inversa:
• Primer Teorema de Traslación.
Versión para la inversa:

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
POR TRANSFORMACIÓN DE LAPLACE
Una de las principales aplicaciones de la transformada de Laplace es la de resolver ED lineales
con condiciones iniciales.
-El método es esencialmente simple y puede ser descrito en los siguientes pasos.
Aplicar la transformada en ambos miembros de la ED.
-Utilizar las propiedades de la transformada para que solo quede en términos de L{y(t)} y
despejarla. Lo que se obtiene recibe el nombre de ecuación algebraica o subsidiaria.
-Aplicar la transformada inversa para despejar y(t).

Resuelva el problema: que satisface:
Solución
Aplicando la transformada en ambos miembros tenemos:
por la propiedad de linealidad aplicada en el primer miembro Ec 1
por el teorema de la transformada de la derivada sabemos que:
y que: sustituyendo lo anterior en la ecuación 1 tenemos:
Agrupando y solo dejando en el primer miembro los
términos que contienen L{y(t)}:
Asi la ecuación subsidiaria o algebraica queda:
Ec 2 Si aplicamos el método rápido de fracciones parciales en el segundo
miembro:
para A; su denominador se hace cero para s=0 asi:
para B; su denominador se hace cero para s=3 asi: El resto del ejercicio sigue
en la siguiente diapositiva

para C; su denominador se hace cero para s=-1 asi:
Asi la Ec 2 queda:
aplicando la transformada inversa:
Por tanto:

SERIE DE FOURIER
¿Qué es la Serie de Fourier?
En matemáticas, una serie de Fourier, que es llamada así en honor de Joseph Fourier (1768-
1830), es una representación de una función periódica como una suma de funciones periódicas
de la forma
que son armónicos de ei x; Fourier fue el primero que estudió tales series sistemáticamente,
aplicándolas a la solución de la ecuación del calor y publicando sus resultados iniciales en 1807
y 1811.
SERIE DE FOURIER
Sea una función f(t) una función periódica de periodo T, la cual se puede representar por la serie
trigonométrica: donde w 0=2p /T.
Una serie como la representada se llama serie
trigonometrica de Fourier. Esta serie también se puede
representar así:

SERIE DE FOURIER
Ejemplo 1: Deducir la forma de y expresar Cn y q n
en términos de an t bn.
Se puede expresar así:
se utiliza la entidad trigonométrica
donde
por consiguiente También si se hace Se Obtiene:
Es obvio que la representación de Fourier de una función periódica, representa la función como la
suma de componentes sinusoides que tienen diferentes frecuencias. La componente senosiudad de
frecuencia se denomina la enésima armónica de la función periódica. La primera armónica
comúnmente se conoce como la componente fundamental porque tiene el mismo período de la función y
se conoce como la frecuencia angular fundamental. Los coeficientes Cn y los ángulos q n se conocen
como amplitudes armónicas y ángulos de fase, respectivamente.

CONDICIÓN DE EXISTENCIA.
Para que una relación f sea función, se debe cumplir dos condiciones:
• La primera condición es la de existencia que significa que cada elemento del dominio
de la relación debe estar relacionado con un elemento del conjunto de llegada de la
relación. Formalmente se define así: Sea f una relación de dominio A y de conjunto
llegada B. Si cumple la condición de existencia, entonces para todo x de A, existe un
y tal que (x,y) es elemento de F.
• La segunda condición es la de unicidad, implica que cada elemento de A está
relacionado con solo un elemento de B. Se define así: Si (x,y) elemento de f y (x,z)
elemento de f, implica que y=z. O sea, un elemento x de A no puede estar relacionado
con dos elementos distintos de B.

• Funciones Periódicas
Una función periódica se puede definir como una función para la cual
para todos los valores de t. La constante mínima T que sastiface la relación , se llama
el período de la función. Mediante repetición de se obtiene:
• Ejemplo: Encontrar el periodo de la función
Si la función f(t) es periódica con un periodo T, entonces, de se tiene
puesto que cos(q + 2 p m)=cos q para cualquier entero m se tiene que ,
donde m y n son enteros, Por consiguiente T= 6p m; cuando m = 4 y n = 3, se obtiene el
mínimo valor de T. (esto se puede ver mediante el procedimiento de ensayo y error). De
donde, T = 24p
En general, si la función.
es periódica con período T, entonces es posible encontrar dos enteros m y n tales que
w 1T = 2nm
w 2T = 2mn el cociente es
es decir, la relación w 1 / w 2 debe ser un numero racional.

• Serie de seno de Fourier.
Coeficiente de una serie de senos.
Suponga que
Ejemplo: Se tiene que {sen nx: n ³ 1} es un conjunto ortogonal de funciones en [0,p ].
Entonces se Obtiene
ya que

• Representación de una constante por una serie de senos.
Exprese f(x) = 1 como una serie en términos del conjunto ortogonal de funciones {sen
nx : n ³ 1} en [0, p ].
Así es
Esta serie se puede expresar como

SERIE DE COSENO DE FOURIER.
• Suponga que se tiene una función f(x) definida en el intervalo [0,L]. Primero se
mostrará cómo construir la serie de cosenos. Como se tiene interés en los valores de
la serie sólo en el intervalo [0, L], se puede definir f(x) de cualquier manera fuera de
este intervalo. Con el fin de obtener una serie solo con términos de cosenos, se
definirá una extensión periódica par de f(x).
• Teorema Serie Cosenos.
Si f(x) es una función diferenciable por partes [0,L], la serie de Fourier de cosenos para
f(x) es
Donde

• Ejemplo: Serie de Fourier de cosenos.
Sea f(x) = x en [0, 2]. Encuentre la serie de Fourier de cosenos para f(x)
Se tiene, con L = 2 y f(x) = x
Entonces

TRANSFORMADA DE FOURIER
(DEFINICIÓN).
La transformada de Fourier, denominada así por Joseph Fourier, es una transformación
matemática empleada para transformar señales entre el dominio del tiempo (o espacial) y
el dominio de la frecuencia, que tiene muchas aplicaciones en la física y la ingeniería. Es
reversible, siendo capaz de transformarse en cualquiera de los dominios al otro. El propio
término se refiere tanto a la operación de transformación como a la función que produce.
En el caso de una función periódica en el tiempo (por ejemplo, un sonido musical continuo
pero no necesariamente sinusoidal), la transformada de Fourier se puede simplificar para
el cálculo de un conjunto discreto de amplitudes complejas, llamado coeficientes de las
series de Fourier. Ellos representan el espectro de frecuencia de la señal del dominio-
tiempo original.

(DEFINICIÓN).
La transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a una función f
con otra función g definida de la manera siguiente:
Donde f es L^1, es decir, f tiene que ser una función integrable en el sentido de la
integral de Lebesgue. El factor, que acompaña la integral en definición facilita el
enunciado de algunos de los teoremas referentes a la transformada de Fourier. Aunque
esta forma de normalizar la transformada de Fourier es la más comúnmente
adoptada, no es universal. En la práctica las variables x y E suelen estar asociadas
a dimensiones como el tiempo —segundos— y frecuencia —hercios— respectivamente,

(DEFINICIÓN).
Sus aplicaciones son muchas, en áreas de la ciencia e ingeniería como la física, la
teoría de los números, la combinatoria, el procesamiento de señales (electrónica), la
teoría de la probabilidad, la estadística, la óptica, la propagación de ondas y otras
áreas. En procesamiento de señales la transformada de Fourier suele considerarse
como la descomposición de una señal en componentes de frecuencias diferentes, es
decir, g corresponde al espectro de frecuencias de la señal f.
La rama de la matemática que estudia la transformada de Fourier y sus
generalizaciones es denominada análisis armónico.
Son varias las notaciones que se utilizan para la transformada de Fourier de f.

(DEFINICIÓN).
La transformada de Fourier se emplea con señales periódicas a diferencia de la serie de
Fourier. Las condiciones para poder obtener la transformada de Fourier son (Condiciones
de Dirichlet):
o Que la señal sea absolutamente integrable, es decir:
o Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior
o Que tenga un grado de oscilación finito.
o Que tenga un número máximo de discontinuidades.

(DEFINICIÓN).
Sea f una función integrable Lebesgue: o
Se define la transformada de Fourier de f como la función
Observemos que esta integral tiene sentido, pues el integrando es una función integrable.
Una estimativa simple demuestra que la transformada de Fourier F(f) es una función
acotada. Además por medio del teorema de la convergencia dominada puede demostrarse
fácilmente que F(f) es continua.

TRANSFORMADA DE FOURIER.
Ejemplo: Si f(t) es real, demostrar que su espectro de magnitud es una función par de
w y su espectro de fase f (w ) es una función impar de w
Si f(t) es real, entonces, se tiene:

FOURIER
La transformada de Fourier es una aplicación lineal:
Valen las siguientes propiedades para una función absolutamente integrable f:
• Cambio de escala:
• Traslación:
• Traslación en la variable transformada:

FOURIER
• Transformada de la derivada: Si f y su derivada son integrables,
• Derivada de la transformada: Si f y t → f ( t ) son integrables, la transformada de
Fourier F ( f ) es diferenciable.
Estas identidades se demuestran por un cambio de variables o integración por partes.
En lo que sigue, definimos la convolución de dos funciones f y g en la recta de la
manera siguiente:

FOURIER
Nuevamente la presencia del factor delante de la integral simplifica el enunciado de
los resultados como el que sigue: Si f y g son funciones absolutamente integrables, la
convolución también es integrable, y vale la igualdad:
También puede enunciarse un teorema análogo para la convolución en la variable
transformada,
pero este exige cierto cuidado con el dominio de definición de la transformada de
Fourier.

CONDICIONES PARA QUE EXISTA LA
• Es absolutamente integrable:
• f(t) continua por intervalos [a,b] finito:
• Para una f(t) real o compleja, con variable real t, se define la transformada de
Fourier como:
• Igualmente, tenemos la función inversa de Fourier:
• De forma que se cumple

CONDICIONES PARA QUE EXISTA LA
• Es costumbre representar la transformada de fourier de una señal con la letra que lo
representa en mayúsculas:
• Alguna propiedad: (integración)
• La demostración es sencilla:
• Análogamente:

• Comentar que en matemáticas es usual dejar el resultado de la transformada de
Fourier en función de ω, mientras que en ingeniería es más habitual dejarlo en f,
debido a que se mantiene la simetría. Ambas estan relacionadas directamente.
• Con la ventaja que en función de f, no tenemos ese divisor de 2π, por lo que
mantiene la simetría, que es más comodo al realizar cálculos (sin embargo, no
olvidar que la fase de la exponencial esta invertida).

CONCLUSIONES
• El método de la transformada de Laplace es un método operacional que puede
usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales, ya que su uso hace posible
que diversas funciones sunisoidales, sinusoidales amortiguadas y exponenciales, se
pueden convertir en funciones algebraicas de una variable compleja s, y ser
reemplazadas en operaciones como la diferenciación y la integración, por
operaciones algebraicas en funciones complejas equivalentes. Por tanto, una
ecuación diferencial lineal se puede transformar en una ecuación algebraica de la
variable compleja s. Si esa ecuación algebraica se resuelve en s para la variable
dependiente, se obtiene la solución de la ecuación diferencial. Este procedimiento
que implica la transformada inversa de Laplace de la variable dependiente.

BIBLIOGRAFÍA
Monografias(2020, Marzo 25). Trabajo laplace. Recuperado de:
https://www.monografias.com/trabajos33/laplace-ejercicios/laplace-
ejercicios.shtml#ecuacintegr
• Tecdigital (2020, Marzo 25). ecuaciones diferenciales. Teoría y ejemplos resueltos.
Recuperado de: https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-
linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap5-geo/laplace/node4.html
• Wikipedia(2020, Marzo 25). Serie de fourier. Recuperado de:
https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Fourier

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