El documento trata sobre el concepto matemático de derivada. Explica que la derivada mide el cambio en el valor de una función respecto a cambios en su variable independiente y puede interpretarse geométricamente como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función. También describe algunas aplicaciones de la derivada en física, química y otras ciencias.

1. Aplicación de
derivadas
Alumna
María Silva
Cl: 27877147

2. Derivadas
En matemática, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia
el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente.
La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límitede la
rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo
considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se
habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la
posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto.
Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km entre las 12:00 y las 18:00, viaja a
una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades
mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las
15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su
velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en
intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25,
entre las 15:19 y las 15:21, etc.
Entonces el valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse
geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la gráfica
de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor
aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede
generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el
diferencial.

3. Conceptosy aplicaciones
El concepto de derivada es uno de los conceptos básicos del Análisis matemático. Los
otros son los de integral indefinida, integral definida, sucesión; sobre todo, el concepto
liminar de límite. Este es usado para la definición de cualquier tipo de derivada y para la
integral de Riemann, sucesión convergente y suma de una serie y la continuidad. Por su
importancia, hay un antes y después de tal concepto que biseca las matemáticas previas,
como el Álgebra, la Trigonometría o la Geometría Analítica, del Cálculo. Según Einstein, el
mayor aporte que se obtuvo de la derivadas fue la posibilidad de formular diversos
problemas de la física mediante ecuaciones diferenciales.
La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos
donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o
situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y
Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se
refiere a la gráfica de dos dimensiones de f, se considera la derivada comola pendiente de
la recta tangente del gráfico en el punto x. Se puede aproximar la pendiente de esta
tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una
recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente.
Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los
gráficos de funciones, tales como monotonía de una función (si es creciente o decreciente)
y la concavidad o convexidad.
Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo,
una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una
discontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente, gran cantidadde las funciones
que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica es una curva suave, por lo
que es susceptible de derivación.
Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable), son
aproximables linealmente.

4. Definiciones de derivada
En terminología clásica, la diferenciación manifiesta el coeficiente en que una cantidad y,
cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad x,.
En matemáticas, coeficiente es un factor multiplicativoque pertenece a cierto objeto como
una variable, un vector unitario, una función base, etc.
En física, coeficiente es una expresión numérica que mediante alguna fórmula determina
las características o propiedades de un cuerpo.
En nuestro caso, observando la gráfica de la derecha, el coeficiente del que hablamos
vendría representado en el punto de la función por el resultado de la división
representada por la relación , que como puede comprobarse en la gráfica, es un valor
que se mantiene constante a lo largo de la línea recta azul que representa la tangente en el
punto de la función. Esto es fácil de entender puesto que el triángulo
rectángulo formado en la gráfica con vértice en el punto , por mucho que lo dibujemos
más grande, al ser una figura proporcional el resultado de es siempre el mismo
.Esta noción constituye la aproximación más veloz a la derivada, puesto que el
acercamiento a la pendiente de la recta tangente es tanto por la derecha como por la
izquierda de manera simultánea.

5. Límite como cociente de
diferencias
La derivada de una función es la pendiente geométrica de la recta tangente del gráfico
de en . Sin el concepto que se va a definir, no es posible encontrar directamentela
pendiente de la línea tangente a una función dada, porque solamente se conoce un punto
en la línea tangente: . La idea es aproximar la línea tangente con
múltiples líneas secantes que tienen distancias progresivamente más pequeñas entre los
dos puntos que cruzan. Cuando se toma el límite de las pendientes de las líneas secantes
de esta progresión, se consigue la pendiente de la línea tangente. Se define, pues, la
derivada tomando el límite de la pendiente de las líneas secantes, al acercarlas a la línea
tangente. Para encontrar las pendientes de las líneas secantes próximas, se elige un
número relativamente pequeño. Representa un cambio relativamente pequeño en , el
cual puede ser positivo o negativo. La pendiente de la recta que pasa por los dos
puntos y es:
.
Expresión denominada «cociente de Newton

6. La derivada de en es entonces el límite del valor del cociente diferencial, conformelas
líneas secantes se aproximan a la línea tangente:
.
Si la derivada de existe en todos los puntos , se puede definir la derivada de como la
función cuyo valor en cada punto es la derivada de en .
Puesto que sustituir por 0 produce una división por cero, calcular directamente la
derivada puede no ser intuitivo. Una técnica posible consiste en operar en el numerador,
de manera que se pueda cancelar la del denominador. Y eso es posible fácilmente en
los polinomios. Pero para muchas otras funciones el resultado es incierto.
Afortunadamente, hay reglas generales que facilitan diferenciar la mayoría de las funciones
simples
Continuidad y diferenciabilidad
Una condición necesaria pero no suficiente para que una función sea derivable en un
punto es que esta sea continua. Intuitivamente, una función continua es aquella en la cual
pequeños incrementos en los elementos del dominio de la variabledependiente produce
pequeños incrementos en el valor de dicha función, de manera que
Haciendo estos incrementos cada vez más pequeños, las variaciones se hacen más
pequeñas; cuando estos se aproximan a cero, en el límite,

7. Con lo que se obtiene, f(x)=y. Para un punto particular a, quiere decir que
, y si este último límite existe significa en consecuencia por un teorema de límites (un límite
existe si y sólo si los dos límites laterales existen y son iguales) que toda función f(x) que
cumpla con
Es continua en el punto a. Como consecuencia lógica, toda función derivableen el
intervalo abierto I, es continua en I.
Condición necesaria
La relación no funciona a la inversa: el que una función sea continua no garantiza su
derivabilidad. Es posibleque los límites laterales sean iguales pero las derivadas laterales
no; en este caso concreto, la función presenta un punto anguloso en dicho punto.
Un ejemplo — recurrente en la literatura usual — puede ser la función valor absoluto
(también llamada módulo) en el punto (0,0) ,. Dicha función se expresa:
Para valores infinitamente cercanos a 0, por ambas ramas, el resultado tiende a 0. Y el
resultado en el punto 0 es también 0, por lo tanto es continua. Sin embargo, las derivadas
resultan:
Cuando x , vale 0, las derivadas laterales dan resultados diferentes. Por lo tanto, no existe
derivada en el punto, a pesar de que sea continuo.
De manera informal, si el gráfico de la función tiene puntas agudas, se interrumpe o tiene
saltos, no es derivable. Sin embargo, la función y=x|x| es diferenciable para todo x. Hállese
su función derivada. En otros términos, que una función sea continua es una condición
necesaria para que dicha función sea diferenciable. (Ver "Análisis matemático" de Apóstol.)

8. Derivada de una función
Considerando la función f definida en el intervalo abierto I y un punto a fijo en I, se tiene
que la derivada de la función f en el punto a, se define como sigue:
,
si este límite existe, de lo contrario, f', la derivada, no está definida. Esta última expresión
coincide con la velocidad instantánea del movimiento continuo uniforme acelerado en
cinemática.
Aunque podrían calcularse todas las derivadas empleandola definición de derivada como
un límite, existen reglas bien establecidas, conocidas comoteoremas para el cálculo de

9. derivadas, las cuales permiten calcular la derivada de muchas funciones de acuerdo a su
forma sin tener que calcular forzosamente el límite. Tales reglas son consecuencia directa
de la definición de derivada y de reglas previas, como puede apreciarse en todo buen
texto de cálculo infinitesimal.
También puede definirse alternativamente la derivada de una función en cualquier punto
de su dominio de la siguiente manera:
La cual representa un acercamiento de la pendiente de la secante a la pendiente de la
tangente ya sea por la derecha o por la izquierda según el signo de a,. El aspecto de este
límite está relacionado más con la velocidad instantánea del movimiento uniformemente
acelerado que con la pendiente de la recta tangente a una curva.
No obstante su aparente diferencia, el cálculode la derivada por definición con cualquiera
de los límites anteriormente expresados, proporciona siempre el mismo resultado.
Ejemplo
Sea la función cuadrática f(x)= x2 definida para todo x perteneciente a los reales. Se trata
de calcular la derivada de esta función para todo punto x ∈ R — puesto que es continua en
todos los puntos de su dominio —, mediante el límite de su cociente de diferencias de
Newton. Así,
Notación

10. Existen diversas formas para nombrar a la derivada. Siendo f una función, se escribe la
derivada de la función f, respecto al valor x, en varios modos.
Notación de Newton
Artículo principal: Notación de Newton
La notación de Newton para la diferenciación respecto al tiempo, era poner un punto
arriba del nombre de la función:
y así sucesivamente. Se lee «punto x,» o «x, punto». Actualmente está en desuso en
Matemáticas puras, sin embargo se sigue usando en áreas de la física como la mecánica,
donde otras notaciones de la derivada se pueden confundir con la notación de velocidad
relativa. Se usa para definir la derivada temporal de una variable.
Esta notación de Newton se usa principalmente en mecánica, normalmente para derivadas
que involucran la variable tiempo, como variable independiente; tales como velocidad y
aceleración, en teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. Usualmente solo se emplea
para las primeras y segundas derivadas.
Notación de Leibniz
Artículo principal: Notación de Leibniz
Otra notación común para la diferenciación es debida a Leibniz. Para la función derivada
de f,, se escribe
También puede encontrarse como o Se lee «derivada de ( o de con
respecto >>Esta notación tiene la ventaja de sugerir a la derivada de una función con
respecto a otra como un cociente de diferenciales.
Con esta notación, se puede escribir la derivada de f en el punto a de dos modos
diferentes:

11. Si , se puede escribir la derivada como
Las derivadas sucesivas se expresan como
o
Para la enésima derivada de o de respectivamente. Históricamente, esto viene del
hecho que, por ejemplo, la tercera derivada es
la cual se puede escribir como
La notación de Leibniz es muy útil, por cuanto permite especificar la variable de
diferenciación (en el denominador); lo cual es pertinente en caso de diferenciación parcial.
También facilita recordar la regla de la cadena, porque los términos «d» parecen cancelarse
simbólicamente:
En la formulación popular del cálculo mediantelímites, los términos «d» no
pueden cancelarse literalmente, porque por sí mismos son indefinidos; son definidos
solamente cuando se usan juntos para expresar una derivada. En análisis no estándar, no
obstante, se puede ver como números infinitesimales que se cancelan.
Ciertamente, Leibnitz (sí) consideró la derivada dy/dx como el cociente de dos
«infinitésim» dy y dx, llamados «diferenciales». Estos infinitésimos no eran números sino
cantidades más pequeños que cualquier número positivo.
Notación de Lagrange
Artículo principal: Notación de Lagrange
La notación más simple para diferenciación, en uso actual, es debida a Lagrange. Para
identificar las derivadas de en el punto , se escribe:

12. para la primera derivada,
para la segunda derivada,
para la tercera derivada,
para la enésima derivada ( ). (También se pueden usar números romanos).
Se lee «efe prima de equis» para la primera derivada, «efedos prima de equis» para la
segunda derivada, etc. Para la función derivada de en , se escribe . De modo
parecido, para la segunda derivada de en , se escribe , y así sucesivamente.
Notaciónde Euler
. o (Notaciones de Euler y Jacobi, respectivamente)
se lee « sub de », y los símbolos D y ∂ deben entenderse como operadores
diferenciales
Cálculo de la derivada
La derivada de una función,
en principio, puede ser calculada de la definición, mediante el cociente de
diferencias, y después calcular su límite. En la práctica, únicamente las derivadas de
unas pocas funciones son conocidas, las derivadas de otras funciones son fáciles de
calcular utilizando reglas para obtener derivadas de funciones más complicadas de
otras más simples.
Derivadas de funciones elementales
Artículo principal: Anexo:Derivadas

13. La mayor parte de los cálculos de derivadas requieren tomar eventualmente la
derivada de algunas funciones comunes. La siguiente lista incompleta proporciona
algunas de las más frecuentes funciones de una variable real usadas y sus
derivadas.
 Derivada de potencias: si
Donde r es cualquier número real, entonces
Donde quiera que esta función sea definida. Por ejemplo, si ,
entonces
Y la función derivada es definida sólo para números positivos x, no para x = 0.
Cuando r = 0, esta regla implica que f′(x) es cero para x ≠ 0, lo que la convierte en
la regla de la constante (expuesta abajo).
 Funciones exponenciales y logarítmicas
 funciones trigonométricas:

14.  Funciones trigonométricas inversas
Reglas usuales de derivación
Artículo principal: Reglas de diferenciación
En muchos casos, el cálculo de límites complicados mediante la aplicación directa
del cociente de diferencias de Newton puede ser anulado mediante la aplicación
de reglas de diferenciación. Algunas de las reglas más básicas son las siguientes:
 Regla de la constante: si f(x) es constante, entonces
 Aplicación lineal
Para toda función f y g y todo número real y .
 Regla del producto
Para toda función f y g. Por extensión, esto significa que la
derivada de una constante multiplicada por una función es la constante
multiplicada por la derivada de la función. Por ejemplo,
 Regla del cociente
Para toda función f y g para todos aquellos valores tales
que g ≠ 0.
 Regla de la cadena: Si , siendo g derivable en x, y h
derivable en g(x), entonces3

15. Ejemplo de cálculo
La derivada de
Es
Aquí, el segundo término se calculó usando la regla de la cadena el tercero usando
la regla del producto. La derivadas conocidas de funciones elementales x2
, x4
, sin(x),
ln(x) y exp(x) = ex
, así como la constante 7, también fueron usadas.
Diferenciabilidad
Una función con dominio en un subconjunto de los reales es diferenciable en un
punto si su derivada existe en ese punto; una función es diferenciable en un intervalo
abierto si es diferenciable en todos los puntos del intervalo.
Si una función es diferenciable en un punto , la función es continua en ese punto. Sin
embargo, una función continua en , puede no ser diferenciable en dicho punto (punto
crítico). En otras palabras, diferenciabilidadimplica continuidad, pero no su recíproco.
La derivada de una función diferenciable puede ser, a su vez, diferenciable. La derivada de
una primera derivada se llama derivada segunda. De un modo parecido, la derivada de una
derivada segunda es la derivada tercera, y así sucesivamente. Esto también recibe el
nombre de derivación sucesiva o derivadas de orden superior.