Este documento trata sobre la transformada de Laplace. Explica que la transformada de Laplace transforma una función f(t) en otra función en términos de s. Define la transformada de Laplace y las condiciones para su existencia, como que la función debe ser continua por tramos para todo t mayor o igual a 0. También cubre propiedades como la linealidad y cómo aplicar la transformada a funciones elementales como derivadas e integrales.

1. ESCUELA POLITÉCNICA
NACIONAL
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
Y ELECTRÓNICA
TRANSFORMADA DE LAPLACE

2. En este capítulo veremos una integral impropia
que transforma una función f(t) en otra función en
términos de s, conocida como la Transformada de
Laplace.
INTRODUCCIÓN

3. Para la función,
F:[0, α[ a R, una función definida para t>=0,
la función esta definida por:
Se llamará transformada de laplace siempre y
cuando el limite exista.
DEFINICION

4. ¨Denotaremos a la transformada de laplace de la
siguiente manera:
¨
¨
¨
NOTACIÓN

5. ¨La integral no necesariamente debe
ser convergente, por ejemplo:
no existen.
¨F(t) debe de ser continua por tramos para todo
t>=0
Condiciones para la existencia de
L{F(t)}

6. La función F:[a,b] a R, es continua por tramos si:
¨Deben existir puntos en [a,b] tal que :
a=to<=t1<=t2<=……….tn=b, donde F es continua en cada
subintervalo ti<=t<=ti+1 para i=0, 1, 2, 3,……..,n, pero no
es continua en esos puntos.
¨En cada punto ti que pertenecen al dominio de [a,b] deben
existir los límites:
FUNCIONES CONTINUAS POR
TRAMOS

8. ¨En una funcion F:[a,b] a R, la diferencia entre
, donde a delta se la conoce
como salto de funcion en ti.
Toda funcion continua en [a,b] es continua
por tramos en [a,b].
OBSERVACIONES

9. DEFINICIÓN:
La función sera de orden
exponencial si :
¨Existen constantes k>0 y x tal que
, para todo t>=0.
FUNCIONES DE ORDEN
EXPONENCIAL

10. 1.-Si es una funcion
seccionalmente continua en , entonces :
i)La función es de orden exponencial
siempre que exista X y sea un número real
ii)La función no será de orden exponencial
si:
PROPIEDADES

11. 2.-Si , son 2 funciones de orden
exponencial, su producto también será de orden
exponencial.
3.-Si son 2 funciones de
orden exponencial, la suma de ambas sera
exponencial

12. ¨1.-Si la función , es seccionalmente
continua y de orden exponencial X entonces:
existe f(s)=L{f(t)}, si s>a.
Observaciones:
a) si es una funcion continua por
tramos y de orden exponencial, se llama funcion
de clase A.
TEOREMAS

13. b) si es una funcion de clase A
entonces. Existe L{F(t)}
c) si existe L{F(t)} no quiere decir que F sea
una función de clase A.
¨2.-Sea F(t) una función continua a trozos para
t>=0 y de orden exponencial, entonces:

14. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE
FUNCIONES ELEMENTALES

15. ¨Propiedad de linealidad
Sean a R, funciones
continuas por tramos y de orden exponencial,
entonces:
L{aF(t)+bG(t)}=aL{F(t)]+bL{G(t)}
PROPIEDADES DE LA
TRANSFORMADA DE LAPLACE

16. ¨Primera propiedad de traslación
Si es una función continua por
tramos y de orden exponencial y si : L{F(t)}=f(s),
entonces para a distinto de cero se tiene:

17. ¨Segunda propiedad de traslación
Si es continua por tramos y
de orden exponencial y;
Si L{F(t)}=f(s) y entonces:

18. ¨Propiedad del cambio de escala
¨Sea , continua por tramos y de orden
exponencial.
Si L{F(t)}=f(s) entonces

19. Si consideramos: , continua por tramos
y de orden exponencial, si L{F(t)}=f(s) entonces:
, para s>0. para todo n
que pertenece a los reales positivos.
TEOREMA

20. ¨Teorema:
¨Sea continua por tramos y de orden
exponencial si:
¨L{F(t)}=f(s) entonces
TRANSFORMADA DE LAPLACE DE
LA DIVISIÓN PARA t

21. ¨Teoremas:
A) sea y q F´(t) sea continua por
tramos y de orden exponencial en entonces:
TRANSFORMADA DE LAPLACE DE
LA DERIVADA

22. ¨B) considerando: y que F´´(t)sea
funcion continua a tramos y de orden exponencial,
entonces:

23. ¨Generalizando.
Si , es una funcion
continua y que es una funcion continua por
tramos y de orden exponencial, entonces:
Por lo tanto:

24. ¨Teorema:
Sea: , continua a tramos y de
orden exponencial, entonces:
Si L{F(t)}=f(s), entonces:
¨
¨
TRANSFORMADA DE LAPLACE DE
INTEGRALES

25. Observación: si a=0, se tiene
L{F(t)}=f(s), entonces:

26. ¨Generalizando:
¨
¨
¨
Cuando a=0

27. ¨La transformada inversa de una función en s, es
una función de t cuya transformada es
precisamente F(s), es decir:
¨
¨
¨Si es que L{f(t)}=F(s), por lo que debe cumplirse:
¨
Transformada inversa de Laplace

28. Teorema: Algunas transformadas
inversas

30. ¨Las fracciones parciales desempeñan un papel
muy importante para determinar las transformadas
inversas de Laplace ya que desarrollando esta
herramienta se nos facilita notoriamente el
desarrollo de la determinación de una
transformada inversa.
Fracciones parciales

31. EJEMPLO

32. MUCHAS GRACIAS POR SU
ATENCION