Este documento presenta una introducción al conjunto de números reales. Explica que históricamente se introdujeron los números naturales, enteros, racionales e irracionales para resolver problemas matemáticos. Luego define el conjunto de números reales como la unión de todos estos sistemas numéricos. Presenta reglas para convertir entre fracciones y decimales, y aplicaciones de operaciones con números reales.

1. SISTEMA NUMÉRICO.
CONJUNTO DE NÚMEROS REALES.
INTRODUCCIÓN:
Históricamente el primer conjunto con el que el hombre realizaba operaciones matemáticas fue el Conjunto de
Números Naturales formado por . Pero con el pasar del tiempo se presentaron múltiples
problemas al intentar resolver expresiones como , puesto que la solución es y como se sabe
por lo que resulta necesario introducir un nuevo sistema de números para dar solución a éste tipo de
ecuaciones llamado Conjunto de Números Enteros formado por .
Posteriormente se presentan otras dificultades al intentar dar solución a expresiones como puesto que su
solución es y ya sabemos que entonces se origina un nuevo sistema de números denominado Conjunto
de Números Racionales el cual se define , es decir se definen como el cociente entre
dos Números Enteros.
Pero aún no se podía dar a solución a todos los problemas puesto que habían expresiones tales como puesto
que su solución es y no pertenece a ningún sistema de números anterior entonces se crea un nuevo
sistema de números llamado Conjunto de Números Irracionales (I) que se definen como aquellos números que no
se pueden escribir en forma de fracción.
DEFINICIÓN: el Conjunto de Números Reales se define como la unión de todos estos Sistemas de Números, es
decir: Gráficamente se define:
R
Q
Z
N I
REGLAS DE CONVERSIÒN:
 Para transformar una fracción en decimal, basta dividir el numerador para el denominador.
 Para transformar un numero de cifras decimales exactas a fracción, se escribe como numerador el número sin la
coma y se divide para según el número de cifras decimales que tenga.
 Si el número es periódico, se escribe en el numerador el periodo y como denominador se escribe tantos nueves
como cifras decimales tenga el período.
~1~

2.  Si el número es periódico mixto, se escribe en el numerador la parte no periódica seguida del período menos la
parte no periódica y como denominador se escribe tantos nueves como cifras decimales tenga la el período
seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga la parte no periódica.
 Si la expresión decimal tiene parte entera distinta de cero, se suma ésta a la fracción obtenida.
APLICACIONES:
1. DETREMINE EL VALOR DE VERDAD DE LOS SIGUIENTES ENUNCIADOS:
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
2. REDUZCA A UNA FRACCIÒN DECIMAL Y VICEVERSA:
a) b)
c) d)
e) f)
REFUERZO.
1. ANALICE SI SON VERDADEROS O FALSOS LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES:
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
j) k) l)
m) n) o)
p) q) r)
s) t) u)
v) w) x)
2. EXPRESE LAS SIGUIENTES FRACCIONES COMO UN NÙMERO DECIMAL, E IDENTIFIQUE SI
ES EXACTO, PERIÒDICO O PERIODICO MIXTO:
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
j) k) l)
m) n) o)
3. ESCRIBA COMO UNA FRACCIÒN LAS SIGUIENTES EXPRESIONES DECIMALES:
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
j) k) l)
m) n) o)
OPERACIONES CON NÙMEROS DECIMALES.
~2~

3. Para resolver este tipo de problemas, se debe tomar en cuenta que es factible resolver en forma decimal o
fraccionario, para ello se transforma a una de estas formas los términos respectivos mediante las regalas de
conversión.
APLICACIONES:
CALCULE EL VALOR DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES:
a)
b)
a)
b)
c)
d)
REFUERZO.
~3~

4. HALLE EL VALOR DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES:
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
i) j)
k) l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
PROPIEDADES DEL CONJUNTO DE NUMEROS REALES.
Se dice que el Conjunto de Números Reales es un Cuerpo si cumple con los siguientes axiomas:
~4~

5. PROPIEDADES ESTRUCTURA ADITIVA
1. CLAUSURATIVA
2. CONMUTATIVA
3. ASOCIATIVA
4. ELEMENTO NEUTRO
5. ELEMENTO OPUESTO
PROPIEDADES ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA
1. CLAUSURATIVA
2. CONMUTATIVA
3. ASOCIATIVA
4. ELEMENTO NEUTRO
5. ELEMENTO INVERSO O RECÍPROCO
6. DISTRIBUTIVA
DIFERENCIA Y COCIENTE:
a) Si son reales, la Diferencia de los mismos se define mediante:
b) Si son reales y , el Cociente o División se define mediante:
REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LOS NÚMEROS REALES.
Los Números Reales se representan geométricamente como puntos sobre una línea recta llamada Recta Real
Numérica, donde se cumple una correspondencia biunívoca, es decir, que a cada punto de la Recta Real le
corresponde uno y solamente un Número Real y viceversa.
-2 -1 0 1 2
NOTA:
Reales Positivos : son todos los Números Reales a la positivos del cero.
Reales Negativos : son todos los Números Reales a la izquierda del cero.
APLICACIONES:
APLIQUE LAS PROPIEDADES Y DEFINICIONES DE LOS NÙMEROS REALES PARA EFECTUAR
LAS SIGUIENTES OPERACIONES:
a)
~5~

6. b)
c)
d)
REFUERZO.
1. INDIQUE LAS PROPIEDADES QUE SE APLICAN PARA OBTENER LOS SIGUIENTES
RESULTADOS:
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
2. EN LOS SIGUIENTES EJERCICIOS, DESTRUYA LOS SIGNOS DE AGRUPACIÓN Y
SIMPLIFIQUE EL RESULTADO. JUSTIFIQUE CADA PASO EFECTUADO:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
INTERVALOS REALES.
El conjunto de todos los números reales o puntos reales que están entre llamados extremos se denomina
INTERVALO formalmente damos la siguiente definición:
~6~

7. DEFINICIÓN: sean números reales; los siguientes conjuntos se denominan intervalos con extremos a
los siguientes:
1. INTERVALO ABIERTO: está formado por todos los puntos reales que están entre los extremos. En símbolos
se representa .
Gráficamente se representa:
a b
2. INTERVALO CERRADO: está formado por todos los puntos reales incluido los extremos. En símbolos se
representa .
Gráficamente se representa:
a b
EJEMPLOS:
REPRESENTE SIMBÓLICA Y GRÁFICAMENTE LOS SIGUIENTES INTERVALOS:
a)
b)
3. INTERVALOS SEMIABIERTOS: está formado por todos los puntos reales excepto uno de los extremos.
Gráficamente y en símbolos se tiene:
a b a b
Semi abierto a la izquierda Semi abierto a la derecha
EJEMPLOS:
REPRESENTE SIMBÓLICA Y GRÁFICAMENTE LOS SIGUIENTES INTERVALOS:
a)
b)
4. INTERVALOS INFINITOS: si son números reales, los intervalos infinitos son los siguientes:

a a

b b
~7~

8. EJEMPLOS:
REPRESENTE SIMBÓLICA Y GRÁFICAMENTE LOS SIGUIENTES INTERVALOS:
a)
b)
c)
d)
REFUERZO.
1. DIBUJE LOS SIGUIENTES INTERVALOS Y CLASIFIQUELOS COMO ABIERTOS CERRADOS O
SEMIABIERTOS:
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
i) j)
2. ENCUENTRE ANALÌTICA Y GRAFICAMENTE LOS SIGUIENTES CONJUNTOS:
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
VALOR ABSOLUTO.
DEFINICIÓN: sea x un Número Real, el valor absoluto de x se denota y se define:
Por lo tanto, el valor Absoluto de un Número Real siempre es positivo.
PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO: para todos los números Reales , se cumple que:


~8~

9. 


APLICACIONES:
1. HALLE EL VALOR ABSOLUTO DE LOS SIGUIENTES NÚMEROS REALES:
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
2. SI , DEMUESTRE QUE SE CUMPLEN LAS PROPIEDADES DEL VALOR
ABSOLUTO:
REFUERZO.
1. EFECTUE LOS SIGUIENTES CALCULOS QUE SE DAN A CONTINUACION:
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
i) j)
k)
2. COMPRUEBE SI SE CUMPLEN O NO LAS PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO PARA LOS
SIGUIENTES PARES DE NUMEROS REALES:
a) b)
c) d)
3. DEMUESTRE QUE SE CUMPLE LA DESIGUALDAD TRIANGULAR PARA LOS VALORES
REALES SIGUIENTES:
a) b)
c) d)
NUMEROS COMPLEJOS.
El Conjunto de los Números Complejos surge por la necesidad de dar solución a expresiones tales como ,
ya que dentro del Conjunto de Números Reales no hay un número que elevado al cuadrado sea igual a .
DEFINICIÓN: un Número Complejo es de la forma:
~9~

10. En , se llama PARTE REAL y se llama PARTE IMAGINARIA .
NOTA:
La unidad imaginaria tiene la propiedad que:
EJEMPLO:
IDENTIFIQUE LA PARTE REAL E IMAGINARIA DE LOS SIGUIENTES NÚMEROS COMPLEJOS:
a)
b)
c)
OPUESTO: el opuesto de un número complejo es
CONJUGADO: el conjugado de un número complejo es
MÓDULO: El módulo de un número complejo , es:
APLICACIONES:
ENCUENTRE A LA VEZ EL OPUESTO, CONJUGADO Y EL MÓDULO DE LOS SIGUIENTES
NÚMEROS COMPLEJOS:
a)
b)
OPERACIONES FUNDAMENTALES:
~ 10 ~

11. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN: Para sumar o restar Números Complejos se suma o se resta separadamente las
partes reales e imaginarias.
APLICACIONES:
CON LOS SIGUIENTES NÚMEROS COMPLEJOS REALICE LAS
OPERACIONES INDICADAS:
a)
b)
REFUERZO
c) Encuentre el opuesto, conjugado y el módulo de los siguientes Números Complejos:
d)
e) Con los Números Complejos anteriores, realice las operaciones siguientes:
f)
MULTIPLICACIÓN: para multiplicar Números Complejos se aplica la propiedad distributiva teniendo en cuenta
que , y al final se reducen términos semejantes.
DIVISIÓN: Para dividir Números Complejos, se multiplica tanto al numerador como al denominador por el
conjugado del denominador y se reducen términos semejantes, así:
APLICACIONES:
CON LOS SIGUIENTES NÚMEROS COMPLEJOS REALICE LAS
OPERACIONES INDICADAS:
g)
h)
REFUERZO 1.
1. HALLE:
~ 11 ~

12. a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
i) j)
2. CON LOS NÚMEROS COMPLEJOS SIGUIENTES, REALICE LAS OPERACIONES:
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
j) k)
3. SI DEMUESTRE SI SE CUMPLEN O NO LAS
SIGUIENTES PROPOSICIONES:
a) b) c)
d) e) f)
FORMA POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO.
La Forma polar de un número complejo está dada por la forma:
Donde:
NOTA:
El valor de siempre será .
~ 12 ~

13. APLICACIONES:
EXPRESE EN LA FORMA POLAR LOS NÚMEROS COMPLEJOS:
a)
b)
REFUERZO
E
Exprese en la Forma Polar los números Complejos:
POTENCIAS Y RAÍCES
Para encontrar las Potencias y Raíces de un Número Complejo, primero se expresa en su Forma Polar dichos
números y se aplica el Teorema de Moivre:
POTENCIA: Si es un número entero y positivo, la potencia de un número complejo expresado en su Forma Polar
viene dado por la forma:
RAÍCES: las n raíces de un número complejo están dadas por la expresión:
Donde
APLICACIONES:
APLICANDO EL TEOREMA DE MOIVRE, ENCUENTRE LAS SIGUIENTES POTENCIAS Y RAÍCES
DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
a) c) Las tres raíces cúbicas de
b) d) Las cuatro raíces cuartas de
REFUERZO
~ 13 ~

14. REFUERZO 1.
4. HALLE:
k) l)
m) n)
o) p)
q) r)
s) t)
5. CON LOS NÚMEROS COMPLEJOS SIGUIENTES, REALICE LAS OPERACIONES:
l) m) n)
o) p) q)
r) s) t)
u) v)
6. SI DEMUESTRE SI SE CUMPLEN O NO LAS
SIGUIENTES PROPOSICIONES:
g) h) i)
j) k) l)
~ 14 ~

15. REFUERZO 2.
1. CON LOS NÚMEROS COMPLEJOS
EFECTÚE LAS OPERACIONES SIGUIENTES:
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
j) k) l)
m) n) o)
2. COMPRUEBE QUE PARA LOS DIFERENTES VALORES DE QUE SE DAN A
CONTINUACIÓN:
a) b)
c) d)
3. VERIFIQUE QUE SE CUMPLEN PARA:
a) b)
c) d)
REFUERZO 3.
~ 15 ~

16. 1. HALLE LAS POTENCIAS, APLICANDO EL TEOREMA DE MOIVRE:
a) b) c)
e) f)
d)
2. HALLE LAS POTENCIAS, APLICANDO EL TEOREMA DEL BINOMIO:
a) b) c)
d) e) f)
3. DETERMINE QUE SE CUMPLE:
a) b)
c) d)
4. DEMUESTRE QUE:
a) b)
c) d)
REFUERZO 4.
~ 16 ~

17. 1. HALLE LAS RAICES QUE SE INDICAN Y REPRESENTE GRAFICAMENTE, APLICANDO EL
TEOREMA DE MOIVRE:
a) Las tres raíces cúbicas de:
b) Las tres raíces cúbicas de:
c) Las cuatro raíces cuartas de
d) Las cinco raíces quintas de
e) Las seis raíces sextas de
f) Las seis raíces sextas de
g) Las ocho raíces octavas de
h) Las nueve raíces novenas de
2. CALCULE TODAS LAS RAICES DE LA ECUACION DADA EN FORMA ALGEBRAICA:
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
i) j)
~ 17 ~