Este documento presenta una introducción a los sistemas de ecuaciones lineales. Explica qué son las ecuaciones lineales y los sistemas de ecuaciones lineales, y ofrece ejemplos para ilustrarlos. Luego, describe diversos métodos para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales, incluyendo sustitución, igualación, determinantes y gráficamente. Finalmente, distingue entre sistemas determinados, indeterminados e inconsistentes.

1. Sistemas de ecuaciones
lineales
(Versión preliminar)
M. en C. René Benítez López
Departamento de Matemáticas
Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa

2. La tercera parte de los ahorros de Juan es $115.
Si x representa los ahorros de Juan, entonces el enunciado anterior se
expresa como sigue:
1
x = 115
3
Esta igualdad es una ecuación lineal . Las ecuaciones se usan para
expresar algebraicamente fenómenos físicos, químicos, biológicos,
astronómicos, sociales, económicos etc. Por ejemplo:
1
v = 2+ t,
2
expresa la relación entre la velocidad (v) y el tiempo (t) de un automóvil
1
con velocidad inicial de 2 m por segundo, y con una aceleración de m
2
por segundo cuadrado.

3. Una ecuación lineal es una ecuación de la forma
a1x1 + a2 x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + an xn = b
en donde x1, x 2 , ..., x n son variables;a1, a2 , ..., an son constantes llamadas
los coeficiente de las variables y b es una constante llamada el término
constante de la ecuación.
Ejemplo Juan tiene 2 canicas más que pedro. Si el doble de las canicas
1 de Juan se junta con las de Pedro, se obtienen 103 canicas.
¿Cuántas tiene cada uno?
Solución Si Pedro tiene x canicas, entonces Juan tiene x + 2 canicas. Por
tanto:
x + 2 ( x + 2 ) = 103
3 x + 4 = 103
99
x= = 33
3

4. Ejemplo 2 Con la corriente a su favor una lancha navega a 100 km/h, y con la
corriente en contra navega a 70 km/h. ¿Cuál es la velocidad de la
corriente, y la de la lancha cuando el río está en calma?
Solución Sea x la velocidad de la lancha cuando el río está en calma, y sea
y la velocidad del río o de la corriente. Entonces:
x+y es la velocidad de la lancha con la corriente a su favor.
x−y es la velocidad de la lancha con la corriente en contra.
Por lo que:
{ x + y = 100
x − y = 70
………(*)
Se obtuvieron dos ecuaciones lineales con las mismas dos
variables cada una, tales ecuaciones forman un sistema 2x2
de ecuaciones lineales.
Un sistema de ecuaciones lineales es una colección de dos
o más ecuaciones lineales
km km
Resolviendo el sistema (*) se obtiene: x = 85 , y = 15
h h

5. ¿Cómo se resuelve un sistema 2x2 de ecuaciones lineales?
Hay diversos métodos de solución de un sistema con dos ecuaciones
lineales de dos variables (2x2). Se describirán algunos de ellos resol-
viendo el sistema de ecuaciones del ejemplo anterior.
Método por sustitución
Este método se resume así:
1 Se despeja una de las variables de cualquiera de las ecuaciones.
.
2 La variable despejada en el paso 1, se sustituye en la otra ecuación por
. su correspondiente expresión, y se resuelve la ecuación que resulta.
3 El valor de la variable obtenido en el paso 2, se sustituye en la ecuación
. obtenida en el paso 1.

6. Ejemplo 3 Resolver por sustitución el sistema { x + y = 100
x − y = 70
….(*)
….(**)
Solución 1. Despejando a la variable y de la ecuación (*) se tiene:
y = 100 − x
2. Sustituyendo a la variable y por 100 – x en la ecuación (**) se
tiene:
x − ( 100 − x ) = 70
2 x − 100 = 70
170
x= = 85
2
3. Sustituyendo a la variable x por 85 en la ecuación del paso 1 se
obtiene el valor de y
y = 100 − 85 = 15

7. Método por igualación
Este método se resume así:
1 De cada ecuación se despeja la misma variable.
.
2 Se igualan las expresiones obtenidas en el paso 1, y se resuelve la
. ecuación que resulta.
3 El valor de la variable obtenido en el paso 2, se sustituye en una de las
. ecuaciones obtenida en el paso 1.
Ejemplo 4 Juan y Jaime salieron del D.F. en sus respectivos autos a
Acapulco. Juan condujo a una velocidad constante de 60 km/h. Si
Jaime salió 1 hora después que Juan conduciendo a 90 km/h, ¿a
qué distancia del D.F. y en cuánto tiempo alcanzó Jaime a Juan?
Solución Sea d la distancia del D.F. en que Jaime alcanza a Juan, y sea t
el tiempo transcurrido para Juan cuando es alcanzado. Entonces

8. t–1 es el tiempo que transcurrió para Jaime hasta alcanzar a
Juan.
Dado que la velocidad se relaciona con el tiempo y la distancia así v = d/t
se tiene que:
 d
60 =


 90 =
t
d
O sea: { 60t − d = 0
90t − d = 90
 t −1
Resolviendo por igualación el sistema anterior se tiene:
90t − 90 = 60t
30t = 90
90
t= =3
30
Sustituyendo el valor t = 3 en la ecuación 60t − d = 0 se obtiene
que d = 180.

9. Método por determinantes
Si los coeficientes de las variables t y d del sistema { 60t − d = 0
90t − d = 90
se arreglan así
 60 −1
 90 −1
 
se obtiene una matriz .
El determinante de una matriz a b  se denota así:
a b
,
c d  c d
 
y se define como sigue:
a b
= ad − bc
c d
Y la resolución por determinantes de un sistema
obtiene así:
{ ax + by = m
cx + dy = n
se
m b a m
n d c n
x= , y= .
a b a b
c d c d

10. Ejemplo 5 Resolver por determinantes el sistema { x − 2y = 3
3 x + 2y = 1
3 −2
Solución x=
1 2
=
( 3 ) ( 2) − ( 1) ( −2 ) =
8
=1
1 −2 ( 1) ( 2 ) − ( 3 ) ( −2 ) 8
3 2
13
y=
3 1
=
( 1) ( 1) − ( 3 ) ( 3 ) =
−8
= −1
1 −2 ( 1) ( 2 ) − ( 3 ) ( −2 ) 8
3 2
Ejemplo 6 Resolver por determinantes el sistema { x − 3y = 1
x + 4y = 8
1 −3 1 1
8 4 28 18 7
Solución x= = = 4, y= = =1
1 −3 7 1 −3 7
1 4 1 4

11. Método gráfico
La gráfica de cada ecuación de un sistema 2x2 de ecuaciones lineales,
es una recta . Por lo que el método gráfico:
Consiste en representar gráficamente las ecuaciones del sistema para
determinar (si la hay) la intersección de las rectas que las representan.
Ejemplo 7 Resolver gráficamente el sistema { x − y = −1
2x − y = 1
Solución Se tabulan las ecuaciones despejando a y en cada una de ellas.
Observe:
y = x +1 y = 2x − 1
x 0 –1 x 0 2
y 1 0 y –1 3

12. Representando gráficamente las parejas ordenadas (x, y) de cada tabla
en el plano cartesiano, se trazan las correspondientes rectas para
determinar la solución. Observe:
y
3
(2, 3)
1
–1
0 2 x
–1
El punto de coordenadas (2, 3) es la intersección de las rectas que son
gráficas de las ecuaciones del sistema, entonces la solución es:
x = 2, y =3

13. Un sistema que tiene solución única, se llama sistema determinado,
compatible, consistente o independiente y se caracteriza en que
las rectas que son gráficas de las ecuaciones que lo forman, se
intersecan exactamente en un punto cuyas coordenadas corresponden a
la solución del sistema.
Ejemplo 8 El sistema { x − 3y = 1
x + 4y = 8
tiene solución única. Observe:
y
x + 4y = 8
2 (4, 1)
1
0
1 2 4 x
x − 3y = 1

14. Un sistema de ecuaciones lineales que tiene un número infinito de
soluciones se llama sistema indeterminado o dependiente , y se
caracteriza en que las gráficas de las ecuaciones que lo forman son la
misma recta.
 y
 x − = 1
Ejemplo El sistema  2 tiene infinidad de soluciones. Observe:
10  2x − y = 2

y y
x− =1
2
0 1 x
-2
2x − y = 2

15. Un sistema que no tiene solución alguna se llama sistema
inconsistente o incompatible , y se caracteriza en que las gráficas de
las ecuaciones que lo forman son rectas paralelas y distintas entre sí.
 y
 x − = 1
Ejemplo El sistema  2 no tiene solución. Observe:
11  2x − y = 3

y y
x− =1
2
1
0 x
-2 2x − y = 3
-3

16. Fi
n