Este documento presenta una guía de resolución de ecuaciones diferenciales para una clase de ingeniería civil. Incluye 14 problemas propuestos para resolver ecuaciones diferenciales de separación de variables, homogéneas, exactas, lineales, de Bernoulli y otros tipos. También incluye problemas de aplicación como modelar el enfriamiento de un asado u obtener la cantidad de sal en un tanque al llenarse.

1. 1
Universidad José Carlos Mariategui
Carrera Profesional de Ingeniería Civil
Guía 01 de Cálculo IV
Fecha: Setiembre 2015.
— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — –
I.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por
separación de variables
1. x 1 y2
1
2
dx + y 1 x2
1
2
dy = 0
Sol: 1 x2
1
2
+ 1 y2
1
2
= C
2. e y
(1 + y0
) = 1
Sol: ex
= C (1 e y
)
3. y0
= ax+y
a > 0; a 6= 1
Sol: ax
+ a y
= C
4. ey
1 + x2
dy 2x (1 + ey
) dx = 0
Sol: 1 + ey
= C 1 + x2
5. (1 + ex
) yy0
= ey
; y (0) = 0
Sol: (1 + y) e y
= ln
1 + ex
2
+ 1 x
6. 1 + y2
e2x
dx ey
dy (1 + y) dy = 0
Sol:
1
2
e2x
ey
ln
p
1 + y2 arctan y = C
7. xy2
y2
+ x 1 dx+ x2
y 2xy + x2
+ 2y 2x + 2 dy =
0
Sol: x2
2x + 2 y2
+ 1 e2 arctan y
= C
8. y0
= ax + by + C; a; b; c 2 R
Sol: b (ax + by + C) + a = cebx
9. (x + y)
2
y0
= a2
Sol: x + y = a tan c +
y
a
10. y0
+ 1 =
(x + y)
m
(x + y)
n
+ (x + y)
p
Sol: x =
(x + y)
n m+1
n m + 1
+
(x + y)
p m+1
p m + 1
+ C
n m 6= 1; p m 6= 1
11. a2
+ y2
dx + 2x ax x2
1
2
dy =
0 y (a) = 0
Sol: y = a tan
r
a
x
1
12. y0
+ sin
x + y
2
= sin
x y
2
Sol: ln tan
y
4
= C 2 sin
x
2
13.
dy
dx
= tan2
(x + y)
Sol: 2y 2x + sin 2 (x + y) = C
14. y0
=
1 x y
x + y
Sol:
(x + y)
2
2
= x + C
II.- Veri…car que las ecuaciones son homogeneas y re-
suelva
1. xdx + (y 2x) dy = 0
Sol: (x y) ln jx yj = y + C (x y)
2. ydx + x +
p
xy dy = 0
Sol: ln jyj = 2
r
x
y
+ C
3. y
dx
dy
= x + 4ye
2x
y
Sol: e
2x
y = 8 ln jyj + C
4. x2
+ xy y2
dx + xydy = 0
Sol: y + x = cx2
e
y
x
5. x +
p
y2 xy
dy
dx
= y y
1
2
= 1
Sol: ln jyj = 2 1
x
y
1
2
+
p
2
6. x2
+ y2
dx + 2xydy = 0
Sol: x3
+ 3xy2
= C
7. y2
xy dx + x2
dy = 0
Sol: y =
x
ln jyj
+ C
8.
dy
dx
=
y2
+ x
p
x2 + y2
xy
Sol:
r
1 +
y
x
2
= ln jxj + C
9.
dy
dx
=
x2
y2
3xy
Sol: x2
4y2 3
x2
= C
10. ( 3x + y 1) dx + (x + y + 3) dy = 0
Sol: (y + 2)
2
+2 (x + 1) (y + 2)+3 (x + 1)
2
=
C
11. (2x + y + 4) dx + (x 2y 2) dy = 0
Sol: x +
6
5
2
+ x +
6
5
y +
8
5
y +
8
5
2
= C
III.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales ex-
acta y si no usar el factor integrante.
a) x +
2
y
dy + ydx = 0
Sol: xy + ln y2
= C

2. 2
b) (y + y cos xy) dx + (x + x cos xy) dy = 0
Sol: xy + sin xy = C
c)
1
x 1
ydx + ln (2x 2) +
1
y
dy = 0
Sol: y ln (2x 2) + ln y = C
d) (y sin x + sin y) dx (x cos y + cos x) dy = 0
Sol:x sin y + y cos x = C
e)
dy
dx
=
ax + by
bx + cy
Sol: ax2
+ 2bxy + Cy2
= C
f ) 3x2
+ 6xy y2
dx+ 3x2
2xy + 3y2
dy =
0
Sol: x3
+ 3x2
y xy2
+ y3
= C
g)
ydx xdy
xy
+
xdy + ydx
q
1 + (xy)
2
= 0
Sol: ln x ln y + ln xy +
q
1 + (xy)
2
= C
h) y (exy
+ y) dx + x (exy
+ 2y) dy = 0
Sol: exy
+ xy2
= C
i) 2xydx + y2
+ x2
dy = 0
Sol: y 3x2
+ y2
= C
j) 3x2
tan y
2y3
x3
dx+ x3
sec2
y + 4y3
+
3y2
x2
dy =
0
Sol: x3
tan y + y4
+
y3
x2
= C
k) x2
y2
dx + x3
y + y + 3 dy = 0
Sol:
x3
y3
+ y3
3
+
3y2
2
= C
l) x2
dx x3
y2
+ 3y2
dy = 0
Sol: e y3
(x3
+3) = C
m) ex
(x + 1) dx + (yey
xex
) dy = 0
Sol: 2xex y
+ y2
= C
n) 2y3
+ 2 dx + 3xy2
dy = 0
Sol: x2
y3
+ 1 = C
ñ) cos x cos ydx 2 sin x sin ydy = 0
Sol: sin x cos2
y = C
o) (ex
+ xey
) dx + xey
dy = 0
Sol: xex+y
= C
p) dx +
x
y
sin y dy = 0
Sol: xy + y cos y sin y = C
q) 3x2
y2
dy 2xydx = 0
Sol:
x2
y3
1
y
= C
r) x + y2
dx 2xydy = 0
Sol: x ln jxj y2
= Cx
s) (sec x + y tan x) dx + dy = 0
Sol: y sec x + tan x = C
IV.- Resolver las siguientes ecuaciones lineales
a) y0
y cot x =
sin 2x
2
Sol: y = C sin x + sin2
x
b) cos ydx = (x sin y + tan y) dy
Sol: x =
C
cos y
1
cos y
ln (cos y)
c) x 1 x2
y0
y + ax3
= 0
Sol: y = ax +
cx
p
1 x2
d) y2
1 dx = y (x + y) dy
Sol: x = c
p
1 y2 +
p
1 y2 arcsin y y
e) y0
+
y
x
= x3
3
Sol: y =
x4
5
3
2
x + cx 1
f ) y
dx
dy
2x = 3y2
2 si: y (1) = 1
Sol: x = 3y2
ln y + 1
g)
dy
dx
y
x
=
x y
x 2
Sol: (x 2) y = x (x + c)
h)
dy (x + 1) ydx
x2 + 4x + 2
= dx
Sol: y = cex+ x2
2 x 3
i) y0
cos y + sin y = x + 1; sug. hacer
z = sin y
Sol: sin y = x + ce x
j) y0
+ xy = 2x
x2
2
Sol: y = Ce
x2
2 + 2
V.- Resolver las siguientes ecuaciones de Bernoulli
a) 3
dy
dx
+
3
x
y = 2x4
y4
Sol: x 3
y 3
+ x2
= c
b) dx +
2
y
xdy = 2x2
y2
dy
Sol: x 1
y 2
= c 2y
c)
dy
dx
+
1
x 2
+
y
x 2
= 5 (x 2)
p
y
Sol: y
1
2 = c (x 2)
1
2
+ (x 2)
2
d) yey
= y3
+ 2xey
y0
Sol: x = y2
(c e y
)
e) xy3
dx = x2
y + 2 dy
Sol: x2
= 1
2
y
+ ce
2
y
f )
dx
dy
+
y
x
=
x
y
Sol:ye
x2
2y2
= c

3. 3
g) cos x
dy
dx
y sin x + y2
= 0
Sol:
1
y
= sin x + c cos x
h)
dy
dx
=
4 sin2
y
x5 + x tan y
Sol:x4
[c ln (tan y)] = tan y
i) y0
=
y3
e2x + y2
; considerar w = e2x
)
dx =
dw
zw
Sol: y2
= [c 2 ln (y)] e2x
j) y4
2xy dx +3x2
dy = 0; y (2) = 1
Sol: x2
= y2
(x + 2)
VI. Veri…que que la ecuación diferencial dada sea ex-
acta; después resuélvala
a) (2x + 3y) dx + (3x + 2y) dy = 0
b) (4x y) dx + (6y x) dy = 0
c) 3x2
+ 2y2
dx + 4xy + 6y2
dy = 0
d) 2xy2
+ 3x2
dx + 2x2
y + 4y3
dy = 0
e) x3
+ y
x dx + y2
+ ln x dy = 0
f ) (1 + yexy
) dx + (2y + xexy
) dy = 0
g) (cos x + ln y) dx + x
y + ey
dy = 0
h) (x + arctan y) dx + x+y
1+y2 dy = 0
i) 3x2
y3
+ y4
dx+ 3x3
y2
+ y4
+ 4xy3
dy = 0
j) (ex
sen y + tan y) dx+ ex
cos y + x sec2
y dy =
0
k) 2x
y
3y2
x4 dx + 2y
x3
x2
y2 + 1p
y dy = 0
l) 2x5=2
3y5=3
2x5=2y2=3 dx + 3x5=3
2x5=2
3x3=2y5=3 dy = 0
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Un asado de 4lb inicialmente a 50 F; se coloca en
un horno a 375 F a las 5:00 P.M. Después de 75min
se observa que la temperatura del asado T (t) es de
125 F: ¿Cuándo estará el asado a 150 F?
2. En un cierto cultivo de bacterias su número se in-
crementa seis veces en 10 horas. ¿Cuánto le toma
a la población duplicarse?
3. Un recipiente de mantequilla, inicialmente a 25 C;
se coloca para enfriarse en el pórtico principal,
donde la temperatura es de 0 C: Supóngase que
la temperatura de la mantequilla se ha reducido a
15 C después de 20 minutos, ¿Cuándo estará en
5 C?:
4. La intensidad I de la luz a una profundidad de
x metros bajo la super…cie de un lago satisface la
ecuación diferencial dI
dx = ( 1;4) I:
a) ¿A qué profundidad se tiene la mitad de
la intensidad I0 que hay en la super…cies
(donde x = 0)?
b) ¿Cuál es la intensidad a una profundidad de
10m (como una fracción de I0)?
c) ¿A qué profundidad la intensidad será 1 % de
la intensidad de la super…cie?
5. Un tanque de 120 galones contiene inicialmente 90
libras de sal disueltas en 90 galones de agua. La
salmuera, que contiene 2 libras de sal por galón
de sal, ‡uye hacia dentro del tanque a razón de 4
galones por minuto, y la mezcla homogénea ‡uye
hacia afuera del tanque a razón de 3 galones por
minuto. ¿Cuánta sal contiene el tanque cuando es-
tá completamente lleno?
6. Un tanque contiene inicalmente 60 galones de agua
pura. Salmuera, que contiene 1 libra de sal por
galón entra al tanque a una razón de 2 galones
por minuto, y la solución bien mezclada sale del
racipiente a razón de 3 galones por minuto; en es-
tas condiciones, el tanque se vacía exactamente de-
spués de 1 hora.
a) Encuentre la cantidad de sal en el tanque de-
spués de t minutos.
b) ¿Cuál es la cantidad máxima de sal dentro del
recipiente?
7. Se sabe que la población de cierta comunidad au-
menta en un instante cualquiera con una rápidez
proporcional al número de personas presentes en
dicho instante. Si la población se duplica en 5 años,
¿Cuánto demorará en triplicarse?¿Cuánto demor-
ará en cuadriplicarse?
Rpta. 7.9 años, 10 años.
8. La población de una pequeña ciudad crece en un
instante cualquiera, con una rapidez proporcional
a la cantidad de habitantes en dicho instante, su
población inicial inicial de 500 aumenta 15 % en 10
años ¿Cuál será la población dentro de 30 años?
Rpta. 760
9. Bacterias en un cierto cierto incrementan a una
tasa proporcional al número presente. Si el número
original se incrementa en un 50 % en
1
2
hora. ¿En
cuánto tiempo se espera tener tres veces el número
original?¿cinco veces el número original?
Rpta.1.35 horas; 1.98 horas
10. Si la población de un país se duplica en 50 años
¿En cuántos años será el triple suponiendo que la
velocidad de aumento sea proporcional al número
de habitantes presentes en dicho instante?
Rpta. 79 años

4. 4
11. En cierto cultivo de bacterias la velocidad de au-
mento es proporcional al número presente.
a) Si se ha hallado que el número se duplica en
4 horas ¿Qué número se debe esperar al cabo
de 12 horas?
b) Si hay 104
bacterias al cabo de 3 horas y
4 104
bacterias al cabo de 5 horas ¿Cuál
será el número de bacterias inicialmente?
Rpta. a) 8x0;[x0 número de bacterias inicialmente]
b) x (0) =
104
8
bacterias
12. En un cultivo de levadura la cantidad de fermento
activo crece a una velocidad proporcional a la can-
tidad presente. Si se duplica la cantidad en 1 hora,
¿Qué cantidad habrá después de 2.45 horas con re-
specto a la cantidad inicial? Rpta. 6;73x0 donde
[x0 cantidad inicial]
13. Si una sustancia se enfría desde 100 C hasta 60 C
en 10 minutos en donde la temperatura del medio
ambiente es de 20 C ¿Cuál será la temperatura de
la sustancia después de 40 minutos?
Rpta. 25 C
14. Agua a una temperatura de 100 C se enfría en 10
minutos a 80 C en un cuarto con temperatura de
25 C a)¿Qué temperatura tendrá el agua después
de 20 minutos? b) ¿Cuándo la tenperatura del agua
será de 40 C? ¿26 C?
Rpta. a) 65.3 C b) 52 minutos, 139 minu-
tos
15. Un termometro se saca de una habitación en donde
la temperatura del aire es de 70 F, al exterior, en
donde la temperatura es de 10 F. Después de
1
2
minuto el termometro marca 50 F ¿Cuánto mar-
ca el termometro cuando t = 1 minuto?, ¿Cuánto
tiempo transcurrirá para que el termometro mar-
que 15 F?.
16. Si la temperatura del aire es de 20 C y el cuerpo se
enfría en 20 minutos desde 100 C hasta 60 C ¿den-
tro de cuanto tiempo su temperatura será 30 C?
Rpta. 60 minutos
17. Si se arroja una pelota hacia arriba, desde el suelo,
con una velocidad inicial de 97 pies/seg ¿A qué al-
tura sube la pelota y por cuánto tiempo permanece
en el aire?
Rpta. 144 pies, 6 segundos
18. Se suelta una pelota de lo alto de un edi…cio de
960 pies de altura ¿Cuánto tiempo tarda en lle-
gar la pelota al piso, y con que velocidad golpea el
piso?
Rpta.
p
60 seg; 32
p
60 pies/seg
19. Los frenos de un automovil se accionan cuando este
se mueve a 60 millas/hora t 88 pies/seg. Los frenos
proporcional una desaceleración constante de 40
pies/seg2
¿Qué distancia recorre el auto antes de
detenerse?
20. Un auto viaja a 88 pies/seg se desplaza 176 pies de-
spués de aplicar sus frenos. La desaceleración que
proporcionan los frenos es constante ¿Cuál es el
valor de ésta?
Rpta. 22 pies/seg
21. Un conductor implicado en un accidente a…rma que
circulaba a 25 millas/hora cuando la policía revisa
su auto, determina que si los frenos se aplicaban a
25 millas/hora, el auto recorrería solamente 45 pies
antes de detenerse. Los marcos de demape del auto
en la escava del accidente miden 210 pies. Supon-
ga que la desaceleración es constante y calcule la
velocidad con la que viajaba antes del accidente.
Rpta. 5
p
210 millas/hora
22. A un circuito en serie, en el cual la inductancia es
de 0.1 H y la resistencia es de 50 se le aplica una
tensión de 30 vol Calcular la corriente
Determinar también la corirente cuando t ! 1
Rpta. i (t) =
3
5
3
5
e 500t
; i !
3
5
cuando t ! 1
23. A un circuito en serie, en la cual la resistencia es
de 200 y la resistencia es de 10 4
F; se le aplica
una tensión de 100 vol. Calcular la carga q (t) en
el capacitador si q (0) = 0 y obtenga la corriente
i (t) :
Rpta. q (t) =
1
100
1
100
e 50t
; i (t) =
1
2
e 50t
24. Un tanque contiene 200 litros de un liquido en el
cual se disuelven 30 gramos de sal, una salmuera
que contiene 1 gramo de sal por litro se bambea
al tanque con una intensidad de 4 litros por min-
uto, la solución adecuadamente mezclada se bam-
bea hacia afuera con la misma rapidez. Encuentre
el número de gramos A (t) de sal que hay en el
tanque en un cualquiera.
Rpta. A (t) = 200 170e
t
50
25. Un gran deposito esta lleno con 500 galones de
agua fuera, una salmuera que contiene 2 litros de
sal por galón se bombea al tanque a razón de 5 ga-
lones por minuto, la solución adecuadamente mez-
clada se bombea hacia afuera con la misma rapi-
dez. Halle el número de libras de sal que hay en el
tanque en un instante cualquiera.
Rpta. A (t) = 100 1000e
t
100

5. 5
26. Un gran tanque esta parcialmente lleno con 100
galones de liquido en los cuales se disuelvan 10 li-
bras de sal. Una salmuera que contiene
1
2
libra de
sal por galón se bambea al tanque con una rapi-
dez de 6 galones por minuto, la solución adecuada-
mente mezclada se bambea enseguida hacia afura
del tanque con una rapidez de 4 galones por min-
uto.
Halle el número de libras de sal que hay en el
tanque después de 30 minutos
Rpta. 64.38 libras
27. Un tanque que esta lleno con 8 galones de agua
salada en el cual hay 2 libras de sal disuelta. Agua
salada con 3 litros de sal por galón entra al tanque
a 4 galones por minuto, y la mezcla bien agitada
sale a la misma tasa.
a) Establezca una ecuación diferencial para la
cantidad de sal como una función del tiem-
po t
b) Halle la cantidad de sal como una función del
tiempo
c) Encuentre la concentración de sal después de
8 minutos
d) ¿Cuánta sal hay después de un tiempo largo?
Rpta.x (t) = 24 22e
t
2 ; 3 libras/gal; 24 libras.
28. Un tanque tiene 40 galones de agua pura. Una solu-
ción de agua salada con 1 libra de sal por galón
entra a 2 galones por minuto, y la mezcla bien ag-
itada sale a la misma tasa.
a) ¿Cuánta sal hay en el tanque en cualquier
tiempo?
b) ¿Cuándo el agua que sale tendrá
1
2
libra de
sal por galón?
Rpta. x (t) = 40 1 e
t
20 ; 13.9 minutos
29. Un tanque tiene 60 galones de agua salada con 2
libras de sal por galón, una solución con 3 libras
de sal por galón entra a 2 galones por minuto, y
la mezcla sale a la misma tasa ¿Cuándo habrá 150
libras de sal en el tanque?
Rpta. 20.8 minutos
30. Un tanque tiene 100 galones de agua salada con 40
litros de sal disuelta. Agua pura entra al tanque
a 2 galones por minuto y sale con la misma tasa.
¿Cuándo la concentración de sal será 0.2 libras por
galón? ¿Cuándo la concentración será menor que
0.01 libras por galón?
Rpta. 34.7 minutos; 184.5 minutos
31. Un tanque tiene 10 galones de agua salada con 2
libras de sal disuelta. Agua salada con 1.5 libras
de sal por galón entra a 3 galones por minuto, y la
mezcla bien agitada sale a 4 galones por minuto.
a) Encuentre la cantidad de sal en el tanque en
cualquier tiempo
b) Encuentre la concentración de sal después de
10 minutos
Rpta. x (t) = 1;5 (10 t) 0;0013 (10 t)
4
0
t 10; 1.5 libras/galón
32. Un tanque tiene 60 galones de agua pura. Una solu-
ción con 3 libras de sal por galón entra a 2 galones
por minuto y sale a 2.5 galones por minuto.
a) Encuentre la concentración de sal en el tanque
en cualquier tiempo.
b) Encuentre la concentración de sal cuando el
tanque tenga 30 galones de agua salada
Rpta. x (t) = 3
"
1 1
t
120
4
#
0
t 120; 2.82 libras/galón
33. Un tanque de 1500 galones incialmente contiene
600 galones de agua con 5 libras de sal disueltas.
El aguan entra al tanque a una razon de 9 galones
por hora que contiene una concentración de sal de
1
5 (1 + cos t) libras por galon. Si la solución bien
mezclada sale del tanque a una razon de 6 galones
por hora, Cuanta sal hay en el tanque cuando el
tanque se llena?
Rpta. 279.797 libras
34. En cierto cultivo de bacterias la razón de cremiento
es proporcional al número de bacterias presentes.
a) Si el número se duplica en 4 horas, cuantas
habra en 12 horas?. Rpta:
b) Si existen 104
al …nalizar 3 horas y 4(104
) al
…nalizar 5 horas.
35. La velocidad con que se desintegran los nucleos ra-
diactivos es proporcional al número de nucleos pre-
sentes en una muestra dada. La mitad del nucleo
original de núcleos radiactivos ha experimentado
la desintegración en un periodo de 1500 años.
a) ¿Qué porcentaje de núcleos originales radiac-
tivos continuarán después de 4500 años?
b) ¿En cuántos años quedará solamente un déci-
mo del número original de núcleos radiac-
tivos?
Rpta. 12.5 % de x0; 4983 años.
36. Una barra metálica a una temperatura de 100 F
se pone en un cuarto a una temperatura constante
de 0 F: Después de 20 minutos la temperatura de
la barra es 50 F.

6. 6
a) ¿Cuánto tiempo tardará la barra para llegar
a una temperatura de 25 F?
b) ¿Cuál será la temperatura de la barra después
de 10 minutos?
Rpta. 40 minutos; 71 F:
37. Un cuerpo a una temperatura desconocida se pone
a un refrigerador a una temperatura constante de
1 F. Si después de 20 minutos la temperatura del
cuerpo es de 40 F y después de 40 minutos es de
20 F:Hallar la temperatura inicial de éste. Rpta.
81 F
38. Una cierta presa, en su máxima capacidad, con-
tiene 1000 millones de m3
de agua. En un instante
dado, estando llena la presa, tiene una mas de
contaminantes, distribuida en forma homogénea.
Suponga que en temporadas de lluvias entra agua
a la presa a una razón de 10 millones de m3
; con
una masa de contaminantes de 0.09 % toneladas
por millón por m3
de agua y sale con la misma
rapidez. Determine la cantidad de contaminantes
en la presa en cualquier instante. ¿En cuanto tiem-
po se reducirá la contaminación total de la presa a
1.2 toneladas?. Rpta. 129.9 días.
39. un tanque inicialmente 100 dl de agua, en el cual se
dusuelven 80kg de sal. Se introducen en el tanque
agua pura a una velocidad de 4 dl/min y la mezcla,
conservada homogenea mediante agitación, sale a
la misma velocidad y va a parar a un segundo
tanque que contiene al principio 100dl de agua pu-
ra. Agitando la mezcla que sale de este segundo
tanque a la misma velocidad. Hallar la cantidad de
sal en el segundo tanque al cabo de 1 hora. Rpta.
17.4kg.
40. El uranio se descompone a una velocidad propor-
cional a la cantidad presente. Si inicialmente hay
10 gramos y después de 2 horas se ha perdido el
5 % de su masa original, hallar.
a) La cantidad restante de Uranio como función
del tiempo.
b) La cantidad de Uranio despues de 5 horas.
41. Cierto material radiactivo se desintegra con una
rapidez proporcional a la cantidad existente en ca-
da instante. En una prueba realizada con 60 mg de
este material, se observó que después de 3 horas,
solamente permanecía el 80 % de la masa original.
Hallar
a) La cantidad restante de masa en cualquier in-
stante.
b) ¿Qué cantidad de material hay después de 5
horas?
c) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que la
cantidad de material sea un cuarto de la can-
tidad inicial?
42. Se ha observado en el laboratorio que el radio se
desintegra a una rapidez proporcional a la canti-
dad de radio presente. Su vida media es de 1600
años. ¿Qué porcentaje desparecerá en un año?
43. En un cultivo de levadura la rapidez de cambio
es proporcional a la cantidad existente. Si la canti-
dad de cultivo se duplica en 4 horas, ¿Qué cantidad
puede esperarse al cabo de 12 horas?
44. Un cultivo tiene inicialmente una cantidad N0 de
bacterias. Para t = 1 hora, el número de bacterias
medido es 3
2 N0: Si la rapidez de multiplicación es
proporcional al número de bacterias presentes, de-
termine el tiempo necesario para que el número de
bacterias se triplique.
45. En cierto zoológico se ha observado que la can-
tidad de animales aumenta proporcionalmente al
número actual de dichos animales. Si después de
5 años el ´numero se ha duplicado y después de si-
ete años el nu’mero de animales es 576, hallar el
número de animales con que se contaba el ´día de
la inaguración.
46. Supóngase que la población P de bacterias en un
cultivo al tiempo t; cambia a una razóm directa-
mente proporcional a P2
P. Si inicialmente hay
1000 bacterias y después de 5 horas la población
se redujo a 100 baterias, determine:
a) La población como función del tiempo.
b) La población después de un tiempo grande.
47. Al apagar un motor su temperatura es de 98 C y
el medio en que se encuentra se conserva a 21 C.
Si después de 10 minutos el motor se ha enfriado a
88 C, encuentre:
a) La temperatura como función del tiempo.
b) El instante en el cual su temperatura es de
35 C:
48. Un cuerpo a una temperatura de 50 F se coloca
al aire libre donde la temperatura es de 100 F: Si
después de 4 minutos la temperatura del cuerpo es
de 60 F; Cuánto tiempo transcurrirá para que la
temperatura del cuerpo sea de 75 F? Cuál será su
temperatura después de 20 minutos?.
49. Un cuerpo a una temperatura desconocida se colo-
ca en un cuarto que se mantiene a una temper-
atura constante de 30 F: Si después de 10 minutos
la temperatura del cuerpo es de 0 F y después de
20 minutos la temperatura del cuerpo es de 15 F;
Cuál es la temperatura inicialdel cuerpo?

7. 7
50. Un tanque de 500 galones contiene inicialmente 300
galones de solución salina en la que se han disuelto
50 libras de sal. Se agrega solución salina que con-
tiene 3 libras de sal por galón con una rapidez de 4
galones por minuto. Determine cuánta sal hay en
el tanque en el momento que éste se desborda.
51. Un tanque de 100 litros de una solución que consta
de 100 kg de sal disueltos en agua. Se bombea agua
pura hacia el tanque a razón de 5 litros por segun-
do y la mezcla, que se mantiene uniforme mediante
agitación, se extrae a la misma razón. Cuánto tiem-
po pasará antes de que queden solamente 10kg de
sal en el tanque?
52. Un tanque tiene 60 galones de agua pura. Una solu-
ción con 3 libras de sal por galón entra a 2 galones
por minuto y la mezcla bien agitada sale a 2.5 ga-
lones por minuto.
a) Halle el número de libras de sal que hay en el
tanque en cualquier tiempo t:
b) Encuentre la concentración de sal en el tanque
cuando contenga 30 galones de agua salada.
53. El lago Ontario tiene un volumen de 1636 km3
y una concentración inicial de contaminantes del
0.25 %. Hay un ingreso anual de 209 km3
de agua
con una concentración de contaminantes del 0.05 %
y un derrame anual de igual cantidad, bien mez-
clada en el lago. Cu’anto tiempo pasará para que
la concentración de contaminantes en el estanque
se reduzca al 0.1 %?
54. Un tanque de 500 galones contiene inicialmente 100
galones de agua, en la cual se han disuelto 50 li-
bras de sal. Comenzando en t = 0; una salmuera
que contiene una concentración de 2 libras de sal
por galón entra al tanque a razón de 5 galones por
segundo. La mezcla se mantiene uniforme mediante
agitación, y estando bien agitada sale del tanque
a una rapidez de 3 galones por segundo. Qué can-
tidad de sal contendrá el tanque cuando esté lleno
de salmuera?
55. Un tanque A contiene 100 litros de salmuera, que
se obtuvo al disolver 40 kg de sal en agua. Se in-
troduce en este tanque una salmuera, cuya concen-
tración es de 3 kilogramos por litro, a una rapidez
de 2 litros por minuto. La mezcla se conserva ho-
mogénea, sale con la misma rapidez a va a para a
un segundo tanque B que contiene al principio 100
litros de salmuera a una concentración de 0.1 kilo-
gramos por litro. Agitando se mantiene homogénea
la mezclada en el tanque B y sale de éste con una
rapidez de 1 litro por minuto. Hallar la cantidad
de sal en cada uno de los tanques en cualquier in-
stante.
56. A un circuito en serie, en el cual la inductancia es
de 0.1 henry y la resistencia es de 50 ohms, se le
aplica una tensión de 30 volts. Determine la cor-
riente i (t) si i (0) = 0: Cuál será el valor de la
corriente después de un tiempo largo?
57. A un circuito en serie, en el cual la inductancia es
de 0.1 henry y la resistencia es de 50 ohms, se le
aplica una tensión de 30 volts. Determine la cor-
riente i (t) si i (0) = 0: Cuál será el valor de la
corriente después de un tiempo largo?
58. Un inductor de L henrys varía con el tiempo t (en
segundos) de acuerdo a L = 0;05+0;001t: Se conec-
ta en serie con un generador cuya fem es de 40 volts
y una resistencia de 10 ohms. Si la corriente i (t)
es cero inicialmente encuentre i para todo t > 0:
Cuál es la corriente máxima teórica?.
59. Una resistencia de 20 ohms se conecta en serie a
una condensador de 0.01 faraday y una fem en volts
dad por 40e 3t
+ 20e 6t
: Si q (0) = 0; muestre
que la carga máxima en el condensador es de 0.25
coulumbs.
60. Si Q es la cantidad de material radiactivo presente
en el instante t, entonces la ecaución diferencial
es dQ
dt = kQ; donde k es la constante de desin-
tegración. Se llama tiempo de vida media de un
material radiactivo al tiempo necesario para que
una cantidad Q0 se transforme en Q0
2 : Si T es el
tiempo de vida media, mostrar que Q = Q0
1
2
t
T
:
61. Suponga que un elemento radiactivo A se descom-
pone en un segundo elemento radiactivo B y este a
su vez se descompone en un tercer elemento radiac-
tivo C. Si la cantidad de A presente inicialmente es
x0 y las cantidades de A y B son x e y respectiva-
mente en el instante t y si k1 y k2 son las constantes
de rapidez de descomposción, hallar y en función
de t: Rpta. k1 6= k2; y = k1k0
k2 k1
e k1t
e k2t
; si
k1 = k2; y = k1x0te k1t
62. El aire de un teatro de dimensiones 12 8 4 met-
ros cúbicos contiene 0;12 % de su volumne de CO2.
Se desea renovar en 10 minutos el aire, de modo
que llegue a contener solamente el 0;06 % de CO2.
Calcular el número de metros cúbicos por minuto
que deben renovarse, suponiendo que el aire exte-
rior contiene 0;04 % de CO2: Rpta. 53.23 metros
cúbicos de aire por minuto.
63. Un tanque contiene 200 litro de una solución de
colorante con una concentración de 1 gramo por
litro. El tanque debe enjuagarse con agua limpia
que entra a razón de 2 litros por minuto y la solu-
ción bien homogenizada sale con la misma rapidez.
Encuentre el tiempo que transcurrirá hasta que la
concentración del colorante en el tanque alcance
1 % de su valor original. Rpta. 460.5 minutos.

8. 8
64. Un tanque contiene inicialmente agua pura.
Salmuera que contiene 2 libras de sal por galón en-
tra al tanque a una velocidad de 4 galones por min-
uto. Asumiendo la mezcla uniforme, la salmuera
sale a una velocidad de 3 galones por minuto. Si
la concentración alcanza el 90 % de su valor máxi-
mo en 30 minutos, calcular los galones de agua que
había inicialmente en el tanque. Rpta. Q = 30
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