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SOLIDOS DE REVOLUCIÓN



    1. MARCO TEORICO:

     SUPERFICIE DE REVOLUCION


Superficie de revolución es la que genera una línea cualquiera, plana o de doble curvatura al
girar alrededor de un eje recto, llamado por ello eje de la superficie.

-Algunos     ejemplos      comunes      de     una    superficie     de      revolución    son:
    • Una superficie de revolución cilíndrica es generada por la rotación de una línea recta,
paralela al eje de rotación, alrededor del mismo; esta superficie determina un volumen
denominado cilindro, que se denomina sólido de revolución; la distancia entre el eje y la recta
se                                       denomina                                        radio.
   • Una superficie de revolución cónica es generada por la rotación de una recta alrededor de
un eje al cual interseca en un punto, llamado vértice o ápice, de forma que el ángulo bajo el
que la generatriz corta al eje es constante; la superficie cónica delimita al volumen
denominado                                                                               cono.
    • Una superficie de revolución esférica está generada por la rotación de un semicírculo
alrededor de su diámetro; ésta encierra al sólido de revolución llamado esfera.
   • Una superficie de revolución toroidal está generada por la rotación de una circunferencia
alrededor de un eje que no la interseca en ningún punto; esta superficie se denomina toro.

VOLUMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCION

Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de un
eje. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta al girar un triángulo recto alrededor de uno
de sus catetos, el cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.

     Calculo de volúmenes

Método del disco.

Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El
volumen de este disco de radio R y de anchura ω es:

    Volumen del disco = πR 2 w

Para ver cómo usar el volumen del disco y para calcular el volumen de un sólido de revolución
general, se hacen n particiones en la grafica

Estas divisiones determinan en el sólido n discos cuya suma se aproxima al volumen del
mismo. Teniendo en cuenta que el volumen
de un disco es πR 2 w , la suma de Riemann asociada a la partición, y que da un volumen
aproximado del sólido es:

            Fórmula del volumen por discos

Por tanto, recordando la definición de integral definida de Riemann se obtiene que:
si se toma el eje de revolución verticalmente, se obtiene una fórmula similar:

Antes de comenzar a esbozar diversos ejemplos de estos métodos, estableceremos algunas
pautas que les ayudarán a resolver problemas sobre sólidos de revolución.

Como hallar volúmenes por el método del disco

1.Dibujar la región y trazar sobre esta un segmento que sea PERPENDICULAR al eje
 de rotación. La región al hacerla girar alrededor del eje de rotación generará una sección
transversal típica en forma de disco o arandela dependiendo el caso.

2. Hallar: para el caso del disco el radio principal y para el caso de la arandela los radios interno
y externo.
3.Establecer los límites de integración.
4.Por último integrar para hallar el volumen deseado.

Método de las arandelas

Objetivo: Analizar los sólidos de revolución de sección hueca y deducir la expresión que
permite calcular su volumen.


Como vimos en el apartado anterior, un volumen de revolución se genera cuando una sección
rota alrededor de un eje. En las siguientes escenas la sección está conformada por dos
funciones y un segmento vertical (x = b). Cambia la posición de este segmento con la barra de
desplazamiento al lugar que desees, luego genera el sólido utilizando la otra barra llamada
"desarrollo". ¿Qué observas? El volumen generado es un sólido de sección hueca.

Similar al método de los discos, el volumen de un sólido de revolución de sección hueca es
igual a la suma de n arandelas. A mayor número de arandelas, el sólido se parece más al
original. Es decir, cuando n tiende a un número muy grande el volumen de nuestro sólido será
cercano a la suma de todas las arandelas conformadas. El volumen de una arandela está dado
por la fórmula del prisma: Área de la base por la altura. Como el área de la base es una corona
circular cuyos radios son las funciones que delimitan la sección rotada y sí suponemos que f(x)
es el radio mayor y g(x) el menor, podemos decir que el volumen es:

Esta aproximación mejora si n tiende a infinito, lo cual nos regresa a la definición de integral;
es decir, en la que los límites a y b son los extremos sobre el eje x de nuestro sólido de
revolución.

Otra forma, que nos llevaría a la misma expresión, es calcular el volumen del sólido sin hueco y
restarle el volumen del hueco.

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  • 1. SOLIDOS DE REVOLUCIÓN 1. MARCO TEORICO: SUPERFICIE DE REVOLUCION Superficie de revolución es la que genera una línea cualquiera, plana o de doble curvatura al girar alrededor de un eje recto, llamado por ello eje de la superficie. -Algunos ejemplos comunes de una superficie de revolución son: • Una superficie de revolución cilíndrica es generada por la rotación de una línea recta, paralela al eje de rotación, alrededor del mismo; esta superficie determina un volumen denominado cilindro, que se denomina sólido de revolución; la distancia entre el eje y la recta se denomina radio. • Una superficie de revolución cónica es generada por la rotación de una recta alrededor de un eje al cual interseca en un punto, llamado vértice o ápice, de forma que el ángulo bajo el que la generatriz corta al eje es constante; la superficie cónica delimita al volumen denominado cono. • Una superficie de revolución esférica está generada por la rotación de un semicírculo alrededor de su diámetro; ésta encierra al sólido de revolución llamado esfera. • Una superficie de revolución toroidal está generada por la rotación de una circunferencia alrededor de un eje que no la interseca en ningún punto; esta superficie se denomina toro. VOLUMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCION Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta al girar un triángulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados. Calculo de volúmenes Método del disco. Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El volumen de este disco de radio R y de anchura ω es: Volumen del disco = πR 2 w Para ver cómo usar el volumen del disco y para calcular el volumen de un sólido de revolución general, se hacen n particiones en la grafica Estas divisiones determinan en el sólido n discos cuya suma se aproxima al volumen del mismo. Teniendo en cuenta que el volumen de un disco es πR 2 w , la suma de Riemann asociada a la partición, y que da un volumen aproximado del sólido es: Fórmula del volumen por discos Por tanto, recordando la definición de integral definida de Riemann se obtiene que:
  • 2. si se toma el eje de revolución verticalmente, se obtiene una fórmula similar: Antes de comenzar a esbozar diversos ejemplos de estos métodos, estableceremos algunas pautas que les ayudarán a resolver problemas sobre sólidos de revolución. Como hallar volúmenes por el método del disco 1.Dibujar la región y trazar sobre esta un segmento que sea PERPENDICULAR al eje de rotación. La región al hacerla girar alrededor del eje de rotación generará una sección transversal típica en forma de disco o arandela dependiendo el caso. 2. Hallar: para el caso del disco el radio principal y para el caso de la arandela los radios interno y externo. 3.Establecer los límites de integración. 4.Por último integrar para hallar el volumen deseado. Método de las arandelas Objetivo: Analizar los sólidos de revolución de sección hueca y deducir la expresión que permite calcular su volumen. Como vimos en el apartado anterior, un volumen de revolución se genera cuando una sección rota alrededor de un eje. En las siguientes escenas la sección está conformada por dos funciones y un segmento vertical (x = b). Cambia la posición de este segmento con la barra de desplazamiento al lugar que desees, luego genera el sólido utilizando la otra barra llamada "desarrollo". ¿Qué observas? El volumen generado es un sólido de sección hueca. Similar al método de los discos, el volumen de un sólido de revolución de sección hueca es igual a la suma de n arandelas. A mayor número de arandelas, el sólido se parece más al original. Es decir, cuando n tiende a un número muy grande el volumen de nuestro sólido será cercano a la suma de todas las arandelas conformadas. El volumen de una arandela está dado por la fórmula del prisma: Área de la base por la altura. Como el área de la base es una corona circular cuyos radios son las funciones que delimitan la sección rotada y sí suponemos que f(x) es el radio mayor y g(x) el menor, podemos decir que el volumen es: Esta aproximación mejora si n tiende a infinito, lo cual nos regresa a la definición de integral; es decir, en la que los límites a y b son los extremos sobre el eje x de nuestro sólido de revolución. Otra forma, que nos llevaría a la misma expresión, es calcular el volumen del sólido sin hueco y restarle el volumen del hueco.