hidraulica

Dedicado a mis nietas
Isabel y Verónica

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3
AGRADECIMIENTO
Quiero expresar mi más sincero agradecimiento al profesor Julián Aguirre Pe, quien con
dedicación y detenimiento leyó los manuscritos haciendo las correcciones necesarias con el
fin de obtener una mejor claridad en la explicación de los problemas.
A la profesora Alix T. Moncada M., quien con entusiasmo y esmero, colaboró ampliamente
en la realización de
los gráficos, haciendo las sugerencias necesarias para su mejoramiento. Ellos dispusieron de
gran parte de su tiempo libre, para que este trabajo fuera realizado satisfactoriamente en el
tiempo previsto.
Agradezco también a Mildred Pérez, por su dedicación y colaboración prestada de una u
otra forma y en todo momento en que se hizo necesaria su ayuda.
Lionel

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
4
INDICE
Capítulo 1 Pág.
Flujo de fluidos reales. 5
Capítulo 2
Flujo permanente en conductos cerrados. 39
Capítulo 3
Principio de energía y cantidad de movimiento aplicado al flujo en canales. 85
Capítulo 4
Flujo uniforme en canales abiertos. 117
Capítulo 5
Flujo gradualmente variado. 155
Capítulo 6
Flujo de un fluido ideal. 205

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
5
Capítulo 1
FLUJO DE FLUIDOS REALES
Determinación de la longitud de la placa x.
Considerando como hipótesis que el flujo en la placa es turbulento (RX > 5 x 105
), tendremos
entonces:
5/1
5/4
5/1
5/1
5/15/1
X
U
37.0
x
x
xU
37.0xU
37.0
xR
37.0
x




























4/1
5
4/54/14/54/55/1
10x6.1
3600
1000x108
37.0
0074.0
x
U
37.0
x
U
37.0
x






























 

















 
x = 0.2783 m
Determinación del número de Reynolds de la placa.
5
X5XX 10x22.5R
10x6.1
2783.0
3600
1000x108
R
xU
R 








 
como RX = 5.22 x 105
> 5 x 105
, entonces el flujo es turbulento y la hipótesis es cierta.
Problema F.II-1.01
El aire a 20º C (ν = 1.6 x 10-5
m2
/s) con una presión absoluta de 1.00 kg/cm2
fluye a lo
largo de una placa con una velocidad de 108.00 km/h. ¿Qué longitud debe tener la placa
para obtener un espesor de la capa límite de 7.40 mm?

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
6
Determinación de la ecuación de crecimiento de la capa límite laminar.
El esfuerzo cortante en la placa es:
yd
U
u
1
U
u
x
U
0
2
0 











Si  η η no depende de
y
y d y d y   

    
Los nuevos límites de integración son:
0
0y
0ypara 




1
y
ypara 





entonces el esfuerzo cortante es:
ηd
U
u
1
U
u
x
U
1
0
2
0  









2
23
U
uy
como 

. Al sustituirlo en la expresión anterior se tiene:
       






1
0
4322
0
1
0
222
0 d412113
x
Uηd23123
x
U
1
0
54322
0
5
4
4
12
3
11
2
3
x
U 









x30
U2
0



Problema F.II-1.02
Utilizando un perfil de velocidades dado por
2
y
2
y
3
U
u














 , determinar:
a) La ecuación de crecimiento de la capa límite laminar.
b) La tensión de cortadura.
c) La relación entre el espesor desplazado  y1 .

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
7
Por otra parte, según la ley de viscosidad de Newton, en la pared se tiene:
U
yy
u
yy
U
u

































22
2323

, entonces
0y
20
0y
2
0
0y
0
y43
yd
U
y
2
y
3d
yd
ud




























































U
30
igualando las expresiones del esfuerzo cortante 0 se tiene:
xd
U
90
dxd
U
90
d
U
3
x30
U2








integrando se tiene:
U
x
42.13
U
x180
U
x90
2
2







Determinación del esfuerzo cortante.
Si se sustituye  en la expresión del esfuerzo cortante 0 se tiene:
x
U
224.0
U
x180
U
3
3
00









 

Determinación de la relación entre el espesor desplazado  y1 .
El espesor desplazado 1 es la distancia que habría que desplazar la pared hacia dentro del
fluido para que el caudal fuese el mismo que se tendría si no existiera el efecto de frenado de
las partículas próximas a la pared, lo cual se representa en la siguiente figura:

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
8
El espesor desplazado 1 está expresado analíticamente por
  














0
1
0
1
0
1 yd
U
u
1yd
U
u
U
U
yduUU
Para la distribución de velocidades del presente caso obtenemos, al reemplazar
2
23por
U
u
 y hacer el cambio de variable y =  , los nuevos índices de integración,
los cuales resultan: para y = 0,  = 0, para y = ,  = 1
  
1
0
2
1 d231
Al integrar









3
2
2
3
1
3
2
2
3
1
1
0
32
1
6
1


Problema F.II-1.03
Desarrollar:
a) Una expresión para la velocidad media V.
b) La ecuación de crecimiento de la capa límite turbulenta en tuberías circulares
de radio r0, a partir de 5/1
X
9/1
R
185.0
fy
y
U
u









__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
9
Determinación de la velocidad media V.
9/1
9/1
9/19/1
y
U
u
y
Uu
y
U
u
















    







R
0
9/1
9/1
R
0
R
0
rdr2y
U
Qrdr2uQdAuQ
La relación que existe entre el radio de la tubería R, el radio variable r, y la distancia desde la
pared y, es:
ydrdyRrryR 
los nuevos límites de integración son:
para r = 0 RyyR0yRr 
para r = R 0yyRRyRr 
Al sustituir en la expresión del caudal se obtiene:
     






0
R
9/109/1
9/1
0
R
9/1
9/1
ydyRy
2U
QydyRy
2U
Q
























 9/199/19
9/1
0
R
9/199/10
9/1
R
19
9
R
10
9
0
2U
Qy
19
9
Ry
10
92U
Q
9/1
9/19
9/1
9/19
RU
853.0Q
19
9
10
9R2U
Q












Por otra parte:
2
RVQAVQ 
al igualar las expresiones del caudal se tiene:
9/1
9/12
9/19
9/1
9/19
2 R
U853.0V
R
RU
853.0V
RU
853.0RV 












Determinación del espesor de la capa límite.
El esfuerzo cortante en placas es:
yd
U
u
1
U
u
x
U
0
2
0 












__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
10
Si  ydedependenoηdydyη
y


0
0y
0ypara 




1
y
ypara 





ηd
U
u
1
U
u
x
U
1
0
2
0  









9/1
U
uy
Como 

, al sustituirlo en la expresión anterior se tiene:
    






1
0
9/29/12
0
1
0
9/19/12
0 d
x
Uηd1
x
U



















11
9
10
9
x
U
11
9
10
9
x
U 2
0
1
0
9/119/102
0
x
U0818.0 2
0



En tuberías el esfuerzo cortante es:
8
fV
8
f
V
2
0
0 



como en el presente caso,
9/1
5/15/1
5/1
5/1
x
R
U853.0Vy
xU
185.0
f
R
185.0
f 









entonces,
5/15/19/2
5/19/222
0
5/15/1
5/1
29/1
0
xU8
185.0RU853.0
8
xU
185.0R
U853.0








 


















__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
11
5/15/19/2
5/19/2
2
0
xU
R
U01683.0



igualando las expresiones del esfuerzo cortante se tiene:
5/15/19/2
5/19/2
22
xU
R
U0.01683
x
U0818.0






xdx
U
R205.0d
xU
R
0.01683
x
0818.0 5/1
5/1
9/29/2
5/15/19/2
5/19/2






 






  15/1
5/1
9/29/115/4
5/1
9/29/11
x
4
5
U
R205.0
11
9
xdx
4
5
U
R205.0
11
9 





 





 

x
4
5
xU
R205.0
9
11
x
4
5
xU
R205.0
11
9
5/1
9/29/11
5/1
9/29/11





 





 

11/95/1
9/2
x
4
5
xU
R205.0
9
11













 

55/9
X
11/911/2
R
xR387.0

Determinación del número de Reynolds del flujo completamente establecido.
899R
98
10
73.91x05.0x00.20
R
Dv
R 










El flujo es laminar, por lo tanto toda la capa límite es laminar hasta que  sea igual a la mitad
del diámetro.
Problema F.II-1.04
Determinar la longitud de establecimiento del flujo en una tubería circular de diámetro
D = 5.00 cm, si en ella fluye aceite con una velocidad media v = 20.00 m/s. La
viscosidad del aceite es μ = 10 poise y la densidad ρ = 91.73 UTM/m3
.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
12
La ecuación para la capa límite laminar es:
2/1
xR
65.4
x



















2
22
2
2
X
2
2
2
X
2
2
65.4
U
x
xU
65.4
xR
65.4
xR
65.4
x
m52.0x
98
10
65.4
73.91x00.20x
2
05.0
x
65.4
U
2
D
x
2
2
2
2






















El esfuerzo cortante en placas es:
yd
U
u
1
U
u
x
U
0
2
0 











Problema F.II-1.05
Hallar es espesor de la capa límite laminar en función de de la distancia x, y del
número de Reynolds, si el perfil de velocidades está dado por
3/1
y
U
u







 y el esfuerzo
cortante obtenido experimentalmente es



U50.2
0 .

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
13
y


0
0y
0ypara 




1
y
ypara 





ηd
U
u
1
U
u
x
U
1
0
2
0  









Como 3/1
U
uy


, al sustituirlo en la expresión anterior se tiene:
    






1
0
3/23/12
0
1
0
3/13/12
0 d
x
Uηd1
x
U

















5
3
4
3
x
U
5
3
4
3
x
U 2
0
1
0
3/53/42
0
20
3
x
U2
0



por otra parte experimentalmente se encontró que:



U50.2
0
Igualando las expresiones de los esfuerzos cortantes se tiene que:
xd
U
U50.2
3
20
d
U50.2
20
3
xd
d
U 2
2








C
U
x
3
50
2
2






__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
14
Las condiciones de borde son para x = 0,  = 0. Al sustituir estos valores en la expresión
anterior se obtiene C = 0, así:
x
2
2
2
2
2
2
R
33.33
xxU
33.33
xU
x
3
100
U
x
3
50
2















2/1
xR
77.5
x


Cuando la velocidad es de 1.00 m/s
Supongamos que la lámina se encuentra en reposo y sobre ella actúa una corriente de aire con
una velocidad U = 1.00 m/s como se muestra en el siguiente esquema.
Determinación del número de Reynolds RL al final de la lámina.
55
L5LL 10x510x786.1R
10x40.1
50.2x00.1
R
xU
R 

 
por lo tanto la capa límite es laminar y su espesor es:
 
m0275.0
10x786.1
65.4x50.2
R
65.4x
R
65.4
x 2/152/1
L
2/1
L


Problema F.II-1.06
Una lámina plana horizontal y lisa de 2.50 m de largo y 1.00 m de ancho se mueve
longitudinalmente en aire en reposo con una velocidad de 1.00 m/s. (γ = 1.20 kg/m3
y
ν = 1.40 x 10-5
m2
/s).
a) Calcular el espesor de la capa límite al final de la placa y la potencia necesaria
para mantener el movimiento de la lámina.
b) Si la velocidad de la lámina aumenta a 5.00 m/s ¿Cuál sería el espesor de la capa
límite al final de la lámina? y ¿cuál la potencia requerida?

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
15
se producen dos capas limites una en la cara superior y otra en la cara superior.
Para este caso el coeficiente de arrastre CD es:
 
003.0C
10x786.1
288.1
C
R
288.1
C D2/15
D2/1
L
D 
Determinación de la fuerza de arrastre de las dos caras.
 




 






 BL
2
U
g
C2FA
2
U
C2F
2
DD
2
DD
  kg00092.000.1x50.2
2
00.1
81.9
20.1
003.02F
2
D 






Determinación de la potencia.
s
mkg
00092.0P00.1x00092.0PUFP D 
Cuando la velocidad es de 5.00 m/s
Determinación del número de Reynolds RL al final de la lámina.
55
L5LL 10x510x9.8R
10x40.1
50.2x00.5
R
xU
R 

 
por lo tanto la capa límite es turbulenta y su espesor es:
 
m0597.0
10x9.8
50.2x37.0
R
x37.0
R
37.0
x 5/155/1
L
5/1
L


Para la capa límite turbulenta después de corregir la resistencia de la sección laminar el
coeficiente de arrastre CD es:

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
16
 7
L
5
L
5/1
L
D 10x1R10x5paraválida
R
1700
R
074.0
C 
 
0029.0C
10x9.8
1700
10x9.8
074.0
C D55/15
D 
Determinación de la fuerza de arrastre de las dos caras.
 




 






 BL
2
U
g
C2FA
2
U
C2F
2
DD
2
DD
  kg022.000.1x50.2
2
00.5
81.9
20.1
0029.02F
2
D 






Determinación de la potencia.
s
mkg
0111.0P00.5x022.0PUFP D 
Determinación de la longitud de la placa.
m50.0L
60.0
10x300000
L
U
R
L
LU
R
6
L
L 





m00424.0
300000
50.0x65.4
R
x65.4
R
65.4
x 2/12/1
X
2/1
X


Problema F.II-1.07
Una corriente de agua (ν = 1 x 10-6
m2
/s) con una velocidad U = 0.60 m/s actúa sobre
una placa plana y lisa de ancho B = 0.50 m. Al final de la placa en número de Reynolds es
de RX = 300000. Determinar:
a) El espesor de la capa límite al final de la placa.
b) La velocidad en la sección terminal de la placa para:
 321 y,80.0y,40.0y si el perfil de velocidades esta dado por:
3
2
1
2
3
U
u
 donde:


y
c) La fuerza de arrastre que el agua ejerce sobre la placa.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
17
Determinacióndelasvelocidades























3
3 y
2
1y
2
3
Uu
2
1
2
3
U
u
 4.0ypara 1
    s/m34.0u4.0
2
1
4.0
2
3
60.0u
y
2
1y
2
3
Uu4.0
y 3
3
1































 8.0ypara 2
    s/m57.0u8.0
2
1
8.0
2
3
60.0u
y
2
1y
2
3
Uu8.0
y 3
3
2































3ypara
    s/m60.0u0.1
2
1
0.1
2
3
60.0u
y
2
1y
2
3
Uu0.1
y 3
3
3































Determinación de la fuerza de arrastre que se produce sobre la placa.
Para flujo laminar el coeficiente de arrastre es:

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
18
00235.0C
300000
288.1
C
R
288.1
C D2/1D2/1
X
D 
 











 50.0x50.0
2
60.0
81.9
1000
x00235.02FA
2
U
C2F
2
D
2
DD
FD = 0.0216 kg
Al inicio del canal, zona I, se produce una capa límite laminar hasta que R = 500000, esta
distancia es:
m42.0x
20.1
10x1x500000
x
U
R
x
xU
R
6
X
X 





desde este punto se comienza a producir, en la zona II, una capa límite turbulenta, para esa
distancia el espesor de la capa límite laminar es:
m0027.0
500000
42.0x65.4
R
x65.4
R
65.4
x 2/12/1
x
2/1
x


Problema F.II-1.08
Una corriente de agua (ν = 1 x 10-6
m2
/s) con una profundidad de 0.50 m. fluye sobre el
fondo de un canal desarrollando una capa límite. La velocidad al uniforme al inicio del
canal es de U = 1.20 m/s. Determinar la longitud necesaria para que la capa límite ocupe
toda la sección del flujo, es decir para que m50.0 .

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
19
despreciando la zona I y considerando que la capa límite es toda turbulenta se tiene:
5/1
5/4
5/1
5/1
5/15/1
X
U
37.0
x
x
xU
37.0xU
37.0
xR
37.0
x




























4/1
5
4/54/14/54/55/1
10x6.1
20.1
37.0
50.0
x
U
37.0
x
U
37.0
x 























 

















 
la capa límite turbulenta alcanza la superficie del agua a una distancia x = 25.90 m
Determinación de la ecuación de crecimiento de la capa límite laminar.
El esfuerzo cortante en la placa es:
yd
U
u
1
U
u
x
U
0
2
0 











y


Los nuevos límites de integración son:
0
0y
0ypara 




1
y
ypara 





Problema F.II-1.09
Utilizando el perfil de velocidades en una placa dada por


y
U
u
, determinar:
a) La ecuación de crecimiento de la capa límite laminar
x

b) La ecuación del esfuerzo cortante 0
c) La expresión de la fuerza de arrastre FD para una placa de longitud L y ancho
1.00 m.
d) La ecuación del coeficiente de arrastre CD.
e) La longitud crítica LC para la cual comienza a generarse la turbulencia.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
20
ηd
U
u
1
U
u
x
U
1
0
2
0  










 U
uy
como , al sustituirlo en la expresión anterior se tiene:
    






1
0
22
0
1
0
2
0 d
x
Uηd1
x
U
1
0
322
0
3
1
2
1
x
U 









x6
U2
0



Por otra parte, según la ley de viscosidad de Newton, en la pared se tiene, para
U
y
u
y
U
u



 , entonces
0y
0
0y
0
0y
0
U
yd
U
y
d
yd
ud
























U
0
igualando las expresiones del esfuerzo cortante 0 se tiene:
Cx
U
6
2
xd
U
6
d
U
x6
U 22













Las condiciones de borde son para x = 0,  = 0. Al sustituir estos valores en la expresión
anterior se obtiene C = 0.
2/1
X
2
2
2
2
2
2
R
12
xxU
12
x
x
U
6
x
1
2x
1
x
U
6
2
























__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
21
2/1
XR
464.3
x


Determinación del esfuerzo cortante 0
2/1
X0
2/1
X
00 RU2887.0
R
3.464
UU












x
U
2887.0
xU
U2887.0
3
0
2/1
0









Determinación de la fuerza de arrastre FD.
 







 

L
0
2/1
3
D
L
0
3
0D
L
0
0D
x
xd
U2887.0Fxd
x
U
2887.0FxdF
   LUL577.0Fx2U2887.0F 32/1
D
L
0
2/13
D 
2/1
X
2
D2/1
X
2/1
2/12/12/1
32/1
D
R
L
U577.0F
R
LU
LUL577.0
F 










Determinación del coeficiente de arrastre CD.
 L00.1
2
U
CFA
2
U
CF
2
DD
2
DD 
Igualando las expresiones de la fuerza de arrastre FD se tiene:
  2/1
X
D2/1
X
2
2
D
R
154.1
C
R
L
U577.0L00.1
2
U
C 
Determinación de la longitud crítica LC para la cual comienza a generarse la turbulencia.
U
500000
L
LU
500000500000R C
C
L





__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
22
Determinación del número de Reynolds de la placa.
7
L6LL 10x67.1R
10
20.1x
3600
1000x00.50
R
LU
R 








 
Determinación del coeficiente de arrastre CD (válido para 106
< RL < 109
)
    
00277.0C
10x67.1log
455.0
C
Rlog
455.0
C D58.27
D58.2
e
D 
Determinación de la fuerza sobre los esquís.
   15.0x20.1x2
2
3600
1000x00.50
102x00277.0FA2
2
U
CF
2
2
D







F = 9.81 kg
Determinación de la potencia P.
    .CV81.1P
75
3600
1000x00.50
x81.9
P
75
UF
P )CV(CVCV 







Problema F.II-1.10
Determinar la potencia requerida para vencer la resistencia al avance de un esquiador que
es arrastrado sobre el agua en reposo con una velocidad de 50.00 km/h. Cada uno de los
esquís (considerados planos) tiene 1.20 m de longitud y 0.15 m de ancho. La viscosidad
cinemática del agua es 10-6
m2
/s y la densidad es 102.00 UTM/m3
.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
23
Determinación de las densidades del aire y del helio.
En los gráficos correspondientes de viscosidad absoluta y viscosidad cinemática para algunos
gases y líquidos (gases a presión atmosférica normal) se encuentra para una temperatura de
50º C los valores que se muestran en la siguiente tabla.
μ (kg.s/m2
)
Viscosidad absoluta
 (m2
/s)
Viscosidad cinemática
ρ (UTM/m3
)
 /
Densidad
Aire 2.0 x 10-6
1.9 x 10-5
 0.11
Helio 2.2 x 10-6
1.4 x 10-4
 0.02
a) Cuando el globo asciende libremente las fuerzas que actúan se muestran en el
siguiente diagrama de cuerpo libre.
Determinacióndelasdiferentesfuerzasqueactúansobreelcuerpolibreparalacondición a.
Problema F.II-1.11
a) Un globo esférico contiene helio y asciende en aire a 50º C a un presión
atmosférica normal. El globo y la carga (sin helio) pesan 150.00 kg. Qué diámetro
permite una ascensión a una velocidad de 3.00 m/s considerando que el coeficiente de
arrastre CD es 0.21.
b) Si éste globo se sujeta al suelo mediante un cable y sopla una corriente de aire a una
velocidad de 10.00 km/h cuál es el ángulo de inclinación del cable y cuál su tensión.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
24
E
  33
aire
3
aireaire D565.081.9x11.0D
24
4
g
2
D
3
4
g 















FD 1
22
22
aireD D082.0D
42
00.3
11.0x21.0A
2
U
C 




 

w 150.00
w1   33
helio
3
heliohelio D103.081.9x02.0D
24
4
g
2
D
3
4
g 















La condición de equilibrio para esta condición es   0FV , es decir:
E – FD 1 – w – w1 = 0
Al sustituir las expresiones anteriores en la ecuación de equilibrio se tiene:
000.150D0D085.0D462.00D103.000.150D082.0D565.0 23323

ésta ecuación cúbica tiene dos soluciones imaginaras y una solución real positiva cuyo valor
es D = 6.93 m.
b) cuando el globo se encuentra sujeto al suelo y actúa una corriente de aire las fuerzas que
actúan se muestran en el siguiente diagrama de cuerpo libre.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
25
Determinación del coeficiente de arrastre para la condición b.
6
5
10x01.1R
10x9.1
93.6x
3600
1000x10
R
DU
R 








 
Determinación de las diferentes fuerzas que actúan sobre el cuerpo libre para la condición b.
E
  kg95.18781.9x11.0x93.6x14.3
24
4
g
2
D
3
4
g 3
aire
3
aireaire 















FD 2
kg98.31993.6
42
3600
1000x100
11.0x20.0A
2
U
C 2
2
2
aireD 




 







w 150.00
w1
  kg17.3481.9x02.0x93.6
24
4
g
2
D
3
4
g 3
helio
3
heliohelio 















Las condiciones de equilibrio son:   0Fy0F VH , es decir:
11V wwEsenT0senTwwE0F 
2D2DH FcosT0cosTF0F 

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
26
Dividiendo, las ecuaciones anteriores, miembro a miembro se tiene:
2D
1
F
wwE
tg


Sustituyendo los valores numéricos se obtiene:
´´37´40º0º677.00118.0tg
98.319
17.3400.15095.187
tg 


a) Cuando la bola de densidad relativa 3.5 cae en aceite las fuerzas que actúan en este
caso se muestran en el siguiente diagrama de cuerpo libre.
Determinación de las diferentes fuerzas que actúan sobre el cuerpo libre para la condición a.
Problema F.II-1.12
a) ¿Cuál es la velocidad final de una bola de metal de 5.00 cm de diámetro y peso
especifico relativo S = 3.50 que cae en aceite de peso especifico relativo S = 0.80 y
viscosidad μ = 1 poise?
b) ¿Cuál sería la velocidad final para la misma bola pero de densidad relativa
S = 7.00?

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
27
E     05233.01000x80.005.0
6
1
SD
6
1
S 3
aguaacite
3
aguaaciteaceite 






FD
  2
D
2
2
D
2
2
aguaD
2
aceiteD U08.0C05.0
42
U
102x80.0CD
42
U
SCA
2
U
C 






 

w     22896.01000x50.305.0
6
1
SD
6
1
S 3
aguabola
3
aguabolabola 






La relación de equilibrio para esta condición es   0FV , es decir:
E + FD 1 – w = 0
177.0U08.0C022896.0U08.0C052233.0 2
D
2
D 
DD C
2125.2
U
C08.0
177.0
U 
La velocidad U se puede determinar a partir de la ecuación anterior
El coeficiente de arrastre depende del número de Reynolds y éste a su vez de la velocidad; por
lo tanto, el procedimiento se debe hacer a través de tanteos sucesivos como se muestra a
continuación.
 Se asume un valor de CD y se determina U mediante la ecuación anterior resultando
DC
2125.2
U 
 Con U se determina R según la ecuación
59.399UR
98
1
81.9
800
05.0U
R
DU
R 
















 Con R se encuentra en el siguiente esquema correspondiente a esferas y discos
el valor de CD

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
28
 Con este valor se encuentra nuevamente U y se repite el proceso hasta que CD n = CD n – 1
Cálculo en forma tabulada para el caso a.
CD (asumido)
DC
2125.2
U  59.399UR  CD
(obtenido del gráfico)
1.00 1.49 596 0.60
0.60 1.92 768 0.50
0.50 2.10 841 0.50
Por lo tanto para el caso a, la velocidad es U = 2.10 m/s.
b) Ahora, si la bola del mismo diámetro tiene una densidad relativa de 7.0 y cae en
aceite, las fuerzas de empuje E y arrastre FD son las mismas cambiando el peso de la
bola así:
    kg45792.01000x00.705.0
6
1
SD
6
1
Sw 3
agua2bola
3
agua2bolabola2 






E + FD 1 – w2 = 0
406.0U08.0C045792.0U08.0C052233.0 2
D
2
D 
DD C
075.5
U
C08.0
406.0
U 

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
29
Cálculo en forma tabulada para el caso b.
CD (asumido)
DC
075.5
U  59.399UR  CD
0.50 3.18 1274 0.40
0.40 3.56 1425 0.40
Por lo tanto para el caso b la velocidad es U = 2.10 m/s.
Determinación de la velocidad de caída de la gótica de neblina.
Suponiendo como hipótesis, que el número de Reynolds de la gotica de lluvia R es < 1, entonces
según la Ley de Stokes se tiene:
      s/m019.0U09.100.1000
98
10x18
10x025.0
18
1
U
d
18
1
U 5
23
S
2









 

Determinación del número de Reynolds para verificar si la hipótesis asumida es cierta.
 
10288.0R
98
10x18
81.9
09.1
10x025.0x019.0
R
dU
R 5
3
















 

, hipótesis correcta.
Determinación de la velocidad de caída de la gota de lluvia.
Problema F.II-1.13
En el seno de la neblina, las gotitas de agua (supuestas esféricas) tienen un diámetro
d = 0.025 mm. Para formar una gota de lluvia (supuesta esférica) se necesita un millón de
de góticas de neblina. ( γagua = 1000 kg/m3
, γaire = 1.09 kg/m3
, μaire = 18 x 10-5
poise.)
Para estas condiciones determinar:
a) La velocidad de caída de una gotica de neblina.
b) La velocidad de caída de una gota de lluvia.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
30
El diámetro de la gota de lluvia es:
  d10Dd10Dd10DD
6
1
d
6
1
10 23/136363336





  m0025.0D10x025.010D 32
 
Cuando la gota de agua cae en el aire, las fuerzas que actúan en este caso se muestran en
siguiente diagrama de cuerpo libre.
Determinación de las diferentes fuerzas que actúan sobre el cuerpo libre para la condición a.
E
6
D
D
6
1 3
3
aire








FD
8
DU
g
CD
42
U
g
CA
2
U
C
22
D
2
2
aire
D
2
aireD






 





 

w
6
D
D
6
1 S
3
S
3
gota








E + FD 1 – w = 0

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
31
6
D
6
D
8
DU
g
C0
6
D
8
DU
g
C
6
D 3
S
322
D
S
322
D
3











  










 S2
DS
322
D
6
gD8
UC
6
D
8
DU
g
C
D
S
S
D
2
C
1
3
gD4
U
C3
gD4
U


















La ecuación anterior representa la velocidad de caída de una esfera de diámetro D y de peso
especifico γS en un ambiente de peso especifico γ cuando el número de Reynolds R > 1.
Para el presente caso se tiene:
DDD
S
C
47.5
U
C
1
09.1
1000
3
81.9x0025.0x4
C
1
3
gD4
U 

















 La velocidad
U se puede determinar a partir de la ecuación anterior.
El coeficiente de arrastre depende del número de Reynolds y este a su vez de la velocidad por
lo tanto el procedimiento se debe hacer a través de tanteos sucesivos como se muestra a
continuación.
 Se asume un valor de CD y se determina U mediante la ecuación anterior resultando
DC
47.5
U 
Con U se determina R según la ecuación
24.151UR
98
10x18
81.9
09.1
0025.0U
R
DU
R 5
















 
el valor de CD

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
32
 Con este valor se encuentra nuevamente U y se repite el proceso hasta que CD n = CD n – 1
Cálculo en forma tabulada.
CD (asumido)
DC
47.5
U  24.151UR  CD
0.49 7.81 1.20 x 103
0.40
0.40 8.65 1.30 x 103
0.40
Por lo tanto para el caso a la velocidad es U = 8.65 m/s.
Determinación del número de Reynolds R.
  4
5
3
10x2.2R
10x488.1
10x12x00.27
R
DU
R 

 

Determinación gráfica del coeficiente de arrastre CD.
En el siguiente esquema se muestra un gráfico para la determinación del coeficiente de
arrastre para cilindros de gran longitud.
Problema F.II-1.14
Un cable de conducción eléctrica de 12.00 mm de diámetro está tensado y expuesto a un
viento con una velocidad de 25.00 m/s que choca perpendicularmente a su eje.
Determinar la fuerza que actúa sobre el cable si la distancia entre los postes que lo sostiene
es de 100.00 m.
La temperatura del aire es de 20.00 º C. (ρ = 0.1224 UTM/m3
, ν = 1.488 x 10-5
m2
/s)

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
33
Determinación de la fuerza de resistencia.
 3
2
D
2
DD 10x12x00.100
2
00.27
1224.0x30.1FA
2
U
CF 

FD = 69.6 kg
Utilizando velocidades relativas se puede supone que la placa se encuentra en reposo y el aire
tiene una velocidad U = 12.00 m/s
  kg62.1F20.1x90.0
2
00.12
81.9
20.1
x17.0FA
2
U
CF D
2
D
2
DD 






Determinación de la fuerza de sustentación FS.
  kg85.6F20.1x90.0
2
00.12
81.9
20.1
x72.0FA
2
U
CF S
2
S
2
SS 






En el siguiente esquema se muestran dichas fuerzas y su resultante.
Problema F.II-1.15
Una placa plana de 0.90 m x 1.20 m se mueve a 12.00 m/s a través de aire en reposo
(γ = 1.20 kg/m3
), formando un ángulo de 12º con respecto a la horizontal. Utilizando un
coeficiente de resistencia CD = 0.17 y un coeficiente de sustentación CL = 0.72, determinar:
a) La fuerza resultante que ejerce el aire sobre la placa.
b) La fuerza debido al rozamiento.
c) La potencia (en CV) necesaria para mantener el movimiento.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
34
kg02.7R85.662.1RFFR 222
S
2
D 
el ángulo de inclinación de R respecto a la horizontal es:
º7.76
62.1
85.6
tgarc
F
F
tgarc XX
D
S
X 
el ángulo de existente entre la resultante R y la placa es.
º7.88º12º7.76º12X 
La fuerza de rozamiento se obtiene al proyectar R sobre el plano de la placa, como se muestra
en el siguiente esquema.
kg16.0Fº7.88cosx02.7FcosRF RRR 
CV259.0P
75
00.12x62.1
P
75
UF
P D
CV 
KW191.0P
102
00.12x62.1
P
102
UF
P D
KW 

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
35
En el siguiente esquema se muestra el alerón y las fuerzas de arrastre y sustentación,
considerando el alerón en reposo y actuando sobre él una corriente de aire con velocidad U.
Determinación de los coeficientes de arrastre CD y de sustentación CS.
En el siguiente esquema se muestra la determinación de dichos coeficientes.
Problema F.II-1.16
Un alerón se mueve en aire en reposo (γ = 1.22 kg/m3
) a una velocidad de 252.00 km/h. La
longitud es de 15.00 m y el largo de la cuerda de 2.00 m; si el a´ngulo de inclinación es de
8º sobre la horizontal, determinar:
a) La fuerza de arrastre FD.
b) La fuerza de sustentación FS.
c) La potencia requerida para desplazar el alerón.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
36
Determinación de la fuera de arrastre FD.
  kg00.366F00.15x00.2
2
3600
1000x00.252
81.9
22.1
x04.0FA
2
U
CF D
2
D
2
DD 













Determinación de la fuera de sustentación FS.
  kg00.7320F00.15x00.2
2
3600
1000x00.252
81.9
22.1
x80.0FA
2
U
CF D
2
D
2
SS 













CV60.341P
75
3600
1000x00.252
x00.366
P
75
UF
P CV
D
CV 







Determinación de la fuerza de resistencia FD sobre la placa (dos caras).
El número de Reynolds de la placa RL es:
Problema F.II-1.17
Un planeador cuyo esquema se muestra en la figura, aterriza a una velocidad de 144.00 km/h
en una atmósfera de peso especifico 1.00 kg/cm2
y viscosidad cinemática 1.5 x 10-5
m2
/s.
Para frenar el planeador se suelta un paracaídas con un coeficiente de resistencia CD =
1.20. Calcular el diámetro del paracaídas para que éste produzca una resistencia al
movimiento igual a la resistencia por fricción originada sobre las alas.
Suponer que las alas se pueden sustituir por una superficie plana de 3.00 m de largo y
15.00 m de profundidad.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
37
6
L5LL 10x8R
10x5.1
00.3
3600
1000x00.144
R
LU
R 








 
para el presente caso, el coeficiente de arrastre para placas es:
 
00308.0C
10x8
074.0
C
R
074.0
C D5/16
D5/1
L
D 
la fuerza de arrastre es:
  kg26.45F00.30x00.3
2
3600
1000x00.144
81.9
00.1
00308.02F D
2
D 



























Determinación de la fuerza de resistencia FD sobre el paracaídas.
2
D
2
2
D
2
DD D92.76FD
42
3600
1000x00.144
81.9
00.1
20.1FA
2
U
CF 




 







La fuerza generada en el paracaídas = La fuerza generada en la placa
m77.0D
92.76
26.45
D26.45D92.76
2/1
2







Problema F.II-1.18
Un aviso formado por un disco de 3.50 m de diámetro, se encuentra instalado como se
muestra en el esquema, con H = 10.00 m. Si sobre él actúa perpendicularmente una
corriente de aire con una velocidad de 100.00 km/h; determinar el momento que se
produce al pie del soporte.
(ρ = 0.126 UTM/m3
, μ = 2 x 10-6
kg.s/m2
)

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
38
Determinación del número de Reynolds.
6
6
10x1.6R
10x2
126.0x50.3x
3600
1000x00.100
R
DU
R 









 
Determinación del coeficiente de arrastre CD.
Con R = 6.1 x 106
se encuentra CD en el siguiente gráfico (discos).
kg00.468F50.3
42
3600
1000x100
126.0x00.1FA
2
U
CF D
2
2
D
2
DD 




 







El momento respecto al pie del soporte es:
m.kg00.4680M00.10x00.468HFM D 
La velocidad U se puede determinar a partir de la ecuación de la fuerza de arrastre.
2/1
2
D
2/1
2
D
2/1
D
2
D
DC
F8
U
D
4
C
F2
U
AC
F2
UA
2
U
CF 





























Problema F.II-1.19
A qué velocidad debe moverse una esfera de 12.00 cm de diámetro, a través de una masa
de agua a 10º C (ν = 1.2 x 10-6
m2
/s) para que la fuerza de arrastre sea de 0.50 kg.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
39
El coeficiente de arrastre depende del número de Reynolds y este a su vez de la velocidad, por
lo tanto el procedimiento se debe hacer a través de tanteos sucesivos como se muestra a
continuación.
 Se suponer un valor de CD y se determina U mediante la ecuación anterior, resultando
2/1
D
2/1
2
D C
86730.0
U
12.0x14.3x102C
50.0x8
U 












 Con U se determina R según la ecuación
5
6
10UR
10x2.1
12.0U
R
DU
R 

 
el valor de CD
 Con este valor de CD encuentra nuevamente U y se repite el proceso hasta que CD n = CD n – 1
Cálculo en forma tabulada.
CD (asumido)
2/1
DC
86730.0
U 





 5
10UR 
CD
2.00 0.66 6.6 x 104
0.58
0.58 1.22 1.22 x 105
0.50
0.50 1.31 1.31 x 105
0.50

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
39
Capítulo 2
FLUJO PERMANENETE EN CONDUCTOS
CERRADOS
Determinación de la velocidad.
Mediante la aplicación de la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 (salida) se tiene:
f
2
1f2
2
22
1
2
11
h0
g2
v
0z00hz
g2
vp
z
g2
vp




La fórmula de Darcy-Weisbach para la pérdida de energía por fricción para flujo permanente
en tuberías es:
g2
v
D
L
fh
2
f 
al sustituir la ecuación de Darcy-Weisbach en la ecuación de Bernoulli se obtiene:
1
2
1
2222
1 z
D
L
f1
g2
v
z
g2
v
D
L
f
g2
v
g2
v
D
L
f0
g2
v
0z00 






f10001
24.39
v
012.0
00.12
f1
00.2x81.9x2
v
D
L
f1
zg2
v 1






Problema F.II-2.01
Para vaciar aceite (γ = 800 kg/m3
, μ = 0.10 poises) de un depósito se utiliza una tubería
de acero comercial de 12 mm de diámetro y 12.00 m de longitud.
Determinar el caudal cuando la superficie libre del aceite en el depósito se encuentra a
2.00 m por encima de la sección de salida de la tubería.

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
40
la velocidad v depende del coeficiente de fricción f y éste a su vez depende del número de
Reynolds R y de la rugosidad relativa ε/D, según se observa en el diagrama de Moody.
Considerando como hipótesis que el flujo es turbulento.
Determinación de la rugosidad relativa ε/D.
En el Diagrama de Moody se encuentra que el valor de la rugosidad ε para acero comercial es
ε = 0.0046 cm.
0038.0
Dcm2.1
cm0046.0
D




v960R
81.9
98
10.0
800x012.0v
R
g
Dv
R
g
Dv
R
Dv
R 
















 




Para un valor supuesto de f = 0.065 se tiene.
s/m77.0v
065.0x10001
24.39
v
f10001
24.39
v 




con v se obtiene:
2000739R77.0x960Rv960R  , la hipótesis es falsa, por lo tanto
el flujo es laminar.
Considerando como hipótesis que el flujo es laminar:
Para el caso de flujo laminar el coeficiente de fricción es:

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
41












Dv
g64
f
g
Dv
64
f
R
64
f
al sustituir f en la ecuación de Bernoulli se tiene:
12
2
1
22
z
D
vL32
g2
v
z
g2
v
D
L
Dv
g64
g2
v












00.2
800x012.0
v
98
10.0
x00.12x32
81.9x2
v
2
2








s/m583.0v000.2v40.3v051.0 2

Determinación del número de Reynolds para verificar el tipo de flujo.
2000560R583.0x960Rv960R  , la hipótesis es correcta, el flujo es
laminar, entonces el caudal es:
s/m000066.0Q012.0
4
583.0QD
4
vAAvQ 322





 





 

min/l95.3Q60x066.0Qs/l066.0Q1000x000066.0Q 
Problema F.II-2.02
Por el sistema de tuberías de fundición que se muestran en el esquema circula agua
(  = 1 x 10-6
m2
/s), despreciando las pérdidas menores para las longitudes
siguientes.
Longitud del tramo 1, L1 = 60.00 m, diámetro del tramo 1, D1 = 30 cm.
Longitud del tramo 2, L2 = 30.00 m, diámetro del tramo 2, D2 = 15 cm.
Determinar:
a) El caudal.
b) La presión en el punto B el cual se encuentra situado 30.00 m aguas abajo del
tanque de alimentación de la tubería.

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
42
Determinación de la velocidad.
Mediante la aplicación de la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y D se tiene:
2f1fDA2f1fD
2
DD
A
2
AA
hh0zz00hhz
g2
vp
z
g2
vp




La fórmula de Darcy-Weisbach de pérdida de energía por fricción para flujo permanente en
tuberías es:
g2
v
D
L
fh,
g2
v
D
L
fh
2
2
2
2
22f
2
1
1
1
11f 
al sustituir la ecuación de Darcy-Weisbach en la ecuación de Bernoulli se obtiene:
g2
v
D
L
f
g2
v
D
L
fzz
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1DA 
Mediante la aplicación de la ecuación de continuidad se tiene:
2
1
2
21
2
22
2
1121
D
D
vvD
4
vD
4
vQQ 










que al sustituirla en la ecuación anterior se tiene:
g2
v
D
L
f
D
D
g2
v
D
L
fzz
g2
v
D
L
f
g2
D
D
v
D
L
fzz
2
2
2
2
2
4
1
2
2
2
1
1
1DA
2
2
2
2
2
22
1
2
2
1
1
1DA 




































g2D
L
f
D
D
g2
1
D
L
fvzz
2
2
2
4
1
2
1
1
1
2
2DA















81.9x2x15.0
00.30
f
30.0
15.0
81.9x2
1
30.0
00.60
fv00.1050.17 2
4
1
2
2
 21
2
2 f19.10f64.0v50.7 
la velocidad v depende del coeficiente de fricción f y éste a su vez depende del número de
Reynolds R y de la rugosidad relativa D/ , según se observa en el diagrama de Moody.

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
43
El procedimiento de cálculo es el siguiente:
Se suponen valores de f y con estos se determinan las velocidades, con estas velocidades se
determinan los números de Reynolds y con estos números de Reynolds se encuentra en el
diagrama de Moody, para ε/D, los valores de f. Si estos coinciden con los valores supuestos
los valores de f son correctos si no se repite el proceso hasta que fn = fn+1
Suponemos f1 = 0.023 y f2 = 0.020
  s/m86.5v02.0x19.10023.0x64.0v50.7 2
2
2 
s/m47.1v
30.0
15.0
86.5v
D
D
vv 1
2
1
2
1
2
21 












Determinación de los números de Reynolds.
5
161
11
1 10x40.4R
10x1
30.0x47.1
R
Dv
R 

 
5
161
22
2 10x80.8R
10x1
15.0x86.5
R
Dv
R 

 
para tubería de fundición se encuentra en el diagrama de Moody  = 0.0259 cm
Determinación de las rugosidades relativas.
0017.0
D15
0259.0
D
,00086.0
D30
0259.0
D 1211








con 111 RyD/ se encuentra en el diagrama de Moody f1 = 0.023
con 222 RyD/ se encuentra en el diagrama de Moody f2 = 0.019  0.020

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
44
por lo tanto v1 = 1.47 m/s y v2 = 5.86 m/s
Determinación del caudal Q.
s/m100.0Q30.0
4
47.1QD
4
vQAvQ 322
11 




Determinación de la presión en el punto B.
Mediante la aplicación de la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y B se tiene:
Bf
2
1
B
B
ABfB
2
BB
A
2
AA
h
g2
v
z
p
z00hz
g2
vp
z
g2
vp






La fórmula de Darcy-Weisbach de pérdida de energía por fricción para flujo permanente en
tuberías es:
g2
v
D
L
fh
2
1
1
B1
1Bf 
Al sustituir la ecuación de Darcy-Weisbach en la ecuación de Bernoulli se obtiene:
81.9x2
47.1
30.0
00.30
0.023
81.9x2
47.1
50.1650.17
p
g2
v
D
L
f
g2
v
zz
p 22
B
2
1
1
B1
1
2
1
BA
B




2
BB
B
m/kg640p1000x64.0p64.0
p


Problema F.II-2.03
Una bomba eleva agua a 15º C, desde un lago a un tanque como se muestra en el
esquema. El caudal a enviar es de 560.00 lts/s (lps), la tubería tiene una longitud de
400.00 m y un diámetro de 460 mm y es de fundición. Las pérdidas menores se producen
principalmente por una válvula unidireccional con un kV = 10 y tres codos a 90º con un
valor de kC = 0.90 cada uno.
Despreciando otro tipo de pérdidas menores, ¿cuál será la potencia necesaria para la
bomba en caballos de vapor (CV) si el rendimiento o eficiencia es del 60 %?.

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
45
Mediante la aplicación de la ecuación de Bernoulli entre la superficie del lago y la superficie
del tanque se tiene:




menoresBAfb
2
BB
BA
2
AA
hhz
g2
vp
Hz
g2
vp
Las fórmulas de las pérdidas de energía por fricción y las pérdidas menores son:
g2
v
kh,
g2
v
D
L
fh
2
m
2
BA
BAf 
al sustituirlas en la ecuación de Bernoulli se obtiene:
 








 g2
v
k
g2
v
D
L
fz
g2
vp
Hz
g2
vp 22
BA
b
2
BB
BA
2
AA
 
g2
v
9.0x310
81.9x2
v
460.0
400.00
f00.13400H00.10000
22
B 
Determinación de la velocidad según la ecuación de continuidad.
s/m37.3v
46.0
4
560.0
v
D
4
Q
vAvQ
22





Determinación del coeficiente de fricción f, mediante el diagrama de Moody,
000562.0
Dcm46
cm0259.0
D




    155Dv46x37.3cmDs/mv 
con v D = 155 y 000562.0
D


se encuentra f = 0.0178 según se muestra el siguiente
esquema del diagrama de Moody.

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
46
  m31.50H
g2
37.3
9.0x310
81.9x2
37.3
460.0
400.00
0.017800.34H B
22
B 
VC626P
60.0x75
31.50x1000x560.0
P
75
HQ
P VC
B
VC 



s/m735.0v
100
15
4
1000
13
v
D
4
Q
v
A
Q
vAvQ 2
2
















4
6
10x25.5R
10x10.2
15.0x735.0
R
Dv
R 

 
Determinación de la rugosidad relativa.
0008.0
Dcm15
cm012.0
D




Determinación de coeficiente de fricción en el diagrama de Moody.
Problema F.II-2.04
Está fluyendo aceite desde un depósito cerrado a través de una tubería nueva de fundición
asfaltada ( = 0.012 cm) de 15.00 cm de diámetro y 150.00 m de longitud hasta un punto B
como se muestra en la figura, ¿qué presión, en kg/cm2
, tendrá que actuar sobre la superficie
del depósito para que circule un caudal de 13.00 l/s si la densidad relativa del aceite es 0.84
y la viscosidad cinemática es 2.10 x 10-6
m2
/s.

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
47
Determinación de la presión en A.
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y B se tiene:
mfB
2
BB
A
2
AA
hhz
g2
vp
z
g2
vp




g2
v
k
g2
v
D
L
fz
g2
vp
z
g2
v
S
p
2
B
e
2
B
B
2
BB
A
2
A
agua
A




81.9x2
735.0
5.0
81.9x2
735.0
15.0
00.150
0235.000.30
81.9x2
735.0
000.240
1000x84.0
p 222
A

2
A
4
A
2
A cm/kg5617.0p10x17.56pm/kg17.56p  
Problema F.II-2.05
a) El sistema está formado por una tubería de acero de 61.00 m de largo y 75.00 mm
de diámetro como se muestra en el esquema, si circula un caudal de aceite de 750 l/min,
la viscosidad es de 0.10 poises y el peso específico es de 960 kg/m3
, determinar el desnivel
entre los depósitos ΔH si la válvula de ángulo se encuentra completamente abierta y su
coeficiente es kV = 5.
b)Determinar el coeficiente kV 2 de la válvula si el caudal que circula es de 300 l/min.

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
48
a) Determinación de ΔH.
 
s/m83.2v
10x75
4
60
750.0
v
D
4
Q
v
A
Q
vAvQ
232












4
3
10x04.2R
98
10.0
81.9
960
10x75x83.2
R
g
Dv
R 



















 


0006.0
Dcm5.7
cm046.0
D




mfB
2
BB
A
2
AA
hhz
g2
vp
z
g2
vp




  m83.11H
g2
83.2
155.0
81.9x2
83.2
075.0
00.61
0278.0000H00
22


_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
49
b) Determinación del coeficiente kV de la válvula para un caudal Q = 300 l/min.
 
s/m13.1v
10x75
4
60
300.0
v
D
4
Q
v
A
Q
vAvQ
232












3
3
10x14.8R
98
10.0
81.9
960
10x75x83.2
R
g
Dv
R 



















 


mfB
2
BB
A
2
AA
hhz
g2
vp
z
g2
vp




  m153k
g2
83.2
1k5.0
81.9x2
13.1
075.0
00.61
0278.000089.1100 V
2
V
2


_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
50
Determinación de la altura de bombeo HB.
m86.23H
1000
1000
00.220
70x75
H
Q
P75
H
75
HQ
P BBB
B
CV 











Determinación de las velocidades.
 
s/m38.1v
45.0
4
1000
220
v
D
4
Q
v
A
Q
vAvQ
22
1
1
1
111 










 
s/m11.3v
30.0
4
1000
220
v
D
4
Q
v
A
Q
vAvQ
22
2
2
2
222 










Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y D se tiene:
 



mfD
2
DD
BA
2
AA
hhz
g2
vp
Hz
g2
vp
Problema F.II-2.06
Si la bomba BC de la figura transfiere al fluido 70.00 CV cuando el caudal de agua a 15º C es de
220 l/s.
Si f1 = 0.030; f2 = 0.020; L1 = 600.00 m; L2 = 120.00 m; D1 = 45 cm; D1 = 30 cm; se pide:
a) La cota del tanque D.
b) Las rugosidades de las tuberías.
c) Presión, en kg/cm2
, en la entrada de la bomba.
d) Presión, en kg/cm2
, en la salida de la bomba.

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
51
81.9x2
11.3
1
81.9x2
38.1
4.0
81.9x2
11.3
45.0
00.120
020.0
81.9x2
38.1
45.0
00.6
030.0z86.2300.6
2222
D 
zD = 21.51 m
Determinación de las rugosidades de las tuberías.
      005.0
D
Moody0030.0fy10.6245x38.1cmDxs/mvcon
1
111 


      001.0
D
Moody020.0fy30.9330x11.3cmDxs/mvcon
1
222 


cm225.045x005.0005.0
D
11
1
1


cm030.030x001.0001.0
D
11
2
2


Determinación de la presión en la entrada de la bomba (punto B)
mBAfB
2
BB
A
2
AA
hhz
g2
vp
z
g2
vp




81.9x2
38.1
4.0
81.9x2
38.1
45.0
00.600
030.000.3
81.9x2
38.1p
00.600
222
B



4
B
2
BB
B
10x1020pm/kg1020p1000x02.1p02.1
p 


2
B cm/kg102.0p 

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
52
Determinación de la presión en la salida de la bomba (punto C)
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y C se tiene:
mCAfC
2
CC
BA
2
AA
hhz
g2
vp
Hz
g2
vp




81.9x2
38.1
4.0
81.9x2
38.1
45.0
00.600
030.000.3
81.9x2
11.3p
86.2300.600
222
C



4
C
2
CC
C
10x22450pm/kg22450p1000x45.22p45.22
p 


2
C cm/kg245.2p 
Problema F.II-2.07
Una turbina se encuentra instalada como se muestra en el esquema si el diámetro de la
tubería es D = 60 cm y el coeficiente de fricción es f = 0.020, despreciando las pérdidas
menores, determinar:
a) Una expresión para la altura consumida por la turbina HT en función del caudal Q.
b) Una expresión para la potencia consumida por la turbina en función del caudal.
c) Tabular y graficar la expresión anterior.
d) El caudal para que la potencia sea máxima.
e) La potencia máxima.
f) El caudal para cuando la turbina consume una potencia de 530 CV.
g) Dibujar la línea de energía.
h) El caudal cuando no existe turbina (es decir; HT = 0 y P = 0)

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
53
BAfTB
2
BB
A
2
AA
hHz
g2
vp
z
g2
vp




sustituyendo los valores numéricos y la expresión de HT y las pérdidas se tiene:
 
81.9x2
60.0
Q4
60.0
00.61000.610
020.0H00.300000.10600
2
2
T








2
T
2
2
T Q95.2576H
81.9x2
60.0
Q4
60.0
00.1220
020.076H 








Determinación de la potencia consumida por la turbina P.
  3
2
T
CV Q346Q1013P
75
Q95.25761000Q
P
75
HQ
P 




Q
(m3
/s)
P
(CV)
0.0 0.00
0.1 100.95
0.2 199.83
0.3 294.56
0.4 383.06
0.5 463.25
0.6 533.06
0.7 590.42
0.8 633.25
0.9 659.47
1.0 667.00
1.1 653.77
1.2 617.71
1.3 556.74
1.4 468.78
1.5 351.75
1.6 203.58
1.7 22.20
1.71 0.00

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
54
Determinación del caudal para que la potencia sea máxima.
  0Q346x310130
Qd
Q346Q1013d
0
Qd
Pd 2
3



s/m99.0Q
346x3
1013
Q 3
2/1







como se evidencias en el gráfico anterior.
Determinación de la potencia máxima.
La potencia máxima ocurre para Q = 0.99 m3
/s y es:
CV15.667P99.0x34699.0x1013PQ346Q1013P 33

como se evidencia en el gráfico anterior.
Determinación del caudal cuando P = 530 CV.
33
Q346Q1013530Q346Q1013P 
0530Q1013Q0Q346 23

la ecuación anterior tiene como solución:

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
55
     )negativo(929.1Q596.0Q340.1Q 321 
Solución a.
CV530Pm40.29H340.1x95.2576Hs/m340.1QPara T
2
T
3
1 
Solución b.
CV530Pm78.66H596.0x95.2576Hs/m596.0QPara T
2
T
3

El caudal cuando no existe turbina, es decir para P = 0
En la expresión de la potencia se tiene:
00Q1013Q0Q346Q346Q10130Q346Q1013P 2333

la ecuación anterior tiene como solución:
     )negativo(71.1Q71.1Q00.0Q 321 

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
56
Este valor se pudo haber obtenido aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y B
cuando no existe turbina.
Lo recomendable desde el punto de vista práctico relacionado con el consumo de agua es que
el caudal este comprendido entre Q = 0.00 m3
/s y Q = 0.99 m3
/s, la utilización de caudales
mayores implica mayor consumo de agua obteniendo la misma potencia.
Determinación de las longitudes de las tuberías.
m64.21L
º45sen
20.1350.28
L
L
z
º45sen BABA
BA





m49.8L
º45sen
20.1320.19
L
L
z
º45sen CBBA
CB





Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y C se tiene:
mfC
2
CC
1
2
11
hhz
g2
vp
z
g2
vp




   
81.9x2
v
2.05.0
81.9x2
v
30.0
49.864.21
f20.19
81.9x2
v
000.3000
222



Problema F.II-2.08
Para el sistema de tubería que se muestra en el esquema se tiene la siguiente información:
kA = 0.5, kB = 0.2,  = 1.13 x 10-6
m2
/s, ε = 0.12 cm, D = 30 cm
Para estas condiciones se pide:
a) El caudal.
b) La presión el los puntos A y B.
c) Trazar la línea de energía y la línea piezométrica.

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
57
 















30.0
13.30
f7.1
20.1900.3081.9x2
v20.1900.30
30.0
13.30
f2.05.01
81.9x2
v2
f43.1007.1
55.14
v


la velocidad v depende del coeficiente de fricción f y este a su vez depende del número de
Determinación de número de Reynolds.
v10x65.2R
10x13.1
30.0v
R
Dv
R 6
6


 
Determinación de la rugosidad relativa:
004.0
Dcm30
cm12.0
D




f (supuesto)
f43.1007.1
55.14
v

 v10x65.2R 6
 f (Moody)
0.028 6.86 1.8 x 106
0.0284
0.0284 6.83 1.8 x 106
0.0284
la velocidad es v = 6.83 m/s por lo tanto el caudal es:

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
58
s/m483.0Q30.0
4
83.6QD
4
vQAvQ 322





Determinación de la presión en el punto A (inmediatamente al inicio de la tubería).
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y A se tiene:
g2
v
5.0z
g2
vp
z00hz
g2
vp
z
g2
vp
2
A
A
2
AA
1mA
2
AA
1
2
11






2
A
22
A
m/kg2066p
g2
83.6
5.050.28
81.9x2
83.6
1000
p
00.3000 
Determinación de la presión en el punto B (inmediatamente antes de B).
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y B se tiene:
g2
v
5.0hz
g2
vp
z00hhz
g2
vp
z
g2
vp
2
B
fB
2
BB
1mfB
2
BB
1
2
11







g2
83.6
5.0
81.9x2
83.6
30.0
64.21
0284.020.13
81.9x2
83.6
1000
p
00.3000
222
B

2
B m/kg8360p 
Determinación de las pérdidas concentradas.
Pérdida menor en el punto A m19.1h
81.9x2
83.6
5.0h
g2
v
kh A
2
A
2
AA 
Pérdida menor en el punto B m48.0h
81.9x2
83.6
2.0h
g2
v
kh A
2
A
2
BA 
Determinación de la pérdida de energía entre los puntos A y B.
m87.4h
81.9x2
83.6
30.0
64.21
0284.0h BAf
2
f 
Determinación de la pérdida de energía entre los puntos B y C.
m91.1h
81.9x2
83.6
30.0
49.8
0284.0h CBf
2
f 

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
59
Cotas de la línea de energía.
Cota al inicio de la tubería, en el punto A
CLE A = 30.00 – pérdida en la entrada  CLE A = 30.00 – 1.19 = 28.81 m
Cota en el codo, inmediatamente antes del punto B
CLE A = 28.81 – pérdida hf AB  CLE A = 28.81 – 4.87 = 23.94 m
Cota en el codo, inmediatamente después del punto B
CLE A = 23.94 – pérdida en el codo  CLE A = 23.94 – 0.48 = 23.46 m
Cota final de la tubería, en el punto C
CLE C = 23.46 – pérdida hf B C  CLE A = 23.46 – 1.91 = 21.55 m
Cotas de la línea piezométrica.
Cota al inicio de la tubería, en el punto A
CLE A = cota de la línea de energía – la altura de velocidad  CLE A = 28.81 – 2.38 = 26.43 m
CLE B = cota de la línea de energía – la altura de velocidad  CLE B = 23.94 – 2.38 = 21.56 m
CLE B = cota de la línea de energía – la altura de velocidad  CLE A = 23.46 – 2.38 = 21.08 m
Cota final de la tubería, en el punto C
CLE C = cota de la línea de energía – la altura de velocidad  CLE C = 21.55 – 2.38  19.20 m
con estos valores se dibuja la línea de energía total y la línea piezométrica como se indica en
el siguiente esquema:

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
60
Determinación del caudal para la válvula totalmente abierta.
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 se tiene:
mf2
2
22
1
2
11
hhz
g2
vp
z
g2
vp




   
81.9x2
v
12.09.09.05.0
81.9x2
v
10.0
00.300.700.4
f00.10000.102
22



Problema F.II-2.09
Por el sistema de tuberías de acero comercial de 10 cm de diámetro circula agua con una
viscosidad cinemática  = 1.3 x 10-6
m2
/s, adicionalmente se tiene la siguiente información:
L1 = 4.00 m, L2 = 3.00 m, L3 = 7.00 m, k1 = 0.5, k2 = 0.9, k3 = 1.0
Para estas condiciones hallar el coeficiente de pérdida kV de la válvula parcialmente
cerrada que se necesita para reducir en un 50 % el caudal correspondiente a la válvula
totalmente abierta (kV totalmente abierta 0.20).

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
61
 















10.0
14
f5.3
00.10000.10281.9x2
v0.10000.102
10.0
00.14
f5.3
81.9x2
v2
f1405.3
26.6
v


la velocidad v depende del coeficiente de fricción f y este a su vez depende del número de
Determinación de número de Reynolds.
v10x69.7R
10x3.1
10.0v
R
Dv
R 4
6


 
Determinación de la rugosidad relativa:
En el diagrama de Moody se encuentra ε = 0.0046 cm
0005.0
Dcm10
cm0046.0
D




f (supuesto)
f1405.3
26.6
v

 v10x69.7R 4
 f (Moody)
0.017 2.58 1.98 x 105
0.019
0.019 2.52 1.99 x 106
0.019
la velocidad es v = 2.52 m/s por lo tanto el caudal es:

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
62
s/m020.0Q10.0
4
52.2QD
4
vQAvQ 322





Determinación de kV para cuando el caudal es 50 % del caudal inicial.
s/m010.0Q020.0x50.0QQ50.0QQ%50Q 3
inicialinicial 
Determinación de la velocidad media.
s/m27.1v
10.0
4
010.0
v
D
4
Q
vAvQ
22






 






 

4
6
10x80.9R
10x3.1
10.0x27.1
R
Dv
R 

 
con ε/D = 0.0005 y R = 9.80 x 104
se encuentra en el diagrama de Moddy f = 0.0205, según
se muestra en el siguiente esquema:
El valor de k se puede determinar a partir de la expresión de la velocidad en función de kV
13.18k
0205.0x140k3.3
26.6
27.1
f140k3.3
26.6
v V
VV





Problema F.II-2.10
Dos depósitos contienen agua a 15º C y están conectados mediante tres tuberías de acero
comercial unidas en serie. Para un caudal de 90.00 lps determinar el desnivel entre los
dos depósitos. Adicionalmente se dispone de la siguiente información:
Tramo 1: L1 = 300.00 m D1 = 20.00 cm
Tramo 2: L2 = 360.00 m D2 = 30.00 cm
Tramo 3: L3 = 1200.00 m D3 = 45.00 cm

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
63
Para agua a 21º C se encuentra en la tabla de propiedades físicas del agua s/m10x975.0 26

Para tubería de acero comercial se encuentra en el diagrama de Moody ε = 0.0046 cm
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 se tiene:
mf2
2
22
1
2
11
hhz
g2
vp
z
g2
vp




llegada2exp1expent3f2f1f21 hhhhhhhz00z00 
   
g2
v
k
g2
vv
g2
vv
g2
v
k
g2
v
D
L
f
g2
v
D
L
f
g2
v
D
L
fH
2
3
2
2
32
2
21
2
1
1
2
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1 




Determinación de las velocidades, los números de Reynolds, la rugosidad relativa y el
coeficiente de fricción en los diferentes tramos de tuberías.
Tramo
Velocidad





 

2
D
4
Q
v
Reynolds


Dv
R
Rugosidad
relativa
D

f
Obtenido del
diagrama de
Moody
1 2.86 5.86 x 105
0.00023 0.0155
2 1.27 3.90 x 105
0.00015 0.0155
3 0.57 2.60 x 105
0.00010 0.0160

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
64
   
81.9x2
57.0
0.1
81.9x2
57.027.1
81.9x2
27.186.2
81.9x2
86.2
5.0
81.9x2
57.0
45.0
00.1200
0160.0
81.9x2
27.1
30.0
00.360
0155.0
81.9x2
86.2
20.0
00.300
0155.0H
2222
222








m31.12H 
Condición inicial.
Problema F.II-2.11
La diferencia de nivel entre la superficie de un embalse y la superficie de un tanque
elevado de suministro de agua a una ciudad es de 152.00 m y la distancia entre ellos
LT = 48.3 km. Los depósitos estaban originalmente conectados cun una tubería diseñada
para transportar 265.00 l/s.
Tiempo después fue necesario aumentar el caudal a 370.00 l/s por lo que se decidió
colocar otra tubería del mismo diámetro en paralelo con la anterior en una parte de su
longitud conectándolas en un determinando punto. Considerar f = 0.007 para todas la
tubeías
Para estas condiciones se pide:
a) El diámetro para la condición inicial.
b) La longitud de tubería, del mismo diámetro, necesaria para aumentar el caudal
hasta 370.00 l/s

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
65
Determinación del diámetro para la condición inicial.
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre la superficie del embalse (1) y la superficie del
tanque (2) se tiene:
g2
D
Q4
D
L
f00z00zh
p
g2
v
z
p
g2
v
z
2
2
T
21f
2
2
2
2
1
2
1
1












5/1
2
2
T
2
25
2
T
2
2
2
T
gz2
QLf4
Dz
gD2
QLf4
z
g2
D
Q4
D
L
f 
















m41.0D
81.9x14.3x00.152x2
265.0x00.48300x007.0x4
D
5/1
2
22







La instalación para la condición final con tuberías de diámetro D = 0.41 m es:
condiciones:
Las pérdidas por fricción en el tramo AC = pérdidas por fricción en el tramo BC
la longitud del tramo AC, LAC = longitud del tramo BC, LBC  L2
El diámetro del tramo AC = diámetro del tramo BC = D
El coeficiente de fricción del tramo AC = coeficiente de fricción del tramo BC
BCACBCAC
2
BC2
2
AC2
BCfACf QQvv
g2
v
D
L
f
g2
v
D
L
fhh 
2
Q
QQ2QQQQQQQ ACACACACBCAC 

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
66
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre la superficie del embalse (1) y la superficie del
tanque (2) y considerando entre el punto 1 y el punto B la tubería AB y entre el punto B y el
punto 2, la tubería inicial se tiene:
f
2
2
2
2
1
2
1
1 h
p
g2
v
z
p
g2
v
z 




 
 
g2
D
Q4
D
LL
f
g2
D
2/Q4
D
L
fz
2
2
ACT
2
2
AC
















 
 
81.9x2
41.0x14.3
370.0x4
41.0
L00.48300
007.0
81.9x2
41.0x14.3
2/370.04
41.0
L
007.000.152
2
2
AC
2
2
AB















m34776LAC 
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre A y 1 se tiene:
g2
D
Q4
D
L
fzz
p
hz
g2
vp
z
g2
vp
2
2
1
1
1
1
1A
A
1tramof1
2
11
A
2
AA















s/m504.0Q
81.9x2
40.0x14.3
Q4
40.0
00.3200
017.000.9000.120
1000
10x2.8 3
1
2
2
1
4








Problema F.II-2.12
Una tubería principal se divide en tres ramales que descargan a la atmósfera como se
muestra en el siguiente esquema, si la presión en el punto A es de 8.20 kg/cm2
y el
coeficiente de fricción de todas las tuberías se puede suponer como f = 0.017. Determinar
el caudal que circula por cada una de las tuberías y el caudal en la tubería principal.

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
67
g2
D
Q4
D
L
fzz
p
hz
g2
vp
z
g2
vp
2
2
2
2
2
2
2A
A
2tramof2
2
22
A
2
AA















s/m464.0Q
81.9x2
40.0x14.3
Q4
40.0
00.4800
017.000.6000.120
1000
10x2.8 3
2
2
2
2
4








g2
D
Q4
D
L
fzz
p
hz
g2
vp
z
g2
vp
2
2
3
3
3
3
3A
A
3tramof3
2
33
A
2
AA















s/m429.0Q
81.9x2
40.0x14.3
Q4
40.0
00.6800
017.000.3000.120
1000
10x2.8 3
3
2
2
3
4








El caudal por la tubería principal es:
s/m397.1Q429.0464.0504.0QQQQQ 3
321 
Problema F.II-2.13
Un caudal ( = 0.0113 x 10-4
m2
/s) de 570 l/s circula a través de la red de tuberías de hierro
fundido (ε = 0.26 mm) mostradas en la figura. Para una presión manométrica de
7.03 kg/cm2
en el nodo A. Determinar:
a) El caudal Q1 en el tramo 1.
b) El caudal Q2 en el tramo 2.
c) La presión en el nodo B.

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
68
Determinación de las pérdidas por fricción en el tramo 1 entre el nodo A y el nodo B.
Asumiendo un valor de Q1 = 0.170 m3
/s se tiene que la velocidad v1 es:
s/m405.2v
30.0x14.3
170.0x4
v
D
Q4
v
A
Q
v 1212
1
1
1
1 


Determinación del número de Reynolds R1
5
141
11
1 10x4.6R
10x0113.0
30.0x41.2
R
Dv
R 

 
0009.0
mm300
mm26.0
D1


con R1 = 6.4 x 105
y 0009.0
D1


se encuentra en el diagrama de Moody f1 = 0.0198,
según se muestra en el siguiente esquema.
La pérdida de energía en el tramo 1 es:
g2
D
Q4
D
L
fh
g2
v
D
L
fh
2
2
1
1
1
1
11tramof
2
1
1
1
f










m68.11h
81.9x2
30.0x14.3
170.0x4
30.0
00.600
0198.0h 1tramof
2
2
1tramof 








_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
69
Para el tramo 2
0006.0
mm470
mm26.0
D2


, suponiendo flujo turbulento en el diagrama de Moody f2 = 0.018
entonces
s/m61.3v
81.9x2
v
470.0
00.460
018.068.11
g2
v
D
L
fh 2
2
2
2
2
2
2
22tramof 
6
242
22
2 10x5.1R
10x0113.0
47.0x61.3
R
Dv
R 

 
con
0006.0
D2


y R2 en el diagrama de Moody f2 = 0.018
por lo tanto
s/m626.0Q47.0
4
61.3QD
4
vQAvQ 3
2
2
2
2
22222 




 





 

s/m570.0Qs/m796.0Q626.0170.0QQQQ 33
21 
como no se cumple que la sumatoria de los caudales sea igual al caudal que transporta la
tubería, se reparte proporcionalmente el caudal, es decir:
 
s/m1217.0Q570.0
626.0170.0
170.0
QQ
Q
Q
Q 3
11´
´
1
1 



 
s/m4483.0Q570.0
626.0170.0
626.0
QQ
Q
Q
Q 3
21´
´
2
2 



Determinación de las pérdidas por fricción en cada una de las tuberías.
La pérdida de energía en el tramo 1 es.
2
1
1
1
D
Q4
v



 11
1
Dv
R
1D
 f
(del diagrama de Moody)
1.722 4.6 x 105
0.0009 0.0198

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
70
g2
D
Q4
D
L
fh
g2
v
D
L
fh
2
2
1
1
1
1
11tramof
2
1
1
1
f










m98.5h
81.9x2
30.0x14.3
1217.0x4
30.0
00.600
0198.0h 1tramof
2
2
1tramof 







Para el tramo 2
La pérdida de energía en el tramo 1 es.
2
2
2
2
D
Q4
v



 22
2
Dv
R
2D
 f
(del diagrama de Moody)
2.58 1.07 x 105
0.0006 0.018
g2
D
Q4
D
L
fh
g2
v
D
L
fh
2
2
2
2
2
2
22tramof
2
2
2
2
f










m995.5h
81.9x2
47.0x14.3
4483.0x4
47.0
00.460
018.0h 2tramof
2
2
1tramof 







como, s/m448.0Qs/m127.0Qhh 3
2
3
12f1f  
Determinación de la presión en el nodo B.
g2
D
Q4
D
L
fz
p
z
p
hz
g2
vp
z
g2
vp
2
2
1
1
1
1
1
B
A
A
1tramof1B
2
BB
A
2
AA

















2
B
2
2
B
4
m/kg55855p
81.9x2
30.0x14.3
1217.0x4
30.0
00.600
018.000.15
1000
p
00.6
1000
10x03.7









_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
71
Determinación del caudal para la condición inicial.
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre 1 y 2 se tiene:
z
g2
D
Q4
D
L
fhz
g2
vp
z
g2
vp
2
2
i
21f2
2
22
1
2
11













Lf
Dzg2
D
4
Q 2
i






 

Determinación del caudal para la condición final.
Problema F.II-2.14
Una tubería de diámetro uniforme une dos depósitos. Determinar el porcentaje en que se
incrementa el caudal si a partir del punto medio se pone a funcionar en paralelo otra tubería
del mismo diámetro.
Suponer un valor constante e igual para la fricción en todas las tuberías.
Despreciar las pérdidas menores.

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
72
2
Q
QQ2QQQQQQ AABABA  
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre 1 y 2, a través de la tubería A se tiene:
2MfM1f2
2
22
1
2
11
hhz
g2
vp
z
g2
vp
 



 
z
g2
D
2/Q4
D
2
L
f
g2
D
Q4
D
2
L
f
2
2
f
2
2
f




























z
g2D
4
4
Q
D2
L
f
g2D
4
Q
D2
L
f 2
2
2
f
2
2
2
f






 






 
z
8
5
Dg2
Lf
D
4
Q
z
8
1
2
1
Dg2
Lf
D
4
Q
2
2
2
f
2
2
2
f











 












 
Lf
Dzg2
5
8
D
4
Q
5
8
Lf
Dzg2
D
4
Q 2
f
2
22
f






 







 

Determinación del porcentaje de incremento en el caudal.
26.0
1
1
5
8
Lf
Dzg2
D
4
Lf
Dzg2
D
4Lf
Dzg2
5
8
D
4
Q
Q
Q
QQ
2
22
ii
if









 





 





 





 





 




%26
Q
Q
i


Problema F.II-2.15
Determinar la pendiente de la línea de alturas piezométricas para un flujo de aire atmosférico a 27 º C
a través de conducto de sección rectangular de 45 cm x 15 cm de hierro galvanizado si la velocidad
media es v = 9.00 m/s.

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
73
La viscosidad cinemática de aire a 27º C se encuentra en el gráfico de viscosidad cinemática
de algunos gases y líquidos. Los gases están a presión atmosférica normal, según se muestra
en el siguiente esquema.
El radio hidráulico es
056.0R
45.045.015.015.0
45.0x15.0
R
P
A
R HHH 


Determinación del número de Reynolds
    5
5
H
10x26.1R
10x6.1
056.0x400.9
R
R4v
R 

 
Determinación de la rugosidad relativa
En el diagrama de Moody se encuentra ε = 0.0152 cm
007.0
m056.0x4
m00152.0
R4 H


con la rugosidad relativa y el número de Reynolds se encuentra en le diagrama de
Moody f = 0.035, según se muestra en el siguiente esquema.

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