Metodo de Newton-Raphson

MÉTODOS NUMÉRICOS
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
POR EL MÉTODO DE NEWTON RAPHSON.
INTEGRANTES:NNNNKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK
K
 BAEZ JIMENEZ JOSE ARTURO
 BELLO SANCHEZ ERICK
 MARCIAL NOYOLA MIGUEL
1

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE
ECUACIONES NO LINEALES
1. Consiste en elegir las coordenadas de un punto (x1, y1) como
aproximación del punto de intersección de las funciones u(x, y) y v(x,y)
que hacen que éstas se anulen.
2

u(x, y)
v(x, y)
x
y
x1
y1
3

1. Consiste en elegir las coordenadas de un punto (x1, y1) como aproximación del
punto de intersección de las funciones u(x, y) y v(x,y) que hacen que éstas se
anulen.
2. Obtener los valores de las funciones u(x, y), v(x, y) valuadas con las coordenadas
(x1, y1) y localizar los cuatro puntos u(x1, y), v(x1, y), u(x, y1) y v(x, y1).
4

u(x, y)
v(x, y)
x
y
u(x1, y)
x1
y1
v(x, y1)
v(x1, y)
u(x, y1)
5

anulen.
3. Trazar una recta tangente paralela a la secante que une los puntos u(x1, y) y
u(x, y1) y otra tangente paralela a la secante que une los puntos v(x1, y) y v(x, y1)
6

u(x, y)
v(x, y)
x
y
u(x1, y)
x1
y1
v(x, y1)
v(x1, y)
u(x, y1)
7

anulen.
4. El punto de intersección de estas dos tangentes constituye una segunda
aproximación (x2, y2) del punto de intersección de las dos funciones
8

u(x, y)
v(x, y)
x
y
x1
y1
x2
y2
9

anulen.
4. El punto de intersección de estas dos tangentes constituye una segunda
aproximación (x2, y2) del punto de intersección de las dos funciones
5. El proceso se repite n veces hasta que las coordenadas del punto de intersección
(xn, yn) coincida prácticamente con el valor exacto de la intersección entre las dos
curvas.
10

u(x, y)
v(x, y)
x
y
x1
y1
x2
y2
11

 Este procedimiento corresponde, analíticamente, a extender el uso
de la derivada, ahora para calcular la intersección entre dos
funciones no lineales.
 Al igual que para una sola ecuación, el cálculo se basa en la
expansión de la serie de Taylor de primer orden, ahora de múltiples
variables, para considerar la contribución de más de una variable
independiente en la determinación de la raíz.
 Para dos variables, la serie de Taylor de primer orden se escribe, para
cada ecuación no lineal:
u u
 
i i
u u (x x ) (y y )
    
i 1 i i 1 i i 1 i
  
x y
v v
 
 
i i
v v (x x ) (y y )
    
i 1 i i 1 i i 1 i
  
x y
 
12

 Pero ui+1 = vi+1 = 0 :
 
 i  i

i i
y
i i 1 i i
1
i
 
x
y
 
 
  
v v
i i
x
i i
 
Que reescribiendo en el orden conveniente:
u
y


u x y
 

 


u u
 
  


 
 
  

 

 

i i
i 1
i i
i
i
i 1
i
i i i
i i
i
1
i
1 i
i
v
x
v v
v x y
x
u
x
v
y
x
y
y
x
y
x
y

 
 
 
 
 
  
i
i
i
i 1 i 1
v
u u u u
u x x y 0
x y
v v
x y y
0
x y
x y
13

Solucion del sistema por
determinantes
x y u x y
C
 
u u
x
i 1 2 i
 
i u u




 
i
 y

   
 
v

v

i i
 
 
y

y

D
x i i i i ∂v ∂u
∂y ∂
∂u ∂v
∂ x
-
x y ∂
JACOBIANO


 
 
   
 
 
 
x i i i


1
i
2
i
C
v
y
D
u
y
C
i
∂v ∂u
i
i i
u u v u v
i i
x
∂v ∂v
+ y
∂
∂u
-u +
∂y ∂y ∂x y ∂y
  
 
  
 
x y

 
i i i
i
i i
i i
v
y x
y y y

∂v ∂u u ∂v
∂v
   
 -

i
 ∂x ∂
y ∂

x
∂y
i
  

 



i 1 i
i
i
i
i
u v
u
y
x x
J
u
v v
y y
i i i
i
i
i
i
i
i i i
x
-
∂
∂v ∂u
∂
u
∂y
∂u ∂v
y ∂ x
∂y ∂x




 
    
 
 
  





 
  
 

   


 
i
i 1 i 1 1
i 1
i
i
i
i i
i
i
i
i
i
i
u
y
v
x
v v
v x y
x y
x y
u
x
v
y
C
y
14

La solución del sistema es:
x x
i 1 i

v u
 
i i
u v

i i
y y
 
 
y y x x
i 1 i
J 
u v
 
i i
v u

i i
   
J
Donde J es el determinante jacobiano del sistema
15

Ejemplo 1:Calcule las raíces con xi=1.5,yi=3.5
      2 2
x xy 10 0x y 3 y 57 0
u V
i ∂u
∂y
i i x = y = 3.5000
2 y 2( .5 ) 3.5 6.5 x
1
      


    

  

2 i
i
2
y
.5
3 33
u
x 1
( .5) 36.75 1 6 1
x
x 6(1.5)( ) 32
v
y
y 3.5 .5 i
∂v
∂
1.5000
x
v ∂
5 i i i i ∂u
∂x
J 3 .5 .
156.125
  

3.5
1.5
1.
  

  


2
1
1
2
u
36.75
10
5
6.5
1.5
( )( ) ( )( )
( ) ( )( )
3( )( )
2 1
5
2
v 1.
.5
3.5 3.5 7
625
∂ ∂u
∂
-
∂y
y
v
∂x
u
y 5
x x 1.5







. )

2.5

  
 

J 156.125


x x 7 5
 
( ) ( )
 


0360
  
i
i
i
i
i
i
1
i
i
1
i
i
i
i
u
( ) (
y y 3.
1.
v
1.625
v
1.625
u
6.5
J 156.12
v
3
u
2.
2
5
v
36.
5
( 5)
y 5
2.
2.
8438
ITERACION 1
16

x2 + xy - 10 = 0 y + 3xy2 - 57 = 0
iteración xi yi ui vi uix uiy vix viy Jacobiano
1 1.5 3.5 -2.5 1.625 6.5 1.5 36.75 32.5 156.125
2 2.0360 2.8438
xi = 2.0360
yi = 2.8438
Tabla iteración 1
17

      2 2
x xy 10 0x y 3 y 57 0
u V
i i x = y =
2 2( ) 6.9158
∂u
∂
i
      
v
y


     


 
i
2 2 i
3 3( ) 24.2616 1 6 1 6( )( ) 35.
u
x y x
7
x
y xy 399
i
2.0360
2.0360 2.0360
2.0360
2.8438
2.8438
2.8438 2.843
x
8
y
∂v
∂
i i i i ∂v
∂u
∂x x
J ( 35.
)( ) (
24.26
197.7
  
u 0.
  
 
 
 


1
2
1
2
6.9158
2.0360 2.036 2.8
438
v 2.8438 4 2.843
.7596
16
10
57
064
)( ) 734
( ) ( )( )
3( )(
2.
8
7
7
)
39
0
2.
9 0360
0360
∂
∂v
∂y
-
∂u
∂y
 
i 1 i


u


y 0360
 
i
i
i
v
  
 


x x 7596 
0.064 7 )(24.2616
)







i
i
i
i
   

  i
1 i
i v
y 35.7399
y y 2.8438
2.
x x 2.0
4.7596
v
4.
( ) ( )
(
360
u
6.9158
u
0.0647
J
v
) (
u
197.7734
J 197.7
7
34
1.9987
3.0023
ITERACION 2
18

x2 + xy - 10 = 0 y + 3xy2 - 57 = 0
1 1.5 3.5 -2.5 1.625 6.5 1.5 36.75 32.5 156.125
2 2.0360 2.8438 -0.0647 -4.7596 6.9158 2.0360 24.2616 35.7399 197.77
3 1.9987 3.0023
xi = 1.9987
yi = 3.0023
Tabla iteración 2
19

i i x = y =
2 2( ) 6.9997
∂u
∂
i
      
v
y


     


 
i
2 2 i
3 3( ) 21.0414 1 6 1 6( )( ) 35.
u
x y x
0
x
y xy 042
i
1.9987
1.9987 1.9987
1.9987
3.0023
3.0023
3.0023 3.002
x
3
y
∂v
∂
∂u
∂u ∂
i i i i ∂x
∂y
1.9987 1.9987
J (37.004 )( 7 ) ( 7
) 204.9707
  
2
10
  
 

0.0045
  1
2
 
1
u
6.999 ( )
(
1.998
) ( )( )
3( )
27.0414
v 0.0
7 499
2
( ) 5
1.9
-
3.0023
3.0023 3.
98 002
v
∂x
7 3
∂v
∂y
 
i 1 i






i
y 0045
42 0.0499
( ) (1 )
  
x 
( )(


 

 
 





( )
 
i
i 1 i
i
i
i i
i
i
y
v u
35
J 204.9707
J
y 7.00 .9987
v
v
21.041
v
0.0
u
0.
499
x x 1.9987
u
6.9997
u
0.0045 4
20
4.
y
x )
9707
3.0023
2
3.
.0000
0000
ITERACION 3
20
ITERACION 4
i i x = 2
2
u ( ) ( )( ) 10 0.0000
v 3( )( ) 57 0.0000
   
   
1
2
1
2
y
3
2
2
= 3
3
3

Tabla de iteraciones y gráfica de la solucion
El proceso se para debido a que los valores de ui y de vi son
cero, lo cual indica que se ha llegado a la raíz.
x2 + xy - 10 = 0 y + 3xy2 - 57 = 0
1 1.5 3.5 -2.5 1.625 6.5 1.5 36.75 32.5 156.125
2 2.0360 2.8438 -0.0647 -4.7596 6.9158 2.0360 24.2616 35.7399 197.77
3 1.9987 3.0023 -0.0045 0.0499 6.9997 1.9987 27.0414 37.0042 204.9707
4 2.0000 3.0000 0 0
21

Ejemplo 2:Calcule las raíces de
2 2 2 2
           
16 x y 0 4 x 4 y 4 0
u V
ITERACION 1
 
i i x = 3.5000
2 2( ) 4 2 2 7
       
3
.5
   
       




             
i
i
2 4 2 4 4
y
u
x 2
2 4 2 4 1
v
x
y
x
2 y
3.5
y =
i
i
2
y
∂v
∂
∂
x
∂u
( )( ) ( )( )
∂v ∂
∂y ∂y
i i i i ∂u
  
5
∂x
   
 
 




    

2 2
1
1
2 2
( ) (3
1
.
v 3.
0.25
u
4
16
5
)
4 4 (
2
J
.
4
4
7
2
)
5
24
2
u ∂
∂x
-
v
u
y 7
   
) ( )



i
(
  
J 24
 
i 1 i




  
 

 y 
 
  3.5
  



i
i
i 1 i
i i
i
i i
y
v
x 4
J
x
v
0.25
v 0.2
5
u
0.25
x 2
u
x 4
u ( ) (0.
24
2 ( )
v
y 1
5)
2.0625
3.5
22

ITERACION 2
 
x = y =
i i 3.5000
i 2 2( ) 4.125 2 2 7
y
3.
5
           
       
            





i
2 4 2 4 3.875 2 4 2 4
1
x
v
u
y
x
x y
3.5
i
i
2.0625
2.062
∂v
∂x
∂u
5
2
∂y
.0625
∂u
∂
i i i i J (
)( ) ( 7 )( )
23
    

0625 3.5
2 3.5 39
   
 


   

 
2 2
2
1
2
1
4.125
2.
3.875
u 16 0.5
0
1
3
( ) ( )
4 4 ( 4)
9
v .0625
0.00
∂
∂v
∂y
∂v
x ∂
x
u
∂y
-
   
u

u
39
  
J 23
 




 



x x  5 
( 
039)(3.875)



 


 





i 1
i
i
i
i
i
i
i 1
i
i
i
i
v
y y 3.
0.50
v
0.0039
v 0.0039
7
x x 2.0625
u
4
( ) ( )
( .12 )
u
J 2
0
v
1
.5
5
y y
3
2.0
856
3.
4144
23

ITERACION 3
 
2.0856
i 2 2( ) 4.1712 i
2 2 6.8288
2.0856
           
       
            





i
2 4 2 4 3.8288
v
u
x
x
2 4 2 4 1.171
y
y
y 2
i i 3.4144
3.4
x =
144
3.4
1
=
4
y
i 2.0856 2.08
4
∂
56
v
∂x
∂u
∂y
( )( ) ( )( ) 21.2608
∂v ∂u ∂v
∂y ∂x x
i i i i ∂u
  
∂y
 
  

   

    
 
1
2 2
2
1
2
( )
1
3.
6
4
.8
14
4.1712 3.888
16
.1712
u 2.085 0.007
9
v 0.007
2
( )
8
4
3.414
6
4 2.08 4 9
J
(
8
56 4 4 )
-
∂
   
u
v
y 1712
y 8
 
6.82
0.0079
   
 
i 1

2
x  
)(
 
J 2

 



  






608




i
i
i 1
i
i
i
i
i
i
i
i
y
v
v x 0.007
3.8288 y 3.414
( ) ( )
(
x x 2.0856
u
4.
v
) (
u
12
1.
5
0.0079 1.
u 0
.
J 21.260
007
8
8
9
4
9 )
2.
3.
08857
4114
24

Iteración 4
2 2
   
   
u 16 0.0002
    
v 4 4 4 0.0000
     
1
2 2
1
2.08857 3.4114
2.08857 3.4114
iteració
n xi yi ui vi uix uiy vix viy Jacobiano
1 2 3.5 0,25 -0,25 -4 -7 4 1 24
2 2,0625 3,5 --0,5039 --0,0039 -4,125 -7 3,875 1 23
3 2,0856 3,4144 -0,0079 -0,0079 -4,1712 -6,8288 3,8288 1,1712 21,2608
4 2,08857 3,4114 0,0002 0,0000
25

Ejemplo 3:Calcule las raíces aproximadas
con tres iteraciones
    2 2
x y .2 y x .3
u V
ITERACION 1
 

i
    



 




i
i
 i
v
2 2( ) 2.8 1
1
1.4
2 2
u
x
v
y
y 1
x
( . ) .8
u
x y
4 2
i i x = 1.4 y = 1.4
  

J i i i 6.8
    


 1
  








2
2
i
1
v
1
x
.2
( )( )
u .36
v
( )( )
u
( ) ( 1.4
)
(
1.
u
2.8
x
) (
1.4
1.4)
v
2.8
y
.3
y
4
1 4
.26
y 8
y .
6
x x 1.4 1.2146
i 1 i







i
i
i
   
J 6.
u
x 2.8



 

 

i
  
   i
1
i
i
i
i
i
. ( ) ( )
. (
v
2
84
)
u
u
36
(.
v
.
u
36)
y y 1.
2
v
( 1)
J 6.
8
1
4
4
v
26
x 1.
2409
26

ITERACION 2

 i i
2 2( ) 2.4292 1
 
i i v
x


    


1
    
u
x 1.2146
x
2y 2(1.2 ) 2.481
u
4 8
y
y
9
v
0
i i x = 1.2146 y = 1.2409
 
v
J 2.4818
5.028
    
  
214
6
   
   




 i i
2
2
1
v 1.2146)
1
i i u
2.4292
x
1.
( )( ) ( )( )
u ( ) ( ) . 0343
1.2
409
v
1
x
1.240 2 .
( ) (
.3
u
.
1 7
y
9
y
0252
y 818
x x 1.2146 1.1927







i
   
u
x 2.4292


v
x 2 
.0343 1)
 

 

 i

    i
1 i
i
i 1 i
i i
i
i
i
. ( ) . ( )
.
u
0343
u
025
v
2
J 5.028
( )
u
1
(
y
)
v
0
(
y
.4
y 1
252
v
7
.2409 1.
J 5.0287
2220
27

ITERACION 3

 i i
2 2( ) 2.3854 1
 
i i v
x


    
v


1 y 1.22
2 2( ) 2.444
    
u
x 1.1927
y
y
x
u
20 0
i i x = 1.1927 y = 1.2220
 
v
J 2.4440
4.8299
    
  
1927
   
   




 i i
2
2
1
1
i i u
2.3854
x
1.
( )( ) ( )( )
u ( ) ( ) . .0025
1.2220
1.2220
v
1
x
2
( ) (
1.1927)
u
1
.3 .
y
v
y
0006
.444
x x 1.1927 1.1914

y y 1.2220 1.






i
   
u
x 2.3854


v
x 
1
 

 

 i

    i
1 i
i
i 1 i
i i
i
i
i
. ( ) . ( )
.
v
0006
v
000
v
2
J 4.829
( )
u
00
(.
25
u
6 0025)(
)
u
y 1
9
J 4.829
y
9
0
2212
28

( ) ( 1.2
) .2 .0017
(
   
   
2
2
    2 2
x y .2 y x .3
u V
1.1914
) (1.191 )
.3
212
1.2212 4 .00007
iteración xi Yi ui Vi uix uiy vix viy Jacobiano
1 1.4 1.4 .26 .36 2.8 -1 -1 2.8 6.84
2 1.2146 1.2409 .0343 .0252 2.4292 -1 -1 2.4818 5.0287
3 1.1927 1.2220 .0025 .0006 2.3854 -1 -1 2.4440 2.4289
4 1.1914 1.2212 -0.0017 -0.00007
29

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