Este documento describe el método de bisección y el método de la regla falsa para encontrar las raíces de una ecuación. El método de bisección divide repetidamente el intervalo en dos partes iguales hasta encontrar la raíz con la precisión deseada. El método de la regla falsa es similar pero divide el intervalo de forma desigual basándose en la función. El documento incluye ejemplos y algoritmos de ambos métodos.

1. MÉTODOS NUMÉRICOS
MÉTODOS CERRADOS Y SUS
I N T E R P R E TA C I O N E S G E O M É T R I C A S
( B I S E C C I Ó N Y R E G L A FA L S A ) .
M AE S T R O : T U TAN K A M É N B O B AD I L L A O C H O A
EQUIPO # 2
RAMIREZ EGURROLA MARISOL
BOJORQUEZ HERNANDEZ ISIDRO
SALAZAR CESAR ALBERTO
Q U I H U I S F AV E L A A L E J A N D R O
H.NOGALES.SONORA A 13 DE SEPTIEMBRE DEL
2012

2. MÉTODO DE BISECCIÓN
Conocido también como de corte binario, de
partición en dos intervalos iguales o método
Bolzano, es un método de búsqueda
incremental en el que el intervalo se divide
siempre en 2. Si la función cambia de signo
sobre un intervalo, se evalúa el valor de la
función en el punto medio. La posición de la
raíz se determina situándola en el punto medio
del subintervalo dentro del cual ocurre un
cambio de signo. El proceso se repite hasta
obtener una mejor aproximación.

3. PASOS MÉTODO DE BISECCIÓN
Paso 1.- Elegir los valores iniciales inferior Xl y superior Xu de forma que la
función cambia de signo sobre el intervalo. Esto se puede verificar
asegurándose de que f(Xl) f(Xu) < 0.
Paso 2.- La primera aproximación a la raíz , se determina como:
Paso 3.- Realice las siguientes evaluaciones para determinar en que
subintevalo cae la raíz.
a) Si f(Xl) f(Xu) < 0 entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo.
Por lo tanto, tome Xu = Xl y continúe en el paso 2.
b) Si f(Xl) f(Xu) > 0 entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo
superior . Por lo tanto resuélvase Xl=Xr y continúe en el paso 2.
c) Si f(Xl) f(Xu) = 0. la raiz es igual a Xr; termina el cálculo .

4. EJEMPLO 5.3
Use la aproximación grafica para determinar el coeficiente de razonamiento
c necesario para que un paracaidista de masa m=68.1 kg tenga una
velocidad de 40 m/s después de una caída libre de t =10 s. La
aceleración de la gravedad es 9.8 m/s² .
Varios valores de c pueden ser sustituidos en el lado derecho de esta
ecuación para calcular
C F( c )
4 34.115
8 17.653
12 6.067
14 1.569
16 -2.269
20 -8.401

5. GRAFICA DEL EJEMPLO
La aproximación
grafica para
determinar las
raíces de una
ecuación.

6. SOLUCIÓN

7. Iteración Xf Xu Xr Ea% Es%
1 12 16 14 5.279
2 14 16 15 6.667 1.487
3 14 15 14.5 3.448 1.896
4 14.5 15 14.75 1.695 0.204
5 14.75 15 14.875 0.840 0.641
6 14.75 14.875 14.8125 0.422 0.219

9. ALGORITMO DE BISECCIÓN

11. MÉTODO DE LA REGLA FALSA

12. GRAFICA MÉTODO DE LA REGLA FALSA

13. DESARROLLO DEL MÉTODO DE FALSA POSICIÓN

15. EJEMPLO 5.6

17. ALGORITMO PARA EL MÉTODO DE FALSA POSICIÓN
Se puede desarrollar directamente un algoritmo para la falsa posición a
partir el algoritmo del método de bisección mostrado en la figura
anterior. La única modificación en la de sustituir la ecuación (5.7).
Además la prueba de cero sugerida en la ultima sección también se
debe de incorporar en el código.
DEVENTAJAS DEL METODO DE LA FALSA POSICION
Aunque el método de la falsa posición parecía ser siempre la mejor opción
de los que usan intervalos hay casos donde funcionan deficientemente
.
Por lo común no es posible hacer generalizaciones relacionadas con los
métodos de obtención de raíces. Aunque un método con el de la falsa
posición por lo general es superior al de la falsa posición, hay algunos
casos que violan conclusiones generales,. Por lo tanto los resultados
se pueden verificar sustituyendo la raíz en la ecuación original y
determinando si el resultado se acerca a cero.
En consecuencia , tenemos confianza en que al satisfacer la ecuación, la
raíz se conocerá con mayor exactitud, superado la tolerancia
establecida.