Este documento presenta la teorÃa y aplicaciones del Teorema de Pitágoras. Explica que este teorema se aplica a triángulos rectángulos y permite calcular el lado desconocido sabiendo los otros dos. También describe cÃ3mo Pitágoras descubriÃ3 esta relaciÃ3n y algunos ejemplos de su uso para resolver problemas de áreas, distancias, alturas y más en geometrÃa y trigonometría.

1. INTEGRANTES:
EQUIPO: DOS GRUPO: UNO
BENÍTEZ HERNÁNDEZ HUGO ALFREDO
HERNÁNDEZ CHÁVEZ BRIGIDO ALBERTO
JUÁREZ MUÑOZ ADRIAN
REDONDO NAVA JOSE NAHU
SERRANO SERRANO ARTURO
“

2. CONSIDERACIONES PREVIAS
El teorema de Pitágoras es una de las relaciones matemáticas
más importantes dentro de la aritmética, algebra y geometría
por sus diversas aplicaciones en la determinación de distancias,
alturas y áreas de terrenos y/o superficies.
Sin embargo, su máxima aplicación se da en la trigonometría,
ya que por medio de él podemos determinar el seno, coseno y
tangente de cualquier triángulo rectángulo.
Para la comprensión de este tema se requiere que los alumnos
cuenten con conocimientos previos sobre el cálculo de áreas en
figuras planas y despeje de funciones algebraicas.
Pregunta para Evaluación
Podemos afirmar que las funciones sen, cos y tan están basadas en el
Teorema de Pitágoras o proposición 1.47 de los Elementos de Euclides.
Cierto/Falso

3. Nació en 572 a. de c. aproximadamente. En la isla de
Samos, una de las islas del mar Egeo, cerca de la ciudad de
Mileto, donde nació Tales.
Hijo de Menesarco, quizás un rico comerciante de Samos.
Parece que Pitágoras estuvo en Egipto y posiblemente
viajó en forma más extensa por el Oriente antiguo.
Tiempo después emigra al puerto griego de Crotona en
Italia del sur. Ahí fundó la célebre escuela pitagórica, así
como una fraternidad unida a ritos secretos y cabalísticos.
Se dedicó al estudio de la filosofía, la matemática y la
astronomía.
Pregunta para Evaluación
Indique al menos tres materias en las que Pitágoras estudió e hizo aportaciones
Filosofía, matemáticas y astronomía

4. DEFINICIONES
Teorema: Es una afirmación que puede ser demostrada como
verdadera dentro de un marco lógico.
Área: Es aquella cantidad de superficie que se encuentra
encerrada dentro de una figura geométrica cerrada.
Ángulo: Es la abertura entre dos líneas de cualquier tipo que
concurren en un punto común llamado vértice.
Triángulo rectángulo: Es aquel triángulo en el que uno de sus
ángulos es recto, es decir, mide 90º.

5. Propiedades básicas de área de una figura: Para determinar el
área de cualquier figura sin importar su forma, basta con
descomponerla en pequeñas porciones o figuras de las cuales
podamos determinar su superficie; al final la suma de todas nos
dará el área de la figura.
Área del rectángulo:La cantidad de superficie encerrada en un
rectángulo es el producto de la base por la altura. Así pues podemos
decir con toda seguridad que A=b.a.
Área del cuadrado: La cantidad de superficie encerrada en un
cuadrado de lado l es l2. Es decir A=l2.
Área del triángulo: La cantidad de superficie encerrada en un
triángulo es igual al producto de la base por la altura dividido por
dos, es decir, A = b.a/2
Pregunta para Evaluación
La superficie de cualquier figura se puede determinar sumando las de aquellas
en las que se haya dividido sin importar la cantidad
Cierto/Falso

6. En un triángulo rectángulo, a los
lados que forman el ángulo recto
se les llama catetos y al opuesto al
ángulo recto hipotenusa.
C
a
“La suma de los cuadrados de los
t
catetos es igual al cuadrado de la
e
hipotenusa.”
t
o
Es decir: En un triángulo
rectángulo, el área del cuadrado
b
construido sobre la hipotenusa es
igual a la suma de las áreas de los
Cateto a cuadrados construidos sobre cada
uno de los catetos.
c2 = a2 + b2.
Pregunta para Evaluación
Si un triángulo tiene dos lados de 3 y 4 unidades la hipotenusa medirá 5.
Correcto/Incorrecto

7. TEOREMA DE PITÁGORAS
El teorema de Pitágoras se aplica exclusivamente a triángulos
rectángulos, y nos sirve para obtener cualquier a de sus lados
llámese hipotenusa o catetos.
Para usar el teorema de Pitágoras, sólo hay que sustituir los
datos en la formula en la formula c2= a2+b2, por ejemplo:
Dados los datos de un triangulo rectángulo:
 a= 3 b= 4 y c=?
Se sustituye: c2 = (3)2 + (4)2
al cuadrado, eso da:
Elevando
c2 = 9 +16 = 25
Para obtener el valor de c, sacamos raíz cuadrada:
o sea que c = 5.

8. TEOREMA DE PITÁGORAS
Cuando lo que te falta es uno de los catetos hay que
despejar de la fórmula de la siguiente manera:
Cuando se busca a:
C2=A2+B2
B2 pasa restando y queda:
C2 – B2 =A2 o A2= C2-B2
Cuando se busca b:
C2=A2+B2
A2 pasa restando y queda:
C2 – A2= B2 O B2= C2 –A2
Por último si se quiere obtener el valor absoluto de a, b o c
se saca la raíz cuadrada del resultado final.

9. El teorema de Pitágoras es de mucha utilidad en la resolución de
problemas de la vida cotidiana.
Ejemplo 1:
Para el calculo de distancias y/o alturas: Se desean bajar frutos de un
árbol de naranjas, para ello se quiere construir una escalera que sea
capaz de alcanzarlos, sabiendo la altura a la que se encuentran los
frutos y la distancia del árbol a la base de la escalera.
Sustituyendo valores en la
formula, tenemos que:
c2=a2+b2
C2=(8)2+(5)2
C2=64+25
C=
A= 8 C2=89
?
C=√89
C= 9.43 m es la altura de la
B=
escalera.
5

10. Ejemplo 2:
Calcular la longitud d de la diagonal de un cuadrado cuyos
lados
miden 8 m.
Si se considera una parte del
cuadrado, se tiene un
triángulo rectángulo en el
que
c = d, a = 8 y b = 8.
Al utilizar la relación
pitagórica c2 = a2 + b2, se
sustituyen
los datos:
d2 = 82 + 82 = 64 + 64 =
128
d= √128
d= 11.31m

11. Ejemplo3:
Calcular el área de un hexágono regular conociendo que la
longitud
de cada uno de sus lados es de 4 m.
Para calcular el área de un hexágono
se aplicara la siguiente formula:
El perímetro es igual que P = 6 x l, que
sustituyendo es P = 6 x 4 = 24 m

12. Para calcular la longitud del apotema, obsérvese que el triángulo
ABC es equilátero, se utiliza una parte de uno de los triángulos
equiláteros. Para saber que la longitud de los lados del triángulo
rectángulo:
Sustituir estos datos en la relación:
c2 = a2 + b2
42 = a2 + 22
16 = a2 + 4
Se resuelve la ecuación de segundo grado:

13. Ejemplo 4:
Para combatir un incendio forestal, el Departamento de Silvicultura
desea talar un terreno rectangular alrededor del incendio, como se ve
en la figura. Las cuadrillas cuentan con equipos de
radiocomunicación de 3000 yardas de alcance. ¿Pueden seguir en
contacto las cuadrillas en los puntos A y B?
Los puntos A, B y C forman un
triángulo rectángulo. Para calcular la
distancia c del punto A al punto B se
utiliza el teorema de Pitágoras,
sustituyendo a “a” por 2,400 y a “b”
por 1,000, y despejando a c:
a2+b2=c2
24002+10002=c2
6,760,000=c2
c=2600
Las dos cuadrillas están a 2600
yardas de distancia. Esa distancia es
menor que la del alcance de los
radios, por lo que las cuadrillas se
pueden comunicar.

14. En trigonometría el teorema de Pitágoras se utiliza para
determinar los ángulos de cualquier triangulo rectángulo mediante
las razones trigonométricas de seno, coseno y tangente.
El triángulo ABC es un
triángulo rectángulo, lo
usaremos para definir las
razones seno, coseno y
tangente, del ángulo ,
correspondiente al vértice A,
situado en el centro de la
circunferencia.

15. De esta manera tenemos que:
El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse quot;sinusquot; en
latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la
hipotenusa, se expresa de la siguiente manera:
El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto
adyacente sobre la hipotenusa, se expresa así:

16. La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el
cateto opuesto sobre el cateto adyacente:

17. Del teorema de Pitágoras se desprenden algunas identidades
trigonométricas; por identidad trigonométrica se entiende como
una igualdad en que se cumple para todos los valores permisibles
de la variable.
Como en el triángulo rectángulo cumple
la función que:
De la figura anterior se tiene que:
Entonces para todo ángulo α, se cumple la
identidad Pitagórica :
Pregunta para Evaluación
“La suma de los cuadrados del seno y coseno de un < de 37 grados nos da uno”
Correcto/Incorrecto

18. Conclusiones:
Hoy en día a pesar de los avances tecnológicos es necesario utilizar
cálculos y funciones matemáticas que a pesar de que se crearon hace
varios siglos siguen siendo útiles para resolver problemas de la vida
cotidiana.
El Teorema de Pitágoras es un claro ejemplo de ello, ya que se
considera parte de la educación elemental de cualquier individuo, en
su forma más simple, nos proporciona una solución sencilla a
problemas de longitud, alturas y distancias que en cualquier etapa de
nuestra vida se nos pueden presentar.

19. Bibliografía:
http://es.wikipedia.org/wiki/Cotangente
http://www.appletpie.com/apie/apiedemo/demostracion.htm
l
“El teorema de Pitágoras” Presentación elaborada por la Dra.
Lourdes Palacios & M.I.B. Norma Castañeda. Matemáticas
preuniversitarias.
“Teorema de Pitágoras”. Documento PDF. Disponible en:
www.tecnica80sinaloa.edu.mx/MaterialEducativo/Matematicas/
Articulos/03TEOREMA%20DE%20PITÁGORAS.pdf

20. Ejercicios adicionales para la
Evaluación
El siguiente dibujo ha sido completado y traducido a
términos modernos; viene de una tablilla de arcilla,
muy deteriorada, fechada hacia el año 1800 a. C.
Se debe encontrar el radio x del círculo circunscrito
al triángulo isósceles ABC, sabiendo que AB=60 y que
CA=CB= 50. C
50
o
x
30
D
B
A
Solución: Se calcula primero DC, usando el teorema de pitágoras se
obtiene DC=40. Si x es el radio del círculo, se tendrá que CD=40-x.
Aplicando nuevamente el teorema se tiene que x*2= (40-x)* 2 + 30*2
de donde x= 31 1/4
La trigonometría existe porque existe el teorema de Pitágoras
E.S. Lomis

21. Pasando por los puntos de la figura, formar un cuadrado
que tenga un área de 5 unidades cuadradas
Solución
1
2
“La geometría tiene dos grandes tesoros, unos es el Teorema de Pitágoras, y otro
la división de un segmento en media y extrema razón. Si el primero es una joya de
oro , el segundo viene a ser una piedra preciosa”
Kepler