1) Se resuelve un problema de geometría analítica sobre un triángulo ABC. 2) Se hallan las ecuaciones de los lados del triángulo y de la altura relativa al vértice A. 3) Se calcula la longitud de dicha altura y la longitud del lado BC, que es la base, para luego hallar el área del triángulo.

1. Problema de rectas Tenemos un triángulo, cuyos vértices son los puntos A(7,9), B(2, - 6 ) y C( - 7,3). Se pide: a) las ecuaciones de los lados. b) la ecuación de la altura relativa al vértice A. c) longitud de la altura que parte por A. d) longitud del lado BC. (Será la base) y área del triángulo. Curso 4º ESO Observaciones: Este problema está resuelto a continuación. No es la única forma ni es la más sencilla en algunos apartados, pero debéis de tener en cuenta que lo vamos a resolver con las fórmulas que hemos trabajado en este curso. Por ejemplo no hemos visto distancia de un punto a una recta, de ahí que sea más larga la obtención de la longitud de la altura. También, a veces, por observación de la gráfica, intentaréis buscar atajos, pero tenéis que tener en cuenta que los datos que no da el problema hay que verificarlos. Quizás, el triángulo, os pueda parecer isósceles, pero no lo es. También podéis observar que en la gráfica M es (-3,-1), ¡Claro! pero la gráfica está construida para acompañar la resolución pero no para que podáis usar datos que no os dé el problema. De cualquiera de las formas, os animo a que intentéis resolverle vosotros y a ir comprobando las soluciones diapositiva a diapositiva.

2. Empezamos hallando la ecuación del lado AB. Tenemos como datos para hallar al ecuación los dos vértices que definen al lado. Podemos obtener la ecuación por varios caminos. A(7,9) y B(2,-6) Ecuación del lado AB Ecuación continua: Hemos obtenido la ecuación general. La explícita quedaría: y = 3x - 12

3. De igual forma haríamos las ecuaciones de los lados BC y AC. B(2,-6) y C(-7,3) Ecuación del lado BC Ecuación de la recta que pasa por dos puntos: De igual forma hallaríamos la ecuación del lado AC: 3 x – 7 y + 6 = 0

4. Calculamos la ecuación de la altura relativa al lado BC. Para ello hallamos la pendiente del lado BC, que llamamos m , y hallaremos la pendiente de la perpendicular, m’ teniendo en cuenta que m.m’ = -1 . Con m’ y el punto A , hallamos la ecuación de la perpendicular al lado BC por A, o sea la altura relativa al vértice A. B(2,-6) y C(-7,3) Pendiente del lado BC: La pendiente de una recta perpendicular será: Sabiendo la pendiente m ’ y el punto A , hallamos la ecuación punto-pendiente: y – y A =m’(x – x A )

5. Para hallar la longitud de la altura, hallamos la distancia entre dos puntos, entre A y M, o lo que es lo mismo el módulo del vector MA . Pero antes debemos de conocer las coordenadas del punto M. Para ello tenemos que resolver un sistema, formado por ecuación del lado BC y ecuación de la altura. O sea: El punto de corte será el punto M(-3,-1)

6. Para hallar la longitud del lado BC, hallamos la distancia entre dos puntos, o lo que es lo mismo el módulo del vector BC . Una vez obtenidos la base y la altura hallamos el área del triángulo. Para hallar el área del triángulo utilizamos la fórmula: