1. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
GUÍA - TALLER No. 5
Editado por:
Lic. OSCAR M SERRANO A
Lic. WILLIAM SIERRA
OBJETIVO: Plantear y resolver situaciones problemicas que permitan la aplicación y la
interconexión de la Geometría, la Trigonometría en la Ingeniería.
BIBLIOGRAFÍA*:
CLEMENS, S. et Al. Geometría. Editorial Pearson, 1998.
DALEY, J. Y SARELL, G. Trigonometría, Editorial Mc Graw Hill, 2004.
IBAÑEZ, P Y GARCÍA, G. Geometría y Trigonometría, Editorial Thomson, 2006.
SWOKOWSKY, E. Y COLE, J. Algebra y trigonometría con geometría analítica, Editorial Thomson,
undécima edición, 2005.
(*) Sirven como textos guía y han sido tomados algunos ejercicios en el diseño del taller.
Poliedro: Cuerpo geomét rico cerrado delimitado por cuatro a mas regiones poligonales. Las
regiones poligonales que limitan al poliedro se llaman caras del poliedro, los lados de estos reciben
el nombre de aristas y concurren a un punto llamado vértice
Elementos de un pol iedro
Caras: Cada uno de los polígonos que limitan al poliedro.
Aristas: Los lados de las caras del poliedro. Dos caras tienen una arista en común.
Vértices :Los vértices de cada una de las caras del poliedro. Tres caras coinciden en un mismo
vértice.
Ángulos diedros: Los ángulos formados por cada dos caras que tienen una arista en común.
Ángulos poliédricos: Los ángulos formados por tres o más caras del poliedro con un vértice
común.
Diagonales: Segmentos que unen dos vértices no pertenecientes a la misma cara.
Relación de Euler: Nº de c aras + Nº de vér t i c es = Nº de ar i s t as + 2.

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Tipos de pol iedros
P o l i e d ro co n ve xo
E n un pol i edro c onvex ounarect a s ól opuedac ort ara
s us uper f i c i eendos punt os .
Poliedro cóncavo
E n un pol i edroc ónc avo una rect a
puede c ort ar su s uper f i ci e en más de dos punt os ,
por l o que pos ee al gún ángul o di edro ent rant e.
Pol iedros regulares
Un pol i edro regul ar tiene todos sus ángul os di edros y todos sus ángul os pol i edros
i gual es y sus c aras son pol í gonos regul ares i gual es .
Sólo existen c i nc o pol i edros regul ares :
1. T et r aed ro
Area Total: AT = √3a2
Volumen: 푉 = √2
12
푎3
S u s uper f i c i e es t á formada por 4 t r i ángul os equi l át eros i gual es .
Ti ene c uat ro vér t i c es y c uat ro ar i s t as .
E s una pi rámi de t r i angul ar regul ar .

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2. Hexaed ro o cu b o
Área lateral: 퐴퐿 = 4푎2
Área Total: AT = 6a2
Volumen: 푉 = 푎3
S u s uper f i c i e es t á c ons t i tuida por 6 c uadrados . .
Ti ene 8 vér t i c es y 12 ar i s t as .
E s un pr i sma c uadrangul ar regul ar . .
3. Octa e d ro
Área Total: AT = 2√3a2
Volumen: 푉 = √2
3
푎3
S u s uper f i c i e c ons t a de oc ho
t r i ángul os equi l át eros .
Ti ene 6 vér t i c es y 12 ar i s t as .
S e puede c ons i derar formado
por l a uni ón, des de s us bas es ,
de dos pi rámi des c uadrangul ares regul ares i gual es .
4. Do d e ca e d ro
Área Total: AT = 30. a. ap
Volumen: 푉 = 1
4
(15 + 7√5)푎3
S u s uper f i c i e c ons t a de 12 pent ágonos regul ares .
Ti ene 20 vér t i c es y 30 ar i s t as .
5. I co sa e d ro

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Área Total: AT = 5√3a2
Volumen: 푉 = 5
12
(3 + √5)푎3
S u s uper f i c i e c ons t a de vei nt e t r i ángul os equi l át eros .
Ti ene 12 vér t i c es y 30 ar i s t as .
Poliedros irregulares
Un pol i edro i r regul ar está definido por pol í gonos que no son todos i gual es .
Tipos de poliedros según el número de caras
 Tetraedro: Poliedro de 4 caras.
 Pentaedro: Poliedro de 5 caras.
 Hexaedro: Poliedro de 6 caras.
 Heptaedro: Poliedro de 7 caras.
 Octaedro: Poliedro de 8 caras.
 Eneaedro: Poliedro de 9 caras.
 Decaedro: Poliedro de 10 caras.
 Endecaedro: Poliedro de 11 caras.
 Dodecaedro: Poliedro de 12 caras.
 Tridecaedro: Poliedro de 13 caras.
 Tetradecaedro: Poliedro de 14 caras.
 Pentacaedro: Poliedro de 15 caras.
 Icosaedro: Poliedro de 20 caras.
Prismas
Unpr i sma es unpol i edro que tienendos c aras paralelas e iguales llamadasbas es y susc aras
l at eral es sonparal el ogramos .
Desarrollo del prisma Elementos de un prisma

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Al tu r a : es la di s t anc i a ent re l as bas es .Los l ados de las bas es constituyen las ar i s t as
bás i c as y los l ados de las c aras l at eral es las ar i s t as l at eral es , éstas son iguales y
paralelas entre sí.
Área y volumen del prisma
Perimetro de la base:푃퐵
Area lateral: AL = PBh
Area Total: AT = AL + 2AB
Volumen: 푉 = 퐴퐵ℎ
Pi rámides
P ol i edros c uy a bas e es un pol í gono c ual qui era y c uy as c aras l at eral es s on
t r i ángul os c on un vér t i c e c omún, que es el vér t i c e de l a pi rámi de.
Elementos de una pirámide
La altura de la pirámide es el s egment o
perpendi c ul ar a la base, que une l a bas e
c on el vér t i c e .
La apot ema de l a pi rámi de es l a al t ura
de c ual qui era de s us c aras l at eral es .
Las ar i s t as de l a bas e s e l l aman
ar i s t as bás i c as y l as ar i s t as que

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c onc ur ren en el vér t i c e, ar i s t as l at eral es .
Cálculo de la arista lateral de una pirámide
Calculamos la arista lateral de la pirámide, conociendo la altura y el radio de la base o radio de la
circunferencia circunscrita, aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo sombreado:
푎2 = ℎ2 + 푟2
푎 = √ℎ2 + 푟2
Area lateral: AL = 1
2
PB . ap
Area Total: AT = AL + AB
Volumen: 푉 = 1
3
퐴퐵ℎ
Tronco de pirámide
A= Área de la base mayor
A’ = Área de la base menor
P= Perimetro de la base mayor
P’= Perimetro de la base menor
Área lateral: 퐴푙 = 푃+푃′
2
퐴푝
Área Total:퐴푇 = 푃+푃′
2
퐴푝 + 퐴 + 퐴′
Volumen: 푉 = ℎ
3
(퐴 + 퐴′ + √퐴퐴′)
Ci l indro
E s el c uerpo engendrado por un rec t ángul o que gi ra al rededor de uno de s us
l ados .
Elementos del cilindro
Eje:Es El lado fijo alrededor del cual gira el rectángulo.
Generatriz: Es el lado opuesto al eje, y es el lado que engendra
el cilindro.
Bases: Son los círculos que engendran los lados
perpendiculares al eje.

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Altura: Es la distancia entre las dos bases, esta distancia es igual a la generatriz
Área lateral: 퐴푙 = 2휋푟ℎ
Área Total:퐴푇 = 2휋푟(ℎ + 푟)
Volumen: 푉 = 휋푟2 ℎ
Cono
E s el c uerpo de revol uc i ón obt eni do al hac er gi rar un t r i ángul o rec t ángul o
al rededor de uno de s us c at et os .
Elementos del cono
Eje: Es el cateto fijo alrededor del cual gira el triángulo.
Base: Es el círculo que forma el otro cateto.
Gen er at r i z : Es la hipotenusa del triángulo rectángulo.
Altura:Es la distancia del vértice a la base.
Área lateral: 퐴푙 = 휋푟푔
Área Total:퐴푇 = 휋푟(푔 + 푟)
Volumen: 푉 = 1
3
휋푟2 ℎ
Tronco de cono

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Área lateral: 퐴푙 = 휋(푅 + 푟)푔
Área Total:퐴푇 = 휋[푔(푅 + 푟) + 푅2 + 푟2 ]
Volumen: 푉 = 1
3
휋ℎ(푅2 + 푟2 + 푅푟)
Esfera
E s l a regi ón del es pac i o que s e enc uent ra en el i nt er i or de una s uper f i c i e
es fér i c a.
Elementos de la esfera
Centro:Punto interior que equidista de cualquier punto
de la esfera.
Radio:Distancia del centro a un punto de la esfera.
Cuerda:Segmento que une dos puntos de la
superficie.
Diámetro:Cuerda que pasa por el centro.
Polos:Son los puntos del eje de giro que quedan
sobre la superficie esférica.
Circunferencias en una esfera
Paralelos:Circunferencias obtenidas al cortar
la superficie esférica con planos
perpendiculares al eje de revolución.
Ecuador:Circunferencia obtenida al cortar la
superficie esférica con el plano perpendicular
al eje de revolución que contiene al centro de
la esfera.
Meridianos:Circunferencias obtenidas al
cortar la superficie esférica con planos que
contienen el eje de revolución.
V o l umen d e l a esfer a
Área Total:퐴푇 = 4휋푟2
Volumen: 푉 = 4
3
휋푟3

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V o l umen d e l a semi esfer a
Área Total:퐴푇 = 2휋푟2
Volumen: 푉 = 2
3
휋푟3
V o l umen d e l a cu ñ a esfér i ca
Área Total:퐴푇 = 4휋푟2
360
푛
Volumen: 푉 = 4
3
휋 푟3
360
푛
V o l umen d el casq u ete esfér i co
Área Total:퐴푇 = 2휋푟ℎ
Volumen: 푉 = 1
3
휋ℎ2 (3푅 − ℎ)
V o l umen d e l a z o n a esfér i ca
Área Total:퐴푇 = 2휋푅ℎ
Volumen: 푉 = 1
6
휋ℎ(ℎ2 + 3푅2 + 3푟2)

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EJERCICIOS
1. Calcula el volumen, en centímetros cúbicos, de una habitación que tiene 5 m de largo, 40 dm
de ancho y 2500 mm de alto.
2. Una piscina tiene 8 m de largo, 6 m de ancho y 1.5 m de profundidad. Se pinta la piscina a
razón de 6 € el metro cuadrado.
Cuánto costará pintarla.
Cuántos litros de agua serán necesarios para llenarla.
3. En un almacén de dimensiones 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de alto queremos almacenar
cajas de dimensiones 10 dm de largo, 6 dm de ancho y 4 dm de alto. ¿Cuantas cajas
podremos almacenar?
4. Determina el área total de un t et raedro , un oc t aedro y un i c os aedro de 5 cm de arista.
5. Calcula la altura de un pr i sma que tiene como área de la base 12 dm2 y 48 l de capacidad.
6. Calcula la cantidad de hojalata que se necesitará para hacer 10 botes de forma cilíndrica de 10
cm de diámetro y 20 cm de altura.
7. Un c i l i ndro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base. Y la altura
mide 125.66 cm. Calcular:
El área total.
El volumen
8. En una probeta de 6 cm de radio se echan cuatro cubitos de hielo de 4 cm de arista. ¿A qué
altura llegará el agua cuando se derritan?
9. La cúpula de una catedral tiene forma s emi es fér i c a , de radio 50 m. Si restaurarla tiene un
coste de 300 € el m2, ¿A cuánto ascenderá el presupuesto de la restauración?
10. ¿Cuántas losetas cuadradas de 20 cm de lado se necesitan para recubrir las caras de una
piscina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de profundidad?
11. Un recipiente cilíndrico de 5 cm de radio y y 10 cm de altura se llena de agua. Si la masa del
recipiente lleno es de 2 kg, ¿cuál es la masa del recipiente vacío?
12. Para una fiesta, Luís ha hecho 10 gorros de forma c óni c a con cartón. ¿Cuánto cartón habrá
utilizado si las dimensiones del gorro son 15 cm de radio y 25 cm de generatriz?
13. Un c ubo de 20 cm de arista está lleno de agua. ¿Cabría esta agua en una esfera de 20 cm de
radio?
14. Calcula el área y el vol umen de unt et raedro de 5 cm de arista.
15. Cal c ul ar la di agonal , el área l at eral , el área t ot al y el vol umen de un c ubo de 5 cm
de ar i s t a
16. Calcula el área y el vol umen de un oc t aedro de 5 cm de arista.
17. Calcula el área y el vol umen de un dodec aedro de 10 cm de ar i s t a , sabiendo que la
apot ema de una de sus caras mide 6.88 cm.
18. Calcula el área y el vol umen de un i c os aedro de 5 cm de arista.
19. Calcula el área l at eral , el área t ot al y el vol umen de un pr i sma cuya base es un
rombo de de diagonales 12 y 18 cm.
20. Calcula el área l at eral , t ot al y el vol umen de una pi rámi de c uadrangul ar de 10
cm de arista básica y 12 cm de altura.
21. Calcula el área l at eral , t ot al y el vol umen de una pi rámi de hex agonal de 16 cm
de arista básica y 28 cm de arista lateral.
22. Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un t ronc o de pi rámi de cuadrangular
de aristas básicas 24 y 14 cm, y de arista lateral 13 cm.
23. Calcula elárea l at eral , t ot al y el vol umen de un c ono cuya generat r i z mide 13 cm
y el radi o de la base es de 5 cm.
24. Calcula el área l at eral , t ot al y el vol umen de un c ono cuya al t ura mide 4 cm y el
radi o de la base es de 3 cm.
25. Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un t ronc o de c ono de radios 6 y 2 cm,
y de altura 10 cm.

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26. Cal c ul ar el área l at eral , el área t ot al y el vol umen del t ronc o de c ono de
radios 12 y 10 cm, y de generatriz 15 cm.
27. Calcular el área del c í r c ul o resultante de cortar una es fera de 35 cm de radio mediante un
plano cuya distancia al centro de la esfera es de 21 cm.
28. Calcular el área y el vol umen de unaes fera inscrita en un cilindro de 2 m de altura.
29. Calcular el vol umen de una s emi es fera de 10 cm de radio.
30. Cal c ul a el área y el vol umen del siguiente c as quet e es fér i c o .
31. Cal c ul ar el área y el vol umen de unaz ona es fér i c a cuyas circunferencias tienen de
radio 10 y 8cm, y la distancia entre ellas es de 5 cm.