Este documento explica cómo clasificar formas cuadráticas utilizando DERIVE. Describe cómo obtener la matriz simétrica asociada a una forma cuadrática y cómo clasificar formas cuadráticas tanto para matrices constantes como para matrices que dependen de parámetros mediante el uso de menores principales y autovalores. Incluye varios ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento presenta los conceptos básicos sobre límites de funciones en el cálculo diferencial. Introduce la definición formal de límite y explica cómo calcular límites mediante tablas asignando valores cada vez más cercanos al valor al que tiende la variable. También define límites laterales y presenta teoremas clave para el cálculo directo de límites como el uso de límites de funciones constantes, sumas, productos y cocientes. El documento contiene ejemplos resueltos demostrando la aplicación de estos conceptos
Transformaciones lineales y método de gauss.CharlesJMorris
En ésta presentación se hablará sobre todo lo relacionado a las Transformaciones Lineales, su relación con las Matrices y ejercicios explicativos del Método de Gauss-Jordan.
Este documento trata sobre valores y vectores propios. 1) Los valores y vectores propios se definen como soluciones de la ecuación Ax=λx. 2) Los valores propios λ satisfacen la ecuación característica det(A-λI)=0. 3) A cada valor propio λ le corresponde un espacio propio formado por sus vectores propios asociados.
Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales. Explica que una ecuación diferencial relaciona una función con sus derivadas. Se definen conceptos como orden, grado, ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales. También explica cómo pueden originarse ecuaciones diferenciales a partir de problemas geométricos o de otras ciencias. Finalmente, describe diferentes tipos de ecuaciones diferenciales y métodos para resolverlas.
Este capítulo introduce el concepto de derivada y presenta técnicas para derivar diferentes tipos de funciones, incluyendo funciones algebraicas, compuestas, implícitas, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. El objetivo es que los estudiantes aprendan a calcular derivadas y aplicar este conocimiento para analizar curvas, obtener pendientes de rectas tangentes y resolver problemas de optimización.
Este documento presenta el objetivo y contenido de 8 unidades de un curso de cálculo diferencial. La unidad 1 introduce las nociones de función y límite. La unidad 2 cubre la derivada y sus interpretaciones. La unidad 3 trata sobre las derivadas de funciones algebraicas. Las unidades 4 a 6 se enfocan en aplicaciones de la derivada y en funciones exponenciales, circulares y trigonométricas. La unidad 7 analiza diferenciales y cálculos aproximados. La unidad 8 revisa funciones inversas como logaritmos y funciones circulares invers
Este documento describe los conceptos de vector de coordenadas, cambio de base y matriz de transición. Explica que el vector de coordenadas de un vector v con respecto a una base B son los coeficientes de v cuando se expresa como una combinación lineal de los vectores de la base. También define la matriz de transición P que relaciona los vectores de coordenadas de v con respecto a dos bases diferentes B y B' e incluye ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento trata sobre valores y vectores propios de matrices. Explica definiciones clave como valores y vectores propios, y métodos para determinar valores propios como el polinomio característico. También cubre conceptos como la multiplicidad algebraica y geométrica de valores propios, y espacios invariantes asociados a valores propios. Incluye ejemplos ilustrativos y ejercicios para reforzar los conceptos.
Este documento presenta los conceptos básicos sobre límites de funciones en el cálculo diferencial. Introduce la definición formal de límite y explica cómo calcular límites mediante tablas asignando valores cada vez más cercanos al valor al que tiende la variable. También define límites laterales y presenta teoremas clave para el cálculo directo de límites como el uso de límites de funciones constantes, sumas, productos y cocientes. El documento contiene ejemplos resueltos demostrando la aplicación de estos conceptos
Transformaciones lineales y método de gauss.CharlesJMorris
En ésta presentación se hablará sobre todo lo relacionado a las Transformaciones Lineales, su relación con las Matrices y ejercicios explicativos del Método de Gauss-Jordan.
Este documento trata sobre valores y vectores propios. 1) Los valores y vectores propios se definen como soluciones de la ecuación Ax=λx. 2) Los valores propios λ satisfacen la ecuación característica det(A-λI)=0. 3) A cada valor propio λ le corresponde un espacio propio formado por sus vectores propios asociados.
Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales. Explica que una ecuación diferencial relaciona una función con sus derivadas. Se definen conceptos como orden, grado, ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales. También explica cómo pueden originarse ecuaciones diferenciales a partir de problemas geométricos o de otras ciencias. Finalmente, describe diferentes tipos de ecuaciones diferenciales y métodos para resolverlas.
Este capítulo introduce el concepto de derivada y presenta técnicas para derivar diferentes tipos de funciones, incluyendo funciones algebraicas, compuestas, implícitas, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. El objetivo es que los estudiantes aprendan a calcular derivadas y aplicar este conocimiento para analizar curvas, obtener pendientes de rectas tangentes y resolver problemas de optimización.
Este documento presenta el objetivo y contenido de 8 unidades de un curso de cálculo diferencial. La unidad 1 introduce las nociones de función y límite. La unidad 2 cubre la derivada y sus interpretaciones. La unidad 3 trata sobre las derivadas de funciones algebraicas. Las unidades 4 a 6 se enfocan en aplicaciones de la derivada y en funciones exponenciales, circulares y trigonométricas. La unidad 7 analiza diferenciales y cálculos aproximados. La unidad 8 revisa funciones inversas como logaritmos y funciones circulares invers
Este documento describe los conceptos de vector de coordenadas, cambio de base y matriz de transición. Explica que el vector de coordenadas de un vector v con respecto a una base B son los coeficientes de v cuando se expresa como una combinación lineal de los vectores de la base. También define la matriz de transición P que relaciona los vectores de coordenadas de v con respecto a dos bases diferentes B y B' e incluye ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento trata sobre valores y vectores propios de matrices. Explica definiciones clave como valores y vectores propios, y métodos para determinar valores propios como el polinomio característico. También cubre conceptos como la multiplicidad algebraica y geométrica de valores propios, y espacios invariantes asociados a valores propios. Incluye ejemplos ilustrativos y ejercicios para reforzar los conceptos.
Este documento presenta definiciones generales sobre ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O.), incluyendo que una E.D.O. contiene derivadas de variables dependientes con respecto a una variable independiente. También explica que una solución explícita es una función que satisface la ecuación diferencial, mientras que una solución implícita es una relación que define al menos una solución explícita. Además, introduce conceptos como familias de curvas, trayectorias ortogonales y problemas de valor inicial y contorno.
1. El documento describe el origen y desarrollo de las ecuaciones diferenciales desde los siglos XVII y XVIII, cuando fueron establecidas por Newton y Leibniz. También define los diferentes tipos de ecuaciones diferenciales y métodos para resolverlas.
2. Explica que las ecuaciones diferenciales relacionan una función con sus derivadas y surgen de los principios del cálculo infinitesimal. Familias como los Bernoulli hicieron importantes contribuciones al campo resolviendo ecuaciones de mecánica.
3. Se clasifican las
Se muestra una descripcion d elos métdos mas simples de resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden como ecuaciones separables y metodo de factor integrante. al final se anexan un par de palicaciones sobre ley de enfriamiento y moviemiento en medio resistente.
Este documento presenta un resumen de los diferentes métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y primer grado. Explica que estas ecuaciones contienen funciones derivadas una sola vez respecto a una variable independiente. Luego, describe los métodos para ecuaciones separables, homogéneas, con coeficientes lineales, exactas, lineales, de Bernoulli y de Riccati. Incluye ejemplos resueltos para ilustrar cada método. Finalmente, explica cómo encontrar soluciones particulares cuando se proporcionan condiciones iniciales.
Este documento describe las propiedades algebraicas de las matrices M2(p) cuando p es un número primo. Explica que las matrices M2(p) forman un anillo no conmutativo bajo las operaciones de suma y multiplicación. También tiene un subgrupo formado por las matrices con determinante distinto de cero bajo la multiplicación.
Este documento describe el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que el método transforma la matriz aumentada del sistema a una forma triangular superior resolviendo luego el sistema triangular. También discute la formulación matemática del método, su eficiencia y cómo implementarlo computacionalmente, incluyendo una estrategia de pivoteo para mejorar la precisión.
1) Los vectores en R3 se representan geométricamente como segmentos de recta dirigidos con una magnitud, dirección y sentido.
2) Las operaciones con vectores en R3 incluyen la suma, multiplicación por escalar, producto escalar y producto vectorial.
3) El producto escalar mide la proyección de un vector sobre otro, mientras que el producto vectorial produce un vector perpendicular a los dos vectores originales y cuyo sentido se determina por la regla de la mano derecha.
Folleto de Calculo diferencial e integralvane sanchez
El documento presenta una introducción a la teoría de límites en cálculo diferencial e integral. Explica conceptos fundamentales como variables, constantes, intervalos y funciones de una variable. Luego, define límites y continuidad, y presenta teoremas y propiedades sobre límites, incluyendo límites laterales, infinitos y particulares. Finalmente, cubre formas de levantar indeterminaciones y el cálculo de límites con cambio de variables.
Este documento presenta una introducción a las series de potencias y su intervalo de convergencia. Explica que una serie de potencias converge absolutamente si la suma de los términos absolutos converge, y que el radio de convergencia se puede calcular usando el criterio de la razón. También resume algunas expansiones en series de funciones importantes como ex, sen(x), cos(x), y sus dominios de convergencia.
Este documento presenta un libro de problemas resueltos de cálculo para estudiantes de primer año. El libro contiene soluciones detalladas a problemas comunes de álgebra, funciones, límites, derivadas y aplicaciones de la derivada para ayudar a los estudiantes a comprender mejor los conceptos básicos del cálculo. El autor espera que este texto facilite el estudio y la comprensión de los estudiantes en su primer curso de cálculo.
Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y aplicaciones(tema 1)Yerikson Huz
Este documento introduce conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y sus aplicaciones. Explica que una ecuación diferencial contiene derivadas de funciones incógnitas, y el objetivo es encontrar las funciones que satisfacen la ecuación. También define términos como orden, grado, variable dependiente e independiente, y distingue entre ecuaciones diferenciales lineales y no lineales.
El documento explica el concepto de diferencial y cómo se aplica para estimar errores y aproximaciones. La diferencial representa cómo varía una función cuando cambia su variable independiente en un pequeño incremento. Se proveen ejemplos de cómo usar la diferencial para calcular áreas, volúmenes, raíces y otros valores aproximados en ciencias, matemáticas y otras áreas.
Este documento resume los conceptos clave de las ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo:
1) Ecuaciones diferenciales exactas, donde la expresión es la derivada de una función f(x,y).
2) Ecuaciones exactas por factor integrante, donde un factor μ hace que la expresión sea exacta.
3) Ecuaciones diferenciales lineales, que pueden resolverse como la suma de soluciones homogéneas y particulares.
4) El método general para resolver ecuaciones lineales involucra identificar el factor integrante epx(
1) Un vector en R3 es una terna ordenada de números reales que se representa geométricamente como un segmento de recta dirigido en el espacio.
2) Las operaciones con vectores en R3 incluyen la suma, que se define como la adición componente a componente, y el producto por un escalar.
3) Estas operaciones siguen propiedades como la conmutatividad y asociatividad de la suma y la existencia de un vector neutro y vector inverso aditivo.
El documento describe los conceptos básicos de los espacios vectoriales, incluyendo propiedades como la cerradura bajo adición y multiplicación escalar, subespacios, combinaciones lineales, dependencia e independencia lineal, y espacios generados por conjuntos de vectores.
1) El documento presenta varios teoremas sobre límites, continuidad y derivabilidad de funciones, incluyendo los teoremas de Bolzano, Darboux, Bolzano-Weierstrass, Rolle, Lagrange y Cauchy.
2) También explica conceptos como límites indeterminados y límites al infinito, señalando que su cálculo requiere métodos especiales como factrización o tablas de valores.
3) Finalmente, revisa conceptos como límites laterales y el teorema principal de límites.
Este documento presenta información sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Explica métodos para resolver problemas de valor inicial y de contorno, incluyendo ejemplos. También describe técnicas analíticas como separación de variables y el análisis de ecuaciones diferenciales homogéneas.
El documento habla sobre ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden. Explica dos métodos para resolver estas ecuaciones: sustituyendo y=xv o x=yu y resolviendo la ecuación diferencial resultante, que es separable. También presenta ejemplos resueltos y ejercicios propuestos relacionados con ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden.
4.1 Espacios vectoriales
4.2 Subespacios vectoriales
4.3 Combinaciones lineales
4.4 Dependencia e independencia lineal
4.5 Base y dimensión
4.6 Kernel, imagen, espacio columna y espacio fila de una matriz
4.7 Ecuaciones lineales y espacios vectoriales
4.8 Cambio de base
4.9 Espacio cociente
4.10 Sumas y sumas directas
Este documento resume los conceptos de eigenvectores, eigenvalores y polinomio característico de una matriz. Explica que los eigenvectores son vectores cuya dirección no cambia cuando se multiplican por la matriz, mientras que los eigenvalores indican cómo cambia su longitud. También define el polinomio característico y cómo está relacionado con los eigenvalores y la traza de la matriz.
Este documento describe diferentes métodos matemáticos como la inversión de matrices, sistemas de ecuaciones lineales y mínimos cuadrados. Explica cómo calcular la inversa de una matriz y las propiedades de la inversión matricial. También cubre métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales como los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel. Finalmente, introduce el concepto de ajuste de curvas por mínimos cuadrados para modelar datos experimentales.
Este documento describe diferentes estructuras algebraicas como grupos, anillos y cuerpos. Define sus propiedades y ofrece ejemplos de cada una. Un grupo es un conjunto con una operación interna que cumple las propiedades de asociatividad, elemento neutro y elemento opuesto. Un anillo es similar a un grupo pero con dos operaciones que cumplen propiedades adicionales. Un cuerpo es un anillo conmutativo donde todo elemento distinto de cero tiene inverso.
Este documento presenta definiciones generales sobre ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O.), incluyendo que una E.D.O. contiene derivadas de variables dependientes con respecto a una variable independiente. También explica que una solución explícita es una función que satisface la ecuación diferencial, mientras que una solución implícita es una relación que define al menos una solución explícita. Además, introduce conceptos como familias de curvas, trayectorias ortogonales y problemas de valor inicial y contorno.
1. El documento describe el origen y desarrollo de las ecuaciones diferenciales desde los siglos XVII y XVIII, cuando fueron establecidas por Newton y Leibniz. También define los diferentes tipos de ecuaciones diferenciales y métodos para resolverlas.
2. Explica que las ecuaciones diferenciales relacionan una función con sus derivadas y surgen de los principios del cálculo infinitesimal. Familias como los Bernoulli hicieron importantes contribuciones al campo resolviendo ecuaciones de mecánica.
3. Se clasifican las
Se muestra una descripcion d elos métdos mas simples de resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden como ecuaciones separables y metodo de factor integrante. al final se anexan un par de palicaciones sobre ley de enfriamiento y moviemiento en medio resistente.
Este documento presenta un resumen de los diferentes métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y primer grado. Explica que estas ecuaciones contienen funciones derivadas una sola vez respecto a una variable independiente. Luego, describe los métodos para ecuaciones separables, homogéneas, con coeficientes lineales, exactas, lineales, de Bernoulli y de Riccati. Incluye ejemplos resueltos para ilustrar cada método. Finalmente, explica cómo encontrar soluciones particulares cuando se proporcionan condiciones iniciales.
Este documento describe las propiedades algebraicas de las matrices M2(p) cuando p es un número primo. Explica que las matrices M2(p) forman un anillo no conmutativo bajo las operaciones de suma y multiplicación. También tiene un subgrupo formado por las matrices con determinante distinto de cero bajo la multiplicación.
Este documento describe el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que el método transforma la matriz aumentada del sistema a una forma triangular superior resolviendo luego el sistema triangular. También discute la formulación matemática del método, su eficiencia y cómo implementarlo computacionalmente, incluyendo una estrategia de pivoteo para mejorar la precisión.
1) Los vectores en R3 se representan geométricamente como segmentos de recta dirigidos con una magnitud, dirección y sentido.
2) Las operaciones con vectores en R3 incluyen la suma, multiplicación por escalar, producto escalar y producto vectorial.
3) El producto escalar mide la proyección de un vector sobre otro, mientras que el producto vectorial produce un vector perpendicular a los dos vectores originales y cuyo sentido se determina por la regla de la mano derecha.
Folleto de Calculo diferencial e integralvane sanchez
El documento presenta una introducción a la teoría de límites en cálculo diferencial e integral. Explica conceptos fundamentales como variables, constantes, intervalos y funciones de una variable. Luego, define límites y continuidad, y presenta teoremas y propiedades sobre límites, incluyendo límites laterales, infinitos y particulares. Finalmente, cubre formas de levantar indeterminaciones y el cálculo de límites con cambio de variables.
Este documento presenta una introducción a las series de potencias y su intervalo de convergencia. Explica que una serie de potencias converge absolutamente si la suma de los términos absolutos converge, y que el radio de convergencia se puede calcular usando el criterio de la razón. También resume algunas expansiones en series de funciones importantes como ex, sen(x), cos(x), y sus dominios de convergencia.
Este documento presenta un libro de problemas resueltos de cálculo para estudiantes de primer año. El libro contiene soluciones detalladas a problemas comunes de álgebra, funciones, límites, derivadas y aplicaciones de la derivada para ayudar a los estudiantes a comprender mejor los conceptos básicos del cálculo. El autor espera que este texto facilite el estudio y la comprensión de los estudiantes en su primer curso de cálculo.
Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y aplicaciones(tema 1)Yerikson Huz
Este documento introduce conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y sus aplicaciones. Explica que una ecuación diferencial contiene derivadas de funciones incógnitas, y el objetivo es encontrar las funciones que satisfacen la ecuación. También define términos como orden, grado, variable dependiente e independiente, y distingue entre ecuaciones diferenciales lineales y no lineales.
El documento explica el concepto de diferencial y cómo se aplica para estimar errores y aproximaciones. La diferencial representa cómo varía una función cuando cambia su variable independiente en un pequeño incremento. Se proveen ejemplos de cómo usar la diferencial para calcular áreas, volúmenes, raíces y otros valores aproximados en ciencias, matemáticas y otras áreas.
Este documento resume los conceptos clave de las ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo:
1) Ecuaciones diferenciales exactas, donde la expresión es la derivada de una función f(x,y).
2) Ecuaciones exactas por factor integrante, donde un factor μ hace que la expresión sea exacta.
3) Ecuaciones diferenciales lineales, que pueden resolverse como la suma de soluciones homogéneas y particulares.
4) El método general para resolver ecuaciones lineales involucra identificar el factor integrante epx(
1) Un vector en R3 es una terna ordenada de números reales que se representa geométricamente como un segmento de recta dirigido en el espacio.
2) Las operaciones con vectores en R3 incluyen la suma, que se define como la adición componente a componente, y el producto por un escalar.
3) Estas operaciones siguen propiedades como la conmutatividad y asociatividad de la suma y la existencia de un vector neutro y vector inverso aditivo.
El documento describe los conceptos básicos de los espacios vectoriales, incluyendo propiedades como la cerradura bajo adición y multiplicación escalar, subespacios, combinaciones lineales, dependencia e independencia lineal, y espacios generados por conjuntos de vectores.
1) El documento presenta varios teoremas sobre límites, continuidad y derivabilidad de funciones, incluyendo los teoremas de Bolzano, Darboux, Bolzano-Weierstrass, Rolle, Lagrange y Cauchy.
2) También explica conceptos como límites indeterminados y límites al infinito, señalando que su cálculo requiere métodos especiales como factrización o tablas de valores.
3) Finalmente, revisa conceptos como límites laterales y el teorema principal de límites.
Este documento presenta información sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Explica métodos para resolver problemas de valor inicial y de contorno, incluyendo ejemplos. También describe técnicas analíticas como separación de variables y el análisis de ecuaciones diferenciales homogéneas.
El documento habla sobre ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden. Explica dos métodos para resolver estas ecuaciones: sustituyendo y=xv o x=yu y resolviendo la ecuación diferencial resultante, que es separable. También presenta ejemplos resueltos y ejercicios propuestos relacionados con ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden.
4.1 Espacios vectoriales
4.2 Subespacios vectoriales
4.3 Combinaciones lineales
4.4 Dependencia e independencia lineal
4.5 Base y dimensión
4.6 Kernel, imagen, espacio columna y espacio fila de una matriz
4.7 Ecuaciones lineales y espacios vectoriales
4.8 Cambio de base
4.9 Espacio cociente
4.10 Sumas y sumas directas
Este documento resume los conceptos de eigenvectores, eigenvalores y polinomio característico de una matriz. Explica que los eigenvectores son vectores cuya dirección no cambia cuando se multiplican por la matriz, mientras que los eigenvalores indican cómo cambia su longitud. También define el polinomio característico y cómo está relacionado con los eigenvalores y la traza de la matriz.
Este documento describe diferentes métodos matemáticos como la inversión de matrices, sistemas de ecuaciones lineales y mínimos cuadrados. Explica cómo calcular la inversa de una matriz y las propiedades de la inversión matricial. También cubre métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales como los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel. Finalmente, introduce el concepto de ajuste de curvas por mínimos cuadrados para modelar datos experimentales.
Este documento describe diferentes estructuras algebraicas como grupos, anillos y cuerpos. Define sus propiedades y ofrece ejemplos de cada una. Un grupo es un conjunto con una operación interna que cumple las propiedades de asociatividad, elemento neutro y elemento opuesto. Un anillo es similar a un grupo pero con dos operaciones que cumplen propiedades adicionales. Un cuerpo es un anillo conmutativo donde todo elemento distinto de cero tiene inverso.
El documento describe una sección sobre las raíces de una ecuación cuadrática. Explica cómo encontrar las raíces mediante la fórmula cuadrática y analiza las características de las soluciones según el discriminante. También relaciona la suma y el producto de las raíces con los coeficientes de la ecuación cuadrática.
ELEXON MIRABAL (ARITMETICA MODULAR Y ENTERA)elexonmirabal
El documento trata sobre aritmética modular y congruencias de números enteros. Explica que la aritmética modular establece operaciones como la suma y multiplicación para clases de equivalencia de números llamadas clases de congruencia. También define divisibilidad, el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor, y las propiedades de las congruencias como una relación de equivalencia.
ELEXON MIRABAL (ARITMÉTICA MODULAR Y ENTERA)elexonmirabal
El documento trata sobre aritmética modular y congruencias de números enteros. Explica que la aritmética modular establece operaciones como la suma y multiplicación para clases de equivalencia de números llamadas clases de congruencia. También define divisibilidad, el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor, y las propiedades de las congruencias como relaciones de equivalencia.
Este documento contiene las soluciones a 5 ejercicios de un examen de 2o Bachillerato. El primer ejercicio resuelve un sistema de ecuaciones compatible indeterminado mediante el método de Cramer. El segundo ejercicio trata sobre vectores y bases. El tercero analiza si dos rectas pueden ser paralelas. El cuarto halla la ecuación de un plano perpendicular a otro que contiene una recta dada. Y el quinto calcula la distancia de un punto a una recta.
El documento describe los valores y vectores característicos de matrices. Define valores característicos como las raíces del polinomio característico de una matriz y vectores característicos como los vectores propios correspondientes. Explica cómo diagonalizar matrices para descomponerlas en valores característicos y vectores.
Este documento trata sobre la historia y definición de las matrices. Brevemente describe que las matrices se originaron en China hace miles de años y su uso se extendió a los matemáticos árabes y luego europeos. Explica que una matriz es una tabla de números y define conceptos como filas, columnas, elementos y notación. También resume métodos para sumar, multiplicar y resolver sistemas de ecuaciones lineales usando matrices.
El rango de una matriz es el número máximo de filas linealmente independientes. Para calcular el rango se pueden usar operaciones elementales de fila para obtener una matriz escalonada, cuyo rango será igual al número de entradas principales. Esto permite determinar la dimensión de un subespacio vectorial generado por las filas de la matriz.
El documento trata sobre matrices y determinantes. Define matrices, sus tipos y operaciones. Explica cómo calcular determinantes de primer, segundo y tercer orden usando reglas como la de Sarrus. También cubre el método de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales y propiedades de determinantes.
Este documento presenta una breve introducción al álgebra lineal. Comienza describiendo los problemas con la enseñanza previa de matemáticas y la necesidad de aprender conceptos formales. Luego, introduce conceptos básicos de álgebra lineal como matrices, multiplicación por escalares, suma y multiplicación de matrices. Finalmente, provee ejemplos para ilustrar estas operaciones.
Este documento introduce conceptos básicos sobre matrices. Define una matriz, sus tipos (cuadrada, nula, triangular, diagonal, escalar e identidad), y propiedades como la transpuesta y matriz periódica. Explica cómo representar matrices y calcular la traza y diagonal principal. El objetivo es proporcionar los fundamentos teóricos sobre matrices necesarios para aplicaciones en ingeniería.
Ejercicios detallados del obj 4 mat i (175 176-177Jonathan Mejías
Este documento contiene 7 ejercicios de matemáticas sobre sistemas de coordenadas y representación de puntos y conjuntos en un plano. El primer ejercicio encuentra la distancia entre dos puntos. Los ejercicios 2 al 4 representan conjuntos de puntos definidos por desigualdades. Los ejercicios 5 y 6 involucran puntos medios y coordenadas de puntos. El último ejercicio determina un conjunto de pares ordenados dados otros dos conjuntos.
Este documento presenta una introducción a las matrices. Define una matriz como un arreglo rectangular de números y explica conceptos como el orden, elementos, filas y columnas de una matriz. Luego resume diferentes tipos de matrices como cuadradas, nulas, triangulares e identidad. Finalmente, describe operaciones básicas con matrices como suma, resta, multiplicación por un escalar y multiplicación de matrices.
El documento presenta una introducción a los números complejos, incluyendo tres definiciones clave:
1) Los números complejos son pares ordenados de números reales que pueden representarse en un plano y se definen mediante operaciones de suma y multiplicación.
2) El módulo de un número complejo representa su distancia al origen en el plano, mientras que su argumento es el ángulo con el eje real.
3) Un número complejo también puede escribirse en forma trigonométrica o polar en términos de su módulo y argumento
Este documento presenta diferentes tipos de ecuaciones y métodos para resolverlas. Introduce intervalos, el valor absoluto y sus propiedades. Explica cómo resolver ecuaciones lineales, cuadráticas, con radicales y con valor absoluto. Proporciona ejemplos resueltos de cada tipo de ecuación. El objetivo es que los estudiantes aprendan a identificar y resolver diversos tipos de ecuaciones algebraicas.
Este documento presenta diferentes tipos de ecuaciones y métodos para resolverlas. Introduce intervalos, el valor absoluto y sus propiedades. Explica cómo resolver ecuaciones lineales, cuadráticas, con radicales y con valor absoluto. Proporciona ejemplos resueltos de cada tipo de ecuación. El objetivo es que los estudiantes aprendan a identificar y resolver diversos tipos de ecuaciones algebraicas.
UNIDAD 6 MATRICES SIMÉTRICAS Y FORMAS CUADRÁTICAS .pdfNicoleRosales34
Este documento trata sobre matrices simétricas y formas cuadráticas. Introduce el concepto de matrices simétricas y formas cuadráticas, y explica cómo diagonalizar matrices simétricas. Luego cubre temas como clasificar formas cuadráticas, optimización restringida de formas cuadráticas, y provee ejemplos para ilustrar estos conceptos. El objetivo general es examinar las propiedades de funciones cuadráticas en dimensiones superiores y entender las estructuras geométricas y los espacios vectoriales.
Este documento presenta los contenidos de la asignatura Fundamentos Matemáticos de Ciencias de la Computación para el segundo bimestre. Cubre temas como funciones exponenciales y logarítmicas, sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes, y sucesiones y series. Explica conceptos clave, propiedades y métodos para resolver problemas relacionados con cada uno de estos temas.
Business Plan -rAIces - Agro Business Techjohnyamg20
Innovación y transparencia se unen en un nuevo modelo de negocio para transformar la economia popular agraria en una agroindustria. Facilitamos el acceso a recursos crediticios, mejoramos la calidad de los productos y cultivamos un futuro agrícola eficiente y sostenible con tecnología inteligente.
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
En la ciudad de Pasto, estamos revolucionando el acceso a microcréditos y la formalización de microempresarios informales con nuestra aplicación CrediAvanza. Nuestro objetivo es empoderar a los emprendedores locales proporcionándoles una plataforma integral que facilite el acceso a servicios financieros y asesoría profesional.
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...Juan Martín Martín
Criterios de corrección y soluciones al examen de Geografía de Selectividad (EvAU) Junio de 2024 en Castilla La Mancha.
Soluciones al examen.
Convocatoria Ordinaria.
Examen resuelto de Geografía
conocer el examen de geografía de julio 2024 en:
https://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/2024/06/soluciones-examen-de-selectividad.html
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
1. Formas cuadráticas 149
11. FORMAS CUADRÁTICAS.
El objetivo de esta sección consiste básicamente en ofrecer una visión general de
cómo utilizar DERIVE para clasificar formas cuadráticas. Trataremos dos aspectos
fundamentales, por un lado la clasificación de una forma cuadrática dada por una matriz
simétrica de valores constantes utilizando los métodos de los menores principales y de los
autovalores, y en segundo lugar clasificar una forma cuadrática en función de los valores
de los parámetros que aparezcan en su matriz simétrica asociada.
11.1.OBTENCIÓN DE LA MATRIZ ASOCIADA A UNA FORMA
CUADRÁTICA.
EJEMPLO 11.1.
Encontrar la matriz simétrica asociada a las siguientes formas cuadráticas:
(a) q1(x,y,z,t) = -2x2+2xt-6yz+4z2+4tz+t2
(b) q2(x,y,z,t,u) = 3xy+xz+2xt+xu+3y2+7yz+8yt+5yu+2z2+5zt+8zu+t2+5tu+9u2
Solución.
Una posibilidad para obtener la matriz simétrica asociada a una forma cuadrática q
cualquiera consiste en considerar la matriz hessiana de q y dividir todos su elementos por
2, ya que la matriz hessiana de una forma cuadrática ha de ser simétrica pues toda función
polinómica cumple el Teorema de Schwartz.
DERIVE tiene predefinida una función que calcula el gradiente de una función
dada, indicando en el segundo argumento las variables de la función. Su sintaxis es
GRAD(función ó vector de funciones, variables)
Por tanto si calculamos el gradiente del gradiente obtendremos su matriz hessiana.
Entonces para definir en DERIVE una función que calcule la matriz simétrica asociada a
una forma cuadrática bastará con editar la expresión:
Estamos entonces en situación de resolver el ejemplo 1.
(a) Para introducir la forma cuadrática en DERIVE escribimos en Editar(Autor)-
Expresión
“q1(x,y,z,t):=-2x^2+2x t-6 y z + 4 z^2 + 4 t z + t^2”
y resulta
Si ahora editamos la expresión “s1:=matriz_simetrica(q1(x,y,z,t),[x,y,z,t])” y
simplificamos obtendremos la matriz simétrica de la forma cuadrática q1 guardada en la
variable S1.
2. Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE-5 150
(b) Escribimos en primer lugar la forma cuadrática mediante la expresión
“q2(x,y,z,t,u):=3x y + x z + 2 x t +x u + 3y^2+7y z + 8y t + 5y u + 2z^2+5z t
+ 8z u + t^2 +5t u + 9u^2”
resultando
A continuación editando y simplificando “s2:=matriz_simetrica(q2(x,y,z,t,u),[x,y,z,t,u])”
obtenemos
que es la matriz simétrica buscada.
Obsérvese que podríamos haber utilizado otro método, el que consiste en obtener
una matriz asociada cualquiera de la forma cuadrática y luego simetrizarla empleando la
regla conocida ½ (A+At).
11.2. CLASIFICACIÓN DE FORMAS CUADRÁTICAS CON MATRIZ
ASOCIADA DE VALORES CONSTANTES.
EJEMPLO 11.2.
Clasificar las formas cuadráticas definidas en el ejemplo anterior.
Solución.
(a) Vamos a utilizar en primer lugar el método de clasificación utilizando los
menores principales.
3. Formas cuadráticas 151
Comencemos calculando el determinando de la matriz mediante
Por tanto la forma cuadrática puede ser d.p., d.n. o indefinida. Calculemos el resto
de menores principales:
- El menor principal de orden 1,D1, es negativo, por lo que no puede ser d.p.
- D2: se obtiene calculando el determinante de la submatriz
Por tanto tampoco puede ser definida negativa. En cuyo caso es indefinida.
- D3, no es necesario calcularlo.
NOTA:
Para facilitar el cálculo de menores principales, hemos definido en el fichero
ALGEBRA.MTH la función MENORES_PRINCIPALES(A), que calcula los
menores principales de una matriz dada y que simplifica la clasificación.
Asi pues, cargamos este fichero de utilidades para hacer uso de esta función
en adelante.
Si utilizamos esta función en el ejemplo anterior obtendríamos
Se podría haber empleado el criterio de los autovalores, en cuyo caso editando y
simplificando “eigenvalues(s1)”, resulta
si aproximamos esta última expresión con Simplificar-aproximar se obtiene
es decir, dos autovalores positivos y dos negativos, por lo que la forma cuadrática es
indefinida.
(b) A pesar de que podríamos calcular los menores principales uno a uno
utilizaremos la función programada MENORES_PRINCIPALES. Si editamos la expresión
“menores_principales(s2)=” se obtiene
4. Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE-5 152
es decir, la forma cuadrática es indefinida.
Para utilizar el criterio de los autovalores, bastaría efectuar
Obsérvese que dado que DERIVE no consigue obtener los autovalores de forma directa,
veamos qué sucede si intentamos obtener el polinomio característico:
si intentamos resolver este polinomio obtenemos:
Pero incluso intentando resolver de forma numérica en el intervalo [-100,100] con
Resolver-Expresión:
obtenemos tan solo una raiz:
luego parece que en este caso el criterio de autovalores no podría aplicarse con el programa
DERIVE.
EJEMPLO 11.3.
Clasificar las siguientes formas cuadráticas:
−1 1 0 1 1 0
t t
(a) q 3 ( x) = x. 1 − 1 0 .x (b) q 4 ( x) = x. 1 2 0 .x
0 0 2 0 0 3
Solución:
(a) En primer lugar introducimos la matriz simétrica que define q 3 ( x) editando
5. Formas cuadráticas 153
Si intentamos clasificar la forma cuadrática utilizando el criterio de los menores
principales efectuando
observamos que este criterio no nos indica el tipo de q 3 ( x) , ya que el determinante es nulo.
Asi pues, aplicamos el criterio de los autovalores obteniendo
por lo que la forma cuadrática es indefinida.
(b) Editamos como habitualmente la matriz simétrica
Aplicando el criterio de los menores principales obtenemos
de donde, podemos deducir que la forma cuadrática es definida positiva.
11.3. CLASIFICACIÓN DE UNA FORMA CUADRÁTICA CUYA MATRIZ
DEPENDE DE PARAMETROS.
EJEMPLO 11.4.
Clasificar en función de los valores de “a” la forma cuadrática
q5(x,y,z)=ax2+4xy+y2+2xz+z2
Solución.
Definimos en primer lugar la forma cuadrática
La matriz simétrica asociada a dicha forma cuadrática se obtiene editando y simplificando
“matriz_simetrica(q5(x,y,z),[x,y,z])”
tras lo cual resulta
6. Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE-5 154
Como la matriz tiene un parámetro, para facilitar cálculos posteriores, editamos la
expresión
“s5(a):=[[a,2,1],[2,1,0],[1,0,1]]”
obteniéndose
Procedemos a continuación a estudiar la matriz simétrica según los valores de a.
El determinante de la matriz es
Por tanto, podemos realizar una primera distinción de casos:
• Si a=5, entonces la matriz a clasificar es
Utilizando, por ejemplo, el criterio de autovalores, resulta
por tanto, para a=5 la forma cuadrática es semidefinida positiva.
• Si a≠5, estudiando los menores principales con
se tiene que:
- Si a>5, es claro que D3=det(S4)>0. En ese caso
D1=a>5>0 y
D2=a-4>0
Por tanto si a>5 es definida positiva.
- Si a<5, resulta que D3<0. Además como
D1=a, si 0<a<5 entonces D1>0 y D2=a-4<0 luego indefinida.
y si a<0, entonces D1<0 y D2<0 y también es indefinida.
Resumiendo:
a=5 semidefinida positiva
a>5 definida positiva
a<5 indefinida.
EJEMPLO 11.5.
Clasificar la forma cuadrática
q6(x,y)=ax2+2bxy+2y2
según los valores de a y b.
Solución.
7. Formas cuadráticas 155
Editamos en primer lugar la forma cuadrática mediante
La matriz simétrica asociada a la forma cuadrática se calcula con
Definamos la matriz S6 dependiente de dos parámetros con la expresión
Los menores principales de la forma cuadrática son
Por tanto, el determinante viene dado por 2a-b2. Si representamos esta función,
obtenemos varias regiones para distintos valores de a y b
Los puntos (a,b) de la parábola cumplen que el determinante es cero.
• Si 2a = b2 entonces a≥0.
Si a=0 también b=0, en cuyo caso la matriz asociada es
por lo que la forma cuadrática es semidefinida positiva.
Si a>0, como D1>0 y D2=0 será s.d.p.
8. Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE-5 156
• Si 2a-b2>0, entonces a>0. Por tanto, D1>0 y D2>0 y la forma cuadrática es definida
positiva.
• Si 2a-b2<0, como 2a < b2 se tiene que D2<0 y por tanto, la forma cuadrática es
indefinida.
EJERCICIO 57.
Clasificar las formas cuadráticas que tienen por matrices asociadas
−1 1 0 0
3 4 0
1 −1 0 0
(a) A1= (b) A2= 4 − 3 0
0 0 −1 1 0 0 5
0 0 1 − 1
EJERCICIO 58.
Clasificar la siguiente forma cuadrática en función de los valores del parámetro “a”
2 1 3
t
q( x) = x. 1 a 0 .x
3 0 1