El documento describe el método inductivo para crear leyes a partir de la observación de hechos. Explica que este método realiza una generalización sin demostración lógica, por lo que las conclusiones podrían ser falsas. Además, provee varios ejemplos de aplicación del método inductivo para problemas matemáticos.

1. Método Inductivo

2. El MÉTODO INDUCTIVO crea leyes a partir de la observación de los hechos, mediante la generalización del
comportamiento observado; en realidad, lo que realiza es una especie de generalización, sin que por
medio de la lógica pueda conseguir una demostración de las citadas leyes o conjunto de conclusiones.
Estas conclusiones podrían ser falsas y, al mismo tiempo, la aplicación parcial efectuada de la lógica
podría mantener su validez; por eso, el método inductivo necesita una condición adicional, su aplicación
se considera válida mientras no se encuentre ningún caso que no cumpla el modelo propuesto
Caso
1
Caso
2
Caso
3
Caso
General
Casos Particulares
Razonamiento Inductivo

3. Ejemplos de aplicación
Ejemplo 01
¿Cuántos triángulos hay en la figura mostrada?
Resolución:
1
2
3
18
19
20
Analizando por partes, tenemos:
Caso 1
→ 1 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 12
1
Caso 2
1
2
→ 4 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 22
Caso 3
1
2
3
→ 9 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 32
En el problema:
1
2
3
18
19
20
→ 202
= 400 𝑡𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠

4. Ejemplo 02
Hallar la suma de cifras del resultado:
𝐸 = 999 … 995
101 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠
2
952
= 9025 → 1 𝑥 9 + 7
Resolución:
9952
= 990025 → 2 𝑥 9 + 7
99952
= 99900025 → 3 𝑥 9 + 7
999952
= 9999000025 → 4 𝑥 9 + 7
999 … 99 5
100 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠
2
= → 100 𝑥 9 + 7 = 907
Suma de CifrasResultado

5. Ejemplo 03
Calcular el valor de:
𝐸 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ⋯
40 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜𝑠
Resolución:
1 𝑆𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜𝑠; 𝐸 = 1
2 𝑆𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜𝑠; 𝐸 = 1 + 2
3 𝑆𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜𝑠; 𝐸 = 1 + 2 + 4
4 𝑆𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜𝑠; 𝐸 = 1 + 2 + 4 + 8
40 𝑆𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜𝑠; 𝐸 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ⋯
2 1
− 1
2 2
− 1
2 3
− 1
2 4
− 1
2 40
− 1

6. Ejemplo 04
¿De cuántas maneras diferentes se puede leer
la palabra “SEBASTIAN”?
Resolución:
S
EE
BB B
AA AA
SS SS S
TTTTT T
II IIII I
A AA AAAA A
N N NNN NNN N
Cuando la palabra tiene:
S: 1 letra
S → 1 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 = 2 0
SE: 2 letras
S → 2 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 = 2 1
E E
SEB: 3 letras
S → 4 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 = 2 2
E E
B B B
SEBA: 4 letras
S → 8 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 = 2 3
E E
B B B
A A A A-1
-1
-1
-1
En el Problema:
SEBASTIAN: 9 letras
2 8
= Formas

7. Observación:
Debemos de considerar que por el hecho de cumplirse la fórmula hasta el valor n = 3 y n = 4; o hasta n = 50,
entonces se va a cumplir para todo entero positivo n, pues podríamos cometer errores, como en este otro caso
siguiente:
¿Es cierto que 22 𝑛
+ 1 es un NUMERO PRIMO, para todo entero 𝑛 ≥ 1 ?
Cuando se trató de verificar esta afirmación para algunos valores particulares de n, nos encontramos
con que:
 Para n = 1: 221
+ 1 = 5 es un número primo
 Para n = 2: 222
+ 1 = 17 es un número primo
 Para n = 3: 223
+ 1 = 257 es un número primo
 Para n = 4: 224
+ 1 = 65537 es un número primo
Donde 5, 17, 257, 65537 son efectivamente números primos; es decir que son números enteros que no
son divisibles por ningún número entero, excepto por sí mismos y por la unidad 1.
Si concluyéramos de aquí, que la expresión dada (22 𝑛
+1) resulta un número primo, estaríamos
cometiendo un error, pues cuando n = 5:
22 𝑛
+ 1 = 225
+ 1 = 4294967297 NO ES PRIMO
Pues 4294967297 es divisible por 641; en efecto 4294967297 = 641x6700417

8. Entonces la manera correcta de inducción es hacer cumplir lo siguiente:
Sea 𝑛 ∈ ℕ; donde si se cumple:
I. n = 1
II. n = k … (Hipótesis)
III. n = k+1 … (Tesis)
Si el caso (III) se cumple a partir del caso (II); entonces la inducción será completada
Ejemplo 02
Probar que la suma de los cuadrados de los n primeros números naturales, satisface la fórmula:
12
+ 22
+ 32
+ 42
+ ⋯ + 𝑛2
=
𝑛 𝑛 + 1 𝑛 + 2
6
; ∀𝑛 ∈ ℕ
Resolución:
Sea: 𝑆 = 𝑛 ∈ ℕ𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 12
+ 22
+ 32
+ 42
+ ⋯ + 𝑛2
=
𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)
6
⊂ℕ

9. Probaremos en base al principio de inducción matemática, que el subconjunto 𝑆 ⊂ ℕ,
coincide con todo ℕ, es decir 𝑆 = ℕ. Veamos que:
 𝑛 = 1 ∈ 𝑆:
12
= 1 =
(1) 1 + 1 2 1 + 1
6
 Asumiendo la HIPOTESIS DE INDUCCIÓN que 𝑛 ∈ 𝑆, es decir que para n se cumple la fórmula
12
+ 22
+ 34
+ ⋯ + 𝑛2
=
𝑛 𝑛 + 1 2𝑛 + 1
6
Trataremos de implicar que 𝑛 + 1 ∈ 𝑆, es decir que probaremos que:
12
+ 22
+ 34
+ ⋯ + 𝑛2
+ 𝑛 + 1 2
=
(𝑛 + 1) 𝑛 + 1 + 1 2 𝑛 + 1 + 1
6
En efecto,
12
+ 22
+ 34
+ ⋯ + 𝑛2
+ 𝑛 + 1 2
= 12
+ 22
+ 34
+ ⋯ + 𝑛2
+ 𝑛 + 1 2
=
𝑛 𝑛 + 1 2𝑛 + 1
6
+ 𝑛 + 1 2
= 𝑛 + 1
𝑛 2𝑛 + 1 + 6 𝑛 + 1
6
= 𝑛 + 1
2𝑛2
+ 7𝑛 + 6
6
=
1
6
𝑛 + 1 𝑛 + 2 2𝑛 + 3 =
1
6
𝑛 + 1 𝑛 + 1 + 1 2 𝑛 + 1 + 1
Así observamos que (n + 1) ∈ 𝑆.