7 ecuaciones

AGROMATIC
INSTITUTO NACIONAL DE DESARROLLO HUMANO
Y PROFESIONAL
INDEHUP
COMPONENTE MATEMÁTICA
EDUCACIÓN SECUNDARIA
ANDAHUAYLAS – PERU
2011

INDEHUP 2 011 COMUL
ECUACIONES
Podemos definir a las ecuaciones como una
igualdad entre expresiones algebraicas (sucesión
de términos constituidos de números y letras.
Cada término es separado del otro por un signo de
suma "+" ó de resta "-"), en la que intervienen una
o más letras, llamadas incógnita (cuyo valor hay
que averiguar). Las expresiones que están a
ambos lados del signo igual son los miembros de
la ecuación: primer miembro el de la izquierda,
segundo miembro el de la derecha. Se denomina
solución de una ecuación a un valor o conjunto de
valores de la incógnita (x), para los cuales se
verifica la igualdad.
Una ecuación puede tener ninguna, una o varias
soluciones. Por ejemplo:
5x – 9 = 1 es una ecuación con una incógnita y
con una solución, x = 2
x 2
+ y 2
+ 5 = 0 es una ecuación con dos incógnitas
sin solución, pues la suma de dos cuadrados es un
número positivo, a partir del cual no se puede
obtener 0 sumándole 5.
2x + 3y = 15 es una ecuación con dos incógnitas
que tiene infinitas soluciones, algunas de las
cuales son x = 0, y = 5; x = 3, y = 3; x = 30, y = -
15.
Dos ecuaciones se llaman equivalentes si tienen
las mismas soluciones o ambas carecen de
solución.
Así, la ecuación 3x – 7 = x + 1 es equivalente a
2x – 8 = 0 porque ambas tienen como solución
única x = 4.
TIPOS DE ECUACIONES
Las ecuaciones con una incógnita suelen tener un
número finito de soluciones, mientras que en las
ecuaciones con varias incógnitas encontramos
infinitas soluciones, las que suelen ser estudiadas
cuando forman sistemas de ecuaciones.
Podemos encontrar distintos tipos de ecuaciones
con una incógnita: polinómica, racionales,
exponenciales, trigonométricas…
• Las ecuaciones polinómicas son de la forma
P(x) = 0, donde P(x) es un polinomio en x, que al
trasponer términos y simplificar adoptan esa
expresión.
3x3
-5x2
+ 3x + 2 = 0 es una ecuación
polinómica.
• Las ecuaciones polinómicas de primer grado,
ax + b = 0, se llama ecuación lineal. 5x + 7 = 3
(es lineal).
(x – 5)2
+ 3 = x2
– 1 (No hay que dejarse engañar
por las apariencias, esta ecuación también es
lineal. Al desarrollar y simplificar se obtiene:
–10x + 29 = 0).
• Las ecuaciones polinómicas de segundo grado
que responden a la estructura: ax2
+ bx + c = 0,
se las denomina cuadráticas. Son ecuaciones
de este tipo: x2
-5x + 3 = 0, ó (x – 2)2
+ 7x =5 + x.
(En este caso, se despeja x de manera que al
final queda una ecuación cuadrática, o sea, un
polinomio de grado dos.
• Las ecuaciones radicales son aquellas en las
que la incógnita está bajo un signo radical, como
• Las ecuaciones racionales son ecuaciones en
las que aparecen cocientes de polinomios; por
ejemplo:
• En las ecuaciones exponenciales la incógnita
está en un exponente: 2x
= 8
• En las ecuaciones logarítmica (inversa de las de
tipo exponencial) la incógnita se encuentra
afectada por el logaritmo, acordarse que la
solución debe estar de acuerdo con el dominio
de la función logarítmica): log (x + 1) = 10.
• En las ecuaciones trigonométricas la incógnita
está afectada por alguna función trigonométrica;
por ejemplo:
sen 4(π
+x)–cosx = 1
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
Resolver una ecuación es hallar su solución
(soluciones), o podemos llegar a la conclusión que
no tiene solución. Para resolver una ecuación, se
pasa a otra equivalente cuya apariencia sea más
sencilla. Para averiguar el valor de x debe
despejarse la letra incógnita. Para ello nos
valemos de una propiedad matemática (propiedad
uniforme) que nos permite poner un mismo
número en ambos miembros de la expresión
algebraica, siempre y cuando se mantenga la
igualdad.
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4x – 7 = 1 (tenemos esta ecuación)
4x – 7 + 7 = 1 + 7 (Para que el – 7 se anule le
sumamos 7, por eso se dice que un numero que
está restando "pasa" sumando).
4x = 1 + 7
4x = 8
4x : 4 = 8 : 4 (Para anular el cuatro que está
multiplicando dividimos ambos miembros por 4,
por eso se dice que un número que está
multiplicando "pasa" dividiendo). Tiene una única
solución: x = 2.
Sin embargo, hay tipos de ecuaciones para cuya
resolución se requieren técnicas especiales. Es el
caso, por ejemplo, de las ecuaciones cuadráticas y
bicuadradas.
Ecuaciones de Primer Grado o lineales. (con
una sola incógnita)
Son aquellas ecuaciones que tienen la forma:
0ax b+ =
Para obtener la única raíz o solución de la
ecuación, basta con despejar la incógnita, así
tenemos que:
b
x
a
−
=
Discusión de la raíz:
b
x
a
−
= de; 0ax b+ =
1) Si: 0; 0a b= = ⇒ la ecuación es
indeterminada.
2) Si: 0; 0a b= ≠ ⇒ la ecuación es
incompatible.
3) Si: 0;a ≠ ⇒ la ecuación es determinada.
Resolución de Ecuaciones Básicas
• 13 4 2 26x x− + = − +
• 6 3
3 4
x x
− = +
CRUCIGRAMA
Aquí encontrarás un crucigrama muy divertido. Para
llenarlo tendrás que resolver 17 ecuaciones de primer
grado.
¡Anímate!
Verticales
1) 3 2 32x + =
2) 5 16x =
3) 2 8 440x + =
5) 2 9 18x x− = +
8) 9 9 900x + =
9) 1
4 2 250x − =
13) 3 11 233x x− = −
15) 5 2 80x x+ = −
Horizontales
3) 7 4 171x − =
4) 8 920 7 080x − =
6) 1
2 8 88x + =
7) 5 35 745x =
10) 4 4 3 6x x− = +
11) 5
2 40 500x + =
12) 9 43 1 000x − =
14) 7 5 0x
− =
16) 5 4 3 8 8x x x− + + =
¿Qué tal, resultó divertido?
PLANTEAR UNA ECUACIÓN
1 2 3
4
5 6
7 89
10
11
12 13
14
15
16

Lenguaje
común
(enunciado)
Leer
Interpretar
Simbolizar
Lenguaje matemático
(ecuación)
Resolución de la
ecuación.
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PLANTEAR UNA ECUACIÓN
PROBLEMAS
1. La suma de tres números enteros positivos
consecutivos es 24. ¿Cuál es el menor?
a) 8 b) 9 c) 7 d) 4 e) 2
2. Los animales que tiene Pepita son todos
perritos menos 5; todos gatitos menos 7 y
todos loritos menos 4. ¿Cuántos gatitos tiene?
a) 1 b) 3 c) 4 d) 2 e) 5
3. ¿Cuál es el número que multiplicado por 2 es
cuatro unidades menos que tres veces 6?
a) 6 b) 7 c) 5 d) 4
e) 3
4. Un canguro recorrió 20 m. dando 4 saltos, en
cada salto avanzó 2m. menos que el salto
anterior. ¿Cuántos metros avanzó en el tercer
salto?
a) 8 b) 4 c) 2 d) 6 e)
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ECUACIONES HORARIAS
Ejemplo.- ¿A qué hora las horas transcurridas del
día de hoy (24 horas) son el quíntuplo de las que
faltan transcurrir?
a) 6 p.m b) 7 p.m c) 8 p.m d) 9
p.m e) 10 p.m
Solución:
x 24 - x
por
Transcurridas transcurrir
0 hrs x hrs 24 hrs
Del enunciado: x = 5 (24 - x)
x = 5 (24) - 5x
6x = 5 (24) → x = 20 hrs ó 8 p.m. ζ
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Al preguntarle la hora a un matemático,
contestó: el duplo de las horas que han
transcurrido del día de hoy es igual al
cuádruple de las que quedan por transcurrir.
¿Qué hora es?
a) 12 hr. b) 15 hr. c) 16 hr. d) 11 hr. e)
18 hr.
2. En cierto momento del día se observa que las
horas transcurridas son el doble de las horas
que faltan transcurrir. ¿Qué hora es en ese
momento?
a) 6 p.m. b) 4 a.m. c) 4 p.m. d) 6 a.m.
e) 8 a.m.
3. Al mirar el reloj observó que en este momento
2 / 3 de lo que queda del día es igual al tiempo
transcurrido. ¿Qué hora es?
a) 9h 36min b) 8h 41min c) 4h 35
min d) 1h 36min e) 10h 20 min
EDADES
1. Mi hermano nació cuando yo tenía 6 años. Si
ahora tengo 13 años, ¿Qué edad tiene mi
hermanito?
Enunciado
(Forma Verbal)Expresión Matemática
(Forma Simbólica)La edad de MauricioLa edad de
Mauricio disminuido en 8El doble de un número,
aumentado en 35El doble de un número
aumentado en 35Mi edad es el doble que la tuyaEl
exceso de A sobre B es 5A es excedido por B en 57
menos 3 veces un número
Pedro gana el triple de lo que gana JulioUn número
elevado al cuadrado y disminuido en 6El exceso de
un número sobre 8En un aula por cada 5 niños hay
6 niñas.Tu edad equivale a la suma de 3 números
impares consecutivosEl cuadrado de la suma de
dos números.La suma de los cuadrados de dos
números.Si “A” le da a “B” 10 soles, ambos tendrían
iguales cantidades.
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a) 6 b) 3 c) 7 d) 8 e) 9
2. Marcia tiene 8 años menos que Karla.
¿Cuántos tendrá Marcia dentro de 3 años si
entre las 2 tienen 64 años?
a) 39 b) 31 c) 32 d) 40 e) 52
3. La edad de Juan es el doble de la edad de
María. Si hace 15 años era el triple de la edad
de María en ese entonces. ¿Qué edad tiene
María?
a) 30 b) 35 c) 40 d) 45 e) 60
4. Al ser preguntada Jacqueline por su edad
contestó: Si al triple de mi edad le quito 16
años tendría lo que falta para tener 100 años.
¿Qué edad tendría dentro de 5 años?
a) 29 b) 34 c) 32 d) 30 e) 33
5. Hace 6 años, La edad de Pedro era el
quíntuplo de la de Ana y actualmente es el
triple. Hallar la edad actual del mayor.
a) 34 b) 35 c) 36 d) 37 e) 38
6. La edad de Judith es el triple de la edad de
Karina y dentro de 10 años será el doble.
¿Cuáles son las edades actuales?
a) 27; 9 b) 30;10 c) 45;15 d) 32;12 e)N.A
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
CUADRÁTICAS
No existe una única forma de escribir la ecuación
cuadrática.
Generalmente las ecuaciones cuadráticas se
presentan de la forma polinómica: f(x) = ax2
+ bx +
c la que se resuelve mediante la ecuación
cuadrática
Por ejemplo, la ecuación 2x2
+ 5x + 3 = 0 de
coeficientes a = 2, b = 5, c = 3, se resuelve así:
CASOS ESPECIALES
Las ecuaciones de segundo grado de los tipos
siguientes se llaman incompletas porque les falta
uno de los términos:
ax2
+ bx = 0
ax2
+ c = 0
Se pueden resolver aplicando la fórmula general,
pero es más cómodo resolverlas despejando
directamente la x.
En el primer caso, ax2
+ bx = 0 → (ax + b)x = 0
Una solución es x = 0 y la otra se obtiene
resolviendo la ecuación lineal ax + b = 0.
Por ejemplo: 3x2
+ 5x = 0 →(3x + 5)x = 0 →
3x + 5 = 0 ó x = 0, despejando x concluimos que
las soluciones son) x = 0 y x = – 5/3.
En el segundo caso, ax2
+ c = 0 → ax2
= – c
→ x2
= – c/a
→
Por ejemplo: 3x2
- 17 = 0 → 3x2 = 17
→
Método de Factorización
Este método es usado cuando la expresión
cuadrática 2
0ax bx c+ + = es fácil de poder
factorizar y su procedimiento se basa en la
aplicación de la siguiente propiedad de los
números reales.
0 0 0a b a ó b× = ⇔ = =
Ejemplos:
1. Resuelve: 2
4 5 0x x− − =
Resolución:
Factoriza:
2
4 5 ( 5)( 1)x x x x− − = − +
( 5)( 1) 0x x− + =
5 0 1 0x ó x− = + =
Resultando: 5 1x ó x= = −
Es decir: { }. 1,5C S = −
2. Resuelve: 2
3 5 2 0x x− + =
5

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PROPIEDADES DE LAS RAICES.
Sean 1x y 2x las raíces de la ecuación:
2
0, 0ax bx c a+ + = ≠
A. SUMA DE RAÍCES:
1 2
b
x x
a
+ =
B. PRODUCTO DE RAÍCES:
1 2
c
x x
a
× =
C. RECONSTRUCCIÓN DE LA ECUACIÓN:
2
1 2 1 2( ) ( ) 0x x x x x x− + + × =
SISTEMA DE ECUACIONES:
Conjunto de ecuaciones cuyas soluciones
comunes se pretende hallar. Para indicar que
varias ecuaciones forman un sistema, se abarca el
conjunto de todas ellas con una llave.
Las ecuaciones de un sistema suelen tener dos o
más incógnitas, por lo que cada una de ellas
puede tener infinitas soluciones. Se llama solución
del sistema a una solución común a todas las
ecuaciones que lo forman. Resolver un sistema de
ecuaciones es hallar todas sus soluciones o
concluir que no tiene solución. Si dos sistemas de
ecuaciones tienen las mismas soluciones o ambos
carecen de solución, se dice que son equivalentes.
Los sistemas de ecuaciones sin solución se llaman
incompatibles y los que tienen solución,
compatibles.
Por ejemplo, el sistema formado por las
ecuaciones 2x - 5y = 16 y 4x + y = 10 se expresa
así
La solución de este sistema es x = 3, y = -2
porque es solución de ambas ecuaciones. Es, por
tanto, un sistema compatible.
El sistema es incompatible, pues no tiene solución.
Los sistemas de ecuaciones lineales son
especialmente interesantes por las múltiples
aplicaciones que tienen en diversas ciencias.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES:
Una ecuación con varias incógnitas es lineal si es
de la forma ax + by = c, ax + by + cz = d,…, es
decir, si las incógnitas aparecen sin exponentes
(elevadas a 1).
Un sistema de ecuaciones lineales compatible, o
bien tiene solución única (es determinado), o tiene
infinitas soluciones (es indeterminado).
Existen varios métodos elementales para resolver
sistemas de ecuaciones: el método de sustitución,
el método de igualación y el método de reducción.
A continuación se aplican en la resolución de
sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.
El método de sustitución consiste en despejar
una de las incógnitas en una de las ecuaciones y
sustituir su expresión en la otra, la cual se
transformará en una ecuación con una incógnita
que se puede resolver. Una vez conocido el valor
de dicha incógnita se obtiene, de inmediato, el
valor de la otra.
Para resolver el sistema por el método de
sustitución conviene despejar la y de la segunda
ecuación:
y = 10 – 4x (ahora se sustituye su valor en la
primera) 2x - 5.(10 – 4x) = 16
Se resuelve la ecuación resultante, pues sólo tiene
una incógnita:
2x – 50 + 20x = 16 entonces: 22. x = 66
x = 66:22 = 3
Ahora el valor de x se sustituye en la expresión de
y obtenida antes:
y = 10 – 4x = 10 – 4 · 3 = 10 – 12 = – 2
Se ha obtenido así la solución x = 3, y = – 2.
El método de igualación consiste en despejar la
misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar
sus expresiones, obteniendo así una ecuación con
una incógnita. Una vez resuelta se obtiene
fácilmente el valor de la otra incógnita.
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Para resolver por igualación el sistema anterior, se
puede despejar la x en ambas ecuaciones e
igualar sus expresiones:
(Despejamos x en cada una de las expresiones
para igualarlas y, de esa manera, poder hallar el
valor de y)
Por último, se sustituye el valor de y en alguna de
las expresiones de x:
Se ha obtenido la solución x = 3, y = – 2.
El método de reducción consiste en procurar que
una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente
en las dos ecuaciones para que, al restarlas
miembro a miembro, se elimine dicha incógnita,
dando lugar a una ecuación con sólo la otra
incógnita. Se resuelve dicha ecuación y el valor de
la incógnita se sustituye en una de las ecuaciones
primitivas, y con ello se puede obtener el valor de
la otra incógnita.
Para resolver por reducción el mismo sistema:
se multiplican los dos miembros de la primera
ecuación por 2 con el fin de que el coeficiente de
la x sea el mismo en ambas ecuaciones: 4x – 10y
= 32 y 4x + y = 10
Ahora, restando miembro a miembro se obtiene la
ecuación siguiente:
– 11y = 22 y = 22 : (– 11) y = – 2.
Y se sustituye en una de las ecuaciones iniciales:
2x – 5(–2) = 16
2x + 10 = 16
2x = 6
x = 3
La solución es x = 3, y = -2.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
La representación de un sistema de dos
ecuaciones lineales con dos incógnitas consiste en
un par de rectas, si éstas se cortan, el sistema es
compatible determinado y las coordenadas del
punto de corte son la solución del sistema. Si las
rectas son paralelas, el sistema es incompatible. Si
las rectas son coincidentes (son la misma recta), el
sistema es compatible indeterminado: sus
soluciones son todos los puntos de la recta.
Por ejemplo, el sistema de ecuaciones
Se trazan ambas rectas y el punto donde se cortan
es la solución del sistema.
El punto en que se cortan las rectas, (0,5), es la
solución del sistema: x = 0, y = 5.
Una ecuación lineal con tres incógnitas, ax + by +
cz = d, se representa generalmente mediante un
plano en un sistema de R3
. La representación de
un sistema de tres ecuaciones lineales con tres
incógnitas consiste en tres planos cuya posición
relativa determina que el sistema sea compatible o
incompatible. Si los tres planos se cortan en una
recta, el sistema es compatible indeterminado,
pues tiene infinitas soluciones. Si no se cortan (no
existe ningún valor para x, y, z) el sistema es
incompatible.
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INDEHUP 2 011 COMUL
Si el sistema de ecuaciones con tres incógnitas
puede ser representado por rectas en un espacio
(por lo menos cuatro dimensiones), en ese caso si
las tres se cortan en un punto el sistema es
compatible determinado.
PROBLEMAS
1. Un obrero ahorra S/.12 por un día que trabaja
y retira S/.4 por un día que no trabaja. Si en el
mes de setiembre ahorró S/.280. ¿Cuántos
días trabajó?
a) 5 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30
2. A un partido de fútbol entran un total de 350
personas entre caballeros y damas
recaudándose 1550 nuevos soles, pagando
cada caballero S/.5 y cada dama S/.4. ¿Cuál
es la diferencia entre damas y caballeros?
a) 60 b) 50 c) 90 d) 80 e) 30
3. Dame S/. 2 y tendré tanto como tú tendrás;
pero si te doy S/.3 tú tendrás el doble de lo
que yo tenga. ¿Cuántos soles tienes?
a) 13 b) 17 c) 5 d) 16
e) 18
4. Juan le dice a Manuel, si tú me das 5 soles,
los dos tendremos la misma cantidad, pero si
yo te doy 10 soles tú tendrás el doble que yo:
¿Cuánto tiene Juan?
a) 30 b) 40 c) 25 d) 120
e) 38
5. Lo que tengo más lo que te debo da S/. 2200.
Si pagara lo que te debo me quedaría S/.
1000. ¿Cuánto te debo?
a) S/. 500 b)S/. 600 c) S/. 800
d) S/. 1000 e) S/. 900
6. En un corral entre patos, gallinas y conejos se
contaron 58 cabezas y 148 patas. ¿Cuántos
conejos hay?
a) 18 b) 24 c) 20 d) 16 e)
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DISTRACCIÓN DOMICILIARIA
1. Un caballo y un burro caminaban juntos,
lamentábase el burro de su enojosa carga, a lo
que el caballo le dijo: “¿de qué te quejas? Si
yo te tomará un saco, mi carga sería el doble
de la tuya. En cambio, si yo te doy un saco, tu
carga se igualará a la mía”. ¿Cuántos sacos
llevaba el caballo?
a) 5 b) 4 c) 7 d) 8 e) 9
2. La quinta parte de la suma de dos números es
412 y la tercera parte de su diferencia es 130.
El doble del número mayor será:
a)1670 b)2450 c)1225 d)2060 e)1615
3. La cantidad de lápices que tengo es igual al
triple del número de lapiceros que tengo,
disminuido en 6. Si el exceso del número de
lápices que tengo, sobre el de lapiceros es 24.
¿Calcular el número de lapiceros?
a) 15 b) 39 c) 21 d) 40 e) 28
4. Al comprar 11 libros y 9 lapiceros gasté S/.
910. Si hubiera comprado 9 libros y 11
lapiceros habría gastado S/. 890. ¿Cuál es el
costo de 1 libro?
a) 50 soles b) 30 c) 34 d) 32 e) 33
5. En un congreso, si los integrantes se sientan
de 3 en 3 sobrarían 4 bancas y si se sientan
de 2 en 2, se quedarían de pie 18 integrantes.
¿Cuántos son los integrantes?
a) 30 b) 60 c) 70 d) 78 e) 87
6. En una reunión donde hay “n” personas, el
número de hombres excede en 10 al de
mujeres. ¿Cuántas mujeres hay en la reunión?
a) (n+10)/2 b) 2n c) n-10 d) (n-10)/2 e)
n-5
7. Carlitos tiene “b” soles más que Pepito?
Cuánto debe darle Carlitos a Pepito para que
ambos tengan la misma cantidad?
a) 4 soles b) b/2 c) b d) 2b e) 3b
8. Un estudiante gasta S/. 5 en pasajes, cuando
va a una conferencia; si en “a” días ha gastado
“k” soles. ¿Cuántos días no asistió a la
conferencia durante los “a” días?
a) 3a-k b) (5a-k) / 5 c) (2a-k) / 2 d) (3a-k) /
3
e) k
9. De los 20 soles que tenía, gasté la tercera
parte de lo que no gasté, ¿Cuánto gasté?
a) 5 b) 10 c) 6 d) 20/3 e) 15
10. De los 30 soles que tenía, gasté la cuarta
parte de los que no gasté ¿Cuánto no gasté?
a) 4 b) 6 c) 20 d) 24 e) 18
8

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11. Ana tiene 30 soles más que Pedro. Entre los
dos tienen 80 soles ¿Cuánto tiene Pedro?
a) 55 b) 56 c) 25 d) 28 e) 35
12. ¿Cuál es número cuyo triple excede en 9 al
séxtuplo de 4?
a) 20 b) 33 c) 16 d) 12 e) 11
13. La cifra de las decenas de un número de dos
dígitos excede al de las unidades en 2, y la
diferencia entre los cuadrados de éstas cifras
es 12 ¿cuál es el número?
a) 22 b) 42 c) 64 d) 41 e) 24
14. Determinar la edad del profito de RM,
sabiendo que hace 6 años era el triple de la
raíz cuadrada de la edad que tendrá dentro de
12 años?
a) 24 b) 36 c) 28 d) 30 e) 32
15. Faltan para las 3pm La mitad del tiempo
transcurrido ¿Qué hora es?
a) 10am b) 6am c)10pm d) 8am e)12am
16. ¿Que hora es? Si falta 1/5 de lo transcurrido
en un día?
a) 8pm b) 6am c)10pm d) 8am e)12am
17. Si subo una escalera de 5 en 5, doy 3 pasos
más que subiendo den 6 en 6, ¿Cuántos
escalones tiene la escalera?
a) 30 b) 120 c) 60 d) 90 e) 80
18. En un grupo de 20 niños y niñas, la mitad de
los niños y la séptima parte de las niñas tienen
bicicleta. ¿Cuántos no tienen bicicleta?
a) 15 b) 5 c) 12 d) 9 e) 10
19. Un holgazán duerme normalmente todas las
horas de cada día menos las horas que
duerme ¿Cuántas horas duerme diariamente?
a) 24 b) 12 c) 6 d) 0 e) Absurdo
20. Se tienen 12 números consecutivos, si la suma
de los 6 primeros es117 ¿cuál es la suma de
los 6 últimos?
a) 148 b) 153 c) 152 d) 171 e)170
21. Me falta para tener 28 soles el doble de lo que
me falta para tener 22 soles. ¿Cuánto tengo?
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 16
22. El mayor de dos números es 10 más que 5
veces el menor, su suma es 28. El mayor
número es?
a) 20 b) 16 c) 25 d)3 e) 21
23. Hallar el mayor de tres números pares
consecutivos que sumados den 120.
a) 100 b) 40 c) 50 d) 42 e) 38
24. Hallar el menor de dos números cuya suma
sea 60 y el cociente de sus recíprocos 3.
a) 10 b) 13 c) 14 d) 15 e) 45
25. El tiempo máximo que debe tardarse para
resolver este problema, se descompone de la
siguiente manera: 1/25 del total en leerlo, ¼ en
plantearlo, 41/100 en resolverlo, y minuto y
medio en su comprobación. ¿Qué tiempo se
debe tardar?(En minutos)
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
26. Al morir dos individuos de una familia queda
ésta disminuida en las 2/7 partes del número
de individuos que la componían ¿Cuántos son
éstos actualmente?
a) 2 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
27. Juan tenía 60 soles y gastó 18 soles. ¿Qué
parte de su dinero ahorró?
a) 3/10 b)2/3 c) 18/60 d) 7/10 e) 2/5
28. Si en lugar de comprar una mesa con los 3/5
de mi dinero, compro otra mesa con los 2/7, de
ésta manera me ahorro 33 soles. ¿De cuánto
disponía?
a) 106 b) 105 c)102 d) 72 e) 96
29. El exceso del triple de un número sobre 42
equivale al exceso de 286 sobre el número.
¿Cuál es el número?
a) 24 b) 28 c) 82 d) 84 e) 86
30. La suma de dos números pares consecutivos
es 102. Halla esos números. R: (50 y 52)
31. La suma de tres números impares
consecutivos es 69. Busca los números. R:
(21,23 y25)
es 210. Halla esos números. R: (104 y 106)
33. La suma de dos números es 32 y uno de ellos
es la séptima parte del otro. Halla los dos
números. R: ( 4 y 28)
34. La suma de dos números consecutivos es 107.
Calcula esos números. R: (53 y 54)
es 54. Busca esos números. R:(26 y 28)
36. La suma de dos números impares
consecutivos es 36. Busca esos números. R:
(17 y 19)
37. Halla dos números sabiendo que uno es triple
que el otro y su suma es 20. R: (5 y 15)
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INDEHUP 2 011 COMUL
38. Halla dos números sabiendo que uno excede
al otro en 6 unidades y su suma es 40. R:
(17y23)
39. Si dos números son tales que uno es el
cuádruplo del otro y su suma es 125.¿Cuáles
son esos números? R: (25 y100)
40. Se reparten bombones entre tres niños. Al 2º
le dan el doble que al primero y al tercero el
triple que al segundo. Si el total es de 18
bombones. ¿Cuántos bombones dan a cada
niño? R: (al 1º 2 bombones, al 2º 4 bombones
y al 3º 12 bombones)
41. En un salón hay doble número de niñas que
de niños y la mitad de adultos que de niños. Si
en total hay 35 personas ¿Cuántos niños,
niñas y adultos hay? R: (niños 10,niñas
20,adultos 5)
42. En un avión viajan el cuádruplo de hombres
que de mujeres y la mitad de niños que de
mujeres, en total viajan 165 personas. ¿Qué
número corresponde a cada tipo de persona?
R: (Hombres 120, mujeres 30 y niños 15)
43. Un hombre legó su fortuna de la siguiente
manera: la mitad para su esposa, la tercera
parte para su hijo, la octava parte para su
sobrina y 180 € a una institución benéfica
¿Cuánto dinero poseía? R: (4320 €)
44. En una clase hay niños de 13, 14 y 15 años.
De 14 años hay el doble que de 15 años y de
13 años el triple que de 14. ¿Cuántos niños
hay de cada edad si en total hay 27 alumnos?
R:(de13 años 18 niños, de 14 años 6 y de 15
años 3 niños)
45. En un autobús viajan triple número de mujeres
que de niños y doble número de hombres que
de mujeres y niños juntos. En total viaja 60
personas. Calcula cuántos niños mujeres y
hombres viajan en dicho autobús. R: (niños 5,
mujeres 15 y hombres 40)
46. Luís tiene 16 años más que Manuel y dentro
de 4 años tendrá el doble. ¿Qué edad tiene
cada uno? R: Manuel 12 y Luís 28)
47. La hermana de Juan tiene 13 años más que él
y dentro de 6 años tendrá el doble ¿Qué edad
tiene cada uno? R: ( Juan 7 años, hermana 20
)
48. Un padre tiene 25 años más que su hijo y
dentro de 5 años tendrá el doble ¿Qué edad
tiene cada uno? R: (hijo 20 años, padre 45)
49. Ana tiene 7 años más que Pedro y hace 1 año
tenía el doble ¿Qué edad tiene cada uno? R:
(Pedro 8 años y Ana 15)
50. María tiene 30 años más que Luís y dentro de
7 años tendrá el triple. ¿Qué edad tiene cada
uno? R: (María 38 años y Luís 8)
51. Ana tiene 36 años menos que su padre y
dentro de 8 años, su padre tendrá el cuádruplo
de los que entonces tenga ella. ¿Qué edad
tiene cada uno en la actualidad? R:(Ana 4
años y padre 40)
52. La madre de Luís tiene 26 años más que él y
dentro de 3 años tendrá el triple. ¿Qué edad
tiene cada uno? R: (Luís 10 años, madre 36)
53. Marisa tiene 20 años más que su hijo y dentro
de 5 años tendrá el doble de edad que la que
entonces tenga éste. ¿Qué edad tiene cada
uno? R: (Marisa 35 años, hijo 15)
54. La diferencia de edad entre dos hermanos es
de 5 años y dentro de 2 años uno tendrá
doble que el otro.¿Qué edad tiene cada
uno? R: ( un hermano 3 años y otro 8)
55. La diferencia de edad entre un padre y un hijo
es de 32 años y dentro de 5 años la edad del
padre será el triple de la que entonces tenga el
hijo.¿Qué edad tiene cada uno ? R: (Hijo 11
años, padre 43)
56. La diferencia de edad entre un abuelo y su
nieto es de 48 años y hace 4 años el abuelo
tenía 5 veces la edad del nieto.¿Qué edad
tiene cada uno? R: (nieto 16 años, abuelo 64)
57. El producto de dos números es 675. calcula
dichos números sabiendo que uno es el triple
del otro. R: (15 y 45)
58. El producto de dos números es 450, sabiendo
que uno excede al otro 7 unidades, Calcula
dichos números. R: ( 18 y 25)
59. l producto de dos números pares consecutivos
es 624. Busca esos números. R: (24 y 26 )
60. Un número es 5 veces superior a otro y su
producto es 320. Busca los dos números R:
(8 y 40)
61. En una granja se crían gallinas y conejos. Si
se cuentan las cabezas, son 50, si las patas,
son 134. ¿Cuántos animales hay de cada
clase?
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7 ecuaciones

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