Modulacion FM

1. Tema 2
Técnicas de Modulación Analógica
MODULACIÓN
EN FRECUENCIA
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ
Departamento de Ingeniería Electrónica

2. 1. Frecuencia de una señal periódica y frecuencia
instantánea.
2. Modulación de fase (PM) y Modulación de frecuencia
(FM).
3. Determinación de la frecuencia instantánea para una
señal modulada en fase y en frecuencia.
4. Expresiones complejas para una señal modulada en
fase y en frecuencia.
5. Análisis de una señal modulada en fase y en
frecuencia cuando la modulante es una señal
senusoidal.
6. Espectro de frecuencia de una señal modulada en
frecuencia.

3. 7. Modulación de frecuencia de banda estrecha o
angosta: NBFM .
8. Modulación de frecuencia de banda ancha: WBFM.
9. Generación de señales moduladas en ángulo.
10. Demodulación de FM.
11. Potencia asociada a una señal con modulación de
ángulo.
12. Sistema de comunicación con modulación angular en
presencia de ruido.

4. Una señal periódica es aquella que se repite cada
T segundos.
Por ejemplo, se puede representar por la
expresión:
T
f
πfw
twAtg
c
c
1
2
),cos()(



tambiény
donde

wt [rad]
g(t)
A
-A
T

La Frecuencia puede ser
lineal (f) o angular (w).

5. Es de interés conocer el valor que toma la
frecuencia de la señal f(t) en un instante dado de
tiempo ti. El valor que toma la frecuencia de la
señal en un instante de tiempo ti , se conoce
como frecuencia instantánea de la función f(t).
Veamos dos ejemplos:
w
f(t)
w
f(t)
t
t
tt
wo
2wo
wo
2wo
a) b)
T 2T 3T 4T
T 2T
Cambios bruscos de Frecuencia Cambios graduales de Frecuencia

6. En la modulación AM la información se
coloca en la amplitud de la señal portadora. Esto
es un inconveniente a la hora de recuperar la
información pues la misma se contamina
fácilmente con el ruido que se agrega en la
amplitud. Ante este es posible hacer varia la
frecuencia de la señal y mantener constante la
amplitud, dando origen a la FM.

7. Sea la ecuación: )cos()(  twAtg c
Si en la ecuación anterior se considera que el
ángulo de fase no es constante sino que puede
ser considerado como una función del tiempo,
se tiene:
))(cos()( ttwAtg c 
Al hacer variar φ(t) en esta ecuación, se tendrá
una dependencia del tiempo “t” de la fase de la
ecuación. Se tiene en este caso una señal
modulada en ángulo.

8. Consideremos la ecuación:
donde kp es constante y m(t) es la modulante,
entonces la señal modulada es:
( ) ( )t k m tp
))(cos()( tmktwAtg pCPM 
Esta ecuación representa una señal
modulada en fase y se denota como gPM(t)
Fase de la
señal

9. El índice de modulación de la señal modulada
en fase se puede determinar como:
El índice de modulación representa la máxima
desviación de fase que puede darse a la función
gPM(t) y está dado por el valor máximo de la
amplitud de la modulante por la constante kP
[radianes]
max
)(tmkpmp 

10. Considere ahora que (t) está dado como la
integral de la función m(t), entonces se tiene:
cttedonde 

  fff k
t
dmk
t
dmkt ,)()()( 
))(cos()( ttwAtg c Como vimos previamente:
Si se remplaza por la ecuación previa, se tiene:









 
t
dmktwAtg fcFM )(cos)(
Esta ecuación representa la señal modulada en
frecuencia y se denota por gFM(t)

11. El índice de modulación de la señal modulada
en frecuencia se determina por:
   f m f
max
k m d
t
 

 ( )
El índice de modulación está dado por el
máximo valor positivo de la integral de la
modulante por el factor de escala kf

12. En resumen, se tiene que las ecuaciones
que definen las técnicas de modulación
angular y su índice de modulación son:
Técnica Ecuación
Índice de
Modulación
MODULACIÓN
EN FASE
MODULACIÓN
EN FRECUENCIA max
)(

t
dmkfmf 









 
t
dmktwAtg fcFM )(cos)(
))(cos()( tmktwAtg pCPM 
max
)(tmkpmp 

13. Considérese la ecuación:
))(cos()( ttwAtg c 
Si se toma que (t)=wct + (t), se tiene:
La frecuencia instantánea de la ecuación
anterior, se define como:
 g t A t( ) cos ( ) 
w t
d t
dt
i ( )
( )


Esta ecuación expresa que la frecuencia
instantánea es igual a la variación respecto al
tiempo del ángulo de la función

14. Aplicando este criterio a la modulación en fase
se tiene:
Esta ecuación permite
determinar la frecuencia
instantánea para una
señal modulada en fase
 w t
d t
dt
d
dt
w t k m ti c p( )
( )
( )  

 w t w k
d
dt
m ti c p( ) ( ) 

15. Cuando la modulante va de – a + su derivada es
positiva, siendo la frecuencia máxima.
Cuando la modulante va de + a - su derivada es
negativa, siendo la frecuencia mínima.
Representación
gráfica de una
señal modulada
en FASE.

16. De igual forma para la modulación en
frecuencia se tiene:
w t
d
dt
w t k m d
t
i c f( ) ( ) 









  
w t w k m ti c f( ) ( ) 
Esta ecuación permite
determinar la frecuencia
instantánea para una
señal modulada en
frecuencia.

17. Cuando la modulante tiene su máximo “+” su
frecuencia es máxima.
Cuando la modulante tiene su máximo “-” su
frecuencia es mínima.
Representación
gráfica de una
señal modulada
en FRECUENCIA

18.  w t w k
d
dt
m ti c p( ) ( )  w t w k m ti c f( ) ( ) 
Conclusión: Al comparar las dos ecuaciones se
establece que en la modulación de fase, la
frecuencia instantánea varía linealmente con la
derivada de la señal modulante, mientras que en
la modulación en frecuencia, la frecuencia
instantánea varía linealmente con la señal
modulante.
Modulación de Fase Modulación de Frecuencia

19. La ecuación para Modulación de fase se puede
escribir utilizando la notación compleja, de esta
manera:
   g t Ae AePM
j t j w t k m tc p
( ) Re Re( ) ( ( ))
 

][)(
)(tmjktjw
PM
pc
eeAtg 
Para la Modulación de frecuencia, se tiene:

 

t
dmktwj
FM
fc
Aetg
))((
)(
 ]))([
)(

 
t
dmjk
tjw
FM
f
c
eAetg


20. Hasta ahora, el análisis matemático para la
modulación en fase y en frecuencia se ha
realizado en función de una señal modulante
genérica, llamada :
Se considerará a continuación para el análisis,
una señal particular y a través de ella, realizar el
análisis espectral correspondiente que permita
tener una clara idea de cómo se presenta el
espectro de la señal modulada en fase y en
frecuencia.
)()( tmot

21. Considérese, que la señal modulante es:
constantemdonde 0  ),cos()( 0 twmtm m
))(cos()( tmktwAtg pCPM :quetieneseComo
 twmktwAtg mpcPM coscos)( 0
Reemplazando por la modulante dada, se tiene:
 p m pk m  0Como:
Entonces reemplazando, se tiene:
 g t A w t w tPM c p m( ) cos cos  
Ecuación de PM cuando
la modulante es una
onda senusoidal

22. Considérese, que la señal modulante es:
constantemdonde 0  ),cos()( 0 twmtm m
Reemplazando la modulante, tiene:
Como: g t A t k m d
t
FM c f( ) cos ( ) 









  






 
dwmktwAtg m
t
fcFM coscos)( 0







m
mf
cFM
w
tsenwmk
twAtg
0
cos)(
Al resolver la integral se tiene:

23. Ya que el máximo valor de m es:
 f m
f
m
k m
w
 
0
La expresión final es:
 g t A w t w tFM c f m( ) cos sen  
Ecuación de FM cuando
la modulante es una
señal senusoidal

24. Según se vió, la frecuencia instantánea de una
señal modulada está dada por:
Si consideramos como modulante la señal:
w w k m ti c f  ( )
entonces:
twmtm mcos)( 0
w w k m w ti c f m  0 cos
  w w k m w ti c f m0 cos
  2 2 0 f f k m w ti c f mcos

25. Factorizando, se tiene: 2 0( ) cosf f k m w ti c f m 
El valor máximo que puede tomar el miembro
derecho de la ecuación, es kf m0, por tanto:
( )f f
k m
i c max
f
 
0
2
f f fi c    m f
MAX
k m d
t


 ( )Sea, y como
  f m
f
m
f m f
k m
w
w k m   
0
0
Integrando se tiene:
(Ec. 1)

26. Reemplazando en la Ec. 1, se tiene:
La ecuación anterior permite determinar la
desviación de frecuencia angular de la señal
modulada en frecuencia cuando la modulante es
una señal senusoidal. Representa el índice de
modulación para FM
f
w ff m f m
 


 
2
2
2
 f
m
f
f


Finalmente:
modulantefrecuencia
frecuenciadedesviación


mf
f

27. Por naturaleza la FM posee un ancho debanda
amplio, lo cual se constituye en una limitación
cuando la disponibilidad de ancho banda es
limitada.
Sin embargo, la excelente relación señal a ruido
que posee la hace interesante aún a pesar de la
limitación anterior.
Se han realizado análisis y estudios que permiten
reducir el ancho de banda de esta técnica de
modulación, logrando salvar esta limitación.

28. La ecuación de una señal modulada en frecuencia
es:
 tsenwtwAtg mfcFM  cos)(
 

FM
j w t w t
t Ae c f m
( ) Re
( sen


 tsenwjtjw
FM
mfc
eAet

 Re)( 
En forma compleja se puede escribir:
(Ec. 2)
También la Ec. 2 puede ser reescrita usando
identidades trigonométricas como:
  FM c f m c f mt A w t w t A w t w t( ) cos cos( sen ) sen sen( sen ) 
(Ec. 3)

29. Al observar la ecuación 3 se evidencia su
complejidad para resolverla. Para simplificarla se
harán algunas consideraciones.
En primer lugar, considérese que los valores de 
son pequeños, entonces:
cos( sen )f mw t  1 tsenwtsenwsen mfmf  )(y
Los valores de f usuales para las consideraciones
anteriores, pueden ser tomados como menores a
0,2 , es decir, f < 0,2. Apliquemos este criterio en
la ecuación 3.
  FM c f m c f mt A w t w t A w t w t( ) cos cos( sen ) sen sen( sen ) 

30. Así, se tiene que:
 NBFM c f c mt A w t A w t w t( ) cos sen sen 
La ecuación 4 representa la ecuación para la
modulación de frecuencia de banda angosta y se
denota como NBFM, donde f es el índice de
modulación para FM.
(Ec. 4)
 NBFM c f c mt A w t A w t w t( ) cos sen sen 
Señal
Portadora
Índice de
Modulación
Señal
Modulante
En ausencia de modulante, solo está presente la portadora de frecuencia wc
llamada frecuencia de reposo. En caso contrario, la frecuencia de la señal
portadora se desvía por encima y por debajo de wc en un valor dado según f

31. Representando la ecuación 4 en forma fasorial, se
tiene:
(Ec. 5)
  NBFM
jw t
f mt Ae j w tc
( ) Re ( sen ) 1
  NBFM
jw t
f
jw t
f
jw t
t Ae e ec m m
( ) Re ( )  







1
1
2
1
2
Consideremos una señal modulada en amplitud:
AM c m ct A w t mA w t w t( ) cos cos .cos 
 AM
jw t
mt Ae m w tc
( ) Re ( cos ) 1
 AM
jw t jw t jw t
t Ae me mec m m
( ) Re ( )  







1
1
2
1
2
Escrita en forma fasorial, se tiene:
(Ec. 6)

32. Las ecuaciones 5 y 6 pueden ser graficadas
tomando como referencia el término de
cada una.
wm
Portadora = 1
Eje real
Eje
Imaginario
Resultante
Eje real
Eje
Imaginario
wm
Eje
Imaginario
-wm
Eje real
1
2
mejw tm
1
2
me jw tm
Portadora = 1
Eje real
Eje
Imaginario
Eje real
Eje
Imaginario
  / 2  / 2
 / 2
Portadora = 1
b)
Resultante
 senw tm
Eje real
Eje
Imaginario

a)
suma vectorial
suma vectorial
Ae jw tc

33. Realizando una comparación entre los resultados
para AM y NBFM se puede establecer lo siguiente:
Ambas modulaciones poseen dos bandas
laterales y su ancho de banda es igual a 2wm.
En AM la modulación se agrega en fase con la
portadora mientras que en NBFM se hace en
cuadratura.
La modulación AM proporciona variación de
amplitud sin desviación de fase mientras que
NBFM da origen a una variación de fase con
muy pequeño cambio de amplitud.

34. El desfase se puede determinar a partir del
triángulo resultante del diagrama fasorial como:






 
1
)( 1 tsenw
tgt m
   ( ) tg sent w tm 1
La desviación de la frecuencia instantánea
respecto a la frecuencia de la portadora es:
 d
dt
d w t
dt
m 


tg ( sen )1
twsen
tww
dt
d
m
mm
22
1
)(cos




122
twsen mquetomaseSi tww
dt
d
mm cos


Angulo de Desfase

35. La desviación de la frecuencia instantánea
respecto a la frecuencia de la portadora es:
 d
dt
d w t
dt
m 


tg ( sen )1
twsen
tww
dt
d
m
mm
22
1
)(cos




122
twsen mquetomaseSi tww
dt
d
mm cos


Análisis: Para evitar variaciones en la amplitud
de una señal modulada en frecuencia, se debe
restringir el valor de .

36. Según el diagrama fasorial b, la magnitud del
vector resultante se puede determinar como:
   g t A w t A w tNBFM m m( ) sen sen   1 1
2 2 2 2
 
Para que la magnitud de la ecuación 7 se
mantenga constante, se deben hacer algunas
consideraciones.
 Si , como sen2wmt≤1 entonces
2 < 1, que nos dice que los valores de  deben ser
menores que uno.
 En la práctica < 0,3, es una buena aprox.
(Ec. 7)
 2 2
1sen w tm 

37. Con las consideraciones anteriores, se garantiza
que la amplitud de una señal modulada en
frecuencia sea constante, es decir:
g t A constanteNBFM ( )  
NOTA: Para que esto se cumpla, el índice de
modulación debe ser muy pequeño.

38. Considérese una modulante senusoidal:
f t A w tm( ) cos twAkwtw mfci cos)( 
twwwtwAkwSi mcif cos)( 
De la Ec. 7, el ángulo de fase se determina como:
(Ec. 7)
  ( ) ( )
sen
t w d w t
w w t
wi
t
c
m
m
  0

m
f
w
w
pero
tsenwtwt mfc  )(:tienesereemplazarAl
 )(
Re)( tj
FM Aetg 
:Como  tsenwjtjw
FM
mfc
eAetg

Re)( 
(Ec. 8)

39. El segundo exponencial de la ecuación 8, se puede
expandir en una serie exponencial de Fourier,
resultando:
e F e
j w t
n
jnw t
n
f m m
 sen




F
T
f t e dt
T
e e dtn
jnw t
T
j w t jnw t
T
m f m m
  
 
1 1
( ).
sen
en donde:
f t e
j w tf m
( )
sen


Si se considera que:
t
T
twm


2
:haciendoy








deF
nsenj
n
f )(
2
1
tienesedo,Reemplanza
(Ec. 9)



 d
T
T
d
dtdt
T
d
22
2


40. La solución de la integral de la ecuación 9 se
obtiene por medio de la función de BESSEL de
primera clase y se indica como , donde n es el
orden y  es el argumento.
Los valores de se obtienen a partir de las
tablas de BESSEL
La función de BESSEL de primera clase y enésimo
orden se denota como:
Jn ( )
Jn ( )
J mn ( )

41. Teoría de las Funciones de BESSEL
La expresión matemática para determinar los valores de
cada uno de los componentes espectrales, está definida
como:  
 
 
 
 
  



















 
!3!3
2/
!21!2
2/
!1!1
2/
!
1
2
)(
642
nnnn
nJ
ffff
fN


Usando la función de BESSEL, se puede expresar
una ecuación en otra forma. Veamos








n
n
n
nxmJxm
2
cos)()coscos(


El argumento de la primera ecuación, es una función
trigonométrica, en la segunda es una función
trigonométrica con argumento simple.

42. Teoría de las Funciones de BESSEL
Normalmente para trabajar con las funciones de
Bessel no hay que hacer todos los engorrosos
cálculos. Al contrario, es muy simple empleando
las tablas ya calculadas, llamadas TABLAS DE
BESSEL.
Propiedades de las funciones de BESSEL:
Elemento Descripción
Son de valor real
Para n PAR
Para n IMPAR
Jn ( )
)()(  nn JJ 
)()(  nn JJ 
Friedrich Wilhelm Bessel

43. Funciones de Bessel para valores de n = 0 a n = 15
FUNCIÓN DE BESSEL
Portadora
ORDEN DE LA FUNCIÓN
J0 J1 J2 J3 J4 J5 J6 J7 J8 J9 J10 J11 J12 J13 J14 J15
0 1,00 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
0,1 1,00 0,05 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
0,2 0,99 0,10 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
0,25 0,98 0,12 0,01 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
0,5 0,94 0,24 0,03 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
0,75 0,86 0,35 0,07 0,01 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
1 0,77 0,44 0,11 0,02 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
1,5 0,51 0,56 0,23 0,06 0,01 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
2 0,22 0,58 0,35 0,13 0,03 0,01 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
2,4 0,00 0,52 0,43 0,20 0,06 0,02 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
3 -0,26 0,34 0,49 0,31 0,13 0,04 0,01 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
4 -0,40 -0,07 0,36 0,43 0,28 0,13 0,05 0,02 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
5 -0,18 -0,33 0,05 0,36 0,39 0,26 0,13 0,05 0,02 0,01 ~ ~ ~ ~ ~ ~
6 0,15 -0,28 -0,24 0,11 0,36 0,36 0,25 0,13 0,06 0,02 0,01 ~ ~ ~ ~ ~
7 0,30 0,00 -0,30 -0,17 0,16 0,35 0,34 0,23 0,13 0,06 0,02 0,01 ~ ~ ~ ~
8 0,17 0,23 -0,11 -0,29 -0,11 0,19 0,34 0,32 0,22 0,13 0,06 0,03 0,01 ~ ~ ~
9 -0,09 0,25 0,14 -0,18 -0,27 -0,06 0,20 0,33 0,31 0,21 0,12 0,06 0,03 0,01 ~ ~
10 -0,25 0,04 0,25 0,06 -0,22 -0,23 -0,01 0,22 0,32 0,29 0,21 0,12 0,06 0,03 0,01 ~
11 -0,17 -0,18 0,14 0,23 -0,02 -0,24 -0,20 0,02 0,22 0,31 0,28 0,20 0,12 0,06 0,03 0,01
12 0,05 -0,22 -0,08 0,20 0,18 -0,07 -0,24 -0,17 0,05 0,23 0,30 0,27 0,20 0,12 0,07 0,03
13 0,21 -0,07 -0,22 0,00 0,22 0,13 -0,12 -0,24 -0,14 0,07 0,23 0,29 0,26 0,19 0,12 0,07
14 0,17 0,13 -0,15 -0,18 0,08 0,22 0,08 -0,15 -0,23 -0,11 0,09 0,24 0,29 0,25 0,19 0,12
15 -0,01 0,21 0,04 -0,19 -0,12 0,13 0,21 0,03 -0,17 -0,22 -0,09 0,10 0,24 0,28 0,25 0,18
f
Representa
la Portadora
de la señal
Modulada
Para este índice de
modulación la
portadora se hace
CERO !
Desde J1 Hasta J15
representan las
bandas laterales
Índice de
Modulación
A mayor índice de
Modulación, mayor
numero de Bandas
Laterales

44. Las funciones de Bessel pueden ser graficadas,
obteniéndose por ejemplo las siguientes graficas
para valores de n = 0 a n = 4

45. Retomando el análisis, la ecuación
puede ser reescrita como:
y empleándola en la expresión general para FM:
e F e
j w t
n
jnw t
n
f m m
 sen




e J ej w t
n
jnw t
n
m m
sen
( )



g t Ae J eFM
jw t
n
jnw t
n
c m
( ) Re ( )







 




n
mcnFM tnwwJAtg )cos()()( 

46. Analizando la expresión:
Se puede concluir que el ancho de banda de una
señal modulada en frecuencia por una onda seno,
tiene un número de bandas laterales infinito.
Pero según la tabla de Bessel solo algunas bandas
laterales tienen magnitud significativas y en
consecuencia el ancho de banda se hace finito.




n
mcnFM tnwwJAtg )cos()()( 

47. CRITERIO PARA DEFINIR EL ANCHO DE BANDA.
Sea la ecuación de una señal modulada en
frecuencia:
Una banda lateral es significativa si tiene
magnitud igual ó mayor al 1 % de la magnitud de la
portadora no modulada.
Esto es:




n
mcnFM tnwwJAtg )cos()()( 
Jn ( ) .  0 01

48. CRITERIO PARA DEFINIR EL ANCHO DE BANDA.
Los valores de Jn() son despreciables para n > .
Entonces el ancho de banda para FM se puede
obtener tomando la última banda lateral
significativa en n = , esto es:
W nw w
w
w
wm m
m
m  2 2 2

grandeessi βwW  2
W w wm 2( ) )1(2  mwW
Para una forma de onda general, se emplea la regla
de Carlson para determinar el ancho de banda:

49. Análisis espectral para
una señal modulada en
frecuencia para diferentes
índices de modulación.

50. CONSIDERACIÓN PRELIMINAR
Según los análisis anteriores, la modulación
angular se produce cuando se hace variar el ángulo
de fase de una señal portadora de frecuencia wc en
dependencia de la amplitud de una modulante.
El tipo de modulación obtenida PM o FM depende
de que se use la señal modulante directamente o se
utilice como modulante la señal después de ser
integrada.
))(cos()( tmktwAtg pCPM  








 
t
dmktwAtg fcFM )(cos)(

51. Generación de NBPM y NBFM.
CASO DE NBPM: Si partimos de la ecuación:
analicemos como generarla…. Una alternativa se
muestra en la figura siguiente:
g t A w t A w t w tNBFM c f m c( ) cos sen( ) sen( )  

cos w
c
t
90
f(t)
X kp +
+
a) Caso NBPM
g tNBPM
( )

52. Generacion de NBPM:
g t A w t A w t w tNBFM c f m c( ) cos sen( ) sen( )  

cos w
c
t
90
f(t)
X kp +
+
a) Caso NBPM

90
f(t)
X kf +
+

cos w t
g tNBPM
( )
g tNBFM
( )
El generador de portadora cuya salida es desfasada en 90 grados
para se multiplicada linealmente con la señal f(t) de entrada
(modulante) señal senwmt. El índice de modulación se puede
controlar por medio de kp. Finalmente la señal de salida de
modulador balanceado con ganancia ajustada se suma con la señal
portadora sin desfase alguno para dar como resultado la señal de
FM de banda estrecha.

53. Generación de NBFM y NBPM.
CASO DE NBFM: Si se integra la función antes de
ingresar al sistema, se tiene NBFM , según vimos.
Entonces para generar NBFM se tiene:

cos w
c
t
90
f(t)
X kp +
+
a) Caso NBPM

90
f(t)
X kf +
+

b) Caso FM
cos w
c
t
g tNBPM
( )
g tNBFM
( )

54. Método Directo
El proceso de demodular una señal de FM
involucra un método tal que permita convertir
las variaciones de frecuencia en una variación
de voltaje. Este sistema debe tener una
característica de transferencia lineal, llamado
discriminador de frecuencia.
Un circuito con esta característica lo
constituye el diferenciador ideal con función
de transferencia jw.

55. Método Directo
La señal de FM es:
g t A w t k m d
t
FM c f( ) cos ( ) 








  
g t A J w nw tn c m
n
( ) ( ) cos( ) 


 
Si se aplica la ecuación 48 a la entrada del diferenciador
ideal se tiene como salida:
(Ec. 48)
g t
d
dt
A w t k m dFM c f
t
,
( ) cos( ( ) ) 







  
 g t A w k m t w t k m d
t
FM c f c f
,
( ) ( ) sen[ ( ) ]  

   (Ec. 49)

56. Método Directo
La señal de FM es:
 g t A w k m t w t k m d
t
FM c f c f
,
( ) ( ) sen[ ( ) ]  

   (Ec. 49)
La señal de la ecuación 49 está modulada tanto en
frecuencia como en amplitud.
La envolvente de la ecuación 49 es:
A w k m tc f[ ( )] cof wmkwComo  0)(  tmkw fc
De la ecuación 50, se concluye que la envolvente es
siempre positiva, es decir, toma valores por encima del eje
del tiempo, lo cual permite usar detección de envolvente
para obtener la señal m(t) (la modulante).
(Ec. 50)

57. El esquema de un demodulador de FM es entonces:
d
dt
detector
envolvente
A w k m tc f[ ( )]g tFM ( )g tFM ( )
La ecuación de salida supone la amplitud constante. Si
la amplitud no fuese constante, sino una función del
tiempo, se tendría como envolvente:
A t w k m tc f( )[ ( )]
Esta ecuación indica que la salida del detector de
envolvente es proporcional a A(t)m(t).
De acuerdo al resultado de la ecuación 50 es necesario
mantener la amplitud constante.

58. La amplitud se puede mantener constante si se usa un
limitador de pasabanda, el cual posee un limitador
seguido de un filtro pasabanda.
La expresión de la señal modulada en frecuencia
general tiene la ecuación siguiente:
v t w t k m d
w t k m d
w t k m d
c f
t
c f
t
c f
t
0 0
4
1
3
3
1
5
5
( ( )) [cos( ( ) )
cos .( ( ) )
cos .( ( ) ) ]


 
 
 
 
 
 





 
Frecuencia
Fundamental
Frecuencia
Armónicas
superiores

59. El limitador hace la amplitud constante y el filtro pasa
banda extrae la señal modulante ubicada en wc .
LIMITADOR
ESTRICTO
FILTRO
PASABANDA
C L
Señal de FM de
amplitud variable
Señal de FM de
amplitud constante
A t w t tc( ) cos[ ( )]
4

cos[ ( )]w t tc 

60. Sea
y g t A w t w tFM c m( ) cos( sen )   Ec. 51
Considerando la ortogonalidad de la función
coseno, el valor cuadrático medio de la suma es
igual a la suma de los valores cuadráticos medios,
por lo cual:
g t A J w nw tn c m
n
( ) ( ) cos( ) 


 
pero
g t
A
JFM n
n
2
2
2
2
( ) ( )


 
J n
n
2
1( ) 




61. Obteniendo finalmente que:
g t
A
FM
2
2
2
( ) 
El valor cuadrático medio de cada banda lateral es:
g t
A
JFM BL n
2
2
2
2
( ) ( ) 
El valor cuadrático medio es igual a la potencia promedio
si se considera como resistencia R = 1 Ohm.
Las bandas laterales o la portadora se pueden hacer tan
pequeñas como se desee eligiendo el índice de modulación
 apropiado.

62. Análisis espectral para
una señal modulada en
frecuencia para diferentes
índices de modulación.