señales y sistemas

1. MODULACION ANGULAR
• Posibilidad de trasmitir informacion haciendo
variar el angulo de una portadora.
• (t) = Acos[(t)] ; i = d/dt.
• Técnica de modulación donde el ángulo de la
portadora se hace variar con la señal moduladora:
se llama Mod. Angular. Existen 2 posibilidades
• Modulación de Fase (PM);
• Modulación de frecuencia (FM)

2. MODULACIÓN ANGULAR
Modulación de fase:PM
(t)= ct + kpm(t)
PM(t)=Acos[ct + kpm(t)] (1)
i = d/dt= c+ kp d/d[m(t)]
En PM el ángulo de fase varía linealmente con la
señal modulante m(t).
Modulacion en frecuencia (FM):
i= c + kfm(t)
(2)

+
= 


 d
m
k
t
t f
c )
(
)
(
 

+
= 


 d
m
k
t
A
t f
c
FM )
(
cos
)
(

3. Modulación angular
• Comparando las ecuaciones (1) y (2) vemos
que PM y FM son inseparables.
• En FM el ángulo de fase de la portadora
varía en forma lineal con la integral de la
señal moduladora. Primero se integra y
luego se usa para modular la fase de la
portadora y se obtiene FM.

4. Mod. angular
• Ejemplo Trazar las ondas de FM y PM para la señal m(t)
que se muestra. Y fc=100 Mhz
• PARA FM:
• PARA PM: derivando la señal m(t):
5
10
2
=
f
k 
10
=
p
k
)
(
2
t
m
k
f
f f
c
i

+
= Mhz
t
m
fi 9
.
99
|
)
(
|
10
10
)
( min
5
8
min =
−
=
Mhz
t
m
fi 1
.
100
|
)
(
|
10
10
)
( max
5
8
max =
+
=
)
(
2
*
t
m
k
f
f p
c
i

+
=
Mhz
t
m
fi 1
.
100
10
10
|
)
(
|
5
10
)
( 5
8
*
max
8
min =
+
=
+
=
Mhz
t
m
fi 9
.
99
10
10
|
)
(
|
5
10
)
( 5
8
min
*
8
min =
−
=
−
=

5. Cont. Mod. Angular

6. Cont....Modulación angular
• Ejemplo de modulacion FM y PM

7. Señales de FM y PM

8. Corrimiento de frecuencia en FM solo ocurre cuando
varia la amplitud de la señal moduladora

9. Relacion entre: desv. Frec/|m(t)| ; desv. Frec/frec. M(t)

10. Cont...Mod. Angular
• Como las modulaciones de frecuencia y de fase están muy
relacionadas, cualquier variación de fase producirá
necesariamente una variación de frecuencia y viceversa.
• La diferencia entre PM y FM es la naturaleza de la
dependencia en la señal moduladora.
f
m
*
.d/dt  PM(t)
p
m
 Mod.fase FM(t)
*
f
m
p
m

11. Ancho de banda en señales moduladas en angulo
• Definimos:  
−


=
t
d
m
t
a )
(
)
(
)]
(
[
)
(
t
a
k
t
j
FM
f
c
Ae
t
+

=


t
j
n
n
f
n
j
f
FM
c
e
t
a
n
k
j
t
a
k
t
a
jk
A
t 
 ...]
)
(
|
.....
)
(
|
2
)
(
1
[
)
( 2
2
+
+
+
−
+
=



)]
(
Re[
)
( t
t FM
FM

= 

...]
)
(
|
3
cos
)
(
|
2
)
(
[cos
)
( 3
3
2
2
sen
t
a
k
t
t
a
k
t
sen
t
a
k
t
A
t f
c
f
c
f
c
FM


+
−
−
= 



Si |kfa(t)| << 1
]
)
(
[cos
)
( t
sen
t
a
k
t
A
t c
f
c
FM 

 −

]
)
(
[cos
)
( t
sen
t
m
k
t
A
t c
p
c
MP 

 −
=
t
j
t
a
jk c
f
e
Ae 
)
(
=

12. Cont...Modulacion angular
• Generación de onda FM y PM
PM FM

13. FM de banda ancha
• Si en la ecuación anterior no se cumple | Kfa(t)| << 1:
• El ancho de banda sería infinito lo cual tampoco es práctico
• Ya que la potencia en FM reside en La banda finita.
• De esta manera la frec.inst. varía desde c-kfmp hasta
c+kfmp. Se supone que |m(t)|=mp.
• Ya que i varía dentro de este rango se justifica suponer que
el espectro de la onda modulada está dentro de este rango.
Entonces el ancho de banda de la FM resulta.
)
(t
m
kf
c
i +
=
 p
f
FM m
k
B 2
2 

p
f m
k
=
 Desviación max. De c
f
BFM 
= 2
f: Max. Desv. De c
si f >>B
p
f m
k
f

2
1
=


14. Cont...FM
El espectro de cada pulso ocupa la banda i- 4B a i+ 4B
Muestreo: Ts=1/2B, s= 4B
Elespectro de toda la onda FM: c-kfmp-4 B a c+kfmp+4 B
2BFM=2Kfmp+8 B
BFM=2(f + 2B)
Si f >>B
BFM=2 f
Mejor estimación en
banda angosta
BFM=2 (f+B)
Regla de CARSON

15. Cont.......FM
• Indice de modulación ():
• f: desviación de frecuencia
• B: frecuencia máxima de la señal modulante
• Combinando con las ecuaciones anteriores se obtiene
B
f

=

)
(
2 k
B
BFM +
=  K varía entre 1 y 2
dependiendo del valor de .
Banda ancha >>1
Banda angosta <<1

16. Cont....FM
• FM modulado por un tono senoidal
• m(t) = cosmt luego a(t)= (/ m)senmt
t
sen
k
t
j
FM
m
m
f
c
Ae
t





+

=
)
(
como m
f
m
m
k
f
f




 =

=

=
]
[
)
( ]
[ t
sen
j
t
j
t
sen
t
j
FM
m
c
m
c
e
Ae
Ae
t 





 =
= +

El termino exponencial dentro del corchete es periódico 2/m por
lo tanto se puede expresar mediante la serie exponencial de fourier.
t
jn
n
n
t
sen
j m
m
e
C
e 




−
=
= donde dt
e
e
C t
j
t
sen
j
m
n
m
m
m
m 







 −
−

=
/
/
2
Haciendo cambio de variables mt=x
n
c
dx
e
C nx
senx
j
n −
−
=




)
(
2
1
Esta integral no puede ser
evaluada en forma cerrada. Mas
bien se tabula y se representa
mediante las funciones de bessel
Jn() 1era clase y enésimo orden.

17. Cont.......FM
• Jn(): Funcion de Bessel de 1era.Clase y enésimo orden.


−
=
=
n
t
jn
n
t
sen
j m
m
e
J
e 


)
( 

−
=
+

=
n
t
n
t
j
n
FM
m
c
e
J
A
t )
(
)
(
)
( 



y


−
=
+
=
n
m
c
n
FM t
n
J
A
t )
cos(
)
(
)
( 



La señal modulada tiene una componente de portadora y un numero
infinito de bandas laterales c m, c 2m, c 3m, ............ cn m
Jn(): es la intensidad de la enésima banda lateral (cn m).
Jn()decrece conforme
.n aumenta. Jn() es des
Preciable para n> +2.
m
m
FM f
nf
B )
2
(
2
2 +
=
= 
)
2
(
2 B
f
BFM +

=

18. Espectro de frecuencia de una señal FM

19. Bandas laterales significativas para indices diferentes

20. • Grafica de Vs n
)
(
n
J

21. Tabla de Bessel
• Funciones de Bessel de 1era. Clase y enésimo orden

22. Grafica Vs. 
• Graficando la intensidad Vs indice de modulación
)
(
n
J

23. Ceros de las funciones de Bessel
• Valor de  cuando 0
)
( =

n
J

24. • .

25. • .

26. Modulación de fase-MP
• Todos los resultados que derivan para FM se aplican para MP.
• En donde:
,
p
pm
k
=

max
*
,
)]
(
[ t
m
mp =
donde
)
(
2 kB
f
BFM +

= 1<k<2
]
2
[
2
,
kB
m
k
B p
p
MP +
=

En FM: =kfmp
En MP: =kpm´p
Observe que m´p depende fuertemente del espectro de m(t) ocasionando
rápidas variaciones, dando un valor alto de m´p.
Ancho de banda en FM es independiente del espectro de m(t)
“ “ MP es dependiente “ “ “ “ m(t).
Ejemplo: t
t
m m

 cos
)
( = t
sen
t
m m
m 

−
=
)
(
'
Por lo tanto f
p
f
FM k
m
k 
 =
=
 )
( p
m
p
p
MP k
m
k 
 =
=
 '
)
(
entoces

27. Potencia promedio de una onda de modulación angular
• La potencia total en una onda modulada es igual
a la potencia de la portdora sin modular.
• La potencia de es independiente de la señal m
odulante, índice de modulación y desviación de frec.
• donde voltaje de pico de porta.
• La potencia promedio del 2do término es cero
entonces
)
(t
FM

)
(t
FM

R
V
P c
c
2
2
= c
V
))]
(
2
2
cos(
2
1
2
1
[
2
t
t
R
V
P c
c
t 
 +
+
=
2
2R
V
P c
t =

28. Cont.....Potencia
• La potencia total modulada:
n
c
t P
P
P
P
P
P +
+
+
+
+
= .......
3
2
1
R
V
R
V
R
V
R
V
P n
c
t
2
)
(
2
....
2
)
(
2
2
)
(
2
2
2
2
2
2
1
2
+
+
+
+
=
t
P
c
P
1
P
2
P
Potencia total modulada
Potencia portadora modulada
Potencia del 1er conjunto de bandas laterales
Potencia del 2do conjunto de bandas laterales

29. • Ejemplo
• Un modulador FM con un indice de modulación =1 una señal
modulante y una portadora sin modular
• Determine:
• A) El número de conjunto de bandas laterales
• B) Sus amplitudes
• C) Dibuje el espectro de frecuencia.
• D) Si la carga es de 50 ohmios determine la potencia de portadora sin
modular y la potencia total sin modular.
)
1000
2
(
)
( t
sen
V
t
V m
m 
=
)
10
5
2
(
10
)
( 5
t
x
sen
t
Vc 
=
W
P
c 1
)
50
(
2
102
=
=
)
50
(
2
)
2
.
0
(
2
)
50
(
2
)
1
.
1
(
2
2
)
50
(
2
7
.
7 2
2
)
50
(
2
)
4
.
4
(
2
2
+
+
+
=
t
P
W
P
t 0051
.
1
=

30. Pre-enfasis/de-enfasis

31. Cont.....pre-enfasis/de-enfasis
• Mejora la relación señal /ruido en los receptores:
* Amplificar la señal modulante en el extremo superior del
espectro antes del proceso de la modulación (pre-enfasis).
* Atenuar las altas frecuencias a la salida del receptor (de-
enfasis).
* En radiodifusión FM : La cte de tiempo 1 es de 75 usg de
modo que f1 ocurre a 2.12 KHZ, y f2 ocurre por encima del
espectro de banda base de la señal modulante.

32. Generacion de señales FM
• Metodo indirecto de Armstrong
• Ejem: un dispositivo de ley cuadrática multiplica por 2
• Cualquier dispositivo no lineal presenta la característica
• la salida
• Tendrá c, 2c,......,nc con desviaciones de frecuencia
• f, 2f,.........,nf, respectivamente
FM banda
angosta
Multiplicadores de
frecuenica
.m(t)
FM de banda ancha
 2
)
(
)
( t
e
t
e i
o = 
−
+
=
=
t
f
c
FM
i d
m
k
t
t
e 


 )
(
cos[
)
(
)
(





 

+
+
= 
−
t
f
c
o d
m
k
t
t
e )
(
2
cos
2
1
2
1
)
( 
)
(
....
)
(
)
(
)
(
2
2
1 t
e
a
t
e
a
t
e
a
a
t
e
n
i
n
i
i
o
o +
+
+
=

33. Trasmisor FM indirecto Armstrong
•Se elige f= 25 Hz para mantener <<1 como se requiere en banda angosta.
•El espectro de frecuencia de banda base 50 Hz-15KHz, =25/50 para que sea FM de banda angosta.
•Para alcanzar f= 75 KHz. Se necesita un multiplicador de 75000/25=3000. Esto puede lograrse con
etapas multiplicadoras de 64*483072.

34. Cont.............Trasmisor FM indirecto
. Si se multiplica directamente la portadora 200Khz *3072600 Mhz.
Esta dificultad se puede superar:
Ventaja de FM indirecto: los Txs son mas estables en frecuencia.
Desventaja : Característica de capacitancia de los varactores no son lineales. Para
disminuir la distorsión en la forma de onda modulada debe mantenerse a la amplitud de
la señal modulante en un valor pequeño. Esto limita la desviación de fase a valores
pequeños y sus usos a FM de banda angosta.

35. Cont......Tx de Armstrong

36. Cont....Tx. De Armstrong
• Para el Tx de Armstrong y la port. Desplazada en fase V’c y los componentes
mostrados en el diagrama fasorial:
• A) determine la fase de pico de la portadora en radianes y en grados.
• B)Desviación de frecuencia para una frecuencia modulante de 15KHZ.
•
• Desviación de fase de pico es el ídice de modulación y se determina:
0096
.
0
0048
.
0
0048
.
0 =
+
=
+
= lsf
usf
m V
V
V
rad
x
a
m 00096
.
0
180
055
.
0
055
.
0
)
10
/
0096
.
0
tan( 0
=
=
=
=
=


HZ
Khz
x
mf
F m 4
.
14
15
00096
.
0 =
=
=

Mhz
KHZ
x
ft 6
.
1041
200
5208 =
=
Mhz
KHZ
x
f 4
.
14
200
72
1 =
=
=
=
= rad
x
m 06912
.
0
00096
.
0
72
HZ
Hz
x
f 8
.
1036
4
.
14
72 =
=


37. Trasmisor directo de FM
• Tx de Crosby: A la entrada del modulador:
• En la antena: y
Hz
Khz
f 7
.
4166
18
75
=
=
 2778
.
0
15
7
.
4166
=
=

=
Khz
Hz
f
f
m
m
91 ..8 Mhz
5
18
*
2778
.
0 =
=
m
Kc
f 75
=
 5
18
*
2778
.
0 =
=
m

38. Estandares para FM de la FCC

39. Receptor de FM
• Receptor
Limit. Y Ckto de enfasis: Contribuye a una
mejora en S/R
1er. FI: 10.7 Mhz: para un buen rechazo de frec. Imagen
2do FI: 455Khz: Las etapas de FI tienen buena ganancia

40. FM ESTEREO

41. Receptor FM stereo
• Rx.