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PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN
INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL
PROFESOR: JULIO C BARRETO G TRAYECTO I ÁLGEBRA
TEMA I: DESPEJES UNIDADES ACREDITABLES I
ANTECEDENTES HISTÓRICOS
EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y LITERALES
Hasta el siglo XVI, los avances de la Matemática no fueron suficientes, siendo una de las
causas de esta situación, el no contar con símbolos que permitieron a los matemáticos expresar
sus trabajos en forma simple y que facilitaran su lectura. Desde los babilonios (1700 a. de C.)
hasta Diofanto (250 d. de C.) las operaciones se expresaban con el lenguaje ordinario (Período
retórico o verbal). Por ejemplo, en el papiro de Rhind (1650 a. de C.) se puede leer: "Un montón
y un séptimo del mismo es igual a 24". Con la palabra "un montón" designaban la incógnita; Un
par de piernas andando en la dirección de la escritura era el signo (+) y en contra el signo (-).
¿Cómo se escribiría hoy esta ecuación?
Luego, desde Diofanto y hasta comienzos del siglo XVI se comenzaron a utilizar algunas
abreviaturas (Período abreviado o sincopado). Por ejemplo, para expresar la ecuación
,0653 2
 xx tenemos que Regiomontano (1464) escribía: 3 CENSUS ET 6 DEMPTIS 5
REBUS AEQUATUR ZERO mientras que Luca Pacioli (1494) escribía: 3 CENSUS P 6 DE 5
REBUS AE 0 A partir del siglo XVI, con Vieta y Descartes sobre todo, se empezó a utilizar un
lenguaje simbólico muy parecido al actual (Período simbólico).
Por ejemplo, la ecuación anterior era expresada así:
Actualmente, el lenguaje de las Matemáticas es internacional. Se puede desconocer el
idioma en que está escrito un problema, pero la expresión algebraica será la misma que en
cualquier libro español.
En este texto sólo son legibles las letras x e ,y así como la fórmula ,2
xy  (salvo que se
sepa leer japonés). La palabra Álgebra viene del título del libro "Al-jabr w'al_muqabalah", escrito
en Bagdad alrededor del año 825 por el matemático y astrónomo Mohamed ibn-Musa al-
Khwarizmi (hijo de Musa y nativo de Khwarizmi). «Al-jabr» significa transposición y con ello se
hacía referencia al paso de términos de un miembro a otro de la ecuación y «w'al-muqabalah»
significa eliminación y se hacía referencia a la eliminación de términos iguales en los dos
miembros.
TEMA I: DESPEJES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 2 ÁLGEBRA
Así, en la ecuación: xxxx 314532 22
 «Al-jabr» será: xxx 3393 2
 «W'al-
muqabalah» será: .093 2
x A la incógnita la llamaba «sahy» (cosa), nombre que perduró
durante bastante tiempo. El Álgebra se caracteriza por el uso de letras y expresiones literales
sobre las que se hacen operaciones. La posibilidad de representar con una sola letra una infinidad
de valores y el hecho de poder operar con ellas de forma natural y sencilla es lo que la hace ser de
gran utilidad. Al ser el algebraico un lenguaje, tiene unas reglas particulares que hay que
aprender. Así, por ejemplo, es probable que te hayas encontrado con la expresión "8m" y la hayas
traducido por "ocho metros"; en las expresiones algebraicas su significado será "ocho por m" o lo
que es lo mismo "ocho veces m".
Cuando manejamos solamente números (Aritmética), los signos de operaciones indican una
acción cuyo resultado es siempre un número (7 + 6 = 13), sin embargo, cuando tratamos además
con letras(Álgebra) estas operaciones no tienen siempre por qué realizarse sino que se dejan
indicadas (3 + x). Por otra parte, mientras que en el primero de los casos se llega a un resultado
único, en el segundo se expresan todos los resultados posibles, según el valor que demos a x. Otra
"regla" algebraica que has de tener en cuenta es que cuando escribes 35 significa 5 + 3 · 10, sin
embargo cuando escribes "3a" significa "tres por a" o, lo que es lo mismo, "a + a + a" (salvo que
se especifique que "a" es la cifra de las unidades de un número y 3 es la cifra de las centenas). El
signo igual también tiene en muchas ocasiones un significado distinto cuando trabajamos en
Aritmética o en Álgebra. Así, 2 · 6 = 6 + 6 = 2 · (4 + 2) = 6 · (1 + 1) =... aquí el signo igual se
utiliza para expresar de distintas formas varias operaciones que dan todas el mismo resultado, en
cambio, en x + 6 = 10 es cierto sólo para x = 4.
En cuanto a las expresiones literales, cuenta la historia que a mediados del siglo XVI los
estados españoles estaban muy distanciados y para comunicarse sin que sus mensajes pudiesen
ser conocidos por sus enemigos, empleaban una serie de caracteres desconocidos. Durante los
desórdenes de la unión, su código secreto estaba compuesto por unos 500 caracteres diferentes y
aunque sus mensajes eran frecuentemente interceptados, no podían ser descifrados. Mandadas
estas cartas a Vieta las descifró sin mayores problemas. Esto desconcertó a los españoles durante
dos años que pensaron que el rey lo había descubierto a través de un mago. Este mago, que era
solo un matemático, había aplicado sus inventos de escrituras y notaciones matemáticas. Estos
trabajos están publicados en el libro "El Álgebra nueva" donde Vieta muestra el enorme interés
que tiene para las matemáticas (y otras ciencias) el efectuar cálculos con letras en lugar de con
números.
El álgebra nos permite ir del número al símbolo, de una situación particular a una general.
El lenguaje algebraico permite de manera simple, hallar relaciones, propiedades y en
consecuencia, resolver problemas. Las expresiones algebraicas deben operarse convenientemente
con el fin de convertirlas en expresiones equivalentes más sencillas.
Una expresión algebraica es cualquier combinación de números representados por letras o
por letras y cifras vinculadas entre sí por operaciones de suma, resta, multiplicación, división,
potenciación, radicación.
Ejemplos de expresiones algebraicas son:
TEMA II: CÁLCULO DE RAÍCES DE POLINOMIOS Y NÚMEROS COMPLEJOS
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 3 ÁLGRBRA
Únicamente consideraremos expresiones algebraicas en las que estén presentes números
reales. Una de las aplicaciones de expresiones algebraicas es el simbolizar frases:
a) El padre de Carlos tiene triple edad que él: .3yx 
b) La suma de dos números consecutivos es 253: .253 yx
Además, permite expresar fórmulas:
a) El área de un rectángulo de base a y altura b es .abA 
b) Volumen de un cubo de arista a es .3
aV 
c) La velocidad es igual a la velocidad inicial más la aceleración por el tiempo:
.0 atvv 
El signo igual, también tiene significado distinto cuando se trabaja en Aritmética o en
Álgebra:
 En Aritmética:     ,81141324442  el signo igual se emplea
para expresar de distintas formas varias operaciones que dan el mismo resultado.
 En Álgebra: 117 x es verdadero sólo para .4x
Las expresiones algebraicas se utilizan en diversas disciplinas como Matemática, Física,
Química.
Se pueden definir diversas operaciones directas como suma, resta, multiplicación,
potenciación con exponentes naturales, e inversas de éstas como resta, división, radicación. Estas
operaciones se denominan algebraicas para diferenciales de las de no algebraicas o trascendentes,
en éstas últimas intervienen funciones como la exponencial, la logarítmica y las trigonométricas.
En las expresiones algebraicas se observa una parte literal que puede significar:
Variables: cantidades que pueden tomar cualquier valor dentro del conjunto numérico en
que se opera y a las cuales se denotan con las últimas letras del abecedario: r, s, t, u, v, x, y, z. –
Constantes: cantidades fijas pero no especificadas ya sea porque no se conoce su valor o
porque no conviene darlo y se indican con las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d, etc.
Al considerar las operaciones algebraicas a las que se encuentra sometida la/s variables, es
posible clasificarlas del siguiente modo:
TEMA I: DESPEJES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 4 ÁLGEBRA
POLINOMIOS
Pedro Rothe (Petrus Roth), en su libro Arithmetica Philosophica (publicado en 1608),
escribió que una ecuación polinómica de grado n (con coeficientes reales) puede tener n
soluciones. Alberto Girardo, en su libro L'invention nouvelle en l'Algebre (publicado en 1629),
aseveró que una ecuación de grado n tiene n soluciones, pero no menciona que dichas
soluciones deban ser números reales. Más aún, él agrega que su aseveración es válida "salvo que
la ecuación sea incompleta", con lo que quiere decir que ninguno de los coeficientes del
polinomio sea igual a cero.
Sin embargo, cuando explica en detalle a qué se está refiriendo, se hace evidente que el
autor piensa que la aseveración siempre es cierta; en particular, muestra que la
ecuación: .344
 xx A pesar de ser incompleta, tiene las siguientes cuatro soluciones (la raíz
1 tiene multiplicidad 2): 21,1,1 i y .21 i Leibniz en 1702 y más tarde Nikolaus
Bernoulli, conjeturaron lo contrario.
Como se mencionará de nuevo más adelante, se sigue del teorema fundamental del álgebra
que todo polinomio con coeficientes reales y de grado mayor que cero se puede escribir como un
producto de polinomios con coeficientes reales del cual sus grados son 1 ó 2. De todas formas, en
1702 Leibniz dijo que ningún polinomio de tipo
44
ax  (con a real y distinto de 0) se puede
escribir en tal manera. Luego, Nikolaus Bernoulli hizo la misma afirmación concerniente al
polinomio ,4424 234
 xxxx , pero recibió una carta de Euler en 1742 en el que le decía
que su polinomio pasaba a ser igual a:
       712712 22
xxxx
Con  igual a raíz cuadrada de .724  Igualmente mencionó que:
  222244
22 axaxaxaxax 
El primer intento que se hizo para demostrar el teorema lo hizo d'Alembert en 1746. Su
demostración tenía un fallo, en tanto que asumía implícitamente como cierto un teorema
(actualmente conocido como el teorema de Puiseux) que no sería demostrado hasta un siglo más
tarde. Entre otros Euler (1749), de Foncenex (1759), Lagrange (1772) y Laplace (1795)
intentaron demostrar este teorema. A finales del siglo XVIII, se presentaron dos nuevas pruebas,
una por James Wood y otra por Gauss (1799), pero ambas igualmente incorrectas. Finalmente,
en 1806 Argand publicó una prueba correcta para el teorema, enunciando el teorema fundamental
del álgebra para polinomios con coeficientes complejos. Gauss produjo otro par de
demostraciones en 1816 y 1849, siendo esta última otra versión de su demostración original.
TEMA II: CÁLCULO DE RAÍCES DE POLINOMIOS Y NÚMEROS COMPLEJOS
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 5 ÁLGRBRA
El primer libro de texto que contiene la demostración de este teorema fue escrito
por Cauchy. Se trata de Course d'anlyse de l'École Royale Polytechnique (1821). La prueba es la
debida a Argand, pero sin embargo en el texto no se le da crédito. Ninguna de las pruebas
mencionadas más arriba son constructivas.
Es Weierstrass quien por primera vez, a mediados del siglo XIX, menciona el problema de
encontrar una prueba constructiva del teorema fundamental del álgebra. En 1891 publica una
demostración de este tipo. En 1940 Hellmuth Knesser consigue otra prueba de este estilo, que
luego sería simplificada por su hijo Marin Kneser en 1981.
Ahora bien, en matemáticas, un polinomio (del griego, «poli»-muchos y «νόμος»- división,
y el latín «binomius») es una expresión constituida por un conjunto finito de variables (no
determinadas o desconocidas) y constantes (números fijos llamados coeficientes), utilizando
únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como exponentes
enteros positivos. En otras palabras, un polinomio es una combinación lineal de productos de
potencias enteras de una o de varias indeterminadas. Es frecuente el término polinomial, como
adjetivo, para designar cantidades que se pueden expresar como polinomios de algún parámetro,
como por ejemplo en tiempo polinomial.
POLINOMIOS DE UNA VARIABLE
Para , a,a n0 constantes en algún conjunto de los números racionales (en cuyo caso
los coeficientes del polinomio serán números) con an distinto de cero y ,Nn entonces un
polinomio ,P de grado n en la variable x es un objeto o expresión de la forma:
  0
0
1
1
1
1 xaxaxaxaxP n
n
n
n  
 
Las constantes , a,a n0 se llaman los coeficientes del polinomio. A 0a se le llama el
coeficiente constante (o término independiente) y a ,an el coeficiente principal.
Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normado.
POLINOMIOS DE VARIAS VARIABLES
Los polinomios de varias variables, a diferencia de los de una variable, tienen en total más
de una variable.
Por ejemplo los monomios:       .2,,,3,,5, 232
zxyzyxRzxxzQxyyxP 
En detalle el último de ellos   23
2,, zxyzyxR  es un monomio de tres variables (ya
que en él aparecen las tres letras ,x ,y z ), el coeficiente es 2, y los exponentes son 1, 3 y 2 de
,x ,y z respectivamente.
TEMA I: DESPEJES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 6 ÁLGEBRA
GRADO DE UN POLINOMIO
Se define el grado de un monomio como el mayor exponente de su variable. El grado de un
polinomio es el del monomio de mayor grado.
Ejemplos:
   ,=xP 2 es un polinomio de grado cero (el polinomio solo consta del término
independiente).
   ,x +=xP 23 es un polinomio de grado uno.
   ,x+x=xP 22
23 es un polinomio de grado dos.
   ,x ++x=xP 232 2
es un polinomio de grado dos.
CLASIFICACIÓN DE POLINOMIOS SEGÚN EL GRADO
a) DE GRADO CERO: Es el de la forma:   =k,xP donde k es un número real. La
variable en este caso se dice que esta elevada a la potencia cero. Ejemplos:
  ,=xP 4   ,=yP
3
1
   ,=zP
6
1
  =wP .2
b) DE PRIMER GRADO O LINEAL: Es el polinomio de la forma:   b,=mxxP  donde
m y b son números reales, x es la variable con exponente uno. Ejemplos:
  ,x=xP 63    x=xP .4
En dos variables:   yx=yxP .32, 
En tres variables:   abc=cbaP .2,,
.
c) DE SEGUNDO GRADO O CUADRÁTICO: Es el polinomio de la forma:
  cbx=axxP ,2
 donde ba, y c son números reales, la x es la variable con
exponente máximo 2. Ejemplos:
  ,xx=xP 632 2
   ,x=xP 43 2
   x,x=xP 65 2
   .2 2
x=xP
En dos variables:
TEMA II: CÁLCULO DE RAÍCES DE POLINOMIOS Y NÚMEROS COMPLEJOS
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 7 ÁLGRBRA
  yxy=xyxP .2, 22

También hay polinomios de tercer grado, cuarto, quinto, etc. Y es determinado por el
mayor exponente de la variable.
CLASIFICACIÓN DE POLINOMIOS POR EL NÚMERO DE TÉRMINOS
a) MONOMIO: Es un polinomio que consta de un sólo monomio o termino.
  x=xP 2
2
b) BINOMIO: Es un polinomio que consta de dos monomios.
  x+x=xP 32 2
c) TRINOMIO: Es un polinomio que consta de tres monomios.
  132 2
x+x=xP
d) Si la expresión consta de cuatro términos o más, se le llama comúnmente POLINOMIO.
Por ejemplo:
  xx +-x-=xP 23
3254
En dos variables:
  432234
2532 + yxy-yxy -x+x=x,yP
TÉRMINOS SEMEJANTES
Llamaremos términos semejantes a todos aquellos que difieren solo en sus coeficientes pero
que tiene exactamente el mismo factor literal. Así por ejemplo:
ba,b yb,- aa 222
536
Son términos semejantes.
Ahora bien, si en un polinomio aparecen varios términos semejantes, se deben reducir
para trabajar en forma más simplificada y ordenada.
TEMA I: DESPEJES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 8 ÁLGEBRA
Reducir los términos semejantes en el siguiente polinomio:
  yyxxyyx+xy+x+xyx=x, yP 32234223
22232642 
VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO
El valor numérico de un polinomio es el nombre que resulta de sustituir la indeterminada
x por el número y efectuar las operaciones indicadas a la expresión del polinomio. Ejemplo,
consideremos el polinomio:   .x ++x+xxP 2323 23
 Y calculando el valor numérico
para ;x = -2 tenemos:
       
 
  .202
.268242
.22322232
23
= --P
+-+= --P
+-+-+-=-P
IDENTIDAD DE POLINOMIOS
Dos polinomios de la misma indeterminada son idénticos si tienen iguales los coeficientes
del mismo grado.
CÁLCULO DE RAÍCES DE POLINOMIOS
DESPEJE DIRECTO: Esto se basa en la transposición de términos en una ecuación.
Comúnmente es denominado despeje de manera física. Y se cambian al cambiar de los lados del
miembro de una ecuación las operaciones básicas ( , ) por sus respectivas opuesta e inversa
multiplicativa ( , ), además la potenciación y su inversa la radicación y viceversa. En general
existen más operaciones o funciones inversas para cada una de las funciones definidas, lo cual va
a depender del dominio de definición. Vea los ejemplos:
  16445995
4822424
2
222
2
222
2
4
4
16
16431941934
22



xxxxx
xx
xxx
xxxxx
TEMA II: CÁLCULO DE RAÍCES DE POLINOMIOS Y NÚMEROS COMPLEJOS
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 9 ÁLGRBRA
   
399
125553223
22
33
3333


xxx
xxxxx
FACTOR COMÚN DE UN MONOMIO: Veamos geométricamente la Figura:
Figura: Acepción geométrica de la Factorización sacando Factor Común, la cual tiene relación
con la propiedad distributiva del producto respecto a la adición asociada algebraicamente.
De lo geométrico obtenemos que:
 .baccbca 
Ejemplos de Sacar Factor común:
1. Buscamos el factor común de a2 y .4 Como el factor común de a2 y 4 es ,2
procedemos a factorizarlo:
 2242
22242


aa
aa
Notemos que en cierto sentido aquí existe una descomposición de los factores de cada
sumando:
aa
a 2
1
2
2
2
1
2
4
Luego, el factor común es el 2 y los términos que van en el paréntesis y que llevan el
signo de la suma son una a y un 2 en ese mismo orden.
TEMA I: DESPEJES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 10 ÁLGEBRA
2. Buscamos el factor común de
32
543 a+aa + . Como el factor común de ,3a 2
4a y
3
5a es ,a procedemos a factorizarlo.
 .543543
543543
232
232
aa+aaaa +
aaaaa +aaa +


Notemos que en cierto sentido aquí existe una descomposición de los factores de cada
sumando:
aa
a 3
1
3
a
a
a
a
a
a
2
2
1
2
4
2
2
2
a
a
a
a
a
a
a 5
1
5
2
3
3
Luego, el factor común es la a y los términos que van en el paréntesis y que llevan el
signo de la suma o de la resta son el producto de los restantes que son un ,3 a4 y
2
5a en ese
mismo orden.
RESOLVENTE CUADRÁTICO
En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función
polinómica definida como: .2
cbxaxy  Una función cuadrática es aquella que puede
escribirse de la forma:   .2
cbxaxxf  Donde ba, y c c son números reales cualquiera y
a distinto de cero ya que si es cero nunca será una parábola.
Este tipo de funciones tiene como característica que cuando 0a el vértice de
la parábola se encuentra en la parte inferior de la misma y cuando 0a el vértice se encuentra
en la parte superior. La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es
una parábola, cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas.
La parábola se abrirá hacia arriba si el signo de a es positivo, y hacia abajo en caso
contrario. El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy
diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico.
TEMA II: CÁLCULO DE RAÍCES DE POLINOMIOS Y NÚMEROS COMPLEJOS
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 11 ÁLGRBRA
Por ejemplo, sea la función ,822
 xxy verificar que los puntos de cortes con el eje
son: 21 x y ,42 x y con el eje y es el punto ,8y de acuerdo con la grafica de abajo:
Gráficas de la función cuadrática.
RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA
Las raíces (o ceros) de una función cuadrática, como en toda función, son los valores de ,x
para los cuales   .0xf
ECUACIONES INCOMPLETAS
a) 02
ax 000
0 22
 xx
a
x
b) 02
 cax
a
c
x
a
c
xcax



 22
c) 02
 bxax
 
a
b
xx
baxx
baxx



o0
0o0
común)factor(Sacando0
TEMA I: DESPEJES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 12 ÁLGEBRA
ECUACIONES COMPLETAS
Por tratarse de un polinomio de grado 2, habrá a lo sumo 2 raíces, denotadas habitualmente
como: 1x y 2x dependiendo del valor del discriminante  definido como .42
acb 
 Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo:
a
b
x
2
1

 y
a
b
x
2
2


 Una solución real doble si el discriminante es cero:
a
b
xx
2
21


 Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo:
a
i
a
b
x
22
1



 y
a
i
a
b
x
22
2




REPRESENTACIÓN ANALÍTICA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Hay tres formas de escribir una función cuadrática, aplicables según el uso que se le quiera
dar a la función, un estudio analítico de la función o de la ecuación cuadrática, una interpretación
o construcción geométrica de la parábola, etc.
FORMA DESARROLLADA
La forma desarrollada de una función cuadrática (o forma estándar) corresponde a la del
polinomio de segundo grado, escrito convencionalmente como:
  cbxaxxf  2
con .0a
TEMA II: CÁLCULO DE RAÍCES DE POLINOMIOS Y NÚMEROS COMPLEJOS
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 13 ÁLGRBRA
FORMA FACTORIZADA
Toda función cuadrática se puede escribir en forma factorizada en función de sus raíces
como:     .21 xxxxaxf  Siendo a el coeficiente principal de la función, y 1x , 2x las
raíces de  .xf
En el caso de que el discriminante  sea igual a 0 entonces 21 xx  por lo que la
factorización adquiere la forma:
    .
2
1xxaxf 
En este caso a 1x se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2. Si el
discriminante es negativo, las soluciones son complejas.
Ejemplos:
1. Para resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas no es necesario
aplicar la fórmula dada.
 042
 xx    04 xx Sacando Factor Común.
Sus soluciones son: 0x ó 04 x . O bien 0x ó .4x .
 092
x     033  xx Por Diferencia de Cuadrado.
Sus soluciones son: 03 x ó 03 x . O bien 3x ó .3x
También es posible hallar la solución despejando directamente:
092
x  92
x  9x  .3x
 042
x no tiene soluciones reales (No existe la Suma de Cuadrados).
Es decir al despejar tenemos que: 042
x  42
x lo cual no es posible en .R
 01920
3000
2


x
 019203000 2
 x 
1920
30002
x  25,1
1920
3000
x
TEMA I: DESPEJES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 14 ÁLGEBRA
 La ecuación 0642 2
 xx tiene dos soluciones dadas por:
   
4
84
4
644
4
48164
6,4,2con,
22
62444
2










x
x
x
cbax
De aquí tenemos las dos siguientes raíces:
1
4
4
4
84
1 

x y 3
4
12
4
84
2 



x
Entonces,
)1)(3(2642 2
 xxxx .
 La ecuación 0442
 xx sólo tiene una solución doble, 2x (Comprobarlo).
Luego,
22
)2(44  xxx .
 La ecuación 0642
 xx no tiene soluciones reales (Comprobarlo).
ECUACIONES BICUADRADAS
Son ecuaciones del tipo 4 2
0ax bx c   .. Se puede transformar en una ecuación de
segundo grado cambiando 2
x y y 4 2
x y , de esta manera nos queda una ecuación de segundo
grado. Por ejemplo:
03613 24
 xx
TEMA II: CÁLCULO DE RAÍCES DE POLINOMIOS Y NÚMEROS COMPLEJOS
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 15 ÁLGRBRA
Cambiamos yxyx  224
, y nos queda una ecuación de segundo orden:
036132
 yy
Que resolviendo nos queda:
   
2
513
2
2513
2
14416913
12
36141313
2









y
y
y
y
De aquí tenemos las dos siguientes raíces:
9
2
18
2
513
1 

y y 4
2
8
2
513
2 

y
Y sustituyéndolas en el cambio de variable:
2
1
2
2
9 9 3
4 4 2
y x x
y x x
      
      
Que son las cuatro soluciones de la ecuación. (Normalmente suelen salir soluciones reales
y enteras, pero puede ocurrir que no sean enteras o incluso no tenga solución real)
Ejercicios: Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:
b) 0910 24
 xx
c) 03613 24
 xx
d) 0154 24
 xx
TEMA I: DESPEJES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 16 ÁLGEBRA
RUFFINI: DIVISIÓN POR  x Y ESQUEMA DE RUFFINI
Es el caso en particular de que    , xxD la división queda planteada en los
siguientes términos:        x+ RxQx=xP 
Demostración: Ejercicio.
Esta regla se aplica en general para dividir un P(x) entre un divisor que tenga o adopte las
siguientes formas: ;bx  ;bax  y .baxn

 Cuando su forma general es: bx  se opera así:
1. Se escriben los coeficientes del dividendo en línea horizontal;
2. Se escribe el término independiente del divisor, con signo cambiado, un lugar a la
izquierda y abajo del coeficiente del primer término del dividendo;
3. Se divide teniendo presente que el primer coeficiente del cociente es igual al
primer coeficiente del dividendo.
4. Para obtener el cociente, se separa la última columna que viene a ser el resto.
Ejemplo: Obtener el cociente y el resto en la división:
1
232 45


x
xxx
Solución: Escribimos los coeficientes en el cuadro (completamos con ceros los términos
que faltan):
Entonces:   xxxxxQ 2234
 (cociente obtenido) y   0xR (residuo
obtenido). 6520entonces,0Si 23
 xxxy
Por división sintética: Los factores de 6 son: .6,3,2,1  Usemos Ruffini:
Cocientes del dividendo
1 2 0 0 3 2
- 1 -1 -1 1 -1 - 2
1 1 -1 1 2 0
Coeficiente del cociente Resto
Termino
Independiente
del divisor con
signo
cambiado.
1 -2 -5 6
1 1
1
-1
-1
-6
-6
0
TEMA II: CÁLCULO DE RAÍCES DE POLINOMIOS Y NÚMEROS COMPLEJOS
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 17 ÁLGRBRA
Por lo tanto, f tiene un factor de la forma x-1.
)6()1(652)( 223
 xxxxxxxf
El factor 62
 xx , puede descomponerse en:
)2()3(62
 xxxx
Finalmente: .0)2()3()1(,decires,0652entonces,0Si 23
 xxxxxxy Los
valores de x por despeje directo son:
202
303
101



xx
xx
xx
La curva corta al eje x en los puntos: (-2, 0), (1, 0) y (3, 0)
Ejemplo: 16246 234
x++xx+x 
El posible valor de la raíz deber ser divisor del término independiente es este caso 16 tiene
por divisor 1, 2, 3, 4, 8,16. Cualquiera de ellos puede ser el que haga cero la expresión.
Para dividir en forma sintética, tomamos los coeficientes del polinomio y dividimos para
los divisores de 16.
Probamos con 2: Si 16246 234
x++xx+x  , Sus coeficientes en orden son:
1 6 1 -24 16 2
2 16 34 20
1 8 17 10 36 NO
1 6 1 -24 16 -4
-4 -8 28 -16
1 2 -7 4 0 SI
1. Bajas el primer cociente y
multiplicas por el divisor. Ubicas
bajo el 2do.cociente para sumar
o restar según sea el caso
2. Multiplicas por el divisor y
ubicas bajo el 3er.coeficiente y
así sucesivamente hasta terminar
todos los coeficientes
3. Compruebas que la operación
con el ultimo coeficiente te de
cero caso contrario busca otro
divisor y vuelve a intentar
TEMA I: DESPEJES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 18 ÁLGEBRA
Coeficientes resultantes   4472 23
xx+-x+x
Volvemos a dividir:
1 2 -7 4 1
1 3 -4
1 3 -4 0 SI
   41432
 xxxx
    4114  xxxx
   22
14  xx
Comprobación como nos dio cero cuando a =-4 reemplazamos en el polinomio original.
       
0169616384256
16424446416246
234234

x+-+xx+x
Es lo que debe suceder
Ejemplo 2: 233
 xx
1 0 -3 -2 1
1 1 -2
1 1 -2 -4 NO
1 0 -3 -2 -1
-1 +1 +2
1 -1 -1 0 SI
  122
 xxx y el trinomio es de la 2da. Forma    112  xxx
4. Si obtienes cero entonces ese
divisor es el valor de la variable
y para que sea cero el factor será
con el signo contrario
En nuestro caso nos salió para
-4 entonces el factor es (x+4)
5. El polinomio se factora
entonces disminuyendo un grado
al polinomio inicial tomando los
coeficientes resultantes.
Debes cuidar los espacios
correspondientes de los
exponentes en este caso no existe
x2
en su lugar ponemos cero
TEMA II: CÁLCULO DE RAÍCES DE POLINOMIOS Y NÚMEROS COMPLEJOS
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 19 ÁLGRBRA
Comprobación:     .0231213123
33
 xx
Ejercicios: Factorizar aplicando la Regla De Ruffini.
1) 8126 23
x++x+x
2) 3613 24
+yy 
3) 281323
 aaa
4) Determinar cociente y resto de dividir:
   93522 234
x +x+xxxP  entre    .2 xxD
   5323 234
x +x+xxxP  entre    .1 xxD
 Dado   ,322 234
ax +x+xxxP  determinar “a” para que al dividirlo entre
   2 xxD dé por resto 5
OBSERVACIONES:
a. Cuando su forma general es: .bax 
1. Se transforma el divisor, extrayendo factor común, el primer término del divisor,
es decir : 






a
b
xabax
2. Se divide entre ,






a
b
x como en el primer caso.
3. Los coeficientes del cociente obtenido se dividen entre el primer coeficiente del divisor.
4. El resto obtenido no sufre alteración.
b. Cuando el divisor es de la forma: .baxn
 En este caso para que la división se pueda
efectuar los exponentes de la variable del dividendo, deben ser múltiplos del exponente de la
variable del divisor
VARIABLES EN EXPRESIONES NO POLINÓMICAS
ECUACIÓN TRASCENDENTE
Una ecuación trascendente es una igualdad entre dos expresiones matemáticas en las que
aparecen una o más incógnitas relacionadas mediante operaciones matemáticas, que no son
únicamente algebraicas, y cuya solución no puede obtenerse empleando solo las herramientas
propias del álgebra. Por ejemplo, las ecuaciones siguientes   .1log,1,21 2  xxsenex
Así mismo, una ecuación que no se reduce a una ecuación algebraica mediante
transformaciones algebraicas se denomina ECUACIÓN TRASCENDENTE.
TEMA I: DESPEJES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 20 ÁLGEBRA
ECUACIONES FÍSICAS
CINEMÁTICA Y DINÁMICA
M.R.U. t
d
v 
M.R.U.V. t
vv
a
if 

;
tavv if 
;
2
··
·
2
ta
tvd i 
davv if  222
CAÍDA LIBRE:
tgvv if 
;
2
2
tg
tvh i


;
hgvv if  222
Si no existe velocidad inicial. vi= 0
tgvf  2
2
tg
h


hgvf  22
TIRO VERTICAL:
tgvv if 
;
2
2
tg
tvh i


;
hgvv if  222
En altura máxima (hmax) g
v
t i
hmax 
g
v
h i
max
2
2

DINÁMICA:
F m a  P m g  cosFr N   · µ
FUERZA GRAVITATORIA: ;2
21
ru
r
mm
GF



 2
211-
Kg
mNew106.67= G
FUERZA ENTRE CARGAS LEY DE COULOMB: ;20 ru
r
qQ
KF




0
0
4
1

K
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 Baldor, A. “Álgebra”. Distribuidora Cultural Venezolana S.A.
 Barreto, J. (2014). La recta numérica y el plano cartesiano: Un estudio desde los números
naturales hasta los números complejos. Colección de Secundaria. (6).
https://www.createspace.com/5137020
 Tom Apóstol. (2005). Calculus. Cálculo con funciones de varias variables y álgebra lineal,
con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades. Editorial Reverté.
INTERNET: http://es.numberempire.com/equationsolver.php (Para calcular las raíces).
Px=P·sen
α
α
N=P·cos
αP

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  • 1. PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL PROFESOR: JULIO C BARRETO G TRAYECTO I ÁLGEBRA TEMA I: DESPEJES UNIDADES ACREDITABLES I ANTECEDENTES HISTÓRICOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y LITERALES Hasta el siglo XVI, los avances de la Matemática no fueron suficientes, siendo una de las causas de esta situación, el no contar con símbolos que permitieron a los matemáticos expresar sus trabajos en forma simple y que facilitaran su lectura. Desde los babilonios (1700 a. de C.) hasta Diofanto (250 d. de C.) las operaciones se expresaban con el lenguaje ordinario (Período retórico o verbal). Por ejemplo, en el papiro de Rhind (1650 a. de C.) se puede leer: "Un montón y un séptimo del mismo es igual a 24". Con la palabra "un montón" designaban la incógnita; Un par de piernas andando en la dirección de la escritura era el signo (+) y en contra el signo (-). ¿Cómo se escribiría hoy esta ecuación? Luego, desde Diofanto y hasta comienzos del siglo XVI se comenzaron a utilizar algunas abreviaturas (Período abreviado o sincopado). Por ejemplo, para expresar la ecuación ,0653 2  xx tenemos que Regiomontano (1464) escribía: 3 CENSUS ET 6 DEMPTIS 5 REBUS AEQUATUR ZERO mientras que Luca Pacioli (1494) escribía: 3 CENSUS P 6 DE 5 REBUS AE 0 A partir del siglo XVI, con Vieta y Descartes sobre todo, se empezó a utilizar un lenguaje simbólico muy parecido al actual (Período simbólico). Por ejemplo, la ecuación anterior era expresada así: Actualmente, el lenguaje de las Matemáticas es internacional. Se puede desconocer el idioma en que está escrito un problema, pero la expresión algebraica será la misma que en cualquier libro español. En este texto sólo son legibles las letras x e ,y así como la fórmula ,2 xy  (salvo que se sepa leer japonés). La palabra Álgebra viene del título del libro "Al-jabr w'al_muqabalah", escrito en Bagdad alrededor del año 825 por el matemático y astrónomo Mohamed ibn-Musa al- Khwarizmi (hijo de Musa y nativo de Khwarizmi). «Al-jabr» significa transposición y con ello se hacía referencia al paso de términos de un miembro a otro de la ecuación y «w'al-muqabalah» significa eliminación y se hacía referencia a la eliminación de términos iguales en los dos miembros.
  • 2. TEMA I: DESPEJES PROFESOR: JULIO C BARRETO G 2 ÁLGEBRA Así, en la ecuación: xxxx 314532 22  «Al-jabr» será: xxx 3393 2  «W'al- muqabalah» será: .093 2 x A la incógnita la llamaba «sahy» (cosa), nombre que perduró durante bastante tiempo. El Álgebra se caracteriza por el uso de letras y expresiones literales sobre las que se hacen operaciones. La posibilidad de representar con una sola letra una infinidad de valores y el hecho de poder operar con ellas de forma natural y sencilla es lo que la hace ser de gran utilidad. Al ser el algebraico un lenguaje, tiene unas reglas particulares que hay que aprender. Así, por ejemplo, es probable que te hayas encontrado con la expresión "8m" y la hayas traducido por "ocho metros"; en las expresiones algebraicas su significado será "ocho por m" o lo que es lo mismo "ocho veces m". Cuando manejamos solamente números (Aritmética), los signos de operaciones indican una acción cuyo resultado es siempre un número (7 + 6 = 13), sin embargo, cuando tratamos además con letras(Álgebra) estas operaciones no tienen siempre por qué realizarse sino que se dejan indicadas (3 + x). Por otra parte, mientras que en el primero de los casos se llega a un resultado único, en el segundo se expresan todos los resultados posibles, según el valor que demos a x. Otra "regla" algebraica que has de tener en cuenta es que cuando escribes 35 significa 5 + 3 · 10, sin embargo cuando escribes "3a" significa "tres por a" o, lo que es lo mismo, "a + a + a" (salvo que se especifique que "a" es la cifra de las unidades de un número y 3 es la cifra de las centenas). El signo igual también tiene en muchas ocasiones un significado distinto cuando trabajamos en Aritmética o en Álgebra. Así, 2 · 6 = 6 + 6 = 2 · (4 + 2) = 6 · (1 + 1) =... aquí el signo igual se utiliza para expresar de distintas formas varias operaciones que dan todas el mismo resultado, en cambio, en x + 6 = 10 es cierto sólo para x = 4. En cuanto a las expresiones literales, cuenta la historia que a mediados del siglo XVI los estados españoles estaban muy distanciados y para comunicarse sin que sus mensajes pudiesen ser conocidos por sus enemigos, empleaban una serie de caracteres desconocidos. Durante los desórdenes de la unión, su código secreto estaba compuesto por unos 500 caracteres diferentes y aunque sus mensajes eran frecuentemente interceptados, no podían ser descifrados. Mandadas estas cartas a Vieta las descifró sin mayores problemas. Esto desconcertó a los españoles durante dos años que pensaron que el rey lo había descubierto a través de un mago. Este mago, que era solo un matemático, había aplicado sus inventos de escrituras y notaciones matemáticas. Estos trabajos están publicados en el libro "El Álgebra nueva" donde Vieta muestra el enorme interés que tiene para las matemáticas (y otras ciencias) el efectuar cálculos con letras en lugar de con números. El álgebra nos permite ir del número al símbolo, de una situación particular a una general. El lenguaje algebraico permite de manera simple, hallar relaciones, propiedades y en consecuencia, resolver problemas. Las expresiones algebraicas deben operarse convenientemente con el fin de convertirlas en expresiones equivalentes más sencillas. Una expresión algebraica es cualquier combinación de números representados por letras o por letras y cifras vinculadas entre sí por operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación. Ejemplos de expresiones algebraicas son:
  • 3. TEMA II: CÁLCULO DE RAÍCES DE POLINOMIOS Y NÚMEROS COMPLEJOS PROFESOR: JULIO C BARRETO G 3 ÁLGRBRA Únicamente consideraremos expresiones algebraicas en las que estén presentes números reales. Una de las aplicaciones de expresiones algebraicas es el simbolizar frases: a) El padre de Carlos tiene triple edad que él: .3yx  b) La suma de dos números consecutivos es 253: .253 yx Además, permite expresar fórmulas: a) El área de un rectángulo de base a y altura b es .abA  b) Volumen de un cubo de arista a es .3 aV  c) La velocidad es igual a la velocidad inicial más la aceleración por el tiempo: .0 atvv  El signo igual, también tiene significado distinto cuando se trabaja en Aritmética o en Álgebra:  En Aritmética:     ,81141324442  el signo igual se emplea para expresar de distintas formas varias operaciones que dan el mismo resultado.  En Álgebra: 117 x es verdadero sólo para .4x Las expresiones algebraicas se utilizan en diversas disciplinas como Matemática, Física, Química. Se pueden definir diversas operaciones directas como suma, resta, multiplicación, potenciación con exponentes naturales, e inversas de éstas como resta, división, radicación. Estas operaciones se denominan algebraicas para diferenciales de las de no algebraicas o trascendentes, en éstas últimas intervienen funciones como la exponencial, la logarítmica y las trigonométricas. En las expresiones algebraicas se observa una parte literal que puede significar: Variables: cantidades que pueden tomar cualquier valor dentro del conjunto numérico en que se opera y a las cuales se denotan con las últimas letras del abecedario: r, s, t, u, v, x, y, z. – Constantes: cantidades fijas pero no especificadas ya sea porque no se conoce su valor o porque no conviene darlo y se indican con las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d, etc. Al considerar las operaciones algebraicas a las que se encuentra sometida la/s variables, es posible clasificarlas del siguiente modo:
  • 4. TEMA I: DESPEJES PROFESOR: JULIO C BARRETO G 4 ÁLGEBRA POLINOMIOS Pedro Rothe (Petrus Roth), en su libro Arithmetica Philosophica (publicado en 1608), escribió que una ecuación polinómica de grado n (con coeficientes reales) puede tener n soluciones. Alberto Girardo, en su libro L'invention nouvelle en l'Algebre (publicado en 1629), aseveró que una ecuación de grado n tiene n soluciones, pero no menciona que dichas soluciones deban ser números reales. Más aún, él agrega que su aseveración es válida "salvo que la ecuación sea incompleta", con lo que quiere decir que ninguno de los coeficientes del polinomio sea igual a cero. Sin embargo, cuando explica en detalle a qué se está refiriendo, se hace evidente que el autor piensa que la aseveración siempre es cierta; en particular, muestra que la ecuación: .344  xx A pesar de ser incompleta, tiene las siguientes cuatro soluciones (la raíz 1 tiene multiplicidad 2): 21,1,1 i y .21 i Leibniz en 1702 y más tarde Nikolaus Bernoulli, conjeturaron lo contrario. Como se mencionará de nuevo más adelante, se sigue del teorema fundamental del álgebra que todo polinomio con coeficientes reales y de grado mayor que cero se puede escribir como un producto de polinomios con coeficientes reales del cual sus grados son 1 ó 2. De todas formas, en 1702 Leibniz dijo que ningún polinomio de tipo 44 ax  (con a real y distinto de 0) se puede escribir en tal manera. Luego, Nikolaus Bernoulli hizo la misma afirmación concerniente al polinomio ,4424 234  xxxx , pero recibió una carta de Euler en 1742 en el que le decía que su polinomio pasaba a ser igual a:        712712 22 xxxx Con  igual a raíz cuadrada de .724  Igualmente mencionó que:   222244 22 axaxaxaxax  El primer intento que se hizo para demostrar el teorema lo hizo d'Alembert en 1746. Su demostración tenía un fallo, en tanto que asumía implícitamente como cierto un teorema (actualmente conocido como el teorema de Puiseux) que no sería demostrado hasta un siglo más tarde. Entre otros Euler (1749), de Foncenex (1759), Lagrange (1772) y Laplace (1795) intentaron demostrar este teorema. A finales del siglo XVIII, se presentaron dos nuevas pruebas, una por James Wood y otra por Gauss (1799), pero ambas igualmente incorrectas. Finalmente, en 1806 Argand publicó una prueba correcta para el teorema, enunciando el teorema fundamental del álgebra para polinomios con coeficientes complejos. Gauss produjo otro par de demostraciones en 1816 y 1849, siendo esta última otra versión de su demostración original.
  • 5. TEMA II: CÁLCULO DE RAÍCES DE POLINOMIOS Y NÚMEROS COMPLEJOS PROFESOR: JULIO C BARRETO G 5 ÁLGRBRA El primer libro de texto que contiene la demostración de este teorema fue escrito por Cauchy. Se trata de Course d'anlyse de l'École Royale Polytechnique (1821). La prueba es la debida a Argand, pero sin embargo en el texto no se le da crédito. Ninguna de las pruebas mencionadas más arriba son constructivas. Es Weierstrass quien por primera vez, a mediados del siglo XIX, menciona el problema de encontrar una prueba constructiva del teorema fundamental del álgebra. En 1891 publica una demostración de este tipo. En 1940 Hellmuth Knesser consigue otra prueba de este estilo, que luego sería simplificada por su hijo Marin Kneser en 1981. Ahora bien, en matemáticas, un polinomio (del griego, «poli»-muchos y «νόμος»- división, y el latín «binomius») es una expresión constituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (números fijos llamados coeficientes), utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como exponentes enteros positivos. En otras palabras, un polinomio es una combinación lineal de productos de potencias enteras de una o de varias indeterminadas. Es frecuente el término polinomial, como adjetivo, para designar cantidades que se pueden expresar como polinomios de algún parámetro, como por ejemplo en tiempo polinomial. POLINOMIOS DE UNA VARIABLE Para , a,a n0 constantes en algún conjunto de los números racionales (en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con an distinto de cero y ,Nn entonces un polinomio ,P de grado n en la variable x es un objeto o expresión de la forma:   0 0 1 1 1 1 xaxaxaxaxP n n n n     Las constantes , a,a n0 se llaman los coeficientes del polinomio. A 0a se le llama el coeficiente constante (o término independiente) y a ,an el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normado. POLINOMIOS DE VARIAS VARIABLES Los polinomios de varias variables, a diferencia de los de una variable, tienen en total más de una variable. Por ejemplo los monomios:       .2,,,3,,5, 232 zxyzyxRzxxzQxyyxP  En detalle el último de ellos   23 2,, zxyzyxR  es un monomio de tres variables (ya que en él aparecen las tres letras ,x ,y z ), el coeficiente es 2, y los exponentes son 1, 3 y 2 de ,x ,y z respectivamente.
  • 6. TEMA I: DESPEJES PROFESOR: JULIO C BARRETO G 6 ÁLGEBRA GRADO DE UN POLINOMIO Se define el grado de un monomio como el mayor exponente de su variable. El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado. Ejemplos:    ,=xP 2 es un polinomio de grado cero (el polinomio solo consta del término independiente).    ,x +=xP 23 es un polinomio de grado uno.    ,x+x=xP 22 23 es un polinomio de grado dos.    ,x ++x=xP 232 2 es un polinomio de grado dos. CLASIFICACIÓN DE POLINOMIOS SEGÚN EL GRADO a) DE GRADO CERO: Es el de la forma:   =k,xP donde k es un número real. La variable en este caso se dice que esta elevada a la potencia cero. Ejemplos:   ,=xP 4   ,=yP 3 1    ,=zP 6 1   =wP .2 b) DE PRIMER GRADO O LINEAL: Es el polinomio de la forma:   b,=mxxP  donde m y b son números reales, x es la variable con exponente uno. Ejemplos:   ,x=xP 63    x=xP .4 En dos variables:   yx=yxP .32,  En tres variables:   abc=cbaP .2,, . c) DE SEGUNDO GRADO O CUADRÁTICO: Es el polinomio de la forma:   cbx=axxP ,2  donde ba, y c son números reales, la x es la variable con exponente máximo 2. Ejemplos:   ,xx=xP 632 2    ,x=xP 43 2    x,x=xP 65 2    .2 2 x=xP En dos variables:
  • 7. TEMA II: CÁLCULO DE RAÍCES DE POLINOMIOS Y NÚMEROS COMPLEJOS PROFESOR: JULIO C BARRETO G 7 ÁLGRBRA   yxy=xyxP .2, 22  También hay polinomios de tercer grado, cuarto, quinto, etc. Y es determinado por el mayor exponente de la variable. CLASIFICACIÓN DE POLINOMIOS POR EL NÚMERO DE TÉRMINOS a) MONOMIO: Es un polinomio que consta de un sólo monomio o termino.   x=xP 2 2 b) BINOMIO: Es un polinomio que consta de dos monomios.   x+x=xP 32 2 c) TRINOMIO: Es un polinomio que consta de tres monomios.   132 2 x+x=xP d) Si la expresión consta de cuatro términos o más, se le llama comúnmente POLINOMIO. Por ejemplo:   xx +-x-=xP 23 3254 En dos variables:   432234 2532 + yxy-yxy -x+x=x,yP TÉRMINOS SEMEJANTES Llamaremos términos semejantes a todos aquellos que difieren solo en sus coeficientes pero que tiene exactamente el mismo factor literal. Así por ejemplo: ba,b yb,- aa 222 536 Son términos semejantes. Ahora bien, si en un polinomio aparecen varios términos semejantes, se deben reducir para trabajar en forma más simplificada y ordenada.
  • 8. TEMA I: DESPEJES PROFESOR: JULIO C BARRETO G 8 ÁLGEBRA Reducir los términos semejantes en el siguiente polinomio:   yyxxyyx+xy+x+xyx=x, yP 32234223 22232642  VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO El valor numérico de un polinomio es el nombre que resulta de sustituir la indeterminada x por el número y efectuar las operaciones indicadas a la expresión del polinomio. Ejemplo, consideremos el polinomio:   .x ++x+xxP 2323 23  Y calculando el valor numérico para ;x = -2 tenemos:             .202 .268242 .22322232 23 = --P +-+= --P +-+-+-=-P IDENTIDAD DE POLINOMIOS Dos polinomios de la misma indeterminada son idénticos si tienen iguales los coeficientes del mismo grado. CÁLCULO DE RAÍCES DE POLINOMIOS DESPEJE DIRECTO: Esto se basa en la transposición de términos en una ecuación. Comúnmente es denominado despeje de manera física. Y se cambian al cambiar de los lados del miembro de una ecuación las operaciones básicas ( , ) por sus respectivas opuesta e inversa multiplicativa ( , ), además la potenciación y su inversa la radicación y viceversa. En general existen más operaciones o funciones inversas para cada una de las funciones definidas, lo cual va a depender del dominio de definición. Vea los ejemplos:   16445995 4822424 2 222 2 222 2 4 4 16 16431941934 22    xxxxx xx xxx xxxxx
  • 9. TEMA II: CÁLCULO DE RAÍCES DE POLINOMIOS Y NÚMEROS COMPLEJOS PROFESOR: JULIO C BARRETO G 9 ÁLGRBRA     399 125553223 22 33 3333   xxx xxxxx FACTOR COMÚN DE UN MONOMIO: Veamos geométricamente la Figura: Figura: Acepción geométrica de la Factorización sacando Factor Común, la cual tiene relación con la propiedad distributiva del producto respecto a la adición asociada algebraicamente. De lo geométrico obtenemos que:  .baccbca  Ejemplos de Sacar Factor común: 1. Buscamos el factor común de a2 y .4 Como el factor común de a2 y 4 es ,2 procedemos a factorizarlo:  2242 22242   aa aa Notemos que en cierto sentido aquí existe una descomposición de los factores de cada sumando: aa a 2 1 2 2 2 1 2 4 Luego, el factor común es el 2 y los términos que van en el paréntesis y que llevan el signo de la suma son una a y un 2 en ese mismo orden.
  • 10. TEMA I: DESPEJES PROFESOR: JULIO C BARRETO G 10 ÁLGEBRA 2. Buscamos el factor común de 32 543 a+aa + . Como el factor común de ,3a 2 4a y 3 5a es ,a procedemos a factorizarlo.  .543543 543543 232 232 aa+aaaa + aaaaa +aaa +   Notemos que en cierto sentido aquí existe una descomposición de los factores de cada sumando: aa a 3 1 3 a a a a a a 2 2 1 2 4 2 2 2 a a a a a a a 5 1 5 2 3 3 Luego, el factor común es la a y los términos que van en el paréntesis y que llevan el signo de la suma o de la resta son el producto de los restantes que son un ,3 a4 y 2 5a en ese mismo orden. RESOLVENTE CUADRÁTICO En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida como: .2 cbxaxy  Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma:   .2 cbxaxxf  Donde ba, y c c son números reales cualquiera y a distinto de cero ya que si es cero nunca será una parábola. Este tipo de funciones tiene como característica que cuando 0a el vértice de la parábola se encuentra en la parte inferior de la misma y cuando 0a el vértice se encuentra en la parte superior. La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es una parábola, cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas. La parábola se abrirá hacia arriba si el signo de a es positivo, y hacia abajo en caso contrario. El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico.
  • 11. TEMA II: CÁLCULO DE RAÍCES DE POLINOMIOS Y NÚMEROS COMPLEJOS PROFESOR: JULIO C BARRETO G 11 ÁLGRBRA Por ejemplo, sea la función ,822  xxy verificar que los puntos de cortes con el eje son: 21 x y ,42 x y con el eje y es el punto ,8y de acuerdo con la grafica de abajo: Gráficas de la función cuadrática. RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA Las raíces (o ceros) de una función cuadrática, como en toda función, son los valores de ,x para los cuales   .0xf ECUACIONES INCOMPLETAS a) 02 ax 000 0 22  xx a x b) 02  cax a c x a c xcax     22 c) 02  bxax   a b xx baxx baxx    o0 0o0 común)factor(Sacando0
  • 12. TEMA I: DESPEJES PROFESOR: JULIO C BARRETO G 12 ÁLGEBRA ECUACIONES COMPLETAS Por tratarse de un polinomio de grado 2, habrá a lo sumo 2 raíces, denotadas habitualmente como: 1x y 2x dependiendo del valor del discriminante  definido como .42 acb   Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo: a b x 2 1   y a b x 2 2    Una solución real doble si el discriminante es cero: a b xx 2 21    Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo: a i a b x 22 1     y a i a b x 22 2     REPRESENTACIÓN ANALÍTICA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA Hay tres formas de escribir una función cuadrática, aplicables según el uso que se le quiera dar a la función, un estudio analítico de la función o de la ecuación cuadrática, una interpretación o construcción geométrica de la parábola, etc. FORMA DESARROLLADA La forma desarrollada de una función cuadrática (o forma estándar) corresponde a la del polinomio de segundo grado, escrito convencionalmente como:   cbxaxxf  2 con .0a
  • 13. TEMA II: CÁLCULO DE RAÍCES DE POLINOMIOS Y NÚMEROS COMPLEJOS PROFESOR: JULIO C BARRETO G 13 ÁLGRBRA FORMA FACTORIZADA Toda función cuadrática se puede escribir en forma factorizada en función de sus raíces como:     .21 xxxxaxf  Siendo a el coeficiente principal de la función, y 1x , 2x las raíces de  .xf En el caso de que el discriminante  sea igual a 0 entonces 21 xx  por lo que la factorización adquiere la forma:     . 2 1xxaxf  En este caso a 1x se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2. Si el discriminante es negativo, las soluciones son complejas. Ejemplos: 1. Para resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas no es necesario aplicar la fórmula dada.  042  xx    04 xx Sacando Factor Común. Sus soluciones son: 0x ó 04 x . O bien 0x ó .4x .  092 x     033  xx Por Diferencia de Cuadrado. Sus soluciones son: 03 x ó 03 x . O bien 3x ó .3x También es posible hallar la solución despejando directamente: 092 x  92 x  9x  .3x  042 x no tiene soluciones reales (No existe la Suma de Cuadrados). Es decir al despejar tenemos que: 042 x  42 x lo cual no es posible en .R  01920 3000 2   x  019203000 2  x  1920 30002 x  25,1 1920 3000 x
  • 14. TEMA I: DESPEJES PROFESOR: JULIO C BARRETO G 14 ÁLGEBRA  La ecuación 0642 2  xx tiene dos soluciones dadas por:     4 84 4 644 4 48164 6,4,2con, 22 62444 2           x x x cbax De aquí tenemos las dos siguientes raíces: 1 4 4 4 84 1   x y 3 4 12 4 84 2     x Entonces, )1)(3(2642 2  xxxx .  La ecuación 0442  xx sólo tiene una solución doble, 2x (Comprobarlo). Luego, 22 )2(44  xxx .  La ecuación 0642  xx no tiene soluciones reales (Comprobarlo). ECUACIONES BICUADRADAS Son ecuaciones del tipo 4 2 0ax bx c   .. Se puede transformar en una ecuación de segundo grado cambiando 2 x y y 4 2 x y , de esta manera nos queda una ecuación de segundo grado. Por ejemplo: 03613 24  xx
  • 15. TEMA II: CÁLCULO DE RAÍCES DE POLINOMIOS Y NÚMEROS COMPLEJOS PROFESOR: JULIO C BARRETO G 15 ÁLGRBRA Cambiamos yxyx  224 , y nos queda una ecuación de segundo orden: 036132  yy Que resolviendo nos queda:     2 513 2 2513 2 14416913 12 36141313 2          y y y y De aquí tenemos las dos siguientes raíces: 9 2 18 2 513 1   y y 4 2 8 2 513 2   y Y sustituyéndolas en el cambio de variable: 2 1 2 2 9 9 3 4 4 2 y x x y x x               Que son las cuatro soluciones de la ecuación. (Normalmente suelen salir soluciones reales y enteras, pero puede ocurrir que no sean enteras o incluso no tenga solución real) Ejercicios: Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas: b) 0910 24  xx c) 03613 24  xx d) 0154 24  xx
  • 16. TEMA I: DESPEJES PROFESOR: JULIO C BARRETO G 16 ÁLGEBRA RUFFINI: DIVISIÓN POR  x Y ESQUEMA DE RUFFINI Es el caso en particular de que    , xxD la división queda planteada en los siguientes términos:        x+ RxQx=xP  Demostración: Ejercicio. Esta regla se aplica en general para dividir un P(x) entre un divisor que tenga o adopte las siguientes formas: ;bx  ;bax  y .baxn   Cuando su forma general es: bx  se opera así: 1. Se escriben los coeficientes del dividendo en línea horizontal; 2. Se escribe el término independiente del divisor, con signo cambiado, un lugar a la izquierda y abajo del coeficiente del primer término del dividendo; 3. Se divide teniendo presente que el primer coeficiente del cociente es igual al primer coeficiente del dividendo. 4. Para obtener el cociente, se separa la última columna que viene a ser el resto. Ejemplo: Obtener el cociente y el resto en la división: 1 232 45   x xxx Solución: Escribimos los coeficientes en el cuadro (completamos con ceros los términos que faltan): Entonces:   xxxxxQ 2234  (cociente obtenido) y   0xR (residuo obtenido). 6520entonces,0Si 23  xxxy Por división sintética: Los factores de 6 son: .6,3,2,1  Usemos Ruffini: Cocientes del dividendo 1 2 0 0 3 2 - 1 -1 -1 1 -1 - 2 1 1 -1 1 2 0 Coeficiente del cociente Resto Termino Independiente del divisor con signo cambiado. 1 -2 -5 6 1 1 1 -1 -1 -6 -6 0
  • 17. TEMA II: CÁLCULO DE RAÍCES DE POLINOMIOS Y NÚMEROS COMPLEJOS PROFESOR: JULIO C BARRETO G 17 ÁLGRBRA Por lo tanto, f tiene un factor de la forma x-1. )6()1(652)( 223  xxxxxxxf El factor 62  xx , puede descomponerse en: )2()3(62  xxxx Finalmente: .0)2()3()1(,decires,0652entonces,0Si 23  xxxxxxy Los valores de x por despeje directo son: 202 303 101    xx xx xx La curva corta al eje x en los puntos: (-2, 0), (1, 0) y (3, 0) Ejemplo: 16246 234 x++xx+x  El posible valor de la raíz deber ser divisor del término independiente es este caso 16 tiene por divisor 1, 2, 3, 4, 8,16. Cualquiera de ellos puede ser el que haga cero la expresión. Para dividir en forma sintética, tomamos los coeficientes del polinomio y dividimos para los divisores de 16. Probamos con 2: Si 16246 234 x++xx+x  , Sus coeficientes en orden son: 1 6 1 -24 16 2 2 16 34 20 1 8 17 10 36 NO 1 6 1 -24 16 -4 -4 -8 28 -16 1 2 -7 4 0 SI 1. Bajas el primer cociente y multiplicas por el divisor. Ubicas bajo el 2do.cociente para sumar o restar según sea el caso 2. Multiplicas por el divisor y ubicas bajo el 3er.coeficiente y así sucesivamente hasta terminar todos los coeficientes 3. Compruebas que la operación con el ultimo coeficiente te de cero caso contrario busca otro divisor y vuelve a intentar
  • 18. TEMA I: DESPEJES PROFESOR: JULIO C BARRETO G 18 ÁLGEBRA Coeficientes resultantes   4472 23 xx+-x+x Volvemos a dividir: 1 2 -7 4 1 1 3 -4 1 3 -4 0 SI    41432  xxxx     4114  xxxx    22 14  xx Comprobación como nos dio cero cuando a =-4 reemplazamos en el polinomio original.         0169616384256 16424446416246 234234  x+-+xx+x Es lo que debe suceder Ejemplo 2: 233  xx 1 0 -3 -2 1 1 1 -2 1 1 -2 -4 NO 1 0 -3 -2 -1 -1 +1 +2 1 -1 -1 0 SI   122  xxx y el trinomio es de la 2da. Forma    112  xxx 4. Si obtienes cero entonces ese divisor es el valor de la variable y para que sea cero el factor será con el signo contrario En nuestro caso nos salió para -4 entonces el factor es (x+4) 5. El polinomio se factora entonces disminuyendo un grado al polinomio inicial tomando los coeficientes resultantes. Debes cuidar los espacios correspondientes de los exponentes en este caso no existe x2 en su lugar ponemos cero
  • 19. TEMA II: CÁLCULO DE RAÍCES DE POLINOMIOS Y NÚMEROS COMPLEJOS PROFESOR: JULIO C BARRETO G 19 ÁLGRBRA Comprobación:     .0231213123 33  xx Ejercicios: Factorizar aplicando la Regla De Ruffini. 1) 8126 23 x++x+x 2) 3613 24 +yy  3) 281323  aaa 4) Determinar cociente y resto de dividir:    93522 234 x +x+xxxP  entre    .2 xxD    5323 234 x +x+xxxP  entre    .1 xxD  Dado   ,322 234 ax +x+xxxP  determinar “a” para que al dividirlo entre    2 xxD dé por resto 5 OBSERVACIONES: a. Cuando su forma general es: .bax  1. Se transforma el divisor, extrayendo factor común, el primer término del divisor, es decir :        a b xabax 2. Se divide entre ,       a b x como en el primer caso. 3. Los coeficientes del cociente obtenido se dividen entre el primer coeficiente del divisor. 4. El resto obtenido no sufre alteración. b. Cuando el divisor es de la forma: .baxn  En este caso para que la división se pueda efectuar los exponentes de la variable del dividendo, deben ser múltiplos del exponente de la variable del divisor VARIABLES EN EXPRESIONES NO POLINÓMICAS ECUACIÓN TRASCENDENTE Una ecuación trascendente es una igualdad entre dos expresiones matemáticas en las que aparecen una o más incógnitas relacionadas mediante operaciones matemáticas, que no son únicamente algebraicas, y cuya solución no puede obtenerse empleando solo las herramientas propias del álgebra. Por ejemplo, las ecuaciones siguientes   .1log,1,21 2  xxsenex Así mismo, una ecuación que no se reduce a una ecuación algebraica mediante transformaciones algebraicas se denomina ECUACIÓN TRASCENDENTE.
  • 20. TEMA I: DESPEJES PROFESOR: JULIO C BARRETO G 20 ÁLGEBRA ECUACIONES FÍSICAS CINEMÁTICA Y DINÁMICA M.R.U. t d v  M.R.U.V. t vv a if   ; tavv if  ; 2 ·· · 2 ta tvd i  davv if  222 CAÍDA LIBRE: tgvv if  ; 2 2 tg tvh i   ; hgvv if  222 Si no existe velocidad inicial. vi= 0 tgvf  2 2 tg h   hgvf  22 TIRO VERTICAL: tgvv if  ; 2 2 tg tvh i   ; hgvv if  222 En altura máxima (hmax) g v t i hmax  g v h i max 2 2  DINÁMICA: F m a  P m g  cosFr N   · µ FUERZA GRAVITATORIA: ;2 21 ru r mm GF     2 211- Kg mNew106.67= G FUERZA ENTRE CARGAS LEY DE COULOMB: ;20 ru r qQ KF     0 0 4 1  K REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS  Baldor, A. “Álgebra”. Distribuidora Cultural Venezolana S.A.  Barreto, J. (2014). La recta numérica y el plano cartesiano: Un estudio desde los números naturales hasta los números complejos. Colección de Secundaria. (6). https://www.createspace.com/5137020  Tom Apóstol. (2005). Calculus. Cálculo con funciones de varias variables y álgebra lineal, con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades. Editorial Reverté. INTERNET: http://es.numberempire.com/equationsolver.php (Para calcular las raíces). Px=P·sen α α N=P·cos αP