Este documento trata sobre geometría y visualización en sistemas CAD. Explica los conceptos básicos de entidades 2D y 3D, y los diferentes métodos para crear modelos 3D como wireframe, de superficies y sólidos. También describe varios tipos de curvas como interpolación, aproximación, splines, Bézier y B-splines, las cuales son fundamentales para diseños complejos de ingeniería en sistemas CAD.

1. Tema: 7
Geometría y
UNIVERSIDAD DE ALMERÍA Visualización en los
ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA RURAL
sistemas CAD

2. Geometría y Visualización en los sistemas CAD
1 Entidades 2D y 3D
2 Creación del modelo 3D
3 Curvas de interpolación y aproximación
4 Curvas de forma libre: Splines, Bezier, B-splines y NURBs
5 Generación de superficies de forma libre
6 Representación fotorrealista

3. 1 Entidades 2D y 3D
Concepto.
Son las formas
elementales con las que
Entidades u Objetos
el software compone la
geometría final
También se denominan
primitivas geométricas
Pueden dibujarse y
modificarse
individualmente
Son almacenadas en
formato vectorial
como un todo

4. 1 Entidades 2D y 3D
Simples:
1 Punto, línea, circunferencia, eli
pse, arco, rectángulo, polígono
s regulares de n lados, curvas
cónicas, curvas libres... línea polilínea punto
Compuestas:
2 Polilínea, malla, sólido, bloque,
polígonos regulares de n
lados... (se pueden
descomponer en entidades
simples)

5. 1 Entidades 2D y 3D
Descomposición.
Prisma Sólido Caras Aristas

6. 2 Creación del modelo 3D
Modelo Wireframe
Modelo de Superficies
Modelo Sólido

7. 2 Creación del modelo 3D
Modelo Wireframe.
Modelo muy simplificado: Usa arcos, líneas y puntos principales
Características:
• Muy rápido en la representación.
• Útil en edición y creación inicial como
formato de visualización (no de
descripción del objeto 3D)
Inconvenientes:
• Ambigüedad en la representación
• No distingue líneas vistas y ocultas
• No permite el cálculo de intersecciones complejas
• No diferencia entre espacio interior y exterior. No delimita contorno aparente
• Geometría inadecuada para la generación de elementos finitos CAE o rendering
• No existe volumen, no se pueden calcular propiedades másicas

8. 2 Creación del modelo 3D
Modelo Wireframe.

9. 2 Creación del modelo 3D
Modelo de Superficies.
Modelo de descripción 3D que emplea puntos aritas y caras (patches)
planos o alabeados
Características:
• Rápido en la representación. Depende de la resolución
• Potente geométricamente en función de las superficies
que es capaz de generar (extrusiones, revoluciones,
regladas, cónicas, interpoladas, aproximadas, etc.) o los
métodos matemáticos que emplean para representarlas
(cónicas, cuádricas, Coons, Bezier, B-splines, NURBs,
splines)
• Permite mostrar contornos aparentes. Proyección inmediata sobre cualquier plano
• Distingue líneas vistas y ocultas
• Permite el cálculo de intersecciones que serán siempre curvas
• Definición unívoca del objeto. Posibilidad de rendering
• Geometría inadecuada para la generación de elementos finitos CAE
• No existe volumen, no se pueden calcular propiedades másicas

10. 2 Creación del modelo 3D
Modelo de Superficies. Aplicaciones
• Generación de superficies complejas.
Automoción, aeronáutica, sectores naval y
aeroespacial.
•Geometría para máquinas de control numérico
• Representación de terrenos y entornos 3D en
realidad virtual

11. 2 Creación del modelo 3D
Modelo de Superficies. Revolución
EJE
Generatriz

12. 2 Creación del modelo 3D
Modelo de Superficies. Superficies
cilíndricas
Directriz
Generatriz EXTRUSIÓN
BARRIDOS O
DESLIZAMIENTOS

13. 2 Creación del modelo 3D
Modelo de Superficies. Superficies
Regladas
directriz 1
r
directriz 2

14. 2 Creación del modelo 3D
Modelo de Superficies. Superficies
Esculpidas. Recubrimientos
Lofted objects (objetos solevados)

15. 2 Creación del modelo 3D
Modelo de Superficies. Superficies
de Coons

16. 2 Creación del modelo 3D
Modelo de Superficies. Superficies
de Forma Libre
• Splines
• Bezier
• B-splines
• NURBs

17. 2 Creación del modelo 3D
Modelo de Sólidos
El modelado de sólidos 3D describe el objeto CAD facilitando los
datos e información necesaria para su visualización, proyección
normalizada, rendering, análisis y validación del diseño mediante
herramientas CAE, fabricación (CNC) y prototipado virtual
• Descomposición (volumen)
• Modelado BRep
• Modelado CSG
• Modelado basado en Features
Modelado paramétrico
Modelado variacional

18. 2 Creación del modelo 3D
Modelado de Sólidos por
Descomposición (modelo de volumen)
Relleno del espacio R3 mediante voxeles (cubos o tetraedros
uniformes o irregulares). Operaciones morfológicas (erosión,
dilatación, etc.) permiten operar sobre el modelo
Implementación costosa en el ordenador. Consumo de
recursos. Se emplea en medicina, geología, dinámica
computacional de fluidos, etc.

19. 2 Creación del modelo 3D
Modelado de Sólidos BRep
Tecnología de modelado orientada a la representación de las
superficies que encierran a los sólidos (Boundary Representation)
mediante la construcción de tablas y relaciones topológicas
Almacenan información geométrica y topológica sobre las
caras de la superficie del objeto (fronteras). Las caras
están determinadas por aristas que también son fronteras
Permite transformaciones geométricas como
rotación, traslación, simetría, etc., así como
representaciones fotorrealísticas

20. 2 Creación del modelo 3D
Modelado de Sólidos BRep
Modelado laborioso que requiere equipos potentes, aunque muy
indicado para trabajar con superficies complejas
Caras Vértices Aristas
V1-V2.V3-V4 X Y Z N V1-V2
V8 V7 V2-V6-V7-V3 0 0 0 1 V2-V3
V5-V6-V7-V8 1 0 0 2 V3-V4
V4 V3
V1-V5-V8-V4 1 1 0 3 V4-V1
V4-V3-V7-V8 0 1 0 4 V2-V6
V1-V2-V6-V5 0 0 -1 5 V6-V7
1 0 -1 6 V3-V7
1 1 -1 7 V7-V8
V5
0 1 -1 8 V4-V8
V6 V1-V5
V5-V8
V1 V2
V5-V6

21. 2 Creación del modelo 3D
Modelado de Sólidos CSG
(Constructive Solid Geometry)
Primitivas geométricas 3D de
biblioteca
(esfera, cono, cilindro, toro...)
+
Operaciones Booleanas
(Unión, diferencia, intersecció
n)
Sólidos Complejos

22. 2 Creación del modelo 3D
Modelado de Sólidos Features
A partir de formas básicas se definen características (objetos o
elementos de modelado creados por nosotros mismos) a partir de
geometría y operaciones como
extrusiones, taladros, vaciados, redondeos, chaflanes, etc.
El sólido es una entidad
compuesta por
características que
pueden ser editadas
independientemente
arrojando resultados
diferenciados

23. 2 Creación del modelo 3D
Modelado de Sólidos Features.
Modelado paramétrico
Los modelos sólidos se definen por atributos (forma, dimensión y
posición) de cada característica y operación. La altura y anchura del
IPN y la longitud de la correa se almacenan en variables editables
(se parametrizan) para obtener familias de productos
R
h
a

24. 2 Creación del modelo 3D
Modelado de Sólidos Features.
Modelado variacional
Las técnicas basadas en geometría variacional permiten al diseñador
realizar una primera aproximación al modelo en base a los
requerimientos del objeto diseñado, sin especificar ninguna
dimensión inicial (restricciones geométricas dadas por ecuaciones o
condiciones de paralelismo, concentricidad, etc.)
Permiten captar la intención de diseño del ingeniero para después ir
refinando la solución en función de la validación y análisis del diseño

25. 3 Curvas de interpolación y
aproximación
Sistemas CAD emplean líneas rectas, arcos de
circunferencia, curvas cónicas

26. 3 Curvas de interpolación y
aproximación
Para diseños complejos de ingeniería, se recurre a las
curvas de forma libre, ligadas desde sus comienzos a
Sistemas CAD/CAM
Curvas Suaves
Interpolación
Aproximación
Vértices de Control

27. 3 Curvas de interpolación y
aproximación
• Algoritmos recursivos (Neville)
• Polinomios de Hermite
Curvas de interpolación
• Polinomios de Lagrange
• Splines
• Regresión polinomial
• Curvas de Bézier
Curvas de aproximación
• Curvas B-splines
• Curvas NURBs

28. 4 Curvas de forma libre
Requisitos.
• Formulación analítica (sistemas CAM ).
• Formulaciones de base polinómica por su fácil manejo.
• Mejor representación paramétrica que explícita o implícita (difícil cálculo de
tangentes, no es invariante a transformaciones geométricas, x y (sólo uno) )
X x (t )
Y y (t ) si 0 t 1 parametriz ación natural
Z z (t )
• Grado de polinomio:
n=1: no se controlan las derivadas en los extremos
n=2: curvas coplanarias (definidas por 3 puntos). La 2ª derivada es constante.
n>3: Formulaciones inestables (oscilaciones). Excesivos grados de libertad.

29. 4 Curvas de forma libre
Características.
a) Continuidad
b) Comportamiento local o global
c) Suavidad de las curvas (control de tangencia y curvatura)
d) Ponderación. Duplicidad
t3
x (t ) ax bx cx dx
t2
Grado del polinomio 3 Q (t ) y (t ) ay by cy dy
t
z (t ) az bz cz dz
1

30. 4 Curvas de forma libre
Continuidad.
L1 L1
tangente
L1
P 3
2
P (1 y ' ) 2
P R
y' '
L2
L2 tangente
L2
Continuidad C0 Continuidad C1 Continuidad C2
dQ dQ d 2Q d 2Q
Co izq der C0 C1 izq der
dt dt dt 2 dt 2

31. 4 Curvas de forma libre
Interpolación de Hermite.
Pi+1, Ri+
Pi, Ri
1
 3 2  3 2  3 2  3 2 
r (t ) (2t 3t 1) Pi ( 2t 3t ) Pi 1 (t 2t t ) Ri (t t ) Ri 1

32. 4 Curvas de forma libre
Interpolación de Lagrange.
Y
B
C
A
Polinomio de grado n-1.
Inestabilidad si n elevado
X
( x x2 )( x x3 ) ( x x1 )( x x3 ) ( x x1 )( x x2 )
y f ( x) y1 y2 y3
( x1 x2 )( x1 x3 ) ( x2 x1 )( x2 x3 ) ( x3 x1 )( x3 x2 )

33. 4 Curvas de forma libre
Splines.
Curvas CAD fragmentadas y suaves (mínima energía de deformación)
que pasan por todos los puntos de control (interpolación)
Curva Global = Curva 1 + Curva 2 + Curva 3 + .....+ Curva n
Grado del polinomio interpolador = 3

34. 4 Curvas de forma libre
Splines.
Spline
Polígono Director
Para cada tramo i:
fi(x) = aix3 + bix2 + cix + di
n+1 puntos de control: n tramos
con 4n incógnitas
Tangentes punto inicial y final (Splines sujetadas)

35. 4 Curvas de forma libre
Splines.
Ecuaciones disponibles:
• Igual valor en nodos intermedios: 2(n-1) ecuaciones
• X0 pertenece a f1 y Xn pertenece a fn: 2 ecuaciones
• Continuidad C1: n-1 ecuaciones
• Continuidad C2: n-1 ecuaciones
4n-2 ecuaciones
Las 2 ecuaciones que faltan:
f”(x0) = 0 y f”(xn) = 0 luego Radio curvatura en x0 = y Radio
curvatura en xn = (Spline natural). 3
(1 y '2 ) 2
Rc
y"

36. 4 Curvas de forma libre
Curvas de Bèzier.
y(t) N = n+1 puntos de control
Pierre Bézier r2
r1
(1961)
Renault
r0 r3
r(t)
x(t)
 n
 n i Funciones de
R(t ) ri i (t ); (t) t (1 t )n i
i Bernstein
i 0

37. 4 Curvas de forma libre
Curvas de Bèzier.
Ponderación según las funciones de mezcla
B02 B2 2
B1 2
t t
Funciones de mezcla grado 2 Funciones de mezcla grado 3
EJEMPLO GRÁFICO

38. 4 Curvas de forma libre
Curvas de Bèzier. Propiedades
El polinomio de aproximación será de grado n (N-1)
Sólo pasa por el primer punto y el último (la curva queda
inscrita en el polígono de control)
Curva tangente a los lados inicial y final
Comportamiento global de la curva.
Cierta inestabilidad cuando se eleva el número de vértices
de control y el polígono de control no es convexo. => No se
aconseja en superficies complejas
Invariante a las transformaciones afines

39. 4 Curvas de forma libre
Curvas B-splines (Basis Splines).
Curvas de aproximación compuestas de tramos polinómicos interconectados
entre sí de grado n definidas por m puntos de control (siendo m el orden
máximo del polinomio con n < m). Suelen ser de grado 3: B-splines cúbicas.
B-spline
Polígono Director
Tangentes punto inicial y final

40. 4 Curvas de forma libre
Curvas B-splines (Basis Splines).
Formulación
i n
  k
r (t ) ri i (t ); i 1
i 0
k (t ni ) ik 1 (t ) (ni k t) k 1
i 1 (t )
i (t )
ni k 1 ni ni k ni 1
k 1
i (t ) 1 si n i t ni 1
k 1
i (t ) 0 en todos los demás casos
Orden de la curva = k; Grado de la curva = k-1
Variación de k: k>=2 y k<=n+1
0<=t<=n-k+2
k=2: recta que une x0 y xn
k=n+1: Curva de Bézier de grado n

41. 4 Curvas de forma libre
Curvas B-splines (Basis Splines).
Formulación
El vector de nodos controla, junto con los vértices de control, la forma
de la curva. Determina los puntos en los que cambia la ecuación de la
curva (transiciones entre segmentos) y la continuidad con que lo hace
ni 0 si i k - 1
Vector de nodos típico (n0, n1, ....., )
ni i k 1 si k - 1 i n
ni<=ni+1 n i; 0≤i≤n+k ni n k 2 si i n
Ejemplo:
n+1 = 4 vértices de control; k=3 (grado del polinomio 2)
vector de nodos:
Continuidad = C(k-1-r)
n0 = 0; n1 = 0; n2 = 0; n3 = 1; n4 = 2; n5 = 2; n6 = 2 donde r es la multiplicidad
del nodo (vértice repetido)
0<=t<=2

42. 4 Curvas de forma libre
Curvas B-splines (Basis Splines).
• Pasan por el primer vértice y el último.
• Tangentes al polígono de control en el punto inicial y final.
• Control local de la curva.
• Existe continuidad C2, C1 o C0 dependiendo de la multiplicidad de los
puntos de control.
• B-splines uniformes: nudos equiespaciados
• B-splines no uniformes: nudos arbitrarios
r=2 r=3
r=1, k=4

43. 4 Curvas de forma libre
Curvas B-splines (Basis Splines).

44. 4 Curvas de forma libre
Curvas NURBs (Non Uniform Rational
B-splines).
Mediante estas curvas es posible almacenar matemáticamente cualquier
curva (libre o geométrica)
n
k 
i (t ).wi .ri (t )
 i 0
R3 r (t )
R4 n
k
i (t ).wi
i 0
(x,y,z,w) (x/w,y/w,z/w)

45. 4 Curvas de forma libre
Curvas NURBs (Non Uniform Rational
B-splines). Propiedades
Ventajas:
• Son invariantes a las transformaciones proyectivas y afines.
• Control local.
• Pasan por los puntos inicial y final.
• Definen de manera precisa las curvas analíticas (e.j. cónicas).
• Son muy flexibles.

46. 5 Superficies de forma libre
Superficies de Bèzier
Pn
P3
P2
P1
v
u Po
x X (u, v ); y Y (u, v ); z Z ( u, v )
n n
 
r ( u, v ) ri (u, v ) i (u ) j (v )
i 0 j 0

47. 5 Superficies de forma libre
Superficies de Bèzier
u Poliedro de control
Superficie Bèzier
v
Superficies muy suavizadas. Oscilaciones con muchos
puntos de control. Control global de la superficie.

48. 5 Superficies de forma libre
Superficies B-splines
Producto cartesiano de dos curvas B-splines
Comportamiento Local
B-spline cuadrática B-spline cúbica

49. 5 Superficies de forma libre
Superficies NURBs
Creación exacta de superficies geométricas no libres como cónicas. La
superficie NURBs se adapta a las variaciones de la malla de control en función
de los pesos de cada vértice. El vértice P2 es el que más peso tiene, seguido
del P1 y del P3.

50. 6 Representación fotorrealista
Rendering
Visualización raster de proyecciones de objetos 3D
sintéticos que intentan representar dicho objeto con el
mayor realismo posible (materiales, luces, texturas,...).

51. 6 Representación fotorrealista
Rendering. Procedimiento general
1. Geometría del objeto respecto a un sistema de coordenadas.
2. Construcción de la escena (luces, materiales, texturas, efectos
especiales, etc.). Cálculo de coordenadas globales.
3. Elección del punto de vista del observador.
4. Proyección de la escena en 2D (axonométrica o cónica)
5. Eliminación de caras ocultas al observador.
6. Recorte de trozos de faceta que no han de representarse.
7. Cálculo del color de cada uno de los píxeles en cada faceta
(interpolación a partir del valor de luminancia en los vértices de cada
faceta).
8. Aplicación de materiales y texturas (mapeado de bitmaps)
9. Representación de la escena (JPG, BMP, TIFF,...)

52. 6 Representación fotorrealista
Modelo simplificado de iluminación
Energía incidente
puntual
N Energía
incidente
ambiental
energía
calor
absorbida
Energía reflejada
(reflexión especular)
Energía reemitida como
iluminación difusa

53. 6 Representación fotorrealista
Modelo simplificado de iluminación
Incidente reflejada

54. 6 Representación fotorrealista
Iluminación difusa
Fuente de luz indirecta (luz ambiental)
L = F.R
La luminancia (L) que percibe el
observador es independiente de su
posición F = intensidad luz ambiental
R = reflectividad del objeto
N Luz
θ
θ
Superficie Lambertiana

55. 6 Representación fotorrealista
Iluminación puntual
Las superficies que miren hacia la luz y que estén más cerca tendrán
más luminancia
N
L
Energía P
θ
L = F.R + P.R.cosθ
= F.R + P.R.(L.N)

56. 6 Representación fotorrealista
Reflexión especular
Se trata de la reflexión producida por una superficie tipo espejo.
Toda la luz es reflejada y lo hace en una dirección casi única (no en
todas direcciones como establecía la ley de Lambert)
La luz especular
sólo puede verse
H
cuando la luz se
refleja en la
E dirección del
observador
L E
H
L E

57. 6 Representación fotorrealista
Reflexión especular
N.H Cos Función especular(N.H)a L FR P( L.N )R S ( N.H )a
“a” es un exponente de brillo especular (suficientemente grande). S representa la
luz reflejada especularmente, que es función del material, ángulo de incidencia y
potencia de la luz puntual
β
H
E

58. 6 Representación fotorrealista
Atenuación
D
Disminuye con el cuadrado de la
distancia (b=2)
1 Pj ( L j .N )R S j ( N .H j )a
G L FR Cálculo para
C Db j C Db
j cada pixel
MODELO DE ILUMINACIÓN

59. 6 Representación fotorrealista
Técnicas de sombreado Scan line.
Sombreado constante
A todas las facetas triangulares
del sólido o superficie se le
asigna un sólo valor de luminancia
(media de los vértices por
ejemplo). Suele dar problemas de
facetado discreto.

60. 6 Representación fotorrealista
Técnicas de sombreado Scan line.
Sombreado Gouraud
Interpolación lineal a
partir de los vértices
de cada faceta, que
es donde únicamente
se aplica el modelo
de iluminación

61. 6 Representación fotorrealista
Técnicas de sombreadoScan line.
Sombreado Phong
Interpolación lineal a partir de los
vértices de cada faceta de las
normales necesarias para calcular
la luminancia en cada pixel.
Mayor coste computacional que
Gouraud.
Constante Phong

62. 6 Representación fotorrealista
Algoritmos avanzados:
Ray-tracing y radiosidad
Son modelos de iluminación muy
avanzados que integran
interreflexión, refracción, cara oculta y
sombras (Ray tracing) e iluminación e
interreflexión difusa (radiosidad)