Este documento presenta una introducción a la optimización y varios métodos para resolver problemas de optimización. Explica que la optimización busca mejorar un proceso maximizando beneficios o minimizando costos. Luego describe métodos clásicos como el método de Newton y el procedimiento general para resolver problemas de optimización, el cual implica establecer variables, funciones objetivo, restricciones, derivar e igualar a cero para encontrar extremos. Finalmente, menciona formas de funciones objetivo y diferentes métodos numéricos para formular y resolver problemas de optimización

1. INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGOMARIÑO”
EXTENSIÓN PORLAMAR
Teoría de Optimización
Autor (a): Hector Farías
Docente de la asignatura (a):AlejandraTorres
SAIA – 2017

2. Introducción
Cuando decimos Optimizar nos basamos en la mejora de un equipo o de mejorar el costo
de un productopara que su beneficioseael mejorposible siempre viendoenel menorconsumoo
la menor pérdida de recursos.
Gracias a Isaac NewtonyCarl FriedrichGauss se propusieron losmétodosparatrabajarcon
la optimización pudiéndose aplicar en varios campos los cuales son las matemáticas, estadísticas,
ciencias empíricas, ciencia de la computación, o economía.
En el caso mássimple,unproblemade optimizaciónconsisteenmaximizarominimizaruna
función real eligiendo sistemáticamente valores de entrada y computando el valor de la función
para tener un resultado dependiendo lo que se busca sea maximizar o minimizar.

3. Desarrollo
1) Técnicasde OptimizaciónClásica
Las técnicas de optimización son herramientas matemáticas que tienen como objetivo la
maximizaciónde beneficios,digamosde laeficienciade unprocesoo la minimizaciónde esfuerzos
o pérdidas,digamosde laspérdidasde unmaterial paraelaborarunproducto.Dadoque la medida
de un esfuerzorequerido,medidade pérdidasomedidade beneficiospuedeexpresarsecomouna
función(funciónobjetivo) de variasvariables,el procesode optimizaciónse puede definircomoel
proceso de búsqueda de aquellas variables que minimizan o maximizan el valor de la función. El
proceso de optimización con la búsqueda de la minimización o maximización de una función
objetivo se trata del mismo problema, simplemente con el negativo de la función se obtiene el
máximo o con la función se obtiene el mínimo; visualizar la siguiente figura:
Ilustración 1: el mínimo de f(x) es el mismo al máximo de -f(x).
El parámetro o variable que minimiza o maximiza la función objetivo es la misma para
cualquiera de los casos; en 𝑥 = 𝑥 ∗ se obtiene el mínimo de la función o el máximo de la función
negativa.
Adicionalmente a esta consideración, las siguientes operaciones sobre la función objetivo
no modificarán la solución óptima de la variable encontrada:
1. Multiplicación o división de la función objetivo por una constante positiva

4. 2. Suma o resta de una constante a la función objetivo Visualizar la siguiente figura:
Ilustración 2: la Solución Optima de cf(x) o c + f(x) es igual que el de f(x)
Se puede decir que no existe un solo método para resolver todos los problemas de
optimización de forma eficiente, sino que se han desarrollado una gran cantidad de métodos de
optimización para resolver diferentestipos de problemas. Existen técnicas de optimización que se
les conoce como técnicas de programación matemática o determinísticas, técnicas estocásticas,
técnicas estadísticas y técnicas modernas. La siguiente tabla muestra algunas de las técnicas de
optimización.
• Las técnicas determinísticas son muy útiles para encontrar el mínimo de una función
objetivo de varias variables bajo una serie de restricciones pre-establecidas siendo las
restricciones y las funciones, lineales o no lineales.
• Las técnicas estocásticas se pueden emplear para analizar problemas descritos por un
conjuntode variablesaleatorias que tienen una función de distribución de probabilidad.
• Las técnicas estadísticas permiten analizar los problemas con datos experimentalesy la
construcción de modelos empíricos para obtener la representación más adecuada de la
situación física que se quiere optimizar.

5. • Las técnicasmodernasde optimizaciónsonalgoritmospoderososque permitenresolver
problemastancomplejoscomoel caso de movimientode masasotendencias,entre otras,
que se adecuaron para ser aplicados a problemas de ingeniería.
Tabla 1.1 Métodos de Investigación de Operaciones
Programación Matemática y
Técnicas de Optimización
Técnicas de Procesos
Estocásticos
MétodosEstadísticos
Métodosde Calculo
Cálculosde Variaciones
ProgramaciónNoLineal
ProgramaciónGeométrica
ProgramaciónCuadrática
ProgramaciónLineal
ProgramaciónDinámica
ProgramaciónEstocástica
ProgramaciónSeparable
ProgramaciónMultiobjetivo
Métodosde Red: CPMy PERT
Teoría de Juego
Técnicasde Optimización
Modernaso No tradicionales
AlgoritmoGenético
AlgoritmoRetorcidoSimulado
Algoritmode laColoniade
Hormigas
Optimización PorEnjambre de
Partículas
RedesNeurales
OptimizaciónDifusa
Teoría de Decisiones
Estadísticas
Procesosde Marvok
Teoría de Colas
Teoría de la Renovación
Métodosde Simulación
Métodode Confiabilidad
Análisisde Regresión
Análisis de Conglomerados,
Reconocimiento de patrones
Diseñosde Experimentos
AnálisisDiscriminante Lineal

6. 2) Métodode Newton
En análisis numérico, el método de Newton (conocido también como el método de Newton-
Raphson o el método de Newton-Fourier) es un algoritmo para encontrar aproximaciones de los
ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo
de una función, encontrando los ceros de su primera derivada.
El métodode Newton-Raphsonesunmétodoabierto,enel sentidode que noestágarantizada
su convergenciaglobal.La únicamanera de alcanzar la convergenciaesseleccionarunvalor inicial
lo suficientemente cercano a la raíz buscada. Así, se ha de comenzar la iteración con un valor
razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque o valor supuesto). La relativa
cercanía del punto inicial a la raíz depende mucho de la naturaleza de la propia función; si ésta
presentamúltiplespuntosde inflexiónopendientesgrandesenel entornode la raíz, entonceslas
probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan, lo cual exige seleccionar un valor puesto
cercano a la raíz. Una vezque se ha hechoesto,el métodolinealizalafunciónporlarecta tangente
en ese valor supuesto. La abscisa en el origen de dicha recta será, según el método, una mejor
aproximaciónde laraízque elvaloranterior.Se realizaránsucesivasiteraciones hastaqueel método
haya convergido lo suficiente.
Sea 𝑓: [𝑎, 𝑏] −> 𝑅 función derivable definida en el intervalo real [𝑎, 𝑏]. Empezamos con un
valor inicial 𝑥0y definimos para cada número natural 𝑛.
𝒙 𝒏+𝟏 = 𝒙 𝒏 −
𝒇(𝒙 𝒏)
𝒇′(𝒙 𝒏)
Donde f ' denota la derivada de f.
Nótese que el método descrito es de aplicación exclusiva para funciones de una sola variable
con forma analítica o implícita conocible. Existen variantes del método aplicables a sistemas
discretos que permiten estimar las raíces de la tendencia, así como algoritmos que extienden el
método de Newton a sistemas multivariables, sistemas de ecuaciones, etcétera.
3) Formulaciónde Problemasde Optimización
a. Se Organizalos datos,lainformacióndisponible sobre el sistema
b. Se Organiza, Estructura y Mejorala Comprensión del Sistema
c. Internalizalaestructuraorganizativade laEmpresa

7. d. Permite compartirsupuestosyresultadosentre el modeladoryel experto
e. Proporcionaunentornoágil para el análisisylasensibilidad
f. Indicala direcciónde mejoraenlasdecisiones
Los modelos de optimización, es decir, aquellos donde existe un conjunto de variables de
decisión que deben maximizar/minimizar una función objetivo sometidas a un conjunto de
restricciones. Los modelos de programación lineal son más utilizados que todos los otros tiposde
optimización juntos y abarcan cualquier tipo de actividad humana como micro y macroeconomía,
finanzas, marketing, economía de la energía, organización de la producción, planificación de la
operación, selección de procesos, asignación de tareas, ingeniera química, forestal, agrónoma,
comercio internacional, desarrollo económico, etc.
4) Formasde laFunciónObjetivo
La funciónobjetivoeslaecuaciónque seráoptimizadadadaslaslimitacionesorestricciones
determinadasyconvariablesque necesitanserminimizadasomaximizadasusandotécnicasde
programaciónlineal onolineal.
𝑀𝑎𝑥 200𝑋 + 150𝑌 + 120𝑍
𝑆. 𝐴 15𝑋 + 7,5𝑌 + 5𝑍 = 315
2𝑋 + 3𝑌 + 2𝑍 ≤ 110
𝑋 + 𝑌 + 𝑍 ≤ 50
𝑋, 𝑌, 𝑍 >= 0
5) Métodosde Optimización
Los métodosnuméricossontécnicasmediante lascualeses posible formularproblemasde tal
formaque seanresueltosconoperacionesaritméticas. Aunquehaymuchostiposde métodos,todos
comparten una característica común, llevan a cabo un buen número de cálculos aritméticos y
emiten soluciones aproximadas.
Entre ellos los componen:
I. Ecuaciones Diferenciales Parciales
II. Aproximación Numérica y Errores
III. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
IV. Raíces de Ecuaciones
V. Interpolación, Diferenciación e Integración

8. VI. Sistemas de Ecuaciones Lineales Simultaneas
6) ProcedimientoGeneral paraResolverun Problemade Optimización
Los problemasde optimizaciónsonaquellosque se ocupan de elegirladecisiónóptimade un
problema,esdecir,encontrarcual esel máximoomínimode un determinadocriterio(una
función) sujetoaunascondicionesque nosdael problema.
Pasos para Resolverun Problemade Optimización
Para resolverunproblemade optimizaciónde formacorrectavamosa estableceruna
serie de pasosque nosharán más sencilloel planteamientoylaresolución:
1º. En primerlugar,establecemoscuál ocuálessonlasincógnitasque nosplanteael problema.
2º. A continuacióntenemosque buscaryplantearqué esloque tenemosque maximizaro
minimizar: 𝑓(𝑥, 𝑦)
3º. Despuésbuscamoslacondiciónque se nosplantea.Enlamayoría de los problemasque nos
encontremos,lafunciónamaximizarominimizardependeráde dosvariables,por tantola
condiciónnospermitirárelacionarestasdosvariablesparaponerunaenfunciónde laotra.
4º. Una vez,que hemosdespejadounavariable enfunciónde laotra,supongamosyenfunciónde
x.Sustituimosennuestrafunciónaoptimizar,quedándose ahoraenfunciónde unasolavariable:
𝑓(𝑥)
5º. Derivamoslafunciónylaigualamosa cero: 𝑓´(𝑥) = 0.
6º. Una vezobtenidaslassolucionesnosfaltael últimopaso,comprobarsi realmente se tratade
un máximooun mínimo,para ello,realizamoslasegundaderivadade tal formaque: si 𝑓´´( 𝑥) = 0,
entoncesse trata de un mínimo.
7º. El últimopaso,unavezque ya tenemos 𝑥,seríairnosal paso3, donde habíamosdespejado 𝑦,y
hallarel valorde 𝑦, y damos lasolución.
Ejemplo
Costototal (enmilesde pesos)de pedidoyalmacenajede 𝑥 automóvileses:

9. 𝐶( 𝑥) = 4𝑥 + 720 +
921600
𝑥
Determinarel Tamañodel pedidoque minimizael costototal.
Primerose reescribe lafunciónobjetivo:
𝐶( 𝑥) = 4𝑥 + 720 + 921600𝑥−1
Comenzamosaderivarcada término:
𝐶′( 𝑥) = 4 − 921600𝑥−2
AhoraDeterminamoslosPuntosCríticosde laFunción:
𝐶′( 𝑥) = 0
4 − 921600𝑥−2 = 0
4 −
921600
𝑥2 = 0
4 =
921600
𝑥2
4𝑥2 = 921600
𝑥2 =
921600
4
𝑥2 = 230400
√ 𝑥2 = ±√230400
𝑥 = ±480
En este puntodel problema 𝑥 representaAutomóvilesporlo cual es el tamaño del pedido
por lo cual es ilógico pensar una cantidad de automóviles negativa.
Por locual quedara 𝑥 = 480 siendoeste valordonde haypuntocríticodentrode lafunción
ya que probablemente vamos a tener el mínimo de la función de costo.
Para verificarsi el valorobtenido 𝑥 = 480 maximizaominimizalafunciónobjetivoesdecir
la función de costo podemos hacer esto que se aprecia en la tabla, se crea una tabla y tomamos
variosvaloresde 𝑥 entre ellosel valorobtenidoque es480entoncesesosvaloreslosreemplazamos

10. enlafunciónobjetivoentonceslosvaloresarrojadosseránexpresadosenlatablade costototal por
lo cual podemos apreciar que de todos los valores obtenidos el de 480 tiene el menor costo total
esto nos confirma que tiene el costo mínimo.
Tamaño del Pedido(Automóviles)
𝑥
Costo Total (Miles de Pesos)
𝐶( 𝑥) = 4𝑥 + 720 +
921600
𝑥
200 6128
400 4624
480 4560
600 4656
800 5072

11. Conclusión
La optimizaciónde losrecursos es una grandiosa herramientaparallevara cabo ya que se
basa en la eficacia y la eficiencia para alcanzar grandes objetivos utilizando la menor cantidad de
recursos posibles. Las empresas tienen que establecer prioridades para que así se trabaje más
rápido en los puntos críticos que están afectando su crecimiento o analizar cómo podrían
beneficiarse de esas prioridades.
Cuando se busca una optimización de los recursos, también se busca el hecho de poder
ahorrar ciertos recursos, ya sean financieros o humanos para así mejorar la situación actual en la
que encuentra la organización en su mercado.
Referencias Bibliográficas y Electrónicas

12. Sergio Sellsch. Técnicas de Optimización. Recuperado de: documentslide.com/documents/07-
tecnicas-de-optimizacion.html
Wikipedia. Métodode Newton.Recuperadode:
es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Newton
AndrésR,PedroS, José F,JuliánB,PedroL. ModelosMatemáticosde Optimización.Recuperado
de:www.gams.com/docs/contributed/modelado_en_gams.pdf
Hector P,RobertoM, AradMora, Ángel T.Optimización.Recuperadode:
es.slideshare.net/Saidmora23/mtodos-de-optimizacion