Este documento presenta los objetivos y conceptos clave de la factorización de polinomios en álgebra. Explica cómo factorizar un polinomio mediante la división en factores primos y proporciona varios criterios y ejemplos de factorización, incluyendo el uso de términos comunes, identidades como la suma y diferencia de cuadrados y cubos, y la aspa simple.
El propósito de esta sesión es que los estudiantes resuelvan problemas que involucran sistemas de ecuaciones
lineales con dos variables utilizando procedimientos heurísticos, gráficos y algebraicos para hallar e interpretar la
solución.
El propósito de esta sesión es que los estudiantes resuelvan problemas que involucran sistemas de ecuaciones
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Expresiones Algebraicas
Es aquella que contiene letras, números y signos. La manipulación de expresiones algebraicas tiene las mismas propiedades que la manipulación de expresiones numéricas, ya que las letras se comportan como si fuesen números. Las expresiones algebraicas que se tratarán en este curso tendrán, por lo general, una o dos letras.
Ejercicios resueltos de Identidad ángulo medio usando seno y coseno para la solución de los mismos. Trigonometría
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Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinaria). UCLMJuan Martín Martín
Examen de Selectividad de la EvAU de Geografía de junio de 2023 en Castilla La Mancha. UCLM . (Convocatoria ordinaria)
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http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
Este documento presenta un examen de geografía para el Acceso a la universidad (EVAU). Consta de cuatro secciones. La primera sección ofrece tres ejercicios prácticos sobre paisajes, mapas o hábitats. La segunda sección contiene preguntas teóricas sobre unidades de relieve, transporte o demografía. La tercera sección pide definir conceptos geográficos. La cuarta sección implica identificar elementos geográficos en un mapa. El examen evalúa conocimientos fundamentales de geografía.
Ponencia en I SEMINARIO SOBRE LA APLICABILIDAD DE LA INTELIGENCIA ARTIFICIAL EN LA EDUCACIÓN SUPERIOR UNIVERSITARIA. 3 de junio de 2024. Facultad de Estudios Sociales y Trabajo, Universidad de Málaga.
LA PEDAGOGIA AUTOGESTONARIA EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJEjecgjv
La Pedagogía Autogestionaria es un enfoque educativo que busca transformar la educación mediante la participación directa de estudiantes, profesores y padres en la gestión de todas las esferas de la vida escolar.
3. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
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OBJETIVOS
𝑃 𝑥
𝑓(𝑥)
𝑒𝑠 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎 → 𝑓 𝑥 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑃 𝑥
✓ Utilizar los criterios de factorización.
Para resolver grandes problemas, es necesario
dividirlos en pequeñas partes y luego resolverlos
por separado.
✓Reconocer los factores de un polinomio.
4. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
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FACTORIZACIÓN
Factorizar un polinomio es transformarlo en una
multiplicación indicada de factores primos.
Se trabajará en ℤ, por tanto solo se trabajará con
polinomios de coeficientes enteros.
NOTA
𝑥2
− 9
Ejemplos
𝑥2
−
1
4
𝑥2
− 3
Factor algebraico
Un polinomio 𝑓 𝑥 de grado no nulo, es considerado
factor de otro polinomio 𝑃 𝑥 , si la división:
𝑃 𝑥
𝑓 𝑥
𝑒𝑠 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎
Es decir
𝑃 𝑥 = 𝑓 𝑥 . 𝑞 𝑥
factores
Ejemplo
De 𝑃 𝑥 = 2 𝑥 + 2 2𝑥 − 3 5𝑥 + 7 , tenemos que
entre sus factores están 𝑥 + 2
= 𝑥 + 3 𝑥 − 3
= 𝑥 +
1
2
𝑥 −
1
2
= 𝑥 + 3 𝑥 − 3
; 2𝑥 − 3 ; 5𝑥 + 7
o una combinación entre estos factores.
5. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
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Ejemplo
Halle el valor de n, para que 𝑥 − 2 𝑠𝑒𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒
𝑃 𝑥 = 2𝑥3 − 3𝑥 + 𝑛
Resolución
Como 𝑥 − 2 es factor de 𝑃 𝑥 = 2𝑥3
− 3𝑥 + 𝑛.
Entonces
𝑃 𝑥
𝑥 − 2
es exacta 𝑅 𝑥 = 0
Utilizando el teorema del resto
𝑅 𝑥 = 𝑃 2
0 = 2 2 3
− 3 2 + 𝑛
𝑛 = - 10
Polinomio irreductible
Un polinomio es irreductible, si no puede ser expresado
como la multiplicación de dos o más factores.
Ejemplo
𝑎) 𝐷𝑎𝑑𝑜 𝑃 𝑥 = 𝑥2
− 25, ¿ es irreductible?
𝑃 𝑥 = 𝑥2
− 25
factores
𝑃 𝑥 = 𝑥2
− 25 no es irreductible
NOTA
Todo polinomio de primer grado es irreductible
= 𝑥2 − 52 = 𝑥 + 5 𝑥 − 5
6. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
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Factor primo
Decimos que 𝑓 𝑥 es un factor primo del polinomio 𝑃 𝑥 ,
si verifica:
𝐼) 𝑓 𝑥 es un factor algebraico del polinomio 𝑃 𝑥
𝐼𝐼) 𝑓 𝑥 es un polinomio irreductible
Ejemplo
Si 𝑃 𝑥 = 3𝑥 − 2 5
5𝑥 − 1 2
7𝑥 + 9 , tenemos que
sus factores primos son:
3𝑥 − 2
Ejemplo
𝑃 𝑥; 𝑦; 𝑧 = 7𝑥2 𝑦𝑧3 𝑥𝑦 + 1 𝑥 + 𝑦 + 𝑧
Dado el polinomio
¿Cuántos factores primos tiene y cuáles son?
Resolución
Sus factores primos son
𝑥; 𝑦; 𝑧; 𝑥𝑦 + 1 ; 𝑥 + 𝑦 + 𝑧
En total tiene 5 factores primos
NOTA
𝑥2El factor no es primo, puesto que 𝑥2 = 𝑥. 𝑥
; 5𝑥 − 1 ; 7𝑥 + 9
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Factor común/ agrupación
I) Busca un término común.
𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥𝑦 + 2𝑦
Resolución
Ejemplo
Factorice
𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥 𝑦 + 2 𝑦
𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑦 𝑥 + 2
II) Término común con menor exponente.
Ejemplo
Factorice
𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥4
𝑦5
+ 3𝑥3
𝑦6
Resolución
𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥4
𝑦5
+ 3 𝑥3
𝑦6
Menor
exponente
Menor
exponente
𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥3 𝑦5
III) Se agrupa para buscar factor común.
Ejemplo
𝑥4 𝑦5
𝑥3 𝑦5
= 𝑥
3𝑥3 𝑦6
𝑥3 𝑦5
= 3𝑦
Factorice
𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥𝑦 + 2𝑥 + 3𝑦 + 6
𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥𝑦 + 2𝑥 + 3𝑦 + 6
Resolución
Agrupando tenemos
𝑃 𝑥; 𝑦
𝑃 𝑥; 𝑦
𝑥 + 3𝑦
+3 𝑦 + 2= 𝑥 𝑦 + 2
= 𝑦 + 2 𝑥 + 3
9. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
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Por identidades
𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎 ± 𝑏 2
𝑎2
− 𝑏2
= 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏
Ejemplo Factorice
𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥2
+ 4𝑥 + 4 − 𝑦2
Resolución
𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥2 + 4𝑥 + 4 − 𝑦2
𝑥 + 2 2
𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥 + 2 2
−𝑦2
𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥 + 2 + 𝑦 𝑥 + 2 − 𝑦
𝑎3 + 𝑏3 = 𝑎 + 𝑏 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2
𝑎3
− 𝑏3
= 𝑎 − 𝑏 𝑎2
+ 𝑎𝑏 + 𝑏2
Ejemplo Factorice
𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥6
− 𝑦6
Resolución
Ejemplo Factorice
𝑃 𝑥 = 𝑥4
+ 6𝑥2
+ 25
Resolución
𝑃 𝑥 = 𝑥4
+ 25 + 6𝑥2
Se busca un TCP
+10𝑥2 −10𝑥2
𝑃 𝑥 = 𝑥2 + 5 2 −4𝑥2
𝑃 𝑥 = 𝑥2
+ 5 2
− (2𝑥)2
𝑃 𝑥 = 𝑥2
+ 5 + 2𝑥 𝑥2
+ 5 − 2𝑥
𝑃 𝑥 = 𝑥2
+ 2𝑥 + 5 𝑥2
− 2𝑥 + 5
𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥3 2
− 𝑦3 2
𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥3
+ 𝑦3
𝑥3
− 𝑦3
Suma de cubos Diferencia de cubos
𝑃 𝑥; 𝑦 =
𝑥 + 𝑦 𝑥2
− 𝑥𝑦 + 𝑦2
𝑥 − 𝑦 𝑥2
+ 𝑥𝑦 + 𝑦2
10. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
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Aspa simple
𝑆𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑎 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎:
𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝐴𝑥2𝑚 + 𝐵𝑥 𝑚 𝑦 𝑛 + 𝐶𝑦2𝑛
Procedimiento
I) Descomponer los extremos convenientemente
𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝐴𝑥2𝑚
+ 𝐵𝑥 𝑚
𝑦 𝑛
+ 𝐶𝑦2𝑛
𝑎1 𝑥 𝑚
𝑎2 𝑥 𝑚
𝑐1 𝑦 𝑛
𝑐2 𝑦 𝑛
II) Se comprueba que el término central es igual a
la suma de los productos parciales en forma de
aspa
III) Luego
𝑎2 𝑐1 𝑥 𝑚 𝑦 𝑛
𝑎1 𝑐2 𝑥 𝑚
𝑦 𝑛
+
𝐵 = 𝑎2 𝑐1 + 𝑎1 𝑐2
𝑃 𝑥; 𝑦 =
Factor
Factor
𝑎1 𝑥 𝑚
+ 𝑐1 𝑦 𝑛
𝑎2 𝑥 𝑚
+ 𝑐2 𝑦 𝑛
Ejemplo 1
𝑃 𝑥 = 3𝑥2
+ 10𝑥 + 8
3𝑥
𝑥
+4
+2
+4𝑥
+6𝑥
+Factor
Factor
+10𝑥
𝑃 𝑥 = 3𝑥 + 4 𝑥 + 2
Ejemplo 2
𝑃 𝑥; 𝑦 = 15𝑥4
− 11𝑥2
𝑦2
+ 2𝑦4
5𝑥2
3𝑥2
−2𝑦2
−𝑦2
−6𝑥2
𝑦2
−5𝑥2
𝑦2
+
Factor
Factor
−11𝑥2 𝑦2
𝑃 𝑥; 𝑦 = 5𝑥2 − 2𝑦2
3𝑥2
− 𝑦2
11. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
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Aspa doble especial
𝑆𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑎 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑟𝑡𝑜 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜, 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑜𝑠 𝑦 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒.
Procedimiento
I) Se descomponen los extremos.
𝑃 𝑥 = 𝐴𝑥4
+ 𝐵𝑥3
+ 𝐶𝑥2
+ 𝐷𝑥 + 𝐸
𝑎1 𝑥2
𝑎2 𝑥2
𝑒1
𝑒2
𝑎2 𝑒1 𝑥2
𝑎1 𝑒2 𝑥2
(+)
𝐹𝑥2
(−)
𝑘1 𝑥
𝑘2 𝑥
𝐾𝑥2
II) Se realiza el aspa simple con los extremos y se obtiene 𝐹𝑥2
.
IV) Se descompone 𝐾𝑥2, de tal manera que cumple las dos aspas simples en ambos lados.
V) Los factores se toma en forma horizontal.
𝑃 𝑥 =
Factor
Factor
III) Se realiza la diferencia 𝐶𝑥2
− 𝐹𝑥2
= 𝐾𝑥2
.
𝑎1 𝑥2
+ 𝑘1 𝑥 + 𝑒1 𝑎2 𝑥2
+ 𝑘2 𝑥 + 𝑒2
12. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Ejemplo 1
𝑃 𝑥 = 𝑥4
+ 7𝑥3
+ 14𝑥2
+ 7𝑥 + 1
𝑥2
𝑥2
+1
+1
+𝑥2
+𝑥2
(+)
+2𝑥2
(−)
+3𝑥
+4𝑥
+12𝑥2
Factor
Factor
Factorice
𝑃 𝑥 = 𝑥2 + 3𝑥 + 1 𝑥2
+ 4𝑥 + 1
Ejemplo 2
𝑃 𝑥 = 𝑥4 + 𝑥3 + 2𝑥2 + 5𝑥 − 15
𝑥2
𝑥2
+5
-3
+5𝑥2
−3𝑥2
(+)
+2𝑥2
(−)
+0𝑥
+𝑥
+0𝑥2
Factor
Factor
Factorice
𝑃 𝑥 = 𝑥2
+ 0𝑥 + 5 𝑥2
+ 𝑥 − 3
𝑃 𝑥 = 𝑥2
+ 5 𝑥2
+ 𝑥 − 3
13. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Criterio de divisores binómicos
Se utiliza para factorizar los polinomios en una variable y de grado superior a dos, siempre y cuando admita por lo
menos un factor lineal.
Raíz de un polinomio
Si P 𝑥 es un polinomio de grado mayor que cero,
decimos que 𝛼 es raíz del polinomio P 𝑥 , sí y solo
sí P 𝛼 = 0
𝑃 𝑥 = 𝑥3 − 3𝑥 − 2
Ejemplo
𝑃 0 = (0)3
−3 0 − 2 = −2 →
𝑃 1 = (1)3−3 1 − 2 = −4 →
𝑃 2 = (2)3
−3 2 − 2 = 0 →
Posibles raíces racionales (P.R.R)
Para conocer las posibles raíces racionales de un polinomio
P 𝑥 de coeficientes enteros.
P 𝑥 = 𝑎0 𝑥 𝑛
+ 𝑎1 𝑥 𝑛−1
+ 𝑎2 𝑥 𝑛−2
+ ⋯ + 𝑎 𝑛−1 𝑥 + 𝑎 𝑛
Se utilizará el siguiente criterio
P. R. R = ±
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑎 𝑛
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑎0
(𝑎0. 𝑎 𝑛 ≠ 0)
Ejemplo
𝑃 𝑥 = 3𝑥4
+ 2𝑥2
+ 4𝑥 − 9 → P. R. R = ±
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 9
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 3
P. R. R = ±
1; 3; 9
1; 3
;
= ± 1; 3; 9;
1
3
0 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑟𝑎í𝑧
1 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑟𝑎í𝑧
2 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑟𝑎í𝑧
14. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
NOTA
Las posibles raíces racionales (P.R.R), nos muestran los
valores racionales que posiblemente puedan ser raíces
del polinomio con coeficientes enteros.
𝑃 𝑥 = 2𝑥2 − 3𝑥 − 2 tenemos:
𝑃. 𝑅. 𝑅
Si
𝑃. 𝑅. 𝑅 = 1; −1; 2; −2;
1
2
; −
1
2
evaluando
𝑃 1 = −3 𝑃 −1 = 3 𝑃 2 = 0
𝑃 −2 = 12 𝑃
1
2
= −3 𝑃 −
1
2
= 0
No son raíces Son raíces
De los 6 posibles valores, solo 2 son raíces
Teorema del factor
𝛼 es una raíz del polinomio P 𝑥 si y solo si
𝑥 − 𝛼 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑃 𝑥
Ejemplo
𝑃 𝑥 = 𝑥3 + 5𝑥 + 6Si tenemos:
𝑃. 𝑅. 𝑅 = ±
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 6
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 1
como 𝑃 −1 = −1 3
+ 5 −1 + 6 = 0
-1 es raíz de 𝑃 𝑥
𝑥 − −1 =
𝑃 𝑥 =
NOTA 𝑞(𝑥) se calcula por división (regla de Ruffini)
Criterio de divisores binómicos
= ±
1; 2; 3; 6
1
= ± 1; 2; 3; 6
𝑥 + 1 es un factor de 𝑃 𝑥
𝑥 + 1 𝑞(𝑥)
= ±
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 2
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 2
= ±
1; 2
1; 2
= ± 1; 2;
1
2
15. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Criterio de divisores binómicos
Procedimiento
Dado el polinomio
P 𝑥 = 𝑎0 𝑥 𝑛
+ 𝑎1 𝑥 𝑛−1
+ 𝑎2 𝑥 𝑛−2
+ ⋯ + 𝑎 𝑛−1 𝑥 + 𝑎 𝑛
con coeficientes enteros, donde 𝑎0. 𝑎 𝑛 ≠ 0
I) Se halla sus P.R.R que nos permite encontrar una raíz
del polinomio; por teorema del factor, se podrá conocer
un factor.
II) Se hace una división por Ruffini entre el polinomio y el
factor encontrado, siendo el cociente el otro factor
buscado.
Ejemplo
Factorice 𝑃 𝑥 = 𝑥3 − 7𝑥 + 6
Resolución
I) Tenemos
𝑃. 𝑅. 𝑅 = ±
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 6
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 1
Como
𝑃 1 = (1)3−7 1 + 6 = 0 1 𝑒𝑠 𝑟𝑎í𝑧 𝑑𝑒 𝑃(𝑥)
𝑥 − 1 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑃 𝑥
𝑃 𝑥 = 𝑥 − 1 𝑞 𝑥
= ±
1; 2; 3; 6
1
= ± 1; 2; 3; 6
16. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
II) Encontramos el otro factor por la regla de Ruffini
𝑃 𝑥 ÷ 𝑥 − 1
Criterio de divisores binómicos
Tenemos:
𝑃 𝑥
𝑥 − 1
=
𝑥3
− 7𝑥 + 6
𝑥 − 1
=
𝑥3
+ 0𝑥2
− 7𝑥 + 6
𝑥 − 1
Por la regla de Ruffini, tenemos:
𝑥 − 1 = 0
𝑥 = 1
1 0 −7 6
1
1
1
1
−6
−6
0
𝑞 𝑥
𝑃 𝑥 = 𝑥 − 1 𝑞 𝑥Recordemos que
𝑃 𝑥 = 𝑥 − 1 𝑥2
+ 𝑥 − 6
Se puede factorizar
por aspa simple
𝑃 𝑥 = 𝑥 − 1 𝑥2
+ 𝑥 − 6
𝑥
𝑥
+3
−2
𝑃 𝑥 = 𝑥 − 1 𝑥 + 3 𝑥 − 2
17. w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e