Serie infinita

1. Serie infinita
Una serie es una sucesión de elementos que, ordenados, mantienen un cierto vínculo entre
sí. La noción de infinito, por su parte, se vincula a aquello que carece de fin.
Una serie infinita, por lo tanto, es una seguidilla de unidades que no tiene final. El concepto
opuesto es el de serie finita, que se caracteriza por finalizar en un determinado momento.
En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una
serie con términos an como donde n es el índice final de la serie. Las series infinitas son
aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir, Las
series finitas son las que constan de un determinado, o finito número de términos, cuya
suma extrae exactamente el valor de una cantidad.
Ejemplo
La sucesión de sumas parciales de k=1∞310k es
S1 = 310
S2 = 310 + 3102
S3 = 310 + 3102 + 3103
Sn = 310 + 3102 + 3103 + 310n
Teorema
Una serie infinita de términos positivos es convergente si y sólo si su sucesión de sumas
parciales tiene una cota superior. En sí mismo, este criterio no es muy útil: decidir si el
conjunto es o no acotado es precisamente lo que no sabemos hacer. Por otra parte, si se
dispone de algunas series convergentes para comparación se puede utilizar este criterio para
obtener un resultado cuya sencillez encubre su importancia (constituye la base para casi
todas las demás pruebas).
Continua
Ahora se consideran los primeros n términos de la serie geométrica con a = 1 y r = :
la serie geométrica con a=1 y r= tiene la suma a/(1-r)=2. En consecuencia, la suma de la
ecuación anterior es menor que 2. Observe que cada término de la suma primera es menor

2. que o igual al término correspondiente de la suma siguiente; esto es, cierto porque k ¡= 1 • 2
• 3 •…. • k, que , además del factor 1. Contiene k – 1 factores cada uno mayor que o igual a
2. En consecuencia.
De lo anterior, tiene la cota superior 2. Por tanto, por el teorema de la serie infinita la serie
dada es convergente.
Series infinitas de términos positivos y negativos
Un tipo de series infinitas que constan de términos positivos y negativos es el de las series
alternantes, cuyos términos son, alternadamente, positivos y negativos.
Definición de serie alternante
Si para todos los números enteros positivos n, entonces la serie se denominan series
alternantes.
Ejemplo: Un ejemplo de serie alternante de la forma de la primera ecuación, donde el
primer término es positivo, es una serie alternante de la segunda ecuación, donde el primer
término es negativo, es
El teorema siguiente, denominado criterio de las series alternantes, establece que una serie
alternante es convergente si los valores absolutos de sus términos decrecen y el límite del n-
ésimo término es cero.