1. FACULTAD DE CIENCIAS E
INGENIERÍA
E.A.P. de: INGENIERÍA ELÉCTRONICA CON
MENCIÓN EN TELECOMUNICACIONES
MATEMÁTICA APLICADA A LA INGENIERÍA III CICLO: III
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TEMA: Derivadas parciales SEMANA: 08
TURNO: MAÑANA PABELLÓN: B AULA: 604 SEMESTETRE: 2017 - I
Derivadas parciales
DEFINICIÓN DE DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES
Si 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), las primeras derivadas parciales de f con respecto a 𝒙 𝑦 𝒚
son las funciones fx y fy definidas por
𝜕
𝜕𝑥
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑧 𝑥 =
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥, 𝑦) − 𝑓(𝑥,𝑦)
∆𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑧 𝑦 =
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = lim
∆𝑦→0
𝑓(𝑥, 𝑦 + ∆𝑦) − 𝑓(𝑥,𝑦)
∆𝑦
Para hallar fx se considera y constante y se deriva con respecto a x. De manera similar, para
calcular fy, se considera x constante y se deriva con respecto a y.
DEFINICIÓN DE DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN DE TRES VARIABLES
Si 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧), las primeras derivadas parciales de f con respecto a 𝒙, 𝒚 𝑦 𝒛 son las
funciones fx, fy y fz definidas por
𝜕
𝜕𝑥
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑤𝑥 =
𝜕𝑤
𝜕𝑥
= 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥, 𝑦, 𝑧) − 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)
∆𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑤 𝑦 =
𝜕𝑤
𝜕𝑦
= 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧) = lim
∆𝑦→0
𝑓(𝑥, 𝑦 + ∆𝑦, 𝑧) − 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)
∆𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑤𝑧 =
𝜕𝑤
𝜕𝑧
= 𝑓𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) = lim
∆𝑧→0
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧 + ∆) − 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)
∆𝑧
Para hallar la derivada parcial con respecto a una de las variables, se mantienen constantes
las otras variables y se deriva con respecto a la variable dada.
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Es importante tener presente que las derivadas parciales de una función de dos variables,
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) tienen una interpretación geométrica útil. Informalmente, los valores
𝜕𝑓
𝜕𝑥
y
𝜕𝑓
𝜕𝑦
en
un punto (x0, y0, z0) denotan las pendientes de la superficie en las direcciones de 𝑥 𝑦 𝑦,
respectivamente. Ver las siguientes figuras:
f
y
(Pendiente en la dirección de y)
f
x
(Pendiente en la dirección x)
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DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Como sucede en las derivadas ordinarias, es posible hallar las segundas, terceras, etc.
Derivadas parciales de una función de varias variables. Por ejemplo:
1) Derivar dos veces con respecto a x:
𝒇 𝒙𝒙 =
𝝏 𝟐 𝒇
𝝏𝒙 𝟐
=
𝝏
𝝏𝒙
(
𝝏𝒇
𝝏𝒙
)
2) Derivar dos veces con respecto a y:
𝒇 𝒚𝒚 =
𝝏 𝟐 𝒇
𝝏𝒚 𝟐 =
𝝏
𝝏𝒚
(
𝝏𝒇
𝝏𝒚
)
3) Derivar primero con respecto a x y luego con respecto a y:
𝒇 𝒙𝒚 =
𝝏 𝟐 𝒇
𝝏𝒚𝝏𝒙
=
𝝏
𝝏𝒚
(
𝝏𝒇
𝝏𝒙
)
4) Derivar primero con respecto a y y luego con respecto a x:
𝒇 𝒚𝒙 =
𝝏 𝟐 𝒇
𝝏𝒙𝝏𝒚
=
𝝏
𝝏𝒙
(
𝝏𝒇
𝝏𝒚
)
Los casos tercero y cuarto se llaman derivadas parciales mixtas.
IGUALDAD DE LAS DERIVADAS PARCIALES MIXTAS
Si f es una función de x y y y tal que fxy y fyx son continuas, entonces, para todo (𝑥, 𝑦)
fxy(x,y) = fyx(x,y)
Ejemplo 1.- Aplique la definición de derivada parcial para calcular 𝑓𝑋(𝑥, 𝑦) 𝑦 𝑓𝑌(𝑥, 𝑦) si:
𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2
– 2𝑥𝑦 + 𝑦2
Solución
𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥, 𝑦)−𝑓(𝑥,𝑦)
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
3(𝑥+ ∆𝑥)2−2(𝑥+ ∆𝑥)𝑦 + 𝑦2− (3𝑥2− 2𝑥𝑦 + 𝑦2)
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
3(𝑥2+ 2𝑥.∆𝑥 + (∆𝑥)2) −2𝑥𝑦−2.∆𝑥.𝑦+𝑦2−3𝑥2+2𝑥𝑦−𝑦2
∆𝑥
=
= lim
∆𝑥→0
6𝑥(∆𝑥) + 3(∆𝑥)2 – 2(∆𝑥)𝑦
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
∆𝑥[6𝑥 + 3(∆𝑥) − 2𝑦]
∆𝑥
= 6𝑥 + 3(0) − 2𝑦 =
= 𝟔𝒙 − 𝟐𝒚
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𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = lim
∆𝑦→0
𝑓(𝑥, 𝑦 + ∆𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦)
∆𝑦
= lim
∆𝑦→0
3𝑥2
− 2𝑥(𝑦 + ∆𝑦) + (𝑦 + ∆y)2
− (3𝑥2
− 2𝑥𝑦 + 𝑦2)
∆𝑦
=
= lim
∆𝑦→0
3𝑥2
− 2𝑥𝑦 − 2(∆𝑦)𝑥 + 𝑦2
+ 2𝑦(∆𝑦) + (∆𝑦)2
− 3𝑥2
+ 2𝑥𝑦 − 𝑦2
∆𝑦
= lim
∆𝑦→0
∆𝑦[−2𝑥 + 2𝑦 + ∆𝑦]
∆𝑦
= −2𝑥 + 2𝑦 + 0 = −𝟐𝒙 + 𝟐𝒚
Ejemplo 2. Hallar las derivadas parciales fx y fy de la función f(x,y) = 3x - x2y2 + 2x3y.
Solución
∎ f(x,y) = 3x - x2y2 + 2x3y
fx(x,y) = 3 - 2xy2 + 6x2y
∎ f(x,y) = 3x - x2y2 + 2x3y
fy(x,y) = -2x2y + 2x3
Ejemplo 3. Dada f(x,y) = 𝑥𝑒 𝑥2 𝑦
, hallar fx y fy, y evaluar cada una en el punto (1,ln2).
Solución
∎ f(x,y) = 𝑥𝑒 𝑥2 𝑦
fx(x,y) = 𝑥. 𝑒 𝑥2 𝑦
. 2𝑥𝑦 + 𝑒 𝑥2 𝑦
= 𝑒 𝑥2 𝑦[2𝑥𝑦 + 1]
fx(1,ln2) = 𝑒(1)2 𝑙𝑛2[2(1)𝑙𝑛2 + 1] = 2[2𝑙𝑛2 + 1] = 4𝑙𝑛2 + 2
∎ f(x,y) = 𝑥𝑒 𝑥2 𝑦
fy(x,y) = 𝑥. 𝑒 𝑥2 𝑦
. 𝑥2
= 𝑥3
. 𝑒 𝑥2 𝑦
fy(1,ln2) = (1)3
. 𝑒(1)2 𝑙𝑛2
= 𝑒 𝑙𝑛2
= 2
Ejemplo 4. Hallar las pendientes en las direcciones de x y de y de la superficie dada por
f(x,y) = -
𝑥2
2
− 𝑦2
+
25
8
, en el punto (1/2,1,2).
Solución
∎ 𝑓(𝑥, 𝑦) = −
𝑥2
2
− 𝑦2 +
25
8
𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = −𝑥
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Pendiente en la dirección de x es:
𝑓𝑥(
1
2
, 1) = −
1
2
∎ 𝑓(𝑥, 𝑦) = −
𝑥2
2
− 𝑦2 +
25
8
𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = −2𝑦
Pendiente en la dirección de y es:
𝑓𝑦(
1
2
, 1) = −2(1) = −2
Ejemplo 5. Hallar la derivada parcial de f(x,y,z) = xy + yz2 + xz con respecto a z.
Solución
fz(x,y,z) = 2yz +x
Ejemplo 6. Dada f(x,y,z) = z.sen(xy2 + 2z), hallar fz(x,y,z).
Solución
fz(x,y,z) = z.cos(xy2 + 2z)[2] + sen(xy2 + 2z) = 2z. cos(xy2 + 2z) + sen(xy2 + 2z)
Ejemplo 7. Dada f(x,y,z,w) =
𝑥+𝑦+𝑧
𝑤2 , hallar fw(x,y,z,w).
Solución
fw(x,y,z,w) = −2
(𝑥+𝑦+𝑧)
𝑤3
Ejemplo 8. Dada f(x,y) = 3xy2 – 2y + 5x2y2, hallar fxx(x,y), fyy(x,y), fxy(x,y) y fyx(x,y).
Solución
∎ fx(x,y) = 3y2 + 10xy2
fxx = 10y2
∎ fy(x,y) = 6xy – 2 + 10x2y
fyy= 6x + 10x2
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∎ fxy(x,y) = 6y + 20xy
∎ fyx(x,y) = 6y + 20xy
Ejemplo 9. Demostrar que fxz = fzx y fxzz = fzxz = fzzx para la función dada por:
f(x,y,z) = y𝑒 𝑥
+ 𝑥𝑙𝑛𝑧
Solución
∎ fx(x,y,z) = y.𝑒 𝑥
+ 𝑙𝑛𝑧
∎ fz(x,y,z) =
𝑥
𝑧
∎ fxz(x,y,z) =
1
𝑧
fxz(x,y,z) = fzx(x,y,z)
∎ fzx(x,y,z) =
1
𝑧
∎ fxzz(x,y,z) = −
1
𝑧2
∎ fzxz(x,y,z) = −
1
𝑧2
fxzz(x,y,z) = fzxz(x,y,z) = fzzx(x,y,z)
∎ fzzx(x,y,z) = −
1
𝑧2
EJERCICIOS PROPUESTOS
1) Encuentre fx(x,y) y fy(x,y) dadas:
a) z = 𝑙𝑛
𝑥 + 𝑦
𝑥 − 𝑦
b) z =
𝑥2
2𝑦
+
4𝑦2
𝑥
c) z = 𝑒 𝑦
. 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑦
d) z =
𝑥𝑦
𝑥2 + 𝑦2
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e) 𝑧 = 𝑠𝑒𝑛(3𝑥). 𝑐𝑜𝑠(3𝑦)
2) Empleando la definición de derivadas, calcule fx(x,y) y fy(x,y) dada:
𝑓(𝑥, 𝑦) = √ 𝑥 + 𝑦
3) Encuentre fx(x,y,z), fy(x,y,z) y fz(x,y,z), dada:
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑙𝑛√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 b) w =
3𝑥𝑧
𝑥 + 𝑦
4) Calcule las cuatro derivadas parciales de segundo orden. Observe que las derivadas
parciales mixtas de segundo orden son iguales
a) z = arctg
𝑦
𝑥
b) z = 2𝑥. 𝑒 𝑦
− 3𝑦. 𝑒−𝑦
REGLA DE LA CADENA
REGLA DE LA CADENA: UNA VARIABLE INDEPENDIENTE
Sea 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦), donde 𝑓 es una función derivable de 𝑥 𝑦 𝑦. Si 𝑥 = 𝑔(𝑡) y 𝑦 = ℎ(𝑡),
donde 𝑔 𝑦 ℎ son funciones derivables de 𝑡, entonces 𝑤 es una función diferenciable de
𝑡, 𝑦
𝒅𝒘
𝒅𝒕
=
𝝏𝒘
𝝏𝒙
.
𝒅𝒙
𝒅𝒕
+
𝝏𝒘
𝝏𝒚
.
𝒅𝒚
𝒅𝒕
w
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝜕𝑤
𝜕𝑦
x y
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑡
t t
Regla de la cadena: una variable dependiente w, es función de x y y, lasque a su vez son
funciones de t. Este diagrama representa la derivada de w con respecto a t.
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Ejemplo 1. Hallar dw/dt cuando t = 0, aplicando la regla de la cadena, dada w = x2y – y2,
donde x = sent y y = et.
Solución
w
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝜕𝑤
𝜕𝑦
x y
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑡
t t
𝑑𝑤
𝑑𝑡
=
𝜕𝑤
𝜕𝑥
.
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
.
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 2𝑥𝑦. cos(𝑡) + (𝑥2
− 2𝑦)𝑒 𝑡
=
= 2. 𝑠𝑒𝑛(𝑡). 𝑒 𝑡
. cos(𝑡) + (𝑠𝑒𝑛2
𝑡 − 2. 𝑒 𝑡)𝑒 𝑡
=
= 2. 𝑒 𝑡
. 𝑠𝑒𝑛(𝑡). cos(𝑡) + 𝑒 𝑡
. 𝑠𝑒𝑛2(𝑡) − 2. 𝑒2𝑡
Cuando t = 0 →
𝑑𝑤
𝑑𝑡
= 2. 𝑒0
. 𝑠𝑒𝑛(0). cos(0) + 𝑒0
. 𝑠𝑒𝑛2(0) − 2. 𝑒2(0)
= −2
REGLA DE LA CADENA: DOS VARIABLES INDEPENDIENTES
Sea w = f(x,y), f es una función diferenciable de x y y. Si x = g(s,t) y y = h(s,t), son
tales que las derivadas parciales de primer orden
𝜕𝑥
𝜕𝑠
,
𝜕𝑥
𝜕𝑡
,
𝜕𝑦
𝜕𝑠
y
𝜕𝑦
𝜕𝑡
, existen, entonces
𝜕𝑤
𝜕𝑠
y
𝜕𝑤
𝜕𝑡
existen y están dadas por:
𝝏𝒘
𝝏𝒔
=
𝝏𝒘
𝝏𝒙
.
𝝏𝒙
𝝏𝒔
+
𝝏𝒘
𝝏𝒚
.
𝝏𝒚
𝝏𝒔
𝒚
𝝏𝒘
𝝏𝒕
=
𝝏𝒘
𝝏𝒙
.
𝝏𝒙
𝝏𝒕
+
𝝏𝒘
𝝏𝒚
.
𝝏𝒚
𝝏𝒕
w
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝜕𝑤
𝜕𝑦
x y
𝜕𝑥
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑠
𝜕𝑦
𝜕𝑡
𝜕𝑦
𝜕𝑠
t s t s
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Regla de la cadena: una variable dependiente w, es función de x y y las que a su vez son
funciones de s y t. Este diagrama representa la derivada de w con respecto a t y s.
Ejemplo 2. Encuentre
𝜕𝑤
𝜕𝑠
𝑦
𝜕𝑤
𝜕𝑡
, dada w = 2xy, x = s2 + t2 y y = s/t
Solución
w
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝜕𝑤
𝜕𝑦
x y
𝜕𝑥
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑠
𝜕𝑦
𝜕𝑡
𝜕𝑦
𝜕𝑠
t s t s
𝜕𝑤
𝜕𝑠
=
𝜕𝑤
𝜕𝑥
.
𝜕𝑥
𝜕𝑠
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
.
𝜕𝑦
𝜕𝑠
𝜕𝑤
𝜕𝑡
=
𝜕𝑤
𝜕𝑥
.
𝜕𝑥
𝜕𝑡
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
.
𝜕𝑦
𝜕𝑡
𝜕𝑤
𝜕𝑠
= 2𝑦(2𝑠) + 2𝑥 (
1
𝑡
) = 2 (
𝑠
𝑡
) 2𝑠 + 2(𝑠2
+ 𝑡2) (−
𝑠
𝑡2
) = 4𝑠 −
2𝑠3+2𝑠𝑡2
𝑡2
=
6𝑠2 + 2𝑡2
𝑡
𝜕𝑤
𝜕𝑡
= 2𝑦(2𝑡) + 2𝑥 (−
𝑠
𝑡2
) = 2 (
𝑠
𝑡
) 2𝑡 + 2(𝑠2
+ 𝑡2) (−
𝑠
𝑡2
) = 4𝑠 −
2𝑠3
+ 2𝑠𝑡2
𝑡2
=
=
4𝑠𝑡2
− 2𝑠3
− 2𝑠𝑡2
𝑡2
=
2𝑠𝑡2
− 2𝑠3
𝑡2
La regla de la cadena puede extenderse a cualquier número de variables.
Ejemplo 3.- Dada 𝑤 = 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧, 𝑥 = 𝑠. 𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑦 = 𝑠. 𝑠𝑒𝑛𝑡 y 𝑧 = 𝑡, para 𝑠 = 1 𝑦
𝑡 = 2𝜋. Hallar
𝜕𝑤
𝜕𝑠
𝑦
𝜕𝑤
𝜕𝑡
.
Solución
w
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝜕𝑤
𝜕𝑧
x y z
𝜕𝑥
𝜕𝑠
𝜕𝑥
𝜕𝑡
𝜕𝑦
𝜕𝑠
𝜕𝑦
𝜕𝑡
𝑑𝑧
𝑑𝑡
s t s t t