Teoria de colas

Introducción 11
1 Introducción
1.1 Contenido de la obra
En este libro se desarrollan los contenidos de la asignatura de Métodos Cuantitativos de Organización
Industrial II, correspondiente a la titulación de Ingeniería en Organización Industrial en la ETSEIT. En
lo que se refiere a adquisición de conocimientos, se pretende que una vez cursada la asignatura el
alumno conozca las aplicaciones y procedimientos de resolución de las siguientes técnicas de métodos
cuantitativos de gestión:
• Modelos de líneas de espera (también llamada teoría de colas)
• Cadenas de Markov y procesos de decisión markovianos
• Programación dinámica
La agrupación de estas técnicas en una misma asignatura se debe a la existencia de diversos puntos
comunes entre estas técnicas, lo cual puede facilitar su proceso de aprendizaje. Dichos puntos
comunes pueden concretarse del modo siguiente:
• Se trata de modelos dinámicos, esto es, que representan la evolución de determinadas magnitudes
de la realidad observada a lo largo del tiempo. Al evolucionar a lo largo del tiempo, podremos
caracterizar a la realidad así observada como un proceso. En ocasiones se examinará el
comportamiento del proceso a intervalos regulares (o etapas): tendremos entonces modelos de
tiempo discreto. Otras veces podrá ser útil aproximar indefinidamente las etapas, y los modelos
serán de tiempo continuo.
• En cada uno de los instantes de tiempo considerados, el proceso podrá encontrarse en alguno de
los posibles estados. Un estado es una variable, cuantitativa o cualitativa, descriptiva del
comportamiento del proceso. El conjunto de estados podrá ser finito o infinito, dependiendo de la
naturaleza del proceso. La evolución de dicho proceso se podrá caracterizar por los estados que
vaya tomando a lo largo del tiempo.
• Si la evolución del proceso a partir de un determinado instante de tiempo no está determinada,
sino que sigue una determinada ley probabilística, deberá caracterizarse por un modelo estocástico
o aleatorio. Si la evolución es conocida, el modelo a utilizar será de tipo determinista.
Puede suceder que, al principio de cada una de las etapas, podamos tomar una decisión. Dicha
evolución influirá en la evolución futura del proceso, bien forzando una evolución a un
determinado estado con toda certeza (proceso decisional determinista) o influyendo sobre la
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002

Métodos cuantitativos de organización industrial II12
naturaleza de la ley de probabilidad que regirá la evolución del proceso en la etapa siguiente
(proceso decisional estocástico).
• Finalmente, a diferencia de los modelos de programación lineal desarrollados en Métodos
Cuantitativos de Organización Industrial I, las magnitudes relevantes del sistema pueden
evolucionar de forma no lineal. Esto puede permitirnos resolver algunos modelos no lineales a
un coste relativamente reducido.
Las técnicas cuantitativas de gestión que se desarrollan en esta obra permitirán tratar algunos modelos
dinámicos, de tiempo discreto o continuo. Dichos modelos podrán ser deterministas o estocásticos, y
pueden contemplar la posibilidad de tomar decisiones en cada una de las etapas.
1.2 Teoría de colas
Se trata de modelos descriptivos de situaciones en las que se producen esperas. Estas situaciones son
muy frecuentes en el contexto organizativo, y pueden encontrarse en diversas situaciones. Algunas de
éstas son muy evidentes: la gestión de las cajas de un supermercado, las cabinas de peaje en una
autopista o una cola de impresión. Otras, como los problemas de asignación de máquinas a operarios,
no lo son tanto, pero también son susceptibles de ser representadas de esta manera.
Una cola determinista, en la que se conocen con exactitud la forma en que se producen las llegadas y
los tiempos de servicio, es relativamente sencilla de resolver. Una situación más compleja (y frecuente
en situaciones como las descritas más arriba) tiene lugar cuando llegadas y servicios tienen lugar de
manera aleatoria. Por tanto, los modelos descriptivos de las líneas de espera son en su abrumadora
mayoría de tipo estocástico. En cuanto a la secuencia temporal, se trata en la mayoría de los casos de
modelos de tiempo continuo, aunque en ocasiones (sobre todo en simulación) puedan realizarse
aproximaciones de tiempo discreto.
En un sistema de colas puede darse el caso de que existan normas de decisión (es el caso, por ejemplo,
de las colas con prioridades). Sin embargo, es más frecuente plantear problemas de diseño del sistema,
de manera que se minimicen los costes asociados a la cola: costes de servicio, de espera y de
abandono.
1.3 Cadenas de Markov
Las cadenas de Markov son un modelo representativo de procesos estocásticos, caracterizados
precisamente por la propiedad markoviana: la ley de probabilidad que rige la evolución del proceso de
un instante t a otro t + 1 viene determinada por el estado en que se encuentre el modelo en ese instante.
Pueden describirse de esta manera procesos de tiempo continuo o de tiempo discreto. Una cola en la
que las leyes de probabilidad de las tasas de llegada y servicio sea de tipo Poisson puede tratarse como
una cadena de Markov de tiempo continuo.
En ocasiones, podremos asociar un valor de utilidad a cada una de las transiciones posibles, y
determinar el valor esperado de dicha utilidad en el largo plazo: se trata de un modelo de cadenas de
Markov con remuneración.
También podemos plantearnos la posibilidad de tomar una decisión al principio de cada una de las
etapas de un proceso de tipo markoviano. Con esta decisión, podremos hacer que el modelo
evolucione según una u otra cadena de Markov. Para estos procesos, interesará conocer la política
(decisiones a tomar para cada etapa si nos encontramos en alguno de los estados) para optimizar el

Introducción 13
valor esperado de la utilidad del proceso. Se trata entonces de un modelo de cadenas de Markov con
remuneración y decisión, o también un modelo de procesos markovianos de decisión.
1.4 Programación dinámica
Se trata de una metodología que permite optimizar el comportamiento de procesos polietápicos de
decision. En los modelos de programación dinámica podemos tomar una decisión al principio de cada
etapa. Dicha decisión afecta a la evolución futura del modelo. El valor de la magnitud a optimizar en
una determinada etapa dependerá del estado en que se encuentre el proceso y de la naturaleza de la
decisión. Se trata de encontrar políticas –en el sentido descrito para las cadenas de Markov– que
optimicen el comportamiento del sistema para un determinado número de etapas (si el modelo es
determinista) o el valor esperado de dicho comportamiento (si el modelo es estocástico).
Los procesos markovianos de decisión descritos anteriormente pueden ser resueltos mediante
programación dinámica. Otros problemas, como el de distribución de esfuerzos, los de renovación y
mantenimiento y planificación de inventarios son también susceptibles de ser tratados con
programación dinámica.
1.5 Notación y conocimientos previos
En las expresiones matemáticas, se ha seguido la siguiente notación:
• Las variables escalares se han representado en cursiva, mayúscula o minúscula según convenga.
Especialmente en teoría de colas, se han usado letras griegas para representar escalares. Por
ejemplo: n, k, p, N, ρ, λ, µ.
• Los vectores se representan en minúscula negrita. Si no se indica lo contrario, se trata de
vectores columna. Por ejemplo: v, g.
• Las matrices se representan en mayúscula negrita. Por ejemplo: P, A.
En cuanto a conocimientos previos, se recomienda revisar las siguientes materias:
• Distribuciones de probabilidad, especialmente las propiedades de las distribuciones exponencial
y de Poisson.
• Cálculo matricial: producto de matrices, y significado de los valores y vectores propios.
• Obtención de raíces complejas de un número real.

Teoría de colas 15
2 Teoría de colas
2.1 Modelos de línea de espera
Tanto en la vida cotidiana como en el contexto organizativo, podemos encontrarnos con situaciones
del tipo siguiente:
Determinadas unidades acuden a un sistema a recibir un determinado servicio. Dichas unidades
proceden de un centro emisor y aparecen en el sistema de forma aleatoria, con una tasa de llegadas
(unidades que llegan por unidad de tiempo) que sigue una determinada distribución de probabilidad
(ley de llegada). Una vez en el sistema, puede suceder que sean servidas en alguno de los servidores o
canales, o bien que esperen turno (entrando entonces en una cola). Si esto sucede, accederán al
servicio según una determinada disciplina de cola. El sistema servirá las unidades con una tasa de
servicio (servicios por unidad de tiempo) aleatoria, caracterizada por una distribución de probabilidad
(ley de servicio).
Fig. 2.1.a Componentes de un modelo de líneas de espera
SISTEMA DE LÍNEAS DE ESPERA
SISTEMA
CENTRO EMISOR
(finito / infinito)
LEY DE LLEGADA
LEY DE SERVICIO
COLA
(finita / infinita)
SERVICIO
(s servidores)

En la tabla se muestran algunos ejemplos de situaciones asimilables a sistemas de líneas de espera:
Tabla 2.1.a Ejemplos de modelos de línea de espera
Situación Unidades Servidores Servicio
Espera de clientes en un
supermercado.
Clientes que esperan
para pagar.
Cajas registradoras. Cobro de la compra.
Automóviles en un
taller.
Automóviles averiados.
Mecánicos o equipos de
mecánicos.
Reparación del
automóvil.
Servicio de
mantenimiento.
Máquinas averiadas o en
mantenimiento.
Unidades o equipos de
mantenimiento.
Reparación de la
máquina.
Todas estas situaciones pueden ser analizadas como un sistema de líneas de espera. Dicho sistema
abarca:
• Las unidades que están recibiendo servicio en ese momento.
• Las unidades que están esperando recibir servicio en la cola.
• Los canales o servidores que suministran el servicio.
2.2 Parámetros de un sistema de líneas de espera
Estos sistemas pueden ser analizados y diseñados utilizando modelos matemáticos de líneas de espera.
El modelo de línea de espera a considerar para analizar una determinada situación debe caracterizarse
a partir de las propiedades de:
• El centro emisor de las unidades a servir.
• Las características del servicio.
• Las condiciones en las que se desarrolla el proceso de espera en la cola.
Centro emisor
Como se ha indicado, se supone que las unidades proceden de un centro emisor y acceden a sistema
con una tasa de llegadas aleatoria que sigue una determinada ley de probabilidad, denominada ley de
llegada. En ocasiones, puede ser más conveniente definir la ley de llegada por los tiempos entre
llegadas. En un caso general, la tasa media de llegadas al sistema puede ser función de los n unidades
que se encuentren en el interior del sistema y se representa por λn.
Cuando el número de unidades en el centro emisor es muy grande, la probabilidad de que una unidad
llegue al sistema no se ve afectada por las unidades que hayan salido del centro emisor (y que, por
tanto, estén dentro del sistema). Esto supone que la tasa media de llegadas al sistema sea
independiente de n y tengamos λn = λ. Cuando esto sucede, decimos que nos encontramos ante un
sistema de colas de universo infinito.
Cuando el número de clientes en el sistema es un número relativamente pequeño m, entonces sí que la
probabilidad de que una unidad llegue al sistema dependerá de las unidades que estén presentes en él.
En este caso, tendremos un sistema de colas de universo finito.

Teoría de colas 17
Servicio
Una vez las unidades han entrado en el sistema, más tarde o más temprano recibirán un determinado
servicio. Dependiendo de las características del servicio, podremos tener dos situaciones:
• Se realizan sobre la unidad varios servicios de forma secuencial. Tendremos entonces un conjunto
de servidores en serie.
• Determinado servicio puede ser realizado por uno cualquiera de varios servidores. Tendremos
entonces servidores en paralelo o canales de servicio.
Fig. 2.2.a Disposición de los servidores en los modelos de línea de espera
En esta obra, consideraremos sistemas de colas sin servidores en serie. Dicha situación, cuando ocurre,
es un caso particular de un problema más general (redes de colas) de gran complejidad, cuyo
tratamiento excede los objetivos de la presente unidad. Es habitual, sin embargo, considerar la
posibilidad de que el sistema tenga s servidores en paralelo.
Tal como se ha hecho con las llegadas, podemos describir el comportamiento del sistema en lo relativo
al servicio con µn, la tasa media de servicio del sistema cuando su estado es n. Para un sistema con s
servidores idénticos en paralelo, cada uno de ellos con una tasa de servicio de canal igual a µ, la tasa
de servicio del sistema valdrá:
Si n ≤ s µn = nµ
Si n ≥ s µn = sµ
Cola
La cola del sistema está formada por las unidades que llegan al sistema y no pueden recibir servicio de
manera inmediata, por encontrarse todos los servidores ocupados. Existen dos características de la cola
relevantes para la definición del modelo a aplicar.
TIPOS DE SERVICIO
SERVIDORES SERIE (red de colas):
SERVIDORES PARALELO (s canales de servicio):

Al definir el sistema, podemos establecer la condición siguiente: si en el sistema, entre unidades que
están siendo servidas y unidades en espera, tenemos un número de unidades igual a k y llega una
nueva unidad al sistema, dicha unidad debe abandonar el sistema y volver al centro emisor, sin recibir
servicio. Un modelo de este tipo es un modelo de cola limitada, porque limita el tamaño de la cola a k
– s unidades. Cuando la condición definida más arriba no sea aplicable, tendremos un sistema de cola
infinita (hay que precisar que la infinitud se refiere al número posible de unidades en el sistema, no
necesariamente al número realmente existente, el cual es deseable que sea finito). Mediante modelos
de cola limitada podemos representar situaciones como:
El comportamiento de los clientes de un supermercado que, al observar una larga cola para
pagar, abandonan el local sin comprar.
La situación de un taller de reparación de automóviles que no puede recibir más vehículos por
falta de espacio.
Un segundo parámetro a determinar es la disciplina de cola, que describe la regla con la que se decide
qué unidad, de las que están en la cola, pasará a ser servida una vez quede alguno de los servidores
libre. Lo más habitual es suponer una disciplina FIFO, o una distribución cualquiera (distribución
general o GD) en la que todas las unidades tengan la misma prioridad. En algunos casos, puede ser útil
encontrar modelos en los que se establezca un sistema de prioridades. Para definir una cola con
prioridades es necesario:
a) Definir varios grupos de unidades a servir. Cada unidad que llegue al sistema debe asignarse a uno
de los grupos establecidos.
b) Establecer las prioridades: en primer lugar, se atenderán las unidades del grupo de prioridad
máxima. Sólo cuando no haya ninguna unidad de ese grupo por atender, se pasará a atender a las
unidades del segundo grupo, y así sucesivamente.
El comportamiento que se acaba de describir es el de una sistema de colas con prioridades sin
interrupción. Puede definirse también un sistema de colas con prioridades con interrupción: en este
caso, si se están atendiendo unidades de grupos de baja prioridad y llega una unidad de un grupo de
prioridad más alta, se interrumpe el servicio de la unidad de baja prioridad para atender a la de alta.
Una vez atendida ésta, se sigue sirviendo (si no llegan más de alta prioridad) a la unidad de baja
prioridad.
De todo lo dicho, podemos decir que un sistema de líneas de espera puede caracterizarse a partir de
seis parámetros:
• La ley de llegada y el valor medio de la tasa de llegadas cuando hay n unidades en el sistema λn.
• La ley de servicio y el valor medio de la tasa de servicios cuando hay n unidades en el sistema µn.
• El número de servidores en paralelo (canales de servicio) s.
• La disciplina de cola (GD, FIFO, prioridades con o sin interrupción, etc.)
• El tamaño máximo de cola permitido k (infinito si el modelo es de cola infinita).
• El tamaño del centro emisor m (infinito si el modelo es de universo infinito).
De forma compacta, un modelo de colas se representa por la siguiente notación
ley llegada / ley servicio / servidores s : disciplina cola / tamaño máximo k / tamaño centro emisor m
Leyes de llegada y servicio
Para las leyes de llegada y servicio, se aplica la siguiente notación:

Teoría de colas 19
Ley markoviana (M)
Se aplica a las leyes de probabilidad que cumplen la propiedad markoviana. Dicha propiedad consiste
en que la probabilidad de que ocurra un evento (llegada de una unidad o finalización de un servicio) es
sólo función del momento presente (esto es, del estado actual del sistema). Cuando esto sucede,
tenemos que:
• La tasa de eventos por unidad de tiempo seguirá una ley de Poisson de media α.
• El tiempo transcurrido entre dos eventos seguirá una ley exponencial de media 1/α.
Para la caracterización de las llegadas, tendremos que α = λ, y para los servicios tendremos α = µ
(para un servidor). La mayoría de modelos de colas asumen una ley de llegadas de tipo Poisson.
Cuando las leyes de probabilidad de las tasas de llegada y servicio para sean Poisson, el sistema puede
ser representado mediante un proceso de nacimiento y muerte (se dice a veces que tenemos colas
exponenciales).
Distribución de probabilidad genérica (G)
Se trata de una distribución de probabilidad cualquiera, caracterizada por su media µ1
y su desviación
estándar σ. Para una distribución de probabilidad de tiempos entre eventos exponencial, tenemos σ =
1/µ.
Distribución degenerada (D)
Representa una ley de llegadas determinista. Es un caso particular de la distribución general, en la que
si desviación estándar cumple σ = 0.
Distribución Erlang – k (Ek)
La variable aleatoria resultante de sumar k variables aleatorias exponenciales de media 1/(kµ) es una
variable aleatoria Erlang – k de media 1/µ. Es particularmente útil para representar un conjunto de k
servicios en serie.
A modo de ejemplo, uno de los modelos de colas más sencillo (modelo de Kendall) se representará por
la siguiente notación:
M/M/1 :GD/∞/∞
Se trata de un sistema de líneas de espera, en el que tanto las llegadas como los servicios siguen una
ley Poisson, existe un solo servidor, la disciplina de cola es una cualquiera (sin establecimiento de
prioridades) y tanto la cola como el tamaño del centro emisor son infinitos.
2.3 Resultados del modelo
¿Qué puede interesarnos conocer de un sistema de líneas de espera? Básicamente dos cosas:
• Una estimación de la cantidad de unidades en el sistema o en espera de servicio.
1
En este caso, µ representa el valor de la media de la población, y no la tasa de servicios de un canal, como en el
resto del texto.

• Una estimación del tiempo que las unidades permanecen en el sistema o esperan servicio.
Dichas estimaciones se obtienen para el funcionamiento de la cola en régimen permanente (esto es,
cuando haya pasado un tiempo lo suficientemente largo desde el inicio del funcionamiento del sistema
como para que se observe un comportamiento regular). En particular, suelen buscarse los siguientes
cuatro parámetros.
Número esperado de unidades en el sistema (L)
Podría obtenerse de modo experimental observando el número de unidades en el sistema (que incluye
tanto las que están siendo servidas como las que esperan servicio) en diferentes instantes de tiempo. El
valor promedio de los valores obtenidos en las observaciones sería una estimación experimental de L.
Longitud esperada de cola (Lq)
Se obtendría de modo similar a L, pero observando únicamente las unidades en espera de servicio.
Tiempo de espera en el sistema (W)
Podría observarse experimentalmente registrando el tiempo que cada una de las unidades pasa en el
sistema. Dicho tiempo incluiría tanto el tiempo de espera en cola, como el tiempo de servicio. El
promedio de los tiempos así obtenidos sería una estimación empírica de W.
Tiempo de espera en cola (Wq)
Se obtendría de la misma manera que W, pero considerando únicamente el tiempo de espera en cola.
Con estos valores, es posible evaluar los costes asociados al sistema, y poder así contar con elementos
cuantitativos para diseñarlo.
En gran número de modelos de colas, los valores aquí descritos están relacionados entre sí, por lo que
la obtención de uno de ellos asegura, de forma más o menos inmediata, la obtención del resto. La
relación entre los parámetros se establece a partir de las fórmulas de Little.
2.4 Procesos de nacimiento y muerte
Cuando tenemos un sistema de colas con s servidores iguales en paralelo, en el que las tasas de
llegadas al sistema y las tasas de servicio de cada servidor son aleatorias, siguiendo una ley de
Poisson, tenemos un modelo de colas exponencial, susceptible de ser representado por un modelo de
nacimiento y muerte. Se dice también que estos modelos son de tipo markoviano, o sistemas M/M
(siguiendo la notación de las leyes de llegada y servicio descrita en la sección anterior).
En estos modelos, se define el estado del sistema como el número n de unidades presentes en dicho
sistema (en servicio o esperando servicio). Cuando llegue una nueva unidad al sistema tendremos un
nacimiento, y el estado del sistema aumentará en uno. Cuando finalice el servicio realizado una
unidad, ésta saldrá del sistema: diremos que tenemos una muerte, y el estado del sistema disminuirá en
uno. Realizando ciertas suposiciones sobre el comportamiento del sistema, podemos hallar las
probabilidades Pn de que el sistema esté en el estado n (n = 0, 1, 2, ...). A partir de dichas
probabilidades (denominadas probabilidades de estado) podremos obtener L y Lq. Una vez obtenidos
dichos valores, podremos conocer, mediante las fórmulas de Little, los valores de W y Wq.

Teoría de colas 21
Hipótesis del modelo de nacimiento y muerte
El desarrollo de los modelos de nacimiento y muerte se basa en las siguientes hipótesis de partida.
1. Si el número de clientes en el sistema es igual a n, la distribución de probabilidad del tiempo que
falta ver el próximo nacimiento sigue una ley exponencial de parámetro λn.
2. Si el número de clientes en el sistema es igual a n, la distribución de probabilidad del tiempo que
falta para la próxima muerte sigue una ley exponencial de parámetro µn.
3. Las variables aleatorias de (1) y (2) son independientes. Dependiendo de qué variable resulte ser
más pequeña, las transiciones posibles son:
n → n + 1 (un nacimiento)
n → n – 1 (una muerte)
A partir de éstas hipótesis, podremos calcular las probabilidades Pn de que el sistema se encuentre en
cada uno de los diferentes estados posibles n. A partir de las Pn, será posible determinar expresiones,
más o menos complejas de L y Lq, así como de la tasa media de llegadas. Una vez obtenidos estos
datos, podremos obtener W y Wq a partir de las fórmulas de Little.
Fig. 2.4.a Modelo de nacimiento y muerte (caso general)
Cálculo de las probabilidades de estado Pn
Para calcular las probabilidades de estado Pn comenzaremos definiendo:
• En (t) = número de veces que el proceso ha entrado en el estado n desde el inicio hasta el tiempo t.
• Ln (t) = número de veces que el proceso ha salido en el estado n desde el inicio hasta el tiempo t.
Como no se puede entrar en (o salir de) un estado sin haber salido de (o entrado en) él antes,
tendremos:
MODELO DE NACIMIENTO Y MUERTE
CASO GENERAL
0 nn-11 32
λ0 λ1 λ2 λn-1
µ1 µ2 µ3 µn
Estado: número de elementos en el sistema (cola + servicio).
Nacimiento: llegada de una nueva unidad (tasa λn).
Muerte: servicio a una unidad (tasa µn).
... ...

0
1
n
i
i
P
=
=∑
En (t) – Ln (t) ≤ 1
Si dividimos por t a ambos lados y pasamos al límite (esto es, al estado estacionario del sistema),
tenemos:
( ) ( ) 1
lim
nn
t
E t L t
t t t→∞
− <
( ) ( )
lim 0
nn
t
E t L t
t t→∞
− <
Esto es, la tasa media de entradas a un estado es igual a la tasa media de salidas de un estado, en
régimen permanente.
Este hecho nos permite relacionar las probabilidades de estado Pn. Efectivamente, se puede acceder al
estado n mediante un nacimiento desde n–1, o bien mediante una muerte desde n+1:
λn-1 Pn-1 + µn+1 Pn+1
De la misma manera que sólo se podrá salir del sistema mediante un nacimiento a n+1, o bien
mediante una muerte a n-1:
λn+1 Pn+1 + µn-1 Pn-1
De modo que la igualdad de tasas medias de entrada y salida puede escribirse como:
λn-1 Pn-1 + µn+1 Pn+1 = λn+1 Pn+1 + µn-1 Pn-1
Contamos con n ecuaciones para determinar n+1 probabilidades de estado. La ecuación que falta es la
que iguala a 1 el total de probabilidades:
La regularidad del sistema de ecuaciones resultante da lugar a una solución compacta del sistema. En
primer lugar se procede a calcular los coeficientes:
1 2 0
1 1
...
...
n n
n
n n
C
λ λ λ
µ µ µ
− −
−
=
Con el total de coeficientes, se halla la probabilidad de que no haya ninguna elemento en el sistema:
0
0
1
n
n
P
C
∞
=
=
∑
( ) ( )n nE t L t
t t
=

Teoría de colas 23
Y entonces, las otras probabilidades se obtienen como:
0n nP C P= ⋅
Una vez obtenidas las probabilidades de los diferentes estados, podemos calcular L como la esperanza
matemática de los estados del sistema:
0
n
n
L nP
∞
=
= ∑
Para un sistema con s servidores en paralelo, la longitud esperada de cola se calculará como:
( )q n
n s
L n s P
∞
=
= −∑
Otro parámetro interesante es la tasa de llegadas efectiva al sistema. Se trata del promedio de las tasas
de llegada para todos los estados, ponderada por la probabilidad de cada estado.
0
n n
n
Pλ λ
∞
=
= ∑
Cuando λn = λ para todos los (infinitos) estados posibles del sistema, tendremos:
λ λ=
Fórmulas de Little
La relación entre el número de unidades en el sistema L y el tiempo de espera en el sistema W queda
establecida mediante las fórmulas de Little.
Cuando la tasa de llegadas al sistema tiene un valor λ constante para cualquier valor de número de
unidades en el sistema, existen las siguientes relaciones entre las longitudes de cola y los tiempos de
servicio:
L Wλ= ⋅ q qL Wλ= ⋅
Estas expresiones se conocen como fórmulas de Little. Pueden relacionarse los valores para el sistema
y los valores de cola a través de los tiempos de servicio:
La condición de λ constante hace que estas expresiones no sean aplicables a modelos de líneas de
espera con tamaño de cola limitado o universo finito. Para estas situaciones, deben emplearse las
expresiones:
L Wλ= ⋅ q qL Wλ= ⋅
1
qW W
µ
= +

donde la relación entre L y W es la tasa de llegadas efectiva, parámetro que debe calcularse para cada
modelo de colas, y que dependerá de los valores tomados por λn.
Otro parámetro interesante en modelos de colas es el factor de utilización de cada servidor. Es un
parámetro cuyo valor se encuentra entre 0 y 1, y que representa la fracción de tiempo que funciona
cada uno de los servidores del sistema. El factor de utilización se calcula como:
s
λ
ρ
µ
=
⋅
2.5 Modelos basados en procesos de nacimiento y muerte
Seguidamente, se procederá a obtener las fórmulas de algunos modelos basados en el proceso de
nacimiento y muerte. Concretamente se caracterizarán los modelos siguientes:
un servidor más de un servidor
Modelos de cola infinita y
universo infinito
M/M/1 :GD/∞/∞ M/M/s :GD/∞/∞
Modelos de cola limitada M/M/1 :GD/k/∞ M/M/s :GD/k/∞
Modelos de universo finito M/M/1 :GD/∞/m M/M/s :GD/∞/m
Para cada uno de los modelos se establecerá el modelo de nacimiento y muerte correspondiente, para
pasar luego a detallar las expresiones de L, Lq, W y Wq.
2.5.1 Modelo de Kendall: M/M/1 : GD/∞/∞
Se trata del modelo de colas más sencillo: cola infinita, con un único servidor. Esto supone que para
todos los estados, tengamos:
λn = λ
µn = µ
M/M/1 : GD/∞/∞ (MODELO DE KENDALL)
0 nn-11 32
λ λ λ λ
µ µ µ µ
... ...

Teoría de colas 25
Por ser todos λ, µ iguales, podemos escribir:
n
n
nC
λ
ρ
µ
 
= = 
 
Donde ρ es un parámetro, usado ampliamente en las fórmulas de colas. Para el modelo de colas que
nos ocupa, ρ vale:
λ
ρ
µ
=
Para este modelo, ρ representa también el factor de utilización del servidor, por lo que tendremos:
ρ ρ=
Para que la cola sea estable, y L no crezca indefinidamente en el tiempo, los parámetros del sistema
han de cumplir la condición:
ρ < 1
En caso contrario, deberemos añadir más servidores en paralelo al sistema para que éste se comporte
de forma estable en estado estacionario.
De los valores de las Cn pueden obtenerse los valores de las probabilidades de que el sistema se
encuentre en determinado estado como:
0
n
nP Pρ=
0
0
1 1
1
1
1
n
n
P ρ
ρ
ρ
∞
=
= = = −
−∑
Así que la probabilidad de que el sistema esté en el estado n es:
A partir de estos valores, y usando las fórmulas para los procesos de nacimiento y muerte, podemos
obtener las expresiones para este modelo de la longitud esperada del sistema L, así como de la longitud
esperada de cola Lq:
L
λ
µ λ
=
−
2
( )
qL
λ
µ µ λ
=
−
y mediante el uso de las fórmulas de Little, obtener las expresiones del tiempo medio en el sistema W
y del tiempo medio de espera en cola Wq:
1
W
µ λ
=
− ( )
qW
λ
µ µ λ
=
−
Pn = (1-ρ)ρn

Otros resultados de interés:
Dada su sencillez, podemos obtener otros resultados adicionales. Por ejemplo, puede obtenerse el
valor de la probabilidad de que el tiempo de espera en el sistema W sea mayor que un determinado
valor t:
P(W > t) = e-µ·(1-ρ)t
Existe también una expresión similar para el tiempo de espera en cola Wq:
P(Wq > t) = ρe-µ·(1-ρ)t
Finalmente, la probabilidad de que el estado del sistema tenga un valor mayor que un determinado
valor k vale:
Pn>k = ρk+1
Ejemplo 2.5.1.a TALLER MANOLO (A)
Manolo Giménez, reconocido miembro del gremio de los profesionales de la reparación de vehículos,
está preocupado por la marcha de su negocio: las expectativas son demasiado buenas y el taller
parece demasiado pequeño. Para ver qué puede hacer para resolver el problema, le pide ayuda a un
experto en teoría de colas. Después de una primera entrevista con el sr. Manolo acerca de las
expectativas de negocio, obtiene la siguiente información:
• Las llegadas al taller se producirán de forma aleatoria, según una ley de Poisson de media 4
llegadas al día (para este ejemplo, 1 día = 8 horas de jornada laboral).
• El tiempo que se tarda en reparar los automóviles sigue una ley exponencial de media 1,75 horas
(esto es, 1 hora y 45 minutos).
• El sr. Manolo cuenta con un solo equipo para reparar los automóviles.
• Además del coche que está reparando, sólo caben 3 coches más en el taller. Si llegan más, debe
estacionarlos en la vía pública, con el consiguiente deterioro en la calidad de servicio.
• Los coches se retiran del taller inmediatamente después de ser reparados.
Con estos datos, el sr. Manolo demanda al experto un análisis inicial de la situación. Más
concretamente, le pregunta:
a) ¿Qué fracción de tiempo estará el taller en funcionamiento?
b) ¿Cuál es el número promedio de clientes en espera de reparación de su vehículo (suponiendo un
coche en reparación por cliente?
c) ¿Cuál es el número promedio de coches esperando a ser reparados?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que deban estacionarse coches en la calle?
e) ¿Cuánto tiempo transcurrirá, por término medio, desde que el coche llega al taller hasta que se
acaba la reparación?
f) ¿Cuánto tiempo transcurrirá, por término medio, desde que el coche llega al taller hasta que
comienza la reparación?
La pregunta se responde hallando el factor de utilización del sistema, que para el modelo de Kendall es
igual al parámetro ρ. Para ello necesitamos las tasas de llegada y de servicio.

Teoría de colas 27
La tasa de llegada vale: λ = 4 llegadas / día = 0,5 llegadas / hora (recordemos que la jornada
del taller es de 8 horas)
En cuanto a la tasa de servicio: µ = 1 servicio / 1,75 horas = 0,5714 servicios /hora.
Por lo que el factor de utilización valdrá: ρ = λ / µ = 0,5 / 0,5714 = 0,875.
El taller funciona el 87,5% de tiempo. Se trata de un factor de utilización muy elevado, que hace
prever valores de tiempo de servicio y de unidades en el sistema bastante elevados.
coche en reparación por cliente)?
Lo que aquí se nos pide es el número promedio total de vehículos en el sistema, estén en cola (tanto
dentro como fuera del taller) o en servicio. Dicho valor se obtiene a partir del parámetro L, que vale:
0,5
7
0,5714 0,5
L
λ
µ λ
= = =
− −
De modo que el número promedio de unidades en el sistema (en este caso, de coches en el taller) es de
7. El resultado obtenido con la fórmula se expresa en unidades (en este caso, coches).
Ahora nos piden los coches en espera, tanto si están dentro como fuera del taller:
( )
2 2
0,5
6,125
( ) 0,5714 0,5714 0,5
qL
λ
µ µ λ
= = =
− ⋅ −
El número promedio de unidades en cola (en este caso, de coches en espera para ser reparados) es de
6,125. Recordemos que es un número promedio de unidades, por lo que puede ser un número no
entero. Nótese que L – Lq = 0,875: es inferior a uno porque el sistema no está funcionando todo el
tiempo. Como se ha visto en a), funciona el 87,5% del tiempo como promedio.
Tendremos coches en la calle cuando el estado del sistema sea superior a 4 (estado 4 ⇒ 3 coches en
espera, y uno en reparación). De hecho, se nos pide la probabilidad:
Pn>4 = ρ5
= 0,8755
= 0,5129 51,29%
Por lo que se pregunta es por el tiempo medio que pasa una unidad en el sistema (en espera y
reparación). En el modelo de Kendall, viene dado por la expresión:
1 1
14
0,5714 0,5
W
µ λ
= = =
− −

Así, el tiempo promedio que pasará una unidad en el sistema, desde que entra hasta que ha sido
servida es de 14 horas. En este caso, representa el tiempo que pasará, por término medio, desde que el
coche llega al taller hasta que concluye la reparación. El valor de W tiene como unidades la unidad de
tiempo en que estén expresadas λ y µ. Como estas magnitudes, en este caso, están expresadas en
llegadas por hora y servicios por hora, respectivamente, W estará expresada en horas.
El valor pedido viene representado por el parámetro Wq (tiempo medio de espera en cola):
( )
0,5
12,25
( ) 0,5714 0,5714 0,5
qW
λ
µ µ λ
= = =
− ⋅ −
Esto indica que una unidad que llegue al sistema estará en espera un tiempo promedio de 12,25 horas,
esto es 12 horas y 15 minutos. Para Wq son aplicables las mismas observaciones relativas a las
unidades que las hechas para W. En este caso, esto nos permite afirmar que un coche que llega al taller
tarda un promedio de 12 horas y 15 minutos en entrar a ser reparado.
2.5.2 Modelo M/M/s : GD/∞/∞
El modelo se diferencia del modelo de Kendall por el hecho de que ahora tenemos s servidores en
paralelo, cada uno de los cuales tiene una ley de servicio Poisson de media µ. Por tanto la tasa del
servicio del sistema será igual a ϕµ, siendo ϕ el número de servidores ocupados.
De este modo, el modelo de nacimiento y muerte que tendremos será:
El factor de ocupación de un servidor para este modelo es también igual a ρ:
s
λ
ρ
µ
=
Con lo que podemos hacer que el sistema pueda responder a una determinada afluencia de llegadas,
añadiendo el número de servidores en paralelo necesario para que ρ <1.
M/M/s : GD/∞/∞
0 nn-11 32
λ λ λ λ
µ 2µ 3µ sµ
s-1 s
sµ
λ
... ... ...

Teoría de colas 29
El cálculo de los valores del sistema reviste mayor complejidad. Los Cn toman diferentes valores
según el estado del sistema:
( )
!
n
nC
n
=
λ µ
para n < s
( ) ( )
! !
s n s n
n n s
C
s s s s
−
−
 
= = 
 
λ µ λ µλ
µ
para n ≥ s
Si el sistema tiene capacidad suficiente, podemos encontrar la expresión de la probabilidad de que el
sistema esté vacío:
( ) ( )
0
1
0
1
/ 1
! ! 1
n ss
n
P
n s
λ µ λ µ
ρ
−
=
=
+
−
∑
A partir de dicha probabilidad, encontraremos los demás valores del sistema. Las probabilidades de
estado valen:
( )
0
!
n
nP P
n
λ µ
= para n < s
( )
0
!
n
n n s
P P
s s
λ µ
−
= para n ≥ s
También a partir de P0 podemos encontrar la longitud esperada de cola:
1
02
·
·
(1 ) · !
s s
q
s
L P
s
ρ
ρ
+
=
−
Y a partir de Lq se obtienen las expresiones de los otros elementos:
qL L sρ= + ⋅
q
q
L
W
λ
=
L
W
λ
=
Ejemplo 2.5.2.a TALLER MANOLO (B)
Dados los resultados obtenidos en la primera estimación, el sr. Manolo plantea al experto la
posibilidad de contar con dos equipos para realizar las reparaciones, dentro del mismo taller (en el
que siguen cabiendo 4 coches, en este caso dos en reparación y dos esperando). Se trata de obtener de
nuevo:
coche en reparación por cliente?

Ahora tenemos dos servidores, con lo que el factor de ocupación se reduce a la mitad:
0,5
0,4375
2 0,5714s
λ
ρ
µ
= = =
⋅
En relación con el ejemplo 2.5.1.a., vemos ahora que cada uno de los equipos trabaja el 43,75% del
tiempo. Nótese que el número promedio de coches que se está reparando es el mismo que en el caso
anterior. Como tenemos dos equipos en paralelo, ese número vale ahora: 2·0,4375 = 0,875. La mejora
del comportamiento del sistema vendrá dada por la reducción del número de unidades en espera, como
se verá en las secciones siguientes.
b) ¿Cuál es el número promedio de coches que tendrá dentro del taller?
Como s=2, debemos calcular primero P0, después Lq, y finalmente L:
( ) ( )
0
1
0
1
/ 1
! ! 1
n ss
n
P
n s
λ µ λ µ
ρ
−
=
=
+
−
∑
Haciendo s=2 tenemos la siguiente expresión para P0:
A partir de aquí, ya podemos obtener Lq, con la fórmula siguiente:
1
02
·
·
(1 ) · !
s s
q
s
L P
s
ρ
ρ
+
=
−
Sustituyendo los valores obtenidos para P0, tenemos:
2 3
2
2 ·0,4375
·0,3913 0,2071
(1 0,4375) ·2!
qL = =
−
Finalmente, ya podemos obtener el valor de L, a través de la expresión:
0,2071 0,4375 2 1,0821qL L sρ= + ⋅ = + ⋅ =
Al introducir un nuevo servidor, se mejorado notablemente el comportamiento del sistema. De las
siete unidades que teníamos como promedio con un servidor (cfr. ejemplo 2.5.1.a), pasamos a 1,0821
unidades.
0
1 1
0,3913
1 0,875 0,3828·1,777 2,555
P = = =
+ +

Teoría de colas 31
Ya hemos obtenido en el apartado anterior que Lq = 0,2071 coches de promedio. La mejoría de
comportamiento en el sistema viene dada por la notable reducción de Lq, que ha pasado de 6,125 a
0,2071. En ambos casos, la diferencia L – Lq = 0,875.
El valor de la probabilidad a hallar será:
1 – (P0 + P1 + P2 + P3 + P4)
Aplicando las fórmulas, obtenemos las probabilidades P1 a P4 (ya hemos obtenido P0 al calcular L y
Lq).
P1 = 0,3424
P2 = 0,1498
P3 = 0,0655
P4 = 0,0287
De modo que la probabilidad buscada es: 0,0292, esto es, un 2,92%.
El valor de W se obtiene mediante la fórmula de Little:
1,0821
2,1642
0,5
L
W
λ
= = =
La reducción de L provoca una reducción proporcional de W, que en este caso es algo más de 2 horas.
0,2071
0,4142
0,5
q
q
L
W
λ
= = =
El tiempo promedio de espera en cola valdrá, en este caso, 0,4142 horas (unos 25 minutos).
Puede apreciarse que, desde cualquier punto de vista, se ha obtenido una notable mejora en el servicio
al añadir un nuevo servidor.
2.5.3 Modelo de cola limitada y un servidor: M/M/1 : GD/k/∞
En el modelo de cola limitada, imponemos que el tamaño máximo del sistema sea k. Esto significa que
podemos tener k – 1 unidades en la cola y otro en servicio. Si se registra una llegada habiendo k
unidades, no se permite la entrada de la unidad, que debe abandonar el sistema.

Los coeficientes Cn son los mismos que el modelo de Kendall cuando el estado del sistema es inferior
o igual a k. Para estados tales que n > k, el coeficiente es nulo:
n
n
nC
λ
ρ
µ
 
= = 
 
para n ≤ k
0nC = para n > k
De modo que la expresión de P0 es la siguiente:
( )
0 1 1
0
1 1 1
1 1
1
n k kk
n
P
ρ
ρ ρλ
µ ρ
+ +
=
−
= = =
− −
−
∑
Las probabilidades de que el sistema esté en un estado n (siempre que n ≤ k) tienen la expresión:
1
1
1
n
n k
P
ρ
ρ
ρ +
−
=
−
Una vez obtenidas las Pn, podemos obtener L como la esperanza matemática de los estados del
sistema:
1
1
( 1)
1 1
k
k
k
L
ρ ρ
ρ ρ
+
+
+
= −
− −
(Nótese que cuando k → ∞, la expresión de L coincide con la obtenida para el modelo de Kendall). La
expresión de la longitud media de la cola es:
(1 )q oL L P= − −
Para obtener los tiempos de espera no pueden usarse las fórmulas de Little, puesto que las λn no son
iguales para toda n (λ = 0, si n > k). Debe obtenerse la tasa de llegadas al sistema, que vale:
M/M/1 : GD/k/ ∞ (COLA LIMITADA)
0 kk-11 32
λ λ λ λ
µ µ µ µ
...

Teoría de colas 33
(1 )kPλ λ= −
Y por lo tanto, los tiempos medios en el sistema y de espera en cola valen:
L
W
λ
=
q
q
L
W
λ
=
De la expresión de la tasa media de llegadas podemos deducir además que la tasa de unidades
rechazadas será:
kPλ ⋅
Ello se debe a que las llegadas totales λ pueden entrar al sistema, o bien ser rechazadas por éste.
Una diferencia con este modelo y los descritos en las secciones 2.5.1 y 2.5.2 es que las colas limitadas,
por su propia definición, siempre tienen un número finito de elementos. En consecuencia, son
admisibles a priori sistemas en los que ρ > 1. En estos casos, ρ no es igual al factor de ocupación de
un servidor. El factor de ocupación debe calcularse, en este caso, a partir de la tasa de llegadas
efectiva:
λ
ρ
µ
=
Así, aunque ρ > 1, el factor de ocupación del sistema estará siempre entre cero y uno.
Las expresiones dadas anteriormente son válidas para cualquier valor del parámetro ρ, excepto para ρ
= 1. Para este caso, tendremos:
1
1
nP
k
=
+ 2
k
L =
2.5.4 Modelo de cola limitada y varios servidores: M/M/s : GD/k/∞
Se trata ahora de un modelo con s servidores en paralelo, con la cola limitada a k elementos. A pesar
de que el sistema pueda tener efectivamente más servidores, tendremos como máximo k servidores
útiles, por lo que s ≤ k. Tal como sucedía con el modelo de cola no limitada, el factor de utilización
valdrá:
s
λ
ρ
µ
=
Para estos modelos, las fórmulas que caracterizan al sistema para un caso general tienen una
complejidad apreciable. Por tanto, puede resultar útil, si k es lo bastante pequeño, resolver
directamente el proceso de nacimiento y muerte concreto.
Las probabilidades de estado del sistema se calculan a partir de P0, con las expresiones:

Las probabilidades de estado para n = 1, 2, ..., s valen:
Las probabilidades de estado para n = s, s+1, ..., k
( ) 0
!
n
n n s
P P
s s
λ
µ
−
= ⋅
⋅
A partir de la expresión de P0 pueden obtenerse las de la longitud esperada de cola y la de tamaño
esperado del sistema:
En cuanto a W y Wq, se obtienen del mismo modo que en el modelo con un solo servidor.
Dado que el tamaño de la cola está limitado, pueden admitirse situaciones en las que λ > sµ. A medida
que λ aumenta, tendremos que L → k, y que Pk → 1, por lo que los tiempos de espera tenderán a
aumentar.
Ejemplo 2.5.4.a RESTAURANTE EL TÚNEL DE JOSEP (A)
El propietario del restaurante El tunel de Josep desea evaluar la calidad de su servicio en lo relativo
a esperas de los clientes. Actualmente el restaurante cuenta con 6 mesas, que se llenan en cuanto
llegan los clientes (no hay reserva previa). Se estima que llega un promedio de 3,5 grupos cada hora y
que cada grupo permanece en el restaurante durante 1,5 horas.
La política actual es la de dejar esperar solamente a dos grupos cuando todas las mesas están llenas.
Cuando hay dos grupos esperando, la política del restaurante (política A) es la de indicar a los
clientes que puedan llegar que no pueden ser servidos, por lo que éstos abandonan el sistema. Se
desea saber:
a) ¿Cuál es el número medio de grupos esperando?
b) ¿Cuál es el número medio de grupos en el restaurante (tanto los que esperan como los que son
servidos)?
c) ¿Cuál es el tiempo medio de espera, antes de entrar a comer?
d) ¿Qué probabilidad existe de denegar el servicio a un grupo?
( ) ( )
1
0
0 1
/ /
! !
n s
s k
n s
n n s
P
n s
λ µ λ µ
ρ
−
−
= = +
 
= + ⋅ 
  
∑ ∑
( )
0
/
!
n
nP P
n
λ µ
= ⋅
( )
( )
( )0
2
/
1 ( ) 1
! 1
s
k s k s
q
P
L k s
s
λ µ ρ
ρ ρ ρ
ρ
− −
 = • − − − − 
−
1 1
0 0
1
s s
n q n
n n
L nP L s P
− −
= =
 
= + + − 
 
∑ ∑

Teoría de colas 35
También se desea saber cuál sería el efecto de cambiar la política de espera a los clientes. Más
concretamente, cómo se verían afectados los valores anteriores si:
• Se deja esperar cinco grupos de clientes, en vez de dos (política B).
• Se deja esperar a todos los grupos de clientes que lleguen. Dada la calidad del restaurante, se
supone que ninguno de ellos abandonará, por larga que sea la cola (política C).
SOLUCIÓN:
En primer lugar, indicar que los parámetros comunes a las tres políticas son:
Número de servidores s = 6 mesas
Tasa de llegadas λ = 3,5 llegadas/hora
Tasa de servicio por mesa µ = 1/1,5 = 0,6667 servicios/hora
Cada una de las políticas responde a un modelo de colas diferente:
Política A: M/M/6 : GD/8/∞
Política B: M/M/6 : GD/11/∞
Política C: M/M/6 : GD/∞/∞
Nótese como en cada caso k = tamaño máximo del sistema = 6 + tamaño máximo de la cola
En los apartados del enunciado se nos piden los siguientes parámetros:
a) Lq
b) L
c) Wq
d) Pk
Los resultados para cada una de las políticas se muestran en la tabla siguiente:
Política A Política B Política C
Lq 0,3766 1,1429 4,7662
L 4,9975 6,0629 10,01
Wq 0,1222 0,3484 2,8618
Pk 0,1198 0,0629 -
De los resultados obtenidos, cabe hacer la siguiente interpretación:
La política actual permite un tiempo medio de espera en cola muy satisfactorio: 0,1222 horas (unos 7
minutos), a costa de tener que rechazar el 11,9 % de clientes que llegan al establecimiento. La política
B reduce a casi la mitad el porcentaje de rechazos (6,29%), a coste de aumentar el tiempo de espera en
cola (0,3484 horas, unos 20 minutos) de forma muy significativa. En cualquier caso, ambas
alternativas parecen mejores que C, que obliga a los clientes a soportar un tiempo de espera antes de
comer de 2,8616 horas (2 horas y 51 minutos) francamente inaceptable en términos de calidad de
servicio.

2.5.5 Modelos de universo finito: M/M/s : GD/∞/m
En los modelos anteriores, se ha supuesto que el tamaño del centro emisor es infinito. Esto significa,
en lo que afecta a los modelos de colas, que la llegada de una unidad al sistema no afecta a la
probabilidad de que las otras unidades lleguen al sistema. Para todos los modelos descritos hasta
ahora, la probabilidad de determinado número de llegadas por unidad de tiempo venía caracterizada
por una ley de Poisson de tasa media λ.
Ahora la situación es diferente: tenemos un sistema de universo finito, compuesto de m elementos.
Una consecuencia inmediata es que el sistema tiene sólo m+1 estados posibles: ningún elemento o un
número entre 1 y m elementos. Si ahora se entiende que el tiempo que pasa un elemento cualquiera
fuera del sistema sigue una ley exponencial 1/ϕ, el tiempo que falta para que llegue un elemento al
sistema es el mínimo de los tiempos de llegada de alguno de los m – n elementos que en un caso
general, están fuera del sistema. Dicho tiempo, según las propiedades de la ley exponencial, sigue una
ley exponencial de media el inverso de λn = (m – n) ϕ. Aquí obtenemos la diferencia fundamental
entre las colas de universo finito y los otros modelos vistos hasta el momento: en estas colas, λn es
diferente para cada estado n.
El sentido de la tasa de llegada ϕ de los modelos de universo finito es diferente de la tasa λ de los
modelos de universo infinito:
• Para los modelos de universo finito, tal como acaba de indicarse, ϕ se define como la tasa de
entradas al sistema de una unidad concreta. Se asume, por tanto, que todas las unidades se
comportan de la misma manera, y que una vez ha finalizado el servicio vuelven al centro emisor.
• En los modelos de universo infinito λ es la tasa de llegadas al sistema desde el centro emisor de
una unidad cualquiera (no de una unidad concreta). También se asume un comportamiento
homogéneo del centro emisor a lo largo del tiempo, pero en este caso no es relevante conocer si la
unidad servida regresa o no al centro emisor, ya que éste dispone de un número infinito de
unidades.
En consecuencia, mientras que la transición de los modelos de cola limitada a los de cola ilimitada
tiene lugar cuando k → ∞ (hecho que puede comprobar el lector pasando al límite las fórmulas de cola
limitada), la transición de universo finito a infinito exige hacer simultáneamente m → ∞ y ϕ → 0
M/M/1 : GD/∞/m (UNIVERSO FINITO)
0 mm-11 32
mλ (m-1)λ (m-2)λ λ
µ µ µ µ
...

Teoría de colas 37
2.5.5.1 Modelo M/M/1 : GD/∞/m
Para un servidor, tenemos que la probabilidad de que el sistema esté vacío vale:
Las otras probabilidades de estado (para n ≤ m) se obtienen como:
Finalmente, obtenemos los parámetros del sistema a partir de las expresiones:
0(1 )qL m P
ϕ µ
ϕ
+
= − −
0(1 )L m P
µ
ϕ
= − −
En cuanto a los tiempos medios en el sistema y en cola, hay que considerar que, tal como sucedía con
los modelos de cola finita, debe calcularse la tasa media de llegadas al sistema, que vale:
( )m Lλ ϕ= ⋅ −
Y en consecuencia, los tiempos valdrán:
L
W
λ
=
q
q
L
W
λ
=
2.5.5.2 Modelo M/M/s : GD/∞/m
Una vez más, cabe hacer la advertencia de que el número de servidores efectivos en el sistema ha de
ser igual o inferior al tamaño m del centro emisor. A continuación se muestran las fórmulas para este
modelo, en una secuencia similar a la del modelo con un servidor.
La expresión de la probabilidad de que el sistema esté vacío es:
1
1
0
0
! !
( )! ! ( )! !
n n
s N
n s
n n s
m m
P
m n n m n s s
ϕ ϕ
µ µ
−
−
−
= =
    
= +    
− −     
∑ ∑
Las probabilidades de estado del sistema se obtienen a partir de las expresiones siguientes:
1
0
0
!
( )!
n
m
n
m
P
m n
ϕ
µ
−
=
  
= ⋅  
−   
∑
0
!
( )!
n
n
m
P P
m n
ϕ
µ
 
= ⋅ ⋅ 
−  

0
!
( / )
( )! !
nm
P
m n n
ϕ µ
−
para n ≤ s
Pn 0
!
( / )
( )! !
n
n s
m
P
m n s s
ϕ µ−
−
para s ≤ n ≤ m
0 para n ≥ s
Dado que no es posible obtener una expresión compacta para L y Lq, éstas se calculan a partir de las
probabilidades de estado:
0
( )
m
q n
n s
m
n
n
L n s P
L nP
=
=
= −
=
∑
∑
Finalmente, los valores de los tiempos medios de espera se obtienen de la misma manera que para el
modelo de un servidor:
( )m Lλ ϕ= −
L
W
λ
=
q
q
L
W
λ
=
Ejemplo 2.5.5.2.a. TALLER MANTENIMIENTO (A)
Se le ha encargado de organizar una sección de mantenimiento en una fábrica de tejidos. La fábrica
consta de 10 máquinas idénticas. Cada una de ellas se avería como promedio cada 48 horas de
funcionamiento (cada 6 días, en una jornada laboral de 8 horas). Arreglar una máquina toma un
tiempo promedio de 2 horas de trabajo de un equipo de operarios.
En un primer momento decide contar con un único equipo. Determine:
a) ¿Cuántas máquinas habrá averiadas en el taller por término medio?
b) ¿Cuánto tardará, como promedio, en volver a entrar en servicio una máquina, una vez se ha
averiado?
c) Si en vez de un equipo, cuenta con dos, ¿cómo se verán modificados los resultados?
d) Si cuenta con un equipo para el mantenimiento de 50 máquinas, ¿cuántas máquinas averiadas
habrá como promedio y cuánto tiempo permanecerán averiadas como promedio?
Los parámetros a considerar en este caso son:
Tasa media de averías en una máquina:
ϕ = 1 / 48 = 0,02083 averías/hora
Tasa media de reparaciones por hora y equipo:

Teoría de colas 39
µ =1 / 2 = 0,5 reparaciones/hora
Los modelos de colas a aplicar son de universo finito:
Para un operario: M/M/1 : GD/∞/10
Para dos operarios: M/M/2 : GD/∞/10
Los parámetros por los que se pregunta son:
a) L (número medio de unidades en el sistema)
b) W (tiempo medio en el sistema)
Los resultados obtenidos son los que se muestran a continuación:
Un operario Dos operarios
m 10 10
s 1 2
L 0,9608 0,5625
W 3,5238 2,1060
Como era de esperar, los resultados mejoran notablemente cuando añadimos un nuevo equipo.
Los resultados empeoran rápidamente cuando aumentamos el número de elementos del centro emisor.
Para el caso d), el modelo aplicable es:
M/M/1 : GD/∞/50
Y los resultados son:
L = 32,33 máquinas
W = 64,66 horas
Los resultados son inadmisibles desde cualquier punto de vista, y debería aumentarse notablemente el
número de equipos.
2.6 Costes de un sistema de línea de espera
La obtención de L, Lq, W y Wq a través de los modelos de nacimiento y muerte permite tomar
decisiones de diseño de sistemas de líneas de espera. Estas decisiones suelen expresarse en términos
de minimización de los costes asociados a la espera. Para cualquier sistema de espera tendremos dos
tipos de costes: costes de servicio y costes de espera. Si el tamaño de la cola está limitado, tendremos
también costes de abandono.
Costes de servicio
Serán directamente proporcionales al número de servidores en paralelo que establezcamos en el
sistema. Suelen caracterizarse con el parámetro cs, que expresa los costes de servicio por servidor para
un determinado periodo de tiempo. De este modo, tenemos:
Costes de servicio = cs s [um / periodo]

Al expresar los costes de servicio de este modo, suponemos que incurrimos en costes de servicio por el
hecho de disponer de servidor, independientemente de que efectivamente esté en servicio o no. Si
incurrimos en estos costes sólo cuando el servidor está ocupado, tendremos:
Costes de servicio = tasa de utilización del servidor · cs · s [um / periodo]
Dicha tasa de utilización será igual a ρ para los modelos de universo infinito y cola no limitada. Para
el resto de modelos, deberá calcularse en cada caso.
Costes de espera
La preocupación por el diseño de un sistema de líneas de espera supone la existencia de ciertos costes
de espera, asociados al número medio de unidades en el sistema. Dichos costes pueden interpretarse en
términos de pérdida de calidad de servicio, posibles reducciones de ventas futuras debido al largo
tiempo de espera en experiencias anteriores, etc. Se caracterizan por el parámetro ce, que no es más
que los costes de servicio por unidad en el sistema para un determinado periodo de tiempo. Dichos
costes de espera valdrán:
Costes de espera = ce · L [um / periodo]
Los costes de espera también dependen del número de servidores, pero de manera indirecta: un
aumento del número de servidores inducirá una reducción del número promedio de unidades en el
sistema L, en función del sistema que estemos tratando.
Costes de abandono
Entre otras utilidades, los modelos de cola finita permiten representar un comportamiento de abandono
del sistema por parte de las unidades, si el tamaño de la cola es demasiado grande. Más concretamente,
se supone que las unidades abandonarán el sistema si, cuando éstas llegan al sistema, el tamaño de la
cola es de k – s. Se trata de unos costes de naturaleza parecida a los de espera, aunque en ocasiones
pueden interpretarse como reducciones de ventas actuales (por abandono). Se caracterizan por ca, que
es el coste de abandono por unidad para un periodo de tiempo determinado.
Para un determinado periodo de tiempo, las unidades que abandonan el sistema valdrán:
Unidades que abandonan = λ · Pk
Donde λ representa la tasa de llegadas al sistema referida al periodo considerado. La tasa de entradas
al sistema será λ·(1 – Pk).
Los costes de abandono serán, entonces:
Costes de abandono = ca · λ · Pk [um / periodo]
Diseño del sistema
Las circunstancias para las que se optimiza el sistema variarán en cada caso, pero es habitual tomar
como parámetro el número s de servidores en paralelo. Se trata entonces de encontrar el número de
servidores que minimiza los costes totales:
Costes totales = costes de servicio + costes de espera + costes de abandono

Teoría de colas 41
EJEMPLO 2.6.a TALLERES MANOLO (C)
En los ejemplos 2.5.1.a y 2.5.2.b, se detallaron las condiciones de funcionamiento del taller Manolo:
llegaban coches a razón de uno cada media hora de promedio, y se tardaba 1,75 horas en reparar un
automóvil. El sr. Manolo desea saber con cuántos operarios debe contar. Para ello, estima que cada
operario le supone un coste de 12 um/hora, y que cada cliente que espera a que se repare su coche le
supone un coste de 36 um en costes de almacenamiento. Con estos datos, se pregunta:
a) ¿Con cuántos operarios se optimiza la suma de costes de servicio y de espera?
b) Si ahora se supone que el operario sólo cobra cuando trabaja, ¿cómo se ve afectado el resultado
anterior?
c) Para la solución adoptada en a),¿cuáles son los costes totales si los coches que esperan en la
calle tienen un coste de espera de12 um y los que esperan dentro del taller 36 um?
a) ¿Con cuántos operarios se optimiza la suma de costes de servicio y de espera?
De modo tentativo, se ha optado por calcular los costes para uno, dos y tres operarios. El modelo de
colas aplicado ha sido el de M/M/s : GD/∞/∞, donde s toma los valores 1, 2 y 3, respectivamente.
Para cada situación, tenemos los resultados siguientes:
Un operario Dos operarios Tres operarios
s 1 2 3
cs 12 12 12
L 7 1,0821 0,9091
ce 36 36 36
Costes servicio 12 24 36
Costes espera 252 38,95 32,73
Costes totales 264 62,95 68,73
Los costes mínimos se obtienen contratando dos operarios. La reducción de costes de espera obtenida
con el tercer operario no compensa el aumento de costes de servicio.
b) Si ahora se supone que el operario sólo cobra cuando trabaja, ¿cómo se ve afectado el resultado
anterior?
En este caso, tendremos que los costes de servicio serán iguales a:
Costes servicio = ρ·cs·s = (λ/µ)·cs
Esto es, los costes de servicio son constantes: las llegadas al sistema son siempre las mismas, por lo
que el conjunto de operarios siempre trabaja lo mismo. Obviamente, cuanto más operarios se
contraten, menos trabajará (y cobrará) cada uno de ellos.
Un operario Dos operarios Tres operarios
ρ 0,875 0,4375 0,29166
s 1 2 3
cs 12 12 12
L 7 1,0821 0,9091
ce 36 36 36
Costes servicio 10,50 10,50 10,50
Costes espera 252 38,96 32,73
Costes totales 262,50 49,46 43,23

Ahora los operarios adicionales van reduciendo la tasa de servicio, por lo que los costes disminuyen de
manera continua. Desde el punto de vista del empresario, el número de operarios a contratar es
infinito. La limitación vendrá en este caso por el salario mínimo a cobrar por cada uno de los
operarios.
c) Para la solución adoptada en a),¿cuáles son los costes totales si los coches que esperan en la
calle tienen un coste de espera de 12 um y los que esperan dentro del taller 36 um?
Del ejemplo 2 sabemos que si contratamos dos operarios, tenemos dos puestos de trabajo, y por tanto
tenemos 4 coches dentro del taller. El coste de esos cuatro coches es de 12, y el de los que esperan
fuera 36. Puede ser conveniente, a efectos de resolución, ver el problema como una situación en la que
todos los coches tienen un coste de espera de 36, excepto los cuatro primeros, que tienen una
bonificación de 24. De este modo, y para este caso particular, los costes de espera valdrán:
Costes de espera = 36·L – 24·(1P1 + 2P2 + 3P3 + 4P4)
Las probabilidades de estado se encontraron en el ejercicio 2:
P1 = 0,3424
P2 = 0,1498
P3 = 0,0655
P4 = 0,0287
De donde los costes de espera valen:
Costes de espera = 36·1,0821 – 24·(1·0,3424 + 2·0,1498 + 3·0,0655 + 4·0,0287) = 16,07 um.
Y los costes totales:
Costes totales = costes de servicio + costes de espera = 4.000 + 2.679 = 6.679
Ejemplo 2.6.b Restaurante EL TÚNEL DE JOSEP (B)
Para valorar con mayor precisión las diferentes políticas, se han valorado los costes del restaurante
del ejemplo 2.5.4.a, en lo que afecta a la espera, del modo siguiente:
• Costes de servicio (asociados a poner una mesa en el restaurante): 0,6 um por mesa y hora.
• Costes de espera: 3 um por grupo de clientes en cola y hora.
• Costes de denegación de servicio: 4,2 um por cliente que abandona el local sin ser servido.
Se trata de valorar cuál de las tres políticas (dejar atender a dos grupos, a cinco o a todos) resulta
más económica en conjunto.
A partir de los datos del ejemplo 3 podemos establecer la comparativa de costes por hora. La
originalidad de este modelo es que los costes de espera son proporcionales a la longitud de la cola, no
a la longitud total del sistema.

Teoría de colas 43
Política A Política B Política C
s 6 6 6
cs 0,6 0,6 0,6
Costes servicio 3,6 3,6 3,6
Lq 0,3766 1,1429 4,7662
ce 3 3 3
Costes espera 1,13 3,43 14,3
Pk 0,1198 0,0629
λ 3,5 3,5
ca 4,2 4,2
Costes abandono 1,76 0,92
Costes totales 6,46 7,95 5,03
Los resultados confirman el análisis realizado en el ejemplo 3: no resulta viable, en estas condiciones,
no limitar la cola. En este caso, conviene limitar la cola a 2 grupos (k = 8), dado que aumentar la cola a
5 grupos (k = 11) aumenta los costes de espera en mayor medida que los costes de servicio.
2.7 Problemas resueltos
2.7.1 La fotocopiadora
Como experto en investigación operativa, se le ha encargado el diseño de la capacidad de un servicio
de fotocopiadoras para un bufete de abogados, que actualmente cuenta con una fotocopiadora.
Después de un intenso trabajo de campo, ha obtenido los siguientes datos:
• El tiempo de servicio de la fotocopiadora sigue una ley exponencial de media 3 minutos.
• Las llegadas a la fotocopiadora siguen una ley Poisson de 16 llegadas por hora de promedio.
• El coste de una persona haciendo fotocopias, o esperando para hacerlas, es de 80 um por hora.
• La jornada laboral en el bufete es de 40 horas semanales.
• El coste de posesión de una fotocopiadora está estimado en 100 um por hora laborable.
Suponiendo que el número de personas es lo bastante grande para considerar universo infinito, y que
no hay limitaciones para el número de personas que pueden esperar para hacer fotocopias, encontrar:
a) Tiempo medio de espera hasta que se pueda utilizar la fotocopiadora
b) Probabilidades de que:
No haya nadie en la máquina
No haya nadie esperando para hacer fotocopias
c) Costes totales asociados al sistema
Si se dan instrucciones para que, si se encuentran tres personas haciendo cola para hacer fotocopias
(además de la que está fotocopiando), los trabajadores no se pongan a la cola y dejen las fotocopias
para más adelante, encontrar:
d) Número promedio de personas esperando para hacer fotocopias
e) Número promedio de veces que se utiliza la fotocopiadora en una hora
Otra alternativa es instalar una fotocopiadora adicional (de las mismas características que la primera) y
eliminar la restricción de número máximo de personas en la cola.

f) ¿La instalación de una nueva fotocopiadora supone un ahorro en costes respecto de la situación
inicial? Jusfitique cuantitativamente la respuesta.
g) ¿Cuál de las dos alternativas (una o dos fotocopiadoras) se ha de escoger si aumenta la frecuencia
de uso del servicio de fotocopias hasta 25 llegadas por hora? Justificar cuantitativamente la
respuesta.
Solución a “la fotocopiadora”
Suponiendo que el número de personas es lo bastante grande para considerar universo infinito, y que
no hay limitaciones para el número de personas que pueden esperar para hacer fotocopias,
encontrar:
a) Tiempo medio de espera hasta que se pueda utilizar la fotocopiadora
La situación descrita puede modelizarse como un sistema de líneas de espera M/M/1:GD/∞/∞, con los
parámetros:
λ = 16 servicios/hora
µ = 20 servicios/hora
ρ = λ/µ = 0,8
El parámetro que se pide es Wq, que vale:
Wq = ρ / (λ - µ) = 0,8/(20-16) = 0,2 horas = 12 minutos.
b) Probabilidades de que:
No haya nadie en la máquina
No haya nadie esperando para hacer fotocopias
La primera probabilidad es P0, que vale:
P0 = 1 - ρ = 1 – 0,8 = 0,2
La segunda es igual a P0 + P1. Como antes se ha calculado P0, bastará esta vez con calcular P1:
P1 = P0 · ρ = 0,8 · 0,2 = 0,16
P0 + P1 = 0,2 + 0,16 = 0,36
c) Costes totales asociados al sistema
Conocemos los costes de espera y de servicio por hora:
Coste espera (Ce) = 80 um/(persona·hora)
Coste servicio (Cs) = 100 um/hora
Como la semana tiene 40 horas, los costes totales vendrán dados por la expresión:
COSTE = 40 · (Cs + L · Ce)

Teoría de colas 45
El valor de L es, en este caso:
L = ρ / (1 - ρ) = 4 personas.
Los costes totales son:
COSTE = 40 · (100 + 4 · 80) = 16.800 um
Si se dan instrucciones para que, si se encuentran tres personas haciendo cola para hacer fotocopias
(además de la que está fotocopiando), los trabajadores no se pongan a la cola y dejen las fotocopias
para más adelante, encontrar:
d) Número promedio de personas esperando para hacer fotocopias
Ahora la situación puede representarse como un modelo de colas M/M/1:GD/k/∞ con k = 4 (el tamaño
del sistema es de 4: 3 puestos de espera y el que fotocopia), i el parámetro a buscar es Lq. Así,
tenemos:
L = ρ / (1 – ρ) – (k+1) · ρk+1
/(1 – ρk+1
) = ... = 1,5631 personas
P0 = (1 – ρ) /(1 – ρk+1
) = ... = 0,2974
Lq = L – (1 – P0) = 1,3474 personas
e) Número promedio de veces que se utiliza la fotocopiadora en una hora
Dado que no todos los que llegan al sistema son servidos, el número de veces que se utiliza la máquina
es inferior a 16 (valor de λ). Este valor es igual a λ · (1 – P4):
P4 = P0 · ρk
= 0,1218 (probabilidad de abandonar el sistema).
λ · (1 – P4) = 16 · (1 – 0,1218) = 14,05 personas / hora
Otra alternativa es instalar una fotocopiadora adicional (de las mismas características que la primera),
y eliminar la restricción de número máximo de personas en la cola.
f) ¿La instalación de una nueva fotocopiadora supone un ahorro en costes respecto de la situación
inicial? Jusfitique cuantitativamente la respuesta.
Ahora el modelo representativo es M/M/2:GD/∞/∞, y se trata de valorar los costes en esta situación.
En consecuencia, hemos de hallar L, que vale:
P0 = 0,4285
Lq = 0,1523
L = 0,9523
A continuación, podemos encontrar los costes:
COSTE = 40 · (2Cs + L · Ce)
COSTE = 40 · (2·100 + 0,9523 · 80) = 11.047,36
El ahorro en costes de añadir una nueva fotocopiadora (nuevo servidor) es de un 34,24 %.

g) ¿Cuál de las dos alternativas (una o dos fotocopiadoras) se ha de escoger si aumenta la
frecuencia de uso del servicio de fotocopias hasta 25 llegadas por hora? Justificar
cuantitativamente la respuesta.
Con un solo servidor, tenemos: ρ = 25/20 > 1, razón per la cual la alternativa no es viable. Con dos
servidores el sistema ya lo es, dado que: ρ = 25/(2·20) = 0,625.
2.7.2 “Baile de los pringaos”
El acto principal de las fiestas de Villarriba es el “baile de los pringaos”, consistente en un baile
organizado por la Comisión de Festejos del Ayuntamiento, en la que todo el pueblo come, bebe, canta
y baila hasta el amanecer.
Dicho baile tiene lugar en un terreno propiedad de uno de los vecinos del pueblo. Éste lo cede de buen
grado para el festejo, pero desde hace algunos años se viene quejando de que los subproductos
resultantes de la apreciable ingesta alcohólica de los vecinos dejan el terreno en un estado lamentable.
Por este motivo, el concejal de festejos del pueblo ha decidido instalar en el terreno cuatro lavabos
portátiles. El problema que se le plantea es el de asignar el número de lavabos a hombres y mujeres
que minimice los costes medios por hora de espera totales. Para resolver el problema realiza las
siguientes suposiciones:
• Los hombres y las mujeres irán solo a los lavabos que tengan asignados (suposición aceptable si el
sistema está bien dimensionado).
• A efectos de cálculo, el número de asistentes es suficientemente grande como para considerar
universo infinito.
• De experiencias realizadas en discotecas locales, ha podido determinar que el tiempo de estancia
en el lavabo sigue una ley exponencial de media 3 minutos para los hombres y de 6 minutos para
las mujeres.
• Se espera que las visitas al servicio sigan una ley Poisson de media 15 por hora para los hombres,
y 18 por hora para las mujeres.
• El coste de espera por persona y hora (productos que dejan de consumir, por lo que el tiempo
incluye tanto la espera como la estancia en el servicio) es de 6 euros por hora y hombre y de 4
euros por hora y mujer, respectivamente.
Con estos datos, se pregunta:
a) ¿Cuál es el número mínimo de lavabos para hombres y mujeres?
b) ¿Cuál es el número de lavabos a asignar a hombres y mujeres que minimice los costes de espera
por hora?
c) Probabilidad de que el lavabo (o lavabos) de hombres esté(n) vacío(s).
d) Tiempo medio de espera de hombres y mujeres antes de entrar al servicio.
Solución a “Baile de los pringaos”2
a) ¿Cuál es el número mínimo de lavabos para hombres y mujeres?
Debemos uniformizar parámetros para hombres y mujeres:
2
Para resolver este problema, se han realizado los cálculos con el programa STORM.

Teoría de colas 47
HOMBRES:
λ = 15 hombres/hora
1/µ = 3 minutos/hombre = 0,05 horas/hombre
µ = 20 hombres/hora
MUJERES:
λ = 18 mujeres/hora
1/µ = 6 minutos/mujer = 0,1 horas/mujer
µ = 10 mujeres/hora
Comparando tasas de servicio y de llegada, y dado que para que una cola no se haga infinita λ < µ,
tenemos que las mujeres necesitan un mínimo de 2 lavabos y los hombres un mínimo de un lavabo.
b) ¿Cuál es el número de lavabos a asignar a hombres y mujeres que minimice los costes de espera
por hora?
Con lo visto anteriormente, sólo hay dos posibilidades:
• Dos lavabos de hombres y dos de mujeres (2H – 2M).
• Un lavabo de hombres y tres de mujeres (1H – 3M).
Los costes de cada alternativa serán proporcionales a la longitud media del sistema L:
Ctotal = 6·Lhombres + 4·Lmujeres
Los resultados para las diferentes alternativas se muestran en las tablas siguientes:
2 H 2 M
ρ 0,375 0,9
L (unidades) 0,8727 9,4737
Wq (horas) 0,000818 0,4263
Cespera (euros/hora) 5,24 37,89
Po 0,4545 0,0526
El coste total de esta alternativa es de: 5,24 + 37,89 = 43,13 euros/hora
1 H 3 M
ρ 0,75 0,6
L (unidades) 3 2,3321
Wq (horas) 0,15 0,0296
Cespera (euros/hora) 18 9,33
Po 0,25 0,146
El coste total de esta alternativa es de: 18 + 9,33 = 27,33 euros/hora.
Por lo que la mejor solución es reservar tres lavabos a las mujeres y uno a los hombres. El resto de
datos que se preguntan puede encontrarse en la tabla.

2.7.3 PAN’S CON PAN’S
La empresa PAN’S CON PAN’S se dedica al sector de la hostelería y dispone de una cadena de
establecimientos de comida rápida basada en menús de bocadillos y refrescos. Nos ha solicitado un
estudio con la intención de generar unos estándares de calidad de atención al público para todos sus
establecimientos.
Se informa de que, aunque tienen un horario de atención al público bastante amplio, el 85% de la cifra
de negocio se obtiene durante las horas punta de comida y cena, periodos que conjuntamente ocupan
seis horas de la jornada laboral. Durante estos periodos de máxima afluencia de público, los clientes
llegan con un tiempo medio entre llegadas de 3 minutos, siguiendo una ley de Poisson, y piden como
promedio 1,2 bocadillos por persona.
Como los establecimientos son de poco aforo, acostumbra a haber sólo un cajero que, debidamente
entrenado, es capaz de atender un pedido y pasarlo a la cocina en un tiempo de 20 segundos de media.
Una vez ha llegado el pedido a la cocina, el tiempo que un cocinero necesita para elaborar un
bocadillo es de un promedio de 2 minutos. Después, el cajero toma el bocadillo, lo deposita en la
bandeja y le desea al cliente buen provecho. Estas operaciones se realizan en un tiempo promedio de
15 segundos. (Los tiempos de servir las bebidas y cobrar no deben tenerse en cuenta, pues son
operaciones simultáneas y de menor duración que la elaboración de los bocadillos.)
El conjunto de tiempos para realizan un servicio se puede considerar exponencial para la suma de
tiempos en las diferentes operaciones. Por otra parte, estaría mal visto que el cajero iniciara un nuevo
pedido hasta que el cliente anterior no se encontrara totalmente servido.
PAN’S CON PAN’S desea establecer un estándar de calidad que impida que en la cola haya más de
tres clientes durante un 5% del tiempo en horas punta. Dado que el número de cajeros es limitado y
sólo puede aumentarse el número de cocineros, se desea saber cuántos cocineros deberíamos contratar
simultáneamente en un mismo servicio, con estos datos.
Solución a PAN’S CON PAN’S
Nos encontramos con un modelo de colas M/M/1:FIFO/∞/∞
Pondremos en segundos toda la información relativa al tiempo:
La tasa de llegadas λ es de 1/180 segundos-1
El tiempo de servicio 1/µ es de 20 + 15 + 1,2·120/NC, siendo NC el númeroo de cocineros:
La tasa de servicio µ es de 1/179 con 1 cocinero
1/107 con 2 cocineros
La ρ es por tanto: 0.9944 con 1 cocinero
0.5944 con 2 cocineros

Teoría de colas 49
Se desea que durante un mínimo del 95% del tiempo tengamos menos de 5 clientes en el sistema: o lo
que es lo mismo, durante un máximo del 5% del tiempo tengamos más de 5 clientes.
Sabiendo que n
k
k n
P ρ
∞
=
=∑ sólo deberemos encontrar la ρ que haga la expresión inferior a 0,05.
La proporción de tiempo que hay más de 4 clientes con un cocinero es: 0.99445
= 0.9723
con 2 cocineros es: 0.59445
= 0.0742
= 0.0208
= 0.0095
Por lo tanto, para cumplir las condiciones demandadas, deberemos contratar un mínimo de tres
cocineros por establecimiento.

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