Modulo de estadistica ii

MODULO DE ESTADÍSTICA II - ALBERTO QUINTO JIMÉNEZ
MODULO
DE
ESTADÍSTICA II
ALBERTO QUINTO JIMÉNEZ
Especialista en Matemática Avanzada.
Universidad Nacional de Colombia.
FACULTAD DE HUMANIDADES
PROGRAMA DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DEL CHOCÓ
“DIEGO LUIS CORDOBA”
2007
1

OFRENDA
A mi querida tía, recordada por siempre ROSA QUINTO MOSQUERA
a mis hijos, a todos y cada uno de mis actuales y futuros alumnos.
2

INDICE
PAGINA
Ofrenda
Introducción
UNIDAD 1.0
SUCESOS ALEATORIOS Y PROBABILIDAD. 5
1.1 Concepto de suceso 6
1.2 Fenómeno o Experimento Aleatorio 6
1.3 Espacio Muestral 6
1.4 Clasificación de los Sucesos 7
1.5 Análisis Combinatorio 10
1.5.1Factorial de N 10
1.5.2 Permutaciones 11
1.5.3 Variaciones Simples 12
1.5.4 Combinaciones 13
1.6 Teoría Elemental de la Probabilidad 15
1.7 Teoremas del Cálculo de Probabilidad 17
1.8 Axiomatización de la Probabilidad 20
Ejercicios
UNIDAD 2.0
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES. 31
2.1 Variables Aleatorias 32
2.2 Esperanza Matemática 32
2.3 Distribuciones de Probabilidades 34
2.3.1 Poisson 34
2.3.2 Binomial 38
2.3.3. Normal 41
Ejercicios
3

UNIDAD 3.0
DECISION ESTADISTICA 54
3.0 Nociones sobre pruebas de hipótesis y métodos no parametritos 55
3.1 Pruebas de Uno y Dos Extremos 57
3.2 Reglas de Decisión 57
3.3 Errores Estadísticos 58
3.4 Potencia de una Prueba 59
3.5 Procedimientos Estadísticos en la Investigación 59
3.6 Diferencias entre las Pruebas Parámetricas y no Parámetricas 60
3.6.1 El tamaño de la muestra 62
3.7 Prueba Binomial 63
3.8 Prueba de los Signos 68
3.9 Prueba de Cox y Stuart para Tendencia 76
3.10Prueba X2
Para Diferencias en Probabilidades 2x2 78
3.11Prueba de Mc Nemar Para Cambios de Significancias 82
3.12Prueba de la Mediana 86
3.13Prueba de Bondad de Ajuste de Kolmogorov-Smirnov 91
3.14Prueba U de Mann-Whitney 95
3.15Prueba de Kruskal-Wallis 101
3.16Prueba de Sparman 106
UNIDAD 4.0
ASPECTOS GENERALES SOBRE SERIES CRONOLOGICAS, NUMEROS
INDICES Y TASAS. 112
4.0 Series cronológicas. 113
4.1 Componentes de una serie. 113
4.2 Determinación de la tendencia. 115
4.3 Ajuste rectilíneo. 116
4.4 Los números índices. 123
4.5 usos de los números índices. 138
4.6 Proporciones, porcentajes, razones y tasas. 148
Ejercicios aplicativos - Bibliografía.
4

INTRODUCCIÓN
Cada día de nuestras vidas estamos expuestos a una amplia variedad de
información numérica relativa a fenómenos como la actividad del mercado de
valores, los hallazgos de estudios de mercados, los resultados de encuestas
de opinión, las tasas de desempleo, los pronósticos de éxito futuro de
industrias especificas y datos en general.
Es importante recordar que el tema de la estadística moderna abarca la
recolección presentación y caracterización de información para ayudar tanto
en el análisis de datos como en el proceso de la toma de decisiones.
Por la forma en que está estructurado el modulo, es poca la preparación
matemática que se requiere para entenderlo. Aquellos que hayan tomado el
primer curso de estadística, no tendrán dificultad alguna para seguir la
manipulación matemática y estadística en este curso. Tengo fe en que el
estudiante, o el lector común, llegará a darse cuenta que en la estadística
hay más que las meras matemáticas; que la Estadística, primero que todo,
es una filosofía, una manera de pensar. Si el estudiante puede desarrollar los
conceptos, verá la estadística simplemente como el vehículo para su
expresión y comunicación de resultados.
Aspiro, en consecuencia, prestar un nuevo servicio a los educadores
Colombianos; porque considero que todo lo que se hace en beneficio de los
futuros ciudadanos ha de estar inspirado en un elevado anhelo de
engrandecimiento patrio, y ello sólo se logra con la dedicación y el sacrificio
constante de cada uno de nosotros, pues como lo expresa claramente
CHARLES SUMMER, “la verdadera grandeza de las naciones está en
aquellas cualidades que constituyen la grandeza del individuo”.
5

UNIDAD 1.0
SUCESOS ALEATORIOS Y PROBABILIDAD
OBJETIVO
DE LA UNIDAD: Desarrollar una comprensión de los conceptos básicos de probabilidad
que son la base necesaria para el desarrollo y estudio de distribuciones de probabilidad e
inferencia estadística.
CONTENIDOS:
1.1 Concepto de suceso
1.2 Fenómeno o Experimento Aleatorio
1.3 Espacio Muestral
1.4 Clasificación de los Sucesos
1.5 Análisis Combinatorio
1.5.1Factorial de N
1.5.2 Permutaciones
1.5.3 Variaciones Simples
1.5.4 Combinaciones
1.6 Teoría Elemental de la Probabilidad
1.7 Teoremas del Cálculo de Probabilidad
1.8 Axiomatización de la Probabilidad
Ejercicios
6

1.1 CONCEPTO DE SUCESO
Se denomina suceso o evento (E), a cada uno de los posibles resultados de
un experimento aleatorio.
1.2 FENÓMENOS O EXPERIMENTOS ALEATORIOS
Son todos aquellos sucesos cuyos resultados están establecidos pero no se
pueden predecir con exactitud a priori, o sea que en las mismas
condiciones pueden presentar resultados diferentes.
Además consideramos que el fenómeno aleatorio puede ocurrir
respectivamente en forma indefinida.
Los fenómenos aleatorios, se caracterizan por la imposibilidad de predecir
resultados individuales; sin embargo, al repetir el mismo experimento
aleatorio en condiciones idénticas los resultados promedios o globales
presentan una regularidad o estabilidad sorprendente.
Así, hablamos de los fenómenos o experimentos aleatorios de lanzar una o
más monedas, uno o más dados, de extraer una o más carta de una
baraja, de extraer uno o más remedio de un lote, etc.
1.3 ESPACIO MUESTRAL
Consideremos el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado y
anotemos los posibles resultados (E):
E = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Los resultados posibles del experimento constituyen un conjunto (S)
S = { 1, 2, 3, 4, 5,6 }
7

Que llamaremos espacio de los resultados o espacio muestral
correspondiente al experimento aleatorio de lanzar un dado una sola
vez.
En general, si tomamos el conjunto fundamental de resultados posibles de
un fenómeno aleatorio, como un conjunto de puntos, tal que cada
punto represente uno y sólo uno de los resultados posibles, el espacio
que reúne estos puntos es espacio muestral.
. Cara.
.Cruz
Conjunto de los eventos que aparecen al lanzar una moneda al aire.
.1 .3 .6
.4 .2 .5
Conjunto de los eventos que aparecen al lanzar un dado al aire.
8

1.4 CLASIFICACIÓN DE LOS SUCESOS
1.4.1 SUCESO SEGURO:
Es aquel que siempre se produce al realizar un experimento aleatorio
(certeza).
EJEMPLO: En el experimento de lanzar un dado, el suceso de que salga un
número menor que 7 es un suceso seguro.
1.4.2 SUCESO IMPOSIBLE
Es aquel que nunca se produce al realizar un experimento aleatorio
(imposibilidad).
EJEMPLO: En el experimento de lanzar un dado, el evento de que salga un
número mayor que seis es un suceso imposible.
1.4.3 INCLUSIÓN DE SUCESO
Se dice que un suceso E1 está incluido en otro E2 cuando todos los sucesos
elementales de E1 pertenecen al suceso E2. Se representa con el
símbolo E1 ⊂ E2 significa: E1 está contenido en E2.
9

EJEMPLO: Si en el experimento de lanzar un dado al aire se consideran los
dos sucesos siguientes:
E1: que salga la cifra 4.
E2: que salga una cifra par.
Se observa que E1 ⊂ E2.
1.4.4 IGUALDAD DE SUCESO
Dos sucesos son iguales cuando están formado por los mismos sucesos
elementales.
EJEMPLO: En el experimento de una mujer dar luz un bebe se consideran dos
sucesos.
E1 : que salga niño
E2: que no salga niña
Se observa fácilmente que E1 = E2, puesto que ambos sucesos aquí valen al
suceso elemental que salga niño
1.4.5 SUCESO CONTRARIO
Se denomina suceso contrario, E
_
de un determinado suceso E, al suceso
formado por todos los sucesos elementales que no están en E y que
pertenecen al conjunto de todos los sucesos elementales de un
experimento.
EJEMPLO: En el experimento de lanzar una moneda al aire, si se considera el
suceso E: que salga cruz, el suceso contrario E
_
se forma por los
sucesos que no están en E pero que pertenecen al experimento E
_
:
que salga cara.
1.4.6 DOS SUCESOS (UNO U OTRO)
10

Cuando se están interesados por 2 sucesos A y B, se desea que se
produzca uno de los dos sucesos A ó B, es fácil comprender que esto
ocurre siempre que se produce algún suceso elemental de A o B, es
decir, perteneciente a la unión A ∪ B de los dos conjuntos.
EJEMPLO: Sean los sucesos A y B siguientes:
A : que salga 1 ó 2 al lanzar un dado.
B : que salga 2, 5 ó 6 al lanzar un dado.
Tendrá lugar el suceso A ó B cuando se produzca uno cualquiera de los
sucesos elementales de A, de B ó de A U B.
B
A
1. 2. 5.
6.
1.4.7 DOS SUCESOS SIMULTÁNEOS (UNO Y OTRO)
Si se desea que se produzcan los dos sucesos A y B al mismo tiempo, basta
con que se produzca uno de los sucesos elementales de la
intersección de los sucesos dados, ya que por ser de la intersección A
∩ B, pertenecen al mismo tiempo a ambos conjuntos de sucesos
elementales, con lo que los dos sucesos A y B se verificarán a la vez.
EJEMPLO: En el ejemplo anterior, el suceso A y B tendrá lugar cuando se
verifique el suceso elemental que salga 2, ya que éste es el único
suceso perteneciente a la intersección de A y B.
En el caso de que la intersección sea vacía A ∩ B = φ , se dice que los
sucesos de A y B son INCOMPATIBLES, ya que por ser disjuntos no
tienen ningún elemento en común y no pueden darse al mismo
tiempo.
11

1.4.8 MAS DE DOS SUCESOS SEGUROS
Cuando se esta interesado por más de dos sucesos, A, B, C disjuntos dos a
dos que cumplen con la condición de que su reunión A U B U C
requiera certezas, S, puede afirmarse que siempre se verificará uno
de los sucesos A, B ó C del experimento aleatorio.
EJEMPLO: Sea el experimento de lanzar un dado al aire. Si se consideran los
sucesos siguientes:
A : que salga 1 ó 2.
B : que salga 3 ó 4
C : que salga 5 ó 6
Se comprueba fácilmente que los 3 sucesos son disjuntos 2 a 2. Pues:
A n B = φ
A n B = φ
B n C = φ
Además A U B U C es el suceso seguro.
1.5 ANÁLISIS COMBINATORIO
Las secciones que discutiremos a continuación hacen referencia a las
diferentes maneras en que en un momento dado podemos ordenar,
agrupar o seleccionar los elementos de un conjunto.
Este método combinatorio nos llevará al cálculo de la probabilidad a - priori
de un suceso en forma más sencilla y ágil.
EJEMPLO: Si hay 3 candidatos para Gobernador y 5 para alcalde, los dos
cargos pueden ocuparse de 3 x 5 = 15 formas.
1.5.1 FACTORIAL DE N.
El factorial de n se denota por n! y viene definido por
n! = n (n-1) (n - 2). . .1
Así: 5! = 5.4.3.2.1 = 120
12

4! 3! = (4.3.2.1) (3.2.1) = 144
Conviene decir que O! = 1
1.6 PERMUTACIONES
Una permutación de n objetos diferentes tomados de r en r es una
ordenación de r objetos entre los n dados y atendiendo a la situación
de cada objeto en la ordenación. El número de permutaciones de n
objetos tomados de r en r se representa por n Pr, Pn,r ó P(n,r) y
viene dado por
n Pr = n (n -1 ) ( n -2) ... ( n - r + 1) =
n
n r
!
( )!−
En particular, el número de permutaciones de n objeto tomados de n en n es
n Pn = n ( n -1 ) ( n -2 ) ... 1 = n!
EJEMPLO 1: El número de permutaciones de las letras a, b, c tomadas de dos
es:
3 P2 = 3.2 = 6, estas son ab, ba, ac, bc, cb.
EJEMPLO 2: El número de permutaciones de las palabras estadística es:
11
1 2 2 2 2 1 1
1110 9 8 7 6 5 4 3 21
12121212111
39916800
16
2494800
!
!. !. !. !. !. !. !
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
= = =
Puesto que hay: 1e, 2s, 2t, 2a, 2i, 1d, 1c
EJEMPLO 3: En un departamento sanitario municipal se tienen cinco oficinas
adyacentes que van a ser ocupadas por cinco enfermeras A, B, C, D y
E. De cuántas maneras diferentes pueden asignarse las enfermeras a
las oficinas.
5P5 =
5
5 5
5 4 3 21
0
120
1
120
!
( )!
. . . .
!−
= = =
13

1.6.4 PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN
Se llaman permutaciones con repetición de n elementos, donde hay r1
iguales y de la misma clase, r2 iguales y de la misma clase etc. donde
r1 + r2 +.....= n a las distintas ordenaciones que se le puedan dar al
conjunto.
Se puede expresar así:
P(n,r1 ,r2 ,...) =
n
r r
!
! !...1 2
EJEMPLO: Cuántos números distintos, de cinco cifras, se pueden formar con
el número 22111.
SOLUCIÓN: Hay dos iguales y tres iguales, luego:
p (5, 2, 3) =
5
2!3
1 2 3 4 5
1 2 1 2 3
10
!
!
. . . .
( . )( . . )
= =
Se pueden formar 10 números distintos con el número dado.
1.7 VARIACIONES SIMPLES
En algunas circunstancias nos interesa ordenar o conocer la disposición de
objetos cuando no se toman todos los elementos del conjunto a la
vez.
EJEMPLO: Cuantos números de dos cifras se pueden formar con los dígitos
del 1 al 5.
Evidentemente se trata de formar ordenaciones, de cinco elementos tomados
de a dos y escribimos:
V5.2 =
5
5 2
!
( )!−
V5.2 =
5
3
5 4 20
!
!
= =x
14

EJEMPLO: De cuántas maneras se pueden elegir y disponer en un estante 3
libros tomados de un conjunto de 10.
V10.3 =
10
10 3
10
7!
10 9 8 7!
7!
720
!
( )!
! . . .
−
= = =
15

1.8 COMBINACIONES
Consideremos ahora un caso importante de la combinatoria. Frecuentemente
se nos presentan situaciones en las cuales al efectuar una disposición
de r objetos de n elementos, no nos interesa el orden de dicha
agrupación; tal tipo de agrupaciones las denominamos combinaciones
de n objetos tomados de r en r.
1.8.1 DEFINICIÓN
Se llaman combinaciones de orden r en un conjunto A, las partes o
subconjuntos de r elementos del conjunto A. se denota por Cn.r , en
general la formula es:
C n.r = n rV
r
.
!
Si reemplazamos el valor de Vn.r por
n
n r
!
( )!−
obtenemos la formula general
para calcular el número de combinaciones de n elementos tomados
de r en r :
Cn.r. =
n
r n r
!
!( )!−
EJEMPLO: Las combinaciones binarias de orden dos (r =2) en el conjunto
A = a1, a2, a3 es:
a1, a2  , a1, a3 , a2, a3 
Obsérvese que si cambiamos el orden de los elementos en los
subconjuntos anteriores, no obtenemos conjuntos diferentes, razón
por la cual decimos que en las combinaciones no nos interesa el
orden.
Ahora si aplicamos las fórmulas: donde n = 3, r = 2 tenemos:
16

Cn.r =
n
r n r
!
!( )!
!
)!
!
!−
=
−
= =
3
2!(3 2
3
2!.1
3
EJEMPLO: Cuántos comités integrados por tres personas se pueden formar
de un conjunto de doce personas.
C12.3 =
12!
3 12 3
12!
3 9!
1320
6
220
!( )! !.−
= = = comites
1.8.2 COMBINACIONES CON REPETICIÓN
En el caso de combinaciones no se permite repeticiones de sus elementos.
Si se trata de formar todas las combinaciones posibles, de orden r
elegidas entre las n, cuando los elementos pueden repetirse, se dice
que cada grupo de estos es una combinación con repetición de orden
r de los n elementos.
Como se trata de combinaciones, dos de ellas son distintas si difieren en
algún elemento, por lo menos.
Por ejemplo, sea a, b, c,  un conjunto de 3 elementos, entonces aa, ab, bc.
etc. son distintas combinaciones con repetición de orden 2 de 3
elementos.
La formula general para este caso es:
Cn. r =
[ ]
( )!
! ( ) !
n r
r n r r
+ −
+ − −
1
1
EJEMPLO: Se dispone de un recipiente con cuatro tipos de arandelas, A, B, C
y D, y se van a sacar muestras de 3 arandelas cada una. Cuántas
muestras distintas se pueden elegir.
SOLUCIÓN: Hay 4 tipos de arandelas y se van a formar grupos de 3
arandelas, donde se permite repeticiones (por ejemplo), dos grupos
distintos pueden ser A A A, A B B, dos de estos grupos son distintos
si difieren, al menos, en una arandela. Se trata de combinaciones con
repeticiones de orden 3, de 4 elementos. O sea:
17

C4.3 =
[ ]
( )!
! ( ) !
!
! !
4 3 1
3 4 3 1 3
6
3 3
120
6
20
+ −
+ − −
= = =
Lo que nos permite decir que podemos sacar 20 muestras distintas.
1.9 TEORÍA ELEMENTAL DE LA PROBABILIDAD
1.9.1 DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD:
INTRODUCCIÓN: En el lenguaje corriente al hablar acerca de cierto suceso
formamos enunciados tales como:
Probablemente estudiaré ingeniería.
Posiblemente me case en enero.
Es muy probable que pruebe el examen.
Es poco probable que gane el 2080 en la lotería del jueves.
Empleamos los términos, probablemente, muy probable, poco probable
muchas posibilidades, en un sentido muy vago y de ninguno de los
sucesos anteriores podemos asegurar que se verifique o no. Pero
tales términos los podemos utilizar para describir, aunque en forma
muy vaga, nuestro “grado de creencia” en que estos sucesos se
verifiquen.
En efecto, podemos interpretar intuitivamente el concepto de probabilidad
como una medida de la posibilidad (creencia) de ocurrencia de un
suceso.
Es frecuente el empleo de expresiones tales como: el suceso A tiene menor,
igual o mayor probabilidad de ocurrencia que el suceso B.
Pero tales afirmaciones no tendrán validez lógica mientras no podamos darle
un sentido preciso al término probabilidad, de tal manera que nos
permita asociarle a cada probabilidad de ocurrencia de los sucesos A
y B un número real.
18

DEFINICIÓN: Dado un experimento aleatorio cualquiera, que pueda dar lugar
a varios sucesos elementales igualmente posible, se define como
probabilidad de un suceso E, al cociente entre el número de sucesos
favorables (SF) y el número de suceso elementales posibles (SP).
Que denotaremos:
19

P (E) =
NumerodeSucesosElementalesFavorablesaE
NumerodesucesosElementalesPosibles
P (E) =
SF
SP
Esta definición es denominada REGLA DE LAPLACE. El método para
obtener una medida de un suceso se basa en experimentos
aleatorios; los experimentos más sencillos son: lanzar una moneda al
aire, lanzar un dado, extraer una carta, seleccionar una bola de color
de una urna, extraer un número de una urna, etc.
OBSERVACIONES: Es muy importante darle a entender al lector que no
entiende de cartas o barajas, que en este texto trataremos de un
conjunto de naipes ( Rumis) formado por 4 tipos de cartas ; diamante,
trébol, rojo o corazón y negras; donde de cada carta hay 4, por
ejemplo existen 4 ases, 4 jotas, 4 q, 4 cinco, etc.
La probabilidad de aparición del suceso E (llamada su ocurrencia) viene
dada por.
P(E) =
SF
SP
= p
La probabilidad de no aparición del suceso (llamada su no ocurrencia)
viene dada por
g = p (no E) = 1 - P (E) = 1 - P
Así, pues: p + q = 1 o P (E) + P (no E) = 1
El suceso “no E” a veces se denota por
ª
, ,
∗ −
¬E E E
20

EJEMPLO 1: Determinar la probabilidad p de la aparición de un número impar
en una tirada de un dado equilibrado.
SOLUCIÓN: De los 6 casos igualmente probables (1, 2, 3, 4, 5, 6) 3 casos son
favorables cuando salga: 1, 3, ó 5. Entonces:
P = 3/6 = 1/2.
EJEMPLO 2: La aparición de un as, el cinco de diamante o el tres de corazón
en una sola extracción de una baraja de 52 cartas.
SOLUCIÓN: El suceso puede ocurrir de 6 formas (uno cualquiera de los ases
son 4, el cinco de diamante, y el tres de corazón) del total de 52 cartas
igualmente probables. Entonces.
p = 6/52 = 3/26
EJEMPLO 3. En el experimento aleatorio de lanzar una moneda al aire. Los
dos sucesos elementales posibles son: que salga cara ( c ) y que
salga sello (s), luego la probabilidad de cara y de sello es la misma
1/2.
P ( c ) = P (s) = 1/2.
NOTA: La probabilidad del suceso seguro E, P(E) es iguala a 1, y la
probabilidad del suceso imposible, es igual a cero, luego entre estos
dos números o valores, 0 y 1 se sitúa la probabilidad de cualquier otro
suceso A.
0 < p (A) < 1
1.9.2 TEOREMAS DEL CÁLCULO DE PROBABILIDAD
1.9.2.1. PROBABILIDAD CONDICIONAL. SUCESOS INDEPENDIENTES Y
DEPENDIENTES.
21

Dado un experimento aleatorio cualquiera que puede dar lugar, entre otros, a
los sucesos A y B, se denomina probabilidad del suceso B
condicionada al suceso A, y se representa mediante P ( B / A) y se lee
probabilidad de que ocurra el suceso B sabiendo el suceso A ha
ocurrido , o simplemente, probabilidad de B dado A.
Si el hecho de que se haya realizado el acontecimiento A no altera, en
absoluto, la probabilidad de que se realice el acontecimiento B, los
sucesos A y B son llamados “Independientes” y no tiene sentido
hablar de probabilidad de B condicionado A.
En este caso:
P (B/A) = P (B)
En caso contrario, se dice que los sucesos A y B son “Dependiente” y:
P (B/A) ≠ P (B)
Para el cálculo de la probabilidad condicional P (B/A) se utiliza la siguiente
fórmula:
P (B / A ) =
P B A
P A
( )
( )

, Con P(A) ≠ 0
En donde P (B  A) representa la probabilidad de que se verifique a la vez
los sucesos A y B, P (A) la probabilidad de que se produzca el
suceso A.
P (B  A) = P ( B / A ). P (A)
Por analogía con esta fórmula puede decirse que:
P (A  B) = P (A / B). P (B)
Pero por ser P (B /A ) = P ( A / B ) , ya que ambas expresiones indican por
igual la probabilidad de que se produzca a la vez los sucesos A y B,
puede escribirse indistintamente que :
P (B  A) = P (A  B) = P (B / A) . P (A) = P (A / B) . P (B)
22

De este modo se obtienen dos fórmulas distintas para la probabilidad de que
se verifiquen a la vez los dos sucesos A y B de un experimento
aleatorio cualquiera.
P (A  B) = P ( B / A ) . P ( A )
P (A  B) = P ( A / B ) . P ( B)
Si A y B son independientes se tiene:
P (A  B) = P (A ) . P ( B)
EJEMPLO1: Sea el experimento aleatorio consiste en lanzar un dado al aire.
Calcular la probabilidad de obtener un 4, sabiendo que se ha obtenido
un número par.
SOLUCIÓN: Sea A el suceso obtener un 4 al lanzar un dado y B el suceso de
obtener un número par al lanzar un dado, luego se trata de calcular
P ( A / B ). Aplicando la fórmula correspondiente se tendrá:
P ( A / B ) =
P A B
P B
conP B
( )
( )
, ( )

≠ 0
P (B) = 3/6, puesto que de los 6 resultados posibles, sólo 3 (2, 4, 6) son
favorables al experimento considerado.
P (A  B) = 1/6 ya que sólo existe un resultado favorable, de los 6 posibles,
que sea al mismo tiempo número par y que coincida con el número
cuatro.
Por tanto:
P(A/B) =
P A B
P B
( )
( )
/
/

= =
1 6
3 6
1
3
EJEMPLO 2. Supóngase una caja que contenga 4 bolas blancas y 3 bolas
negras. Sea A el suceso de que la primera bola extraída se negra y B
el suceso de que la segunda bola extraída se negra, en extracción sin
remplazamiento. Aquí A y B son sucesos dependiente.
23

SOLUCIÓN: P (A) =
3
4 3
3
7+
=
P ( B ) = P ( B / A ) =
2
6
, puesto que de las 3 bolas negras ya sacamos
una, y de las 7 existentes han quedado 6.
Luego:
P (A  B) = P ( B / A ) . P ( A ) =
2
6
3
7
6
42
1
7
. = =
1.9.3. AXIOMATIZACION DE LA PROBABILIDAD.
La teoría de probabilidad ha sido construida partiendo de varios axiomas
como lo fue la geometría, la mecánica teórica y otras ciencias. El
desarrollo axiomático de las probabilidades que ha tenido mayor
aceptación es el propuesto por: Andrej N. Kolmogorov (1903, ) en
1933. Kolmogorov inicia con un conjunto U de eventos simples, o
sea un espacio muestra. Luego considera una familia F de
subconjunto de U los cuales denomina eventos aleatorios. Esta familia
de eventos debe conformar lo que en el álgebra moderna se llama un
Campo de Borel. Con cada evento A del campo de eventos F hay
asociado un número, llamado la probabilidad del evento A, escrito P
(A) y tal que:
Axioma 1: P (A) ≥ 0 para cualquier evento A
Axioma 2: P (U) = 1
Axioma 3: P ( A ∪ B ) = P (A) + P (B), si A y B son eventos mutuamente
excluyentes.
La terna (U, F, P) se llama espacio probabilístico y representan el modelo
matemático usado para el estudio de los fenómenos aleatorios.
A partir de los tres axiomas se deducen varias propiedades de las
probabilidades que son útiles en la solución de problemas.
P1 . P ( ∅) = 0, o sea que la probabilidad del evento imposible es cero.
24

P2. O ≤ P (A ) ≤ 1. la probabilidad es un número entre 0 y 1.
P3 P ( AC
) = 1 - P (A).
P4 . Si un evento A implica otro evento B, es decir, si A ⊂ B, entonces
P (A) ≤ P (B).
P5 . P (A1 U A2 U... Uan ) = P (A1 ) + P (A2) +...+P (An) cuando A1, A2,
An son eventos mutuamente excluyentes.
P6 . p ( A ∪ B ) = P (A ) + P (B ) - P (A ∩ B) Cuando A y B son eventos
cualquiera. Esta probabilidad se llama regla de adición
P7. P ( A - B ) = P (A) - P (A ∩B).
En los ejemplos siguientes veremos cómo se aplican estas propiedades.
EJEMPLO 1. Una urna contiene 6 bolas blancas, 4 rojas y 5 azules de igual
tamaño, se extrae una bola al azar, cuál es la probabilidad de que
esta bola sea roja?
Sea R: obtener bola roja, B: obtener bola blanca y A: obtener bola azul.
Entonces:
P ( R ) =
4
6 4 5
4
15+ +
=
Cuál es la probabilidad de que la bola sea blanca o azul?
P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ), ( eventos mutuamente excluyentes)
P (A ∪ B ) =
6
15
5
15
11
15
+ =
Cuál es la probabilidad de que la bola no sea azul?
P ( AC
) = 1 - P (A)
25

P ( AC
) = 1 -
5
15
10
15
2
3
= =
EJEMPLO 2. Se extrae una carta al azar de una baraja de 52 cartas
(poker). Cuál es la probabilidad de obtener un As?
Sea A: obtener un as. En las 52 cartas hay 4 ases, luego P (A) = 4/52
Cuál es la probabilidad de obtener un 10 ó un diamante?
Sea B: obtener un diez y D: obtener un diamante. En la baraja hay 4 dieses
y 13 diamantes y una de las cartas es el 10 diamante. Entonces.
P (B) = 4/52, P (D) = 13/52 y P (B ∩ D) = 1/52. Por lo tanto
P (B∪D) = P (B) + P (D) - P ( B∩ D)
P (B∪D) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52
EJEMPLO 3. Se lanzan dos dados una vez. Cuál es la probabilidad de obtener
una suma igual a 5 con los dados?
Sea C: obtener suma igual a 5. El espacio muestral es uno de los números
del 2 al 12 pero estos números no ocurren con igual probabilidad. El 5
se puede obtener cuando los dados caen: (3,2), (2,3), (1,4), (1,4) esto
es, se tienen 4 casos favorables al evento C entre los 36 posibles.
Luego:
P ( C) = 4/36.
De igual manera se obtienen las probabilidades para las otras sumas. Cuál
es la probabilidad de obtener una suma al menos de 9?
Sea M: obtener al menos 9.
P (M) = P (obtener 9 ó 10 ó 11 ó 12)
P (M) = P ( 9) + P (10) + P (11)+ P (12)
P (M) = 4/36 + 3/36 + 2/36 + 1/36 = 10/36
26

EJEMPLO 4; Un envío de 12 cajas con drogas contienen 3 cajas alteradas.
Cuál es la probabilidad de obtener una caja alterada al tomar al azar 7
cajas de las 12?
Llamaremos H dicho evento.
No es fácil resolver este problema si queremos calcular directamente el
número de casos favorables y posibles. En caso como éste, es
recomendable acudir a la teoría del análisis Combinatorio: entonces
razonamos así: el número de casos posibles es el número de
combinaciones de 12 cajas tomas 7 a la vez, es decir C12.7, las cajas
alteradas pueden seleccionarse entre las 3 alteradas en C3.1 formas y
las 6 restantes pueden seleccionarse entre las 9 no alteradas en C9.6
formas. Por principio fundamental, tenemos que el número de casos
favorables es C3.1 C9.6. Luego:
P(H) =
3 1 9 6
12 7
. .
.
C C
C
Aplicando la fórmula de combinaciones:
Cn. r =
n
r n r
!
!( )!−
C3.1 =
3
1 3 1
3
!
!( )!−
=
C9.6 =
9!
6 9 6
84
!( )!−
=
C12.7 =
12!
7!(12 7
792
−
=
)!
Luego:
P(H) =
( )( )3 84
792
7
22
=
EJEMPLO 5. La siguiente tabla muestra al personal (animales) de un
zoológico, tabulados por edad.
27

ANIMALES X
≤ 25
Y
26- 30
Z
31 -35
W
>35
TOTAL
Águilas 0 5 25 75 105
Búfalo 20 30 35 35 120
Caballo 3 6 6 10 25
Delfín 7 15 8 12 42
Elefante 200 375 442 203 1220
Faisán 1 12 8 3 24
Gacela 4 10 19 12 45
Hipopótamo 5 25 15 10 55
Ibis 20 35 50 25 130
28

Totales 260 513 608 385 1766
29

Con los datos de la tabla podemos determinar:
a) Las águilas que tienen más de 35 años: N (A ∩ W) = 75
b.) B ∪ Y, Consiste en los animales búfalos o los animales que están
entre las edades de 26 y 30 o ambos, luego :
N ( B ∪ Y ) = B + Y - ( B ∩ Y) = 120 +513 - 30 = 603. Es de anotar se resto el
30 quienes son animales que ya han sido contados puesto que están
incluidos en el número 120 como el 513.
c) Supóngase se elige un animal al azar dentro de todos que se
representan, cuál es la probabilidad de que este animal tenga 25 años
de edad o sea más joven?
P ( X) =
n X
n U
( )
( )
. .= = =
260
1766
0147 015
d) Cuál es la probabilidad de que un animal sea águila, dado que se elige
al azar del conjunto de animales que tienen más de 35 años.
P ( A / W ) =
n A W
n W
( )
( )
.

= =
75
385
019
e.) Cuál es la probabilidad de que un animal sea águila y de 25 años de
edad o menos?.
Son eventos mutuamente exclusivos, puesto que:
A ∩ X = O, luego:
P( A ∪ X ) = P (A) + P (X) =
105
1766
260
1766
0059 0147 0206 021+ = + = =. . . .
f) Cuál es la probabilidad de que un animal elegido al azar de todos los
animales sea tanto elefante como tener una edad comprendida entre
31 - 35 años
P (E ∩ Z ) = P (Z) . p (E/Z) = (608 / 1766) . (442 /608) = ( 0.34 ) ( 0.73) =
0.25
30

PROBLEMAS SOBRE LA UNIDAD 1.0
1.1 Hallar el valor de:
a) 7p3 , 9p2 , 8p3 , 6p1 , 10p3 , 4p4
b.) 8C4, 4C4, 6C1, 9C3, 5C3, 5C3, 10C4.
NOTA: ( nCr = C n.r).
1.2 Calcular el número de permutaciones que se pueden formar con las
letras de la palabra matemáticas.
1. 3 De cuántas maneras puede formarse un equipo de fútbol de entre un
grupo de 12 voluntarios?
1.4 De cuántas formas pueden ordenarse 6 libros en un estante, si:
a) No se da ninguna restricción
b) 2 libros determinados deben estar juntos.
c.) Un libro determinado debe estar en el extremo izquierdo.
1.5 De un total de 5 Químicos y 7 Biólogos, se forman un comité de 2
Químicos y 3 Biólogos. De cuántas formas pueden formarse, si :
a.) puede pertenecer a él cualquier químico y biólogo
b.) un biólogo determinado debe pertenecer al comité?
c.) Dos biólogos determinados no pueden estar en el comité
1.6 Un conductor de terapia de grupos en una clínica de enfermos
mentales tiene 10 pacientes de los cuales debe formar un grupo de 6.
Cuantas combinaciones de pacientes son posibles?
1.7 Un educador en asuntos sanitarios tiene 3 carteles para exhibir uno
junto al otro en la pared del vestíbulo de un centro de salud.
En cuántas formas diferentes los puede disponer?
1.8 Supóngase que en cierto laboratorio se tiene 4 trabajos que deben
realizarse en una tarde particular y existen 5 personas para llevarlos a
cabo. En cuántas formas pueden asignarse las 5 personas a los 4
trabajos?
31

1.9 Un investigador tiene 4 medicamentos que desea poner a prueba,
pero sólo cuenta con los suficientes animales experimentales para
probar a 3 de los medicamentos. Cuántas combinaciones de
medicamentos pueden poner a prueba.
1.10 Ocho animales experimentales han sido inoculados con cierta droga;
tres con tipo A, tres con tipo B y dos con tipo C. Cada animal debe
colocarse en una de las ocho jaulas adyacentes para su observación.
Si los animales sólo se distinguen con base en el tipo que recibieron,
cuántos arreglos diferentes son posibles?.
1.11 De una baraja de póquer, cuántas manos de 5 cartas cada una se
puede sacar?
1.12 Un dado normal se lanza dos veces. Determinar la probabilidad de
obtener un seis en ambos lanzamientos.
1.13 Una urna contiene una bola blanca y una bola negra. Se extrae una
cada vez sin reposición. Determinar la probabilidad de que la primera
bola sea blanca y la segunda negra.
1.14 Una urna contiene seis bolas negras y cuatro blancas. Se extrae sin
reposición dos bolas, una a una. Determinar la probabilidad de
seleccionar una bola blanca en la primera extracción y una bola negra
en la segunda.
1.15 Determinar la probabilidad de que todas las cuatros cartas extraídas
aleatoriamente y sin reposición de una baraja de 52 resulten aseas.
1.16 En una ciudad de 10.000 electores el 50% son liberales y el 50% son
conservadores. Si se seleccionan dos electores aleatoriamente cuál
es la probabilidad de que ambos sean liberales?.
1.17 Supóngase que P (A) = ½ y P (B) = ¼, encontrar p ( AB ) si:
a.) A y B son independiente
b.) A y B son mutuamente excluyentes.
1.18 Si la P (A) = 1/3, P (B) = ¼ y P (A/B) = 1/2, en contar P ( A + B)
32

1.19 A y B juegan 12 partidas de ajedrez, de los cuales A gana 6 veces,
B gana 4 y 2 terminan en tabla. Acuerdan jugar un torneo consistente
en 3 partidas. Hallar la probabilidad de que:
a.) A gane 3 partidas
b.) D os partidas terminan en tabla
c.) A y B ganen alternativamente.
d.) B gane al menos un partida
1.20 Se extrae una bola al azar de una caja que contiene 10 rojas, 30
blancas, 20 azules y 15 naranjadas. Hallar la probabilidad de que:
a) sea naranja o roja
b) no roja o azul
c.) no azul
d.) blanca
e ) roja, blanca o azul
1.21 Un pescador atrapa 10 peces, 3 de los cuales son más pequeños que
los permitidos por la ley. Un policía se le acerca y examina la pesca,
pero mirando 2 peces solamente elegidos al azar. Cuál es la
probabilidad de que el pescador sea multado?
1.22 De acuerdo con la tabla del ejemplo 5 de la presente unidad, calcular
a.) P (F ∩ W), P ( H / Z ) , P ( G ∪ C ) , P (I /Y)
1.23 Un joven tiene en su bolsillo una moneda de 10 centavos, una de 20,
una de 25, una de 50 y otra de un peso. Al sacar simultáneamente dos
monedas que posibilidad existe que:
a.) El joven saque menos de 80 centavos
b.) Saque más de 50 centavos
c.) Saque al menos 10 centavos
1.24 La siguiente tabla muestra la distribución de un grupo de personas:
SEXO
GRUPO
SANGUÍNEO MASCULINO FEMENINO TOTAL
0 113 113 226
A 103 123 226
B 40 37 77
33

AB 30 20 50
Total 286 293 579
Para este grupo calcular:
a) La probabilidad de que un paciente elegido al azar sea femenino.
b.) Sea femenino o Masculino
c) Sea masculino y de grupo B.
d.) Sea femenino de grupo A.
e) La probabilidad de que un paciente sea elegido de grupo AB
f.) De que un paciente sea elegido de los masculinos, dado que es
grupo O.
1.25. Supongamos que la probabilidad de nacer varón es 0.51 y que se
estudia familias con tres hijos. Se elige al azar una familia, hallar la
siguiente probabilidad:
a.) Que todos sean varones.
b) Que uno de los hijos sea mujer
c.) Que todos sean mujeres.
Asuma que hay independencia entre los nacimientos
1.26 Se lanzan 2 dados. Determinar la probabilidad que :
a.) La suma de los puntos sea 8
b) La suma de los puntos es menor que 5.
c) La suma sea mayor que 12.
1.27 En un paquete hay 9 semillas de las cuales 2 producen flores blancas,
3 producen flores rojas y 4 producen flores amarillas.
Se extraen al azar dos semillas y se siembra. Calcular la probabilidad de que
:
a.) Ambas produzcan flores blancas.
b) Una produzca flor blanca y la otra roja
c. ) Ambas produzcan flores del mismo color.
1.28 Un club de señorita tiene 120 socias con las siguientes características:
34

35

COLOR DE OJOS RUBIAS TRIGUEÑAS MORENAS PELIROJAS
Azul 8 4 8 7
Café 5 18 20 6
Verde 9 23 8 16
Un apuesto joven llama al club y concreta una cita con una de ellas para ir al
concierto. Calcular la probabilidad de que la señorita:
a.) Sea trigueña y de ojos verde.
b.) Sea pelirroja
c.) Sea morena y de ojos café o verde
d.) Sea rubia y de ojos azules
e.) Sea rubia o morena sabiendo que tiene ojos verde.
1.29 Una rata debe atravesar un laberinto de tres secciones como se ve en
la figura. En la primera sección hay dos caminos, uno de ellos con
comida. En la segunda hay tres caminos y al pasar por uno de ellos la
rata recibe un choque eléctrico. La tercera sección consta de cuatro
caminos y en un de ellos también encuentra comida. Calcule la
probabilidad de que la rata atraviese el laberinto comiendo dos veces
y sin sufrir un choque eléctrico
Comida Choque Comida
1.30 Empíricamente se ha estimado que la probabilidad de que germine
una semilla de Olmo Americano es 0.63 y de que germine una semilla
de Abeto es 0.56. Si se siembra una semilla de olmo y otra de Abeto.
Calcular la probabilidad de que :
a.) Germine al menos una de ellas
b.) no germine ninguna
c.) Germine la semilla de olmo y no la de abeto.
36

1.31 El 60% del ganado de una región fue vacunado contra un tipo especial
de enfermedad. La probabilidad que tiene un animal de recuperarse
es 1 en 5 si fue vacunado y de 1 en 20 si no fue vacunado. Un animal
tomado al azar estaba enfermo pero se recupero. Calcular la
probabilidad de que éste animal haya sido vacunado.
1.32 Se tienen dos lápices uno blanco y otro negro, las caras de ellos están
numeradas 1, 2, 3, 4. Se hecha a rodar al piso para leer sus caras
superiores.
a.) Establezca el espacio muestra
b.) Determine la probabilidad de que la cara superior de los lápices
sea una suma de 1 ó 3
c.) La suma de sus caras sea 4.
d.) La suma de sus caras sea un número par
e.) La suma de sus caras sea un número impar
37

UNIDAD 2.0
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
OBJETIVO
DE LA UNIDAD: Desarrollar una comprensión del concepto de esperanza matemática y
sus aplicaciones en la toma de decisiones y mostrar cómo ciertos tipos de datos pueden
ser representados por tipos particulares de modelos matemáticos.
CONTENIDOS
2.1 Variables Aleatorias
2.2 Esperanza Matemática
2.3 Distribuciones de Probabilidades
2.3.1 Poisson
2.3.2 Binomial
2.3.3 Normal
Ejercicios
38

2.1. VARIABLES ALEATORIAS
Es también llamada variable ESTOCASTICA y es una variable estadística
que asume cada uno de sus valores numéricos posibles con una
probabilidad definida.
Siempre que se determina la estatura, el peso o la edad de un individuo, con
frecuencia se dice que el resultado es un valor de la variable
respectiva. Cuando los valores obtenidos son el resultado de factores
fortuitos, se dice que la variable es una variable aleatoria.
Frecuentemente se da el nombre de observaciones o, simplemente, el de
medidas a los valores que resultan de procedimientos de medición.
Los valores de las variables aleatorias difieren porque en su observación
escapan a nuestro control las diferencias casuales.
Los siguientes son algunos ejemplos de variables aleatorias:
2.1.1. La velocidad de una molécula de gas, Varían en cada choque
molecular y cada choque, a su vez, depende de muchos factores.
2.1.2. El número de meteoritos que penetran en la atmósfera y alcanzan la
superficie terrestre.
Siempre es variable debido a factores de carácter aleatorios.
2.1.3. El peso de los gramos de café cultivados en determinada región.
Es variable en virtud de numerosos factores, tales como calidad del suelo y
semilla, riego, condiciones ambientales etc.
2.1.4. Momento en que se presenta las desintegraciones atómicas.
Estos momentos se presentan al azar y son independientes entre sí.
2.1.5. Número de llamadas a una central telefónica durante un año.
2.2. ESPERANZA MATEMÁTICA
39

La esperanza matemática de una variable aleatoria, es llamada comúnmente
valor medio, valor esperado, o media, se define como una media
ponderada de la población en donde las ponderaciones son las
probabilidades de los valores de la variable aleatoria. En otras
palabras, la esperanza matemática es un promedio probabilistico de
los valores de la variable aleatoria.
Si P es la probabilidad de que una persona reciba una suma de dinero s, la
esperanza matemática o simplemente la esperanza, se define como:
ps.
Si X representa una variable aleatoria discreta que puede tomas los valores
X1, X2, X3 ,....,Xk con probabilidades respectivas p1 , p2, p3 , .. .pK, donde
P1 + P2 , P3 , +... + PK = 1, la esperanza de X simbolizada por
E (X), se define como:
E ( x ) = P1 X1 + P2 X2 + P3 X3 +... +PK XK =
j j
j
k
p x px= ∑∑= 1
Si las probabilidades pj en esta esperanza se sustituyen por las frecuencias
relativas fj / N, donde N =Σfj, la esperanza se reduce a (ΣFX)/N, que
es la media aritmética ( X
_ _
).
Cuando N crece, las frecuencias relativas Fj / N se aproximan a las
probabilidades pj . Esto conduce a interpretar que E (X) representa la
media de la población de la que se ha extraído la muestra.
Si se denota por X
_ _
la media de la muestra, la media de la población
vendrá representa por la correspondiente letra griega ( µ ).
La esperanza también puede definirse para variables aleatorias continuas,
pero la definición no requiere la utilización de cálculo avanzado.
EJEMPLO 1: Si la probabilidad de que una persona gane un premio de
$ 450.000 es 0.5 su esperanza es (0.5) (450.000) = 225.000.
EJEMPLO 2: Si un hombre compra una boleta de rifa, en la que puede ganar
un primer premio de $ 70.000. ó un segundo premio de $ 40.000 con
posibilidades 0.002 y 0.005 respectivamente. cuál es el precio justo a
pagar por la boleta de rifa .
40

E (X) = ( 70.000) (0.002) + (40.000) ( 0.005 ) = $ 140 + $ 200 = $340.
Luego el precio justo a pagar por la boleta de rifa es de $ 340.
EJEMPLO 3: Una Compañía de seguros piensa asegurar un carro en $
800.000. La compañía estima que puede haber un pérdida total del
vehículo con una probabilidad de 0.009, daños en el 50% del vehículo
con una probabilidad de 0.030 y daños en un 25% del vehículo con
una probabilidad de 0.07. Cuánto debe cobrar la compañía por una
póliza de este tipo si desea ganar $ 2.500?
E (X) = (800.000) (0.009) + ( 400.000) (0.030 ) + (200.000) (0.07) =
7.200 + 12.000 + 14.000 = $ 33.200.
La compañía de seguros deberá cobrar $ 33.200 + 2.500 = 35.700 Por la
póliza para asegurar la ganancia programada.
2.3. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES
Cuando a una variable aleatoria se asocia la probabilidad, de tal manera que
a cada valor de la variable le corresponde su respectiva probabilidad,
se ha determinado una “distribución de probabilidad “.
Puesto que toda variable aleatoria tiene una distribución de probabilidades,
diremos que las variables aleatorias discretas tienen distribuciones
discretas de probabilidades y las variables aleatorias continuas tienen
distribución continua de probabilidades.
Entre las distribuciones de probabilidades, algunas son tan conocidas y
usuales que tienen nombre propio. por ejemplo, las distribución
binominal, la distribución de Poisson, la distribución Hipergeometrica,
la distribución geométrica, la distribución binominal negativa. etc.
entre las discretas.
Entre las distribuciones continuas tenemos la distribución Normal, la
distribución Exponencial, la distribución Gamma, la distribución Beta,
la distribución Uniforme, etc.
A continuación veremos las distribuciones de probabilidades de uso más
generalizado, como: binominal, normal y de poisson.
41

2.3.1 LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Nos permite determinar la probabilidad de que un suceso se presente
exactamente x veces en repetidos ensayos.
Es una de las distribuciones de probabilidad que se encuentra con más
frecuencia en la estadística aplicada. Se obtiene de un procesos
conocido como ensayo de BERNOULLI, en honor del matemático
suizo JAMES BERNOULLI (1654-1705), quien realizo importantes
contribuciones en el campo de la probabilidad incluyendo, en
particular a la distribución Binomial.
Cuando un solo ensayo de algún proceso o experimento puede concluir sólo
a uno de los resultados mutuamente exclusivos, tales como muerto o
vivo, enfermo o saludable, masculino o femenino, el ensayo se conoce
como ensayo Bernoulli.
Para la aplicación de la distribución binomial se deben tener en cuenta los
siguientes criterios.
2.3.1.1.-Debe existir un número exacto de pruebas repetidas. Este número
corresponde a los N ensayos.
2.3.1.2.-Cada prueba realizada debe tener dos posibilidades de resultados
(cara o sello ). por eso es binomial.
2.3.1.3.-La probabilidad de éxito ( p ) en un solo ensayo es un único número.
Este determina la probabilidad de fallo o fracaso ( 1 - p ) denota por
( q ) donde q = 1 - p .
6.3.1.4.-Cada prueba o ensayo realizado es independiente de los demás.
2.3.1.5.-Se trata de determinar la probabilidad de éxito, exactamente, x
ensayos o pruebas.
Si p es la probabilidad de ocurrencia de un suceso en un solo ensayo
(llamada probabilidad de éxito ) y q = 1 - p es probabilidad de que el
suceso no ocurra en un solo ensayo ( llamada probabilidad de fallo ),
entonces la probabilidad de que el suceso se presente exactamente
X veces en N ensayos ( es decir , X éxitos y N - X fallos ) viene dado
por :
42

P(X) = N CX . PX
.qN - X
=
N
X N X
X N X
P q
!
!( )!−
−
Donde X = O,1, 2,...,N y N! = N (N - 1) ( N - 2 )..... 1
Se llama distribución binomial, puesto que para X = 0, 1, 2,. . ., N,
corresponde sucesivo términos de la fórmula binomial o desarrollo
binomial:
(q + p ) N
= qN
+ N C1 qN-1
p + N C2 qN-2
p2
+...+pN
Donde 1, N C1 , N C2 son los coeficientes binominales
2.3.1.5 ALGUNAS PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
Media µ = NP
Varianza S2
= NPq
Desviación Típica S = Npq
Coeficiente de sesgo α3 =
q p
Npq
−
Coeficiente de curtosis α4 = 3 +
1 6− pq
Npq
EJEMPLO1: La probabilidad de obtener exactamente 3 caras en 7
lanzamientos de una moneda es:
P ( x = 3 ) = 7 C3 (1/2)3
(1/2)7-3
=
7!
3 4!
5040
6 16
1
128
0 41
7
1 2!. ( )( )
. .( / ) = =
EJEMPLO 2. la probabilidad de obtener al menos 4 cara en 6 lanzamiento de
una moneda es :
p ( x = 4 ) + (p (x = 5 ) + ( p (x = 6) = 6 C 4 (1/2)4
(1/2)6-4
+ 6 C 5 (1/2)5
(1/2)6-5
+ 6 C 6 (1/2)6
(1/2)6-6
=
15
64
6
64
1
64
22
64
0 34+ + = = .
43

EJEMPLO 3. Se inyecta una droga tóxica a 5 conejos. Se sabe que la droga es
mortífera en un 70% de los casos, cuál es la probabilidad de que
mueran 3 de los 5 conejos?
En este caso: N = 5 , X = 3, P = 0.7 , q = 0.3 luego :
P (X = 3) = 5 C 3 ( 0.7)3
(0.3)2
= 0.3087
Cuando la función binomial es
P ( X ≤ r ) =
x o
r
=
∑ N C X pX
qN - X
Dicha función está tabulada para diferentes valores de N y P, y se conoce
como tabla de la distribución binomial. Mediante el siguiente ejemplo
veremos como se maneja dicha tabla.
EJEMPLO 1. Por estudios hechos anteriormente se sabe que 25 de cada 100
personas de una población pertenecen al grupo sanguíneo B. Cuál es
la probabilidad de que máximo 5 de 20 donantes tomados al azar
tengan sangre tipo B?
Los parámetros son N = 20 y p = 0.25 entonces:
P(máximo 5 con sangre tipo B) = P(5 o menos) = P( X ≤ 5)
P (X ≤ 5) = P( X = 0 ) + P( X=1 ) + P( X = 2) + P(X=3) + P (X=4 ) + P( X=5 ).
El cálculo de esta suma es larga y engorroso. Afortunadamente disponemos
de tablas de la distribución binomial en donde encontraremos que
para
N = 20, r = 5 y P = 0.25: la suma vale 0.6172 luego:
P ( X ≤ 5 ) = 61.72%
b.) Cuál es la probabilidad de que al menos 3 de los 20 donantes tengan
sangre tipo B ?.
44

P ( 3 o Más) = P ( X ≥ 3 )
= 1 - P ( X ∠ 3)
= 1 - P (X ≤ 2)
= 1 - 0.0913
= 0.9087
Debemos tener presente que la tabla da únicamente sumas o valores
acumulados de la forma p ( X ≤ r ). Cualquier otra expresión que se
tenga, debe transformarse en ésta antes de buscar los valores en la
tabla.
c.) Cuál es la probabilidad de que exactamente 3 de los 20 donantes
tenga sangre tipo B ?.
P ( X = 3 ) = P( X ≤ 3 ) - P( X ≤ 2 )
= 0.2252 - 0.0913
= 0.1339 = 13.39%
La distribución binomial se encuentra tabulada para valores de N menores
que 30 y unos pocos valores de P. cuando N es muy grande y P es
pequeño, o en general cuando los valores no se encuentran en la
tabla, los cálculos deben hacerse con una calculadora, o también
aproximando el resultado mediante la distribución de poisson.
2.3.2. DISTRIBUCIÓN DE POISSON
Otro modelo probabilístico discreto de gran utilidad en estadística es este
modelo, ideado por el francés SIMEON DENIS POISSON (1781,
1840) y publicado en 1837. Esta distribución ha sido usada para
describir el comportamiento de eventos raros por la que se le llama
también “ ley de los eventos improbables”.
45

El modelo de poisson sirve para describir una serie de fenómenos cuyos
eventos se presentan como resultados al azar ya sea en el tiempo, en
el espacio o el volumen. Algunos ejemplos de estos resultados
pueden ser el número de : accidente de tránsito durante un período de
tiempo dado, personas con enfermedades raras que llegan
mensualmente a un hospital, llamadas telefónicas recibidas por una
central cada minuto, partículas emitidas por segundo por una
sustancia radiactiva, glóbulos rojos por volumen en una muestra de
sangre, barcos que llegan semanalmente a un puerto, defectos por
m2
de tela , pétalos adicionales en flores que tienen 5 pétalos
normales, etc. este numero varían aleatoriamente con el tamaño de la
muestra o con el intervalo de tiempo considerado.
Las características comunes a estos fenómenos que nos permite
reconocerlos como fenómenos poissonianos son :
2.3.2.1. Las ocurrencias de los eventos en intervalos no traslapados son
independientes.
2.3.2.2. La probabilidad de ocurrencia de un solo evento en un intervalo o
espacio pequeño es pequeña y es proporcional al tamaño del intervalo
o espacio considerado.
2.3.2.3. La probabilidad de dos o más ocurrencia del evento en un intervalo
o espacio pequeño es despreciable o se supone igual a cero.
Una particularidad interesante de la distribución de poisson es el hecho de
que la media y la varianza son iguales.
La función de densidad de poisson viene dada por la siguiente fórmula :
P (X) =
X
e
X
λ
λ−
!
, con X = 0, 1, 2,...
donde la letra griega λ (lambda ) se llama parámetro de la distribución y es
el número promedio de ocurrencia del evento aleatorio en el intervalo.
El símbolo e = 2.71828.
Los valores de p (x) pueden calcularse mediante una tabla que da los
valores de e-λ
para distintos valores de λ o mediante logaritmo.
46

2.3.2.1 ALGUNAS PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN DE POISSÓN
Media µ = λ
Varianza S2
= λ
Desviación S = λ
Coeficiente de sesgo α3 = 1/ λ
Coeficiente de curtosis α4 = 3 + 1/λ
EJEMPLO 1.Un cátodo emite electrones a una rata promedio de 1013
electrones por segundo. Hallar la probabilidad de que no se emita
ningún electrón durante un intervalo de 1 segundo.
P (0) =
( ) ( )
( )
( )
13 0
10
13
13
13
10
0
10 1
10
e
e
e
−
−
= =
!
EJEMPLO 2. Los registros del hospital revelan que, durante este período, las
Administraciones de emergencia han sido, en promedio, de 3 por día.
Encontrar la probabilidad de que:
a.) En un día dado, ocurran exactamente dos admisiones de emergencia.
P (X = 2) =
2 3
3
2!
0 224
−
=e .
b.) En un día particular, no ocurra admisión de emergencia alguna.
P (X = 0 ) =
0 3
3
0
0 05
−
=e
!
.
47

c.) En un día particular sean administración tres ó cuatro casos de
emergencia.
P (X = 3 ) + P (X = 4 ) =
3 3 4 3
3 3
3 4!
0 224 0168 0 39
− −
+ = + =e e
!
. . .
EJEMPLO 3.En un estudio de cierto organismo acuático, se tomaron gran
número de muestra de un estanque y se contó el número de
organismos que había en cada muestra. Se encontró que el número
promedio organismo por muestra era de dos. Suponiendo que el
número de organismo está distribuido según poisson, encontrar la
probabilidad de que:
a. La siguiente muestra que se toma tenga uno o más organismos.
P ( X ≥ 1) = 1 - P ( X = O )
En la tabla se ve que, cuando λ = 2 la probabilidad de que X = 0 es de
0.1553. Por lo tanto
P ( X ≥ 1) = 1 - 0.1353 = 0.865
b. La siguiente muestra que se toma tenga exactamente 3 organismos.
P ( X = 3 ) = P (X ≤ 3 ) - P ( X ≤ 2 )
= 0.8571 - 0.6767
= 0.18
2.3.3. DISTRIBUCIÓN NORMAL
Entre las distribuciones continuas de probabilidades, la distribución normal es
la más conocida, usual y útil en Estadística. Esta distribución fue
descubierta por ABRAHANADE MIVRE (1667, 1754) un protestante
francés que debió huir a Londres, y quien, en 1733 encontró la
distribución normal como el límite de la distribución binomial cuando N
tiende a infinito. También
48

se atribuye la paternidad de la distribución normal a LAPLACE (1749 , 1827
) y a GAUSS ( 1777, 1855 ) por lo que se dice a veces distribución
gaussiana en vez de distribución normal. El hecho es que,
históricamente, la distribución la distribución normal está relacionada
con la teoría de errores en la medición, teoría fundada por Gauss y
Laplace en una fecha posterior a la investigación de Moivre.
La distribución normal es un modelo probabilístico apropiado para el estudio
de muchas variables aleatorias continuas tales como la estatura de los
estudiantes de una universidad, el peso de objetos de una misma
naturaleza, el contenido en volumen de un frasco de jarabe, los
errores en la medición de una misma magnitud física, el diámetro de
alguna parte para ensamblaje, la duración de las baterías y bombillas,
etc.
La densidad normal está dada por:
y
s
sX
e=
− −1
2
1
2
2 2
π
µ( ) /
Donde µ es la media, S desviación típica, π = 3.14159
2.3.3.1. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
Gráficamente la distribución normal se representa mediante una curva en
forma de campana, llamada curva de probabilidad, campana de
Gauss o curva de error. El área bajo la curva normal es igual a uno
(1) ó al 100%. La media (µ) se encuentra localizada en el centro
(punto medio de x) y divide la curva en dos sectores iguales, es decir,
la curva es simétrica respecto a su media.
El área bajo la curva normal entre dos ordenadas X = a y X = b, siendo
a ∠ b, representa la probabilidad de que x se encuentre entre a y b lo cual
se denota por p ( a ∠ x ∠ b ).
50%
49

Z
X
µ
Z
Z1 Z2
X
µ a b
2.3.3.2. TIPIFICACIÓN DE DATOS
Para hallar el área bajo la curva normal se introduce una nueva variante
estadística (Z ), es decir, se hace necesario, tificar o estandarizar la variable
X cuando X viene expresada en unidades de desviación.
La tipificación de datos se efectúa mediante la aplicación de la siguiente
fórmula
Z
X
S
=
− µ
La anterior fórmula antes expuesta para la densidad normal quedará
reducida así:
Z
X
S
=
− µ
y Z
e=
−1
2
1
2
2
π
50

Las áreas bajo la curva normal, para los diferentes valores de Z, se
encuentran en una tabla normal típica de 0 a z.
2.3.3.3. PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
2.3.3.3.1.-Los términos tienden a agruparse alrededor del puntaje cero .
Esto quiere decir que a medida que los términos se apartan del eje vertical,
la curva decrece.
2.3.3.3.2.-La curva normal es simétrica respecto a su eje vertical.
La altura de la curva para Z = a, exactamente igual a la altura para Z = - a.
2.3.3.3.3 Los extremos de la campana son asíntotas, lo cual significa que por
más que se prolonguen nunca se intersectan con el eje horizontal
2.3.3.3.4 La media se localiza en el puntaje Z = O, ya que es el punto de
equilibrio de la distribución
Según la propiedad de simetría, el eje vertical divide exactamente por la
mitad el área bajo la curva, o sea que la mitad de los términos se
ubica a cada lado de la vertical. Allí se localiza, por tanto, la mediana.
51

La moda se sitúa en el máximo de la curva, que es el punto correspondiente
al puntaje Z = 0
Media µ = NP
Varianza S2 =
Npq
Desviación típica S = √ NPq
Coeficiente de sesgo α3 = 0
Coeficiente se curtosis α4 = 3
Desviación media S =
2
π
= 0,79795
EJEMPLOS 1:
1. Determinar el área bajo la curva normal entre Z = -1 y Z = 1,
Z = -2 y Z = +2, Z= -3 y Z = +3.
SOLUCIÓN:
Área para Z = 1 es 0.3413 (según tabla)
Área para Z = -1 es 0.3413
Área total 0.6826 que equivale a 68.26%
Área para Z = 2 es 0.4772
Área para Z =-2 es 0.4772
Área para Z = 3 = 0.4987
Área para Z= 3= 0.4987
Un gráfico de esta curva normal tipificada es:
52

-3 -2 -1 0 1 2 3
68.26%
95.44%
99.74%
EJEMPLO 2.
Un físicoterapeuta nota que las calificaciones que se obtienen en cierta
prueba de habilidad manual están distribuidas aproximadamente en
forma normal, con una media de 10 y una desviación estándar de 2.5
si un individuo elegido al azar realiza la prueba, cuál es la probabilidad
de que obtenga una calificación de 15 o más?
SOLUCIÓN:
Tracemos el área correspondiente a esta distribución y sombreémosla,
S
µ=10 15
En este caso X = 15, µ = 10 y S = 2.5, por lo tanto aplicamos:
Z
X
S
=
−
=
−
=
µ 15 10
2 5
2
.
Luego el área para Z = 2 es:
53

P (X ≥ 15) = P (Z ≥ 2) = 0.5 - 0.4772 = 0. 0228
EJEMPLO 3.Supóngase que se sabe que los pesos de cierto grupo de
individuos están distribuidos aproximadamente en forma normal con
una media de 70 Kg. y una desviación estándar de 12.5 Kg. Cuál es la
probabilidad de que una persona elegida al azar de este grupo pese
entre 50 y 85 Kg?
SOLUCIÓN:
P (50 ≤ X ≤ 85) = P Z
50 70
12 5
85 70
12 5
−
≤ ≤
−





. .
= P( -1.6 ≤ Z ≤ 1.2 )
= P( -1 .6 ≤ Z ≤ O ) + P ( O ≤ Z ≤ 1.2)
= 0.4452 + 0.3849
= 0.8301
2.4.- RELACIÓN ENTRE LAS DISTRIBUCIONES BINOMIAL Y NORMAL
Si N es grande y ni p ni q están muy próximo a cero, la distribución binomial
puede aproximarse estrechamente a la distribución normal con
variable tipificada por:
Z
X NP
NPq
=
−
La aproximación es tanto mejor conforme aumenta N, y en el límite es total .
Esto se ve claramente en las propiedades de las distribuciones que al
aumentar N, el sesgo y la curtosis de la distribución Binomial se
aproximan a los de la distribución Normal. En la práctica, la
aproximación es muy buena si ambos Np y Nq son superiores a 5.
2.5 RELACIÓN ENTRE LAS DISTRIBUCIONES BINOMIAL Y DE POISSON
54

En la distribución binomial, si N es grande, mientras que la probabilidad P de
ocurrencia de un suceso está cerca de cero, de modo que q = (1 - p)
está cerca de 1, el suceso recibe el nombre de “raro “. En la práctica
se puede considerar un suceso como raro si el número de
repeticiones del experimento (ensayos) es al menos 50 (N ≥ 50)
mientras que Np es menor que 5. En tales caso la distribución
binomial se aproxima mucho a la distribución de poisson con λ = Np.
Esto se ve comparado las dos propiedades de cada una de las
distribuciones y sustituyendo λ = Np, q ≅ 1 y p ≅ 0.
Puesto que existe una relación entre las distribuciones binomial y normal, se
deduce que hay también una relación entre las distribuciones de
poisson y normal. Puede en efecto ponerse de manifiesto que la
distribución de poisson se aproxima ala normal con variable tipificada.
X − λ
λ
Cuando λ crece indefinidamente.
55

PROBLEMAS SOBRE LA UNIDAD 2.0
2.1 Responda las preguntas siguientes:
a.) Que se entiende por distribución de probabilidades de una
variable aleatoria?
b.) Cómo se diferencian las variables aleatorias discretas de las
continuas?
c.) Qué es una variable aleatoria ?
d.) Pueden estudiar las probabilidades sin necesidad del concepto
de variable aleatoria ?. Discuta su respuesta.
ESPERANZA MATEMÁTICA
2.2 En un negocio determinado un hombre puede tener un beneficio de
$ 379.000 con probabilidad 0.6 o una pérdida de $ 120.000 con probabilidad
0.4. Determinar su esperanza.
2.3 Hallar ( a ) E ( X ), ( b ) E ( X2
), ( c) E X X(
__
)−








2 para la
siguiente distribución de probabilidad.
X : 9 14 16 23 37
P ( X) : 1/7 1/5 4/5 3/7 1/9
2.4 Cual es precio justo a pagar para entrar en un juego en el que uno
puede pagar $ 5.000 con probabilidad de 0.4 y $ 3.500 con
probabilidad de 0.6.
2.5 Si llueve, un vendedor de paraguas puede ganar $ 130.000 por día. Si
no llueve, puede perder $ 56.000 por día, cual es su esperanza
matemática si la probabilidad de lluvia es 0.4.
56

2.6 Se ha estimado que siguiendo cierta dieta y cierto tipo de ejercicios,
una persona robusta pierde 1.0 kg de su peso por semana con
probabilidad 1/2, pierde 1.5 kg con probabilidad 1/4, pierde 2.0 kg con
probabilidad 1/6 y pierde 2.5 kg con probabilidad 1/12. Halle la pérdida
de peso esperada por semana para una persona sometida a dicha
dieta.
2.7 Una lotería del país vende 10.000 billetes cada uno de 100 fracciones
a un costo de $ 200 por fracción. Cada fracción ganadora recibe un
premio de $ 300.000. Si una persona acostumbra comprar una
fracción de esta lotería, cuánto espera ganar en promedio semanal?
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
2.8 Un vendedor de seguros vende póliza a 5 hombres, todos de las
misma edad y con buena salud. De acuerdo con las tablas actuariales,
la probabilidad de que un hombre de esta edad viva 30 años más es
2/3. Hallar la probabilidad de que a los 30 años vivan:
a.) Los 5 hombres,
b.) Al menos 3
c.) Solamente 2
d.) Al menos 1.
2.9 Supóngase que el 24 por ciento de cierta población tiene el grupo
sanguíneo B. Para una muestra de tamaño 20 extraída de una
población, encontrar la probabilidad de que:
a.) Se encuentren exactamente tres personas con grupo
sanguíneo B.
b.) Se encuentren tres o más personas con las característica de y
interés.
c.) Se encuentren menos de tres .
2.10 Supóngase que se sabe que la probabilidad de recuperación de cierta
enfermedad es de 0.4. Si 15 personas contraen la enfermedad, cuál
es la probabilidad de que:
a.) Tres o más se recuperen?.
b.) Cuatro o más?
c. ) Menos de cinco ?
57

2.11 Supóngase que la tasa de mortalidad para cierta enfermedad es del
0.10 y supóngase que la contraen 9 personas de la comunidad. Cuál
es la probabilidad de que:
a.) Ninguna sobreviva?
b) El cincuenta por ciento muera?
c. ) Al menos tres mueran.
2.12 El 80% de los cerdos de una región está infectado con triquinosis. Se
examinan 20 cerdos de esa región, halle la probabilidad de que:
a.) A lo sumo 12 estén infectados.
b.) Haya entre 13 y 16 cerdos infectados
c.) Haya más de 14 cerdos infectados.
2.13 Las gallinas ponen huevos fecundos entre las 24 y las 28 horas
siguientes a su apareamiento. La vida de los espermatozoides en el
cuerpo de la gallina puede prolongarse de 15 a 20 días después. En
un experimento realizado para determinar la fecundidad de los huevos
puestos por las gallinas después de estar separadas del gallo, se
encontró que pasado cuatro días de separación, el 70% de los huevos
resultaron fecundos. Si se toman 15 huevos al azar, halle la
probabilidad de que todos resulten fecundo y la probabilidad de que
no menos de 10 resulten fecundos.
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
2.14 Supóngase que se sabe que en cierta área de una gran ciudad, el
número promedio de ratas por manzanas de casas es de cinco .Su
poniendo que el número de ratas se distribuye según poisson,
encuentre la probabilidad de que en una manzana elegida
aleatoriamente:
a.) Se tenga exactamente cinco ratas.
b.) Más de cinco ratas.
c.) Menos de cinco ratas.
d.) Entre cinco y siete ratas, inclusive.
2.15 Supóngase que durante un periodo de varios años, el número
promedio de muerte debida a cierta enfermedad no contagiosa ha sido
de diez. Si el número de muertes debidas a esta enfermedad sigue la
distribución de poisson, cuál es la probabilidad de que durante el año
que transcurre:
58

a.) Mueren exactamente siete personas de esa enfermedad
b.) Mueran diez o más personas
c.) Nadie muera de esa enfermedad.
2.16 Si el número medio de accidentes graves por año en una fábrica (el
número de empleados es constante) es de cinco, encontrar la
probabilidad de que en el año en curso:
a.) Se tenga exactamente siete accidente.
b.) Diez o más accidente
c.) Ningún accidente
d.) Menos de cinco accidente.
2.17 En un estudio sobre la efectividad de un insecticida contra cierto
insecto, se roció un área grande de tierra, posteriormente se examino
el área en relación con los insectos vivos, seleccionando lotes
cuadrados al azar y contando el número de insectos vivos por lote
cuadrado. Experiencias anteriores han demostrado que el promedio
de insectos vivos por lote cuadrado después de haber rociado, es de
0.5. Si el número de insectos vivos por lote cuadrado se distribuye
según poisson, cuál es la probabilidad de que un lote cuadrado
elegido contenga:
a.) Exactamente un insecto vivo.
b.) Menos de cuatro.
c.) Mas de un insecto.
2.18 Se ha estimado en un 0.5% el número de nacimientos de niños vivos
con alguna anomalía cromosómica. Cuál es la probabilidad de que en
los próximos 2.000 niños que nazcan vivos hayan por lo menos 10 con
anomalías cromosómica.
2.19 Si el 3% de las bombillas fabricadas por una compañía son
defectuosas, hallar la probabilidad de que en una muestra de 100
bombillas, sean defectuosas
a.) 5 Bombillas
b.) Más de cinco
c.) Entre 1 y 3
d.) Menos de 4.
DISTRIBUCIÓN NORMAL
2.20 Hallar el área bajo la curva normal:
a.) A la izquierda de Z = - 1.78
b.) A la izquierda de Z = 0.56
59

c. ) A la derecha de Z = -1.45
d.) A la correspondiente a Z ≥ 2.16
e.) Correspondiente a - 0.80 ≤ Z ≤ 1.53
f.) A la izquierda de Z = -2.52 y a la derecha de Z = 1.83
2.21 Si la altura de 300 estudiantes se distribuyen normalmente con media
68 pulgadas y desviación típica de 3 pulgadas, cuántos estudiantes
tienen alturas:
a.) Mayor de 72 pulgadas.
b.) Menor o igual a 64 pulgadas
c.) Entre 65 y 71 pulgadas inclusive.
d.) Igual a 68 pulgadas.
2.22 Supóngase que las edades en la que se adquieren cierta enfermedad
están distribuidas en forma aproximadamente normal con una media
de 11.5 años y una desviación estándar de 3 años. Un niño acaba de
contraer esta enfermedad. Cuál es la probabilidad de que el niño
tenga:
a.) Entre 8 ½ y 14 ½ años de edad.
b.) Más de 10 años de edad
c. ) Menos de 12 años.
2.23 En el estudio de las huellas digitales, una importante característica
cuantitativa es el número total de surcos para los 10 dedos de un
individuo.
Supóngase que los números totales de surco de los individuos en cierta
población están distribuidos aproximadamente en forma normal, con
una media de 140 y una desviación estándar de 50. Hallar la
probabilidad de que un individuo elegido al azar de esta población
tenga un número de surcos :
a.) De 200 o más
b.) Menos que 100
c.) Entre 100 y 200
2.24 Si las capacidades de la cavidad craneana de ciertas población están
distribuidas aproximadamente en forma normal, con una media de
1400 c.c y una desviación estándar de 125, encontrar la probabilidad
de que una persona elegida al azar de esta población tenga una
capacidad de la cavidad craneana.
a.) Mayor que 1450 cc
b.) Menos que 1350 cc
c.) Entre 1300 y 1350 cc
60

2.25 Dada una población normalmente distribuida con una media de 75 y
una varianza de 225, encontrar.
a.) P ( 50 ≤ X ≤ 100 )
b.) P ( X > 90 )
c.) P (X < 60 )
d.) P (X ≥ 85 )
e.) P ( 30 ≤ X ≤ 110)
2.26 La pérdida de agua por transpiración de una planta de maíz en un día
caluroso es una variable aleatoria aproximadamente normal con
media 2,7 litros y varianza 0.64 litros2
. Que porcentaje de planta de
maíz pierden más de 3.2 litros de agua por día caluroso.
2.27 Calcular la media, desviación típica, coeficiente de sesgo y coeficiente
de curtosis de una distribución en la que P = 0.7 y N = 60, interpretar
los resultados.
2.28 Responda las preguntas siguientes:
a.) Qué son los ensayos de Bernoulli.
b.) Qué características determinan un fenómeno Binomial.
c. ) Qué característica determina un fenómeno de poisson.
d,) Cómo se estandariza un variable aleatoria.
2.29 Un dado se lanza 180 veces. Hallar la media, desviación típica,
coeficiente de curtosis y coeficiente de sesgo del número de veces
que aparece el 4 en este experimento.
61

UNIDAD 3.0
DECISIÓN ESTADÍSTICA
Objetivo
De la unidad: Desarrollar la metodología de prueba de hipótesis como una técnica para
analizar diferencias y tomar decisiones; determinar los riesgos implicados al tomar tales
decisiones.
Contenidos:
3.0 Nociones sobre pruebas de hipótesis y métodos no parametritos
3.1 Pruebas de Uno y Dos Extremos
3.2 Reglas de Decisión
3.3 Errores Estadísticos
3.4 Potencia de una Prueba
3.5 Procedimientos Estadísticos en la Investigación
3.6 Diferencias entre las Pruebas Parámetricas y no Parámetricas
3.7 Prueba Binomial
3.8 Prueba de los Signos
3.9 Prueba de Cox y Stuart para Tendencia
3.10Prueba X2
Para Diferencias en Probabilidades 2x2
3.11Prueba de Mc Nemar Para Cambios de Significancias
3.12Prueba de la Mediana
3.14Prueba de Bondad de Ajuste de Kolmogorov-Smirnov
3.15Prueba U de Mann-Whitney
3.16Prueba de Kruskal-Wallis
3.17Prueba de Sparman
Ejercicios
62

3.0 NOCIONES SOBRE PRUEBA DE HIPÓTESIS Y MÉTODOS NO
PARAMETRICOS
El término más ampliamente usado en la estadística moderna es la palabra
“decisión”; se usa tanto porque la teoría estadística y los métodos
estadísticos toman una importancia, siempre en aumento, en la
confección y análisis de los criterios en los cuales se basan las
decisiones.
No importa como decidamos los problemas que surgen en las ciencias
naturales, en la economía, en la vida cotidiana, etc. siempre hemos de
enfrentarnos, con el riesgo de escoger incorrectamente y sufrir las
consecuencias que encierra.
Considérense las siguientes cinco preguntas.
1. Qué porcentaje de los cupones impresos en un período se recupera?.
2. Es más eficaz la receta A que la B?.
3. Es cierto que el 30% de las personas compra su marca favorita de
pasta para dientes sin importarle el precio de ésta?.
4. Se encuentra este dado cargado a favor del 3?.
5. Los resultados que obtienen los hombres y las mujeres en la parte
verbal de la prueba SAT, ¿son diferentes?.
Estas preguntas son de dos tipos. Las preguntas 1 y 2 piden una respuesta
numérica. Las últimas tres requieren un respuesta del tipo si o no.
En muchas ocasiones, los estadísticos tratan este tipo de preguntas
mediante la formulación de dos proposiciones opuestas que reciben el
nombre de hipótesis. Una hipótesis estadística es una afirmación a
cerca de una población. Un experimentador intenta probar o
desmentir una afirmación “más allá de toda duda razonable” mediante
un análisis de la muestra obtenida de esa población. Para las
preguntas 3, 4 y 5 pueden obtenerse los siguientes pares de
hipótesis.
3. Denótese con p = P(una persona compra su marca favorita de pasta
para dientes sin importar el precio de ésta). Entonces las dos
hipótesis podrían ser:
H1: El 30% de las personas compra su marca favorita sin importar el
precio, p =0.30
63

H2: El porcentaje de quienes son fieles a su marca es diferente del 30%,
p ≠ .30.
4. Sea p= P (en un tiro, el dado muestra un 3). Las dos hipótesis podrían
ser:
H1: El dado es legal, p = 1/6.
H2: El dado está cargado en favor del 3, p > 1/6
Nótese que no se considera la posibilidad de que p sea menor de 1/6.
De manera estricta, H1 y H2, en este ejemplo, no son exactamente opuestos.
Las hipótesis opuestas de H2:p>1/6 es H: p≤1/6, esto es p es menor o
igual a 1/6. Ocurre en muchas ocasiones que en un experimento real
no se consideran ciertas alternativas. en este caso, si una persona
comienza a sospechar al observar que el dado muestra muchos 3, el
mismo comportamiento indica que no existe ninguna razón para tratar
de establecer que se están obteniendo muy pocos 3. Sólo se desea
decidir si se obtienen o no más números 3 de los que se esperaría
obtener con un dado legal.
5. Sea uB el promedio de los resultados obtenidos por los hombres, y uG
el promedio de las mujeres. Las hipótesis podrían ser:
H1: Los hombres y las mujeres obtienen los mismos resultados en la parte
verbal de la prueba SAT, esto es, uB = uG.
H2: Los hombres y las mujeres obtienen diferentes resultados en la parte
verbal de la prueba SAT, esto es, uB ≠ uG.
En general, los profesionales de la estadística prueban la hipótesis que les
dice qué esperar al proporcionarle un valor específico con qué
trabajar.
64

Ellos hacen llamar a esta hipótesis nula y la denotan por H0. La hipótesis nula
es la que presume franqueza y lealtad. Es la que ve al mundo a través
de anteojos de color rosa. El dado es legal. La afirmación que se
encuentra en este periódico es verdadera. Esta teoría es correcta. La
hipótesis opuesta recibe el nombre de hipótesis alternativa y se
denota como H1: Sin embargo, la mayor parte de las veces esta
hipótesis no es de interés. Se sospecha que el dado está cargado,
que el periódico está en un error, que la teoría está equivocada. En
muchas ocasiones, es esta sospecha la que incita a investigar, en
primer lugar, la pregunta. Algunos estadísticos se refieren a H1 como
la hipótesis motivada.
65

3.1 PRUEBAS DE UNO Y DOS EXTREMOS
Si se sospecha que cierta hipótesis nula es falsa, pueden formularse tres
alternativas diferentes. Supóngase que una persona lee en la revista
“Pets” que el 34% de las personas en Guatemala son propietarios de
más de dos mascotas y se pregunta si en su localidad, Nort
Southtown, el porcentaje será el mismo. Entonces, su hipótesis nula
deberá ser que cifra de 34% es verdadera.
Sea P (un habitante de North Southtown es propietaria de más de dos
mascotas). Entonces, H0 es p =0.34.
La hipótesis alternativa podría ser cualquiera de las siguientes.
1. Si se piensa que p es mayor de 0.34 entonces H1: p>0.34
2. Si se sospecha que p es menor de 0.34, entonces H1: p<0.34.
3. si no se tiene ninguna idea de si el valor de p es más grande o más
pequeño de 0.34 entonces puede escribirse p ≠ 0.34.
En la primera alternativa sólo se está interesado en aquellos valores de p
que sean más grande que 0.34 y en la segunda en aquellos que sean
menores de 0.34. Estas se denominan pruebas de un extremo, ya
que los valores de interés se encuentran en cualquier dirección a partir
de 0.34. La tercera alterativa se conoce como prueba de dos
extremos, ya que los valores de interés se encuentran en cualquier
dirección a partir de 0.34.
Nótese que se han formulado las hipótesis de manera tal que el signo de
igualdad (=) siempre aparezca en la hipótesis nula, mientras que los
signos (<) y (>) aparecen en la hipótesis alternativa para pruebas de
un extremo.
La hipótesis alternativa para pruebas de dos extremos siempre contiene el
signo de no es igual (≠).La elección entre una prueba de uno o de dos
extremos se encuentra determinada por lo que el estadístico le
interese encontrar.
3.2 REGLAS DE DECISIÓN
66

Al comienzo de un experimento deben formularse dos hipótesis que tienen la
característica de ser opuestas entre sí. Después deberá formularse
una proposición con respecto a qué evidencia llevará a pensar que la
hipótesis alternativa es verdadera. Esta proposición recibe el nombre
de regla de decisión. Cuando la evidencia apoya a la hipótesis
alternativa se dice que “se rechaza la hipótesis nula”. Cuando la
evidencia no apoya a la hipótesis alternativa, entonces se dice que “no
es posible rechazar la hipótesis nula”.
3.3 ERRORES ESTADÍSTICOS
Cuando se prueba una hipótesis nula, lo que se está tratando de decidir es si
ésta es falsa o verdadera. Sin embargo, ya que la prueba estadística
de hipótesis se basa en la información proporcionada por una muestra
y no es posible tener la seguridad completa de que la decisión sea
correcta, entones, en realidad, se encaran cuatro posibles situaciones.
3.3.1. H0 es verdadera y la información proporcionada por la muestra
conduce a decidir que ésta es verdadera.
3.3.2. H0 es verdadera, pero la información proporcionada por la muestra
conduce a decidir, incorrectamente, que ésta es falsa.
3.3.3. H0 es falsa y la información proporcionada por la muestra conduce a
decidir, de manera correcta, que ésta es falsa.
3.3.4. H0 es falsa, pero la información proporcionada por la muestra conduce
a decidir, en forma errónea, que ésta es verdadera.
En la primera y terceras situaciones, se ha tomado una decisión correcta.
En la segunda situación se rechaza una hipótesis nula que es verdadera.
Esto se conoce como error de tipo I. En la última situación no se rechaza
una hipótesis nula que es falsa. Los profesionales de la estadística
llaman a eso error de tipo II. La tabla siguiente proporciona un
resumen de estos dos tipos de errores.
No se rechaza H0 Se rechaza H0
H0 es verdadera Correcto Error de tipo I
67

H0 es falsa Error de tipo II Correcto
Se utilizará la primera letra del alfabeto griego, alfa (α), para presentar la
probabilidad de cometer un error de tipo I. De manera similar, beta
(β), representará la probabilidad de cometer un error de tipo II.
3.4 POTENCIA DE UNA PRUEBA
Los estadísticos hacen referencia al valor de la expresión 1 - β como la
potencia de una prueba. Esta es una medida de lo buena que es una
prueba para rechazar una hipótesis nula que es falsa. Mientras más
“poderosa” sea una prueba, es decir mientras más cercano a uno sea
el valor de 1 - β será mayor la probabilidad de rechazar una hipótesis
nula que sea falsa.
Una parte importante de la teoría estadística trata el problema de encontrar
una regla de decisión que haga que una prueba, de hipótesis sea lo
más poderosa posible para cualquier valor dado de α. El trabajo
teórico original en esta área fue desarrollado por J. Neyman y E. S.
Pearson, en la década 1930 - 1940.
3.5 PROCEDIMIENTOS ESTADÍSTICOS EN LA INVESTIGACIÓN
En el campo de la salud pública sólo mediante procedimientos estadísticos
podrá conocerse la composición y principales características de la
población que se va a servir, los cambios que acontecen en ella, los
riesgos a que está sometida y las necesidades que presenta.
La planificación de las actividades de la salud pública, el control de los
programas que se están desarrollando y la evaluación final de su
rendimientos y eficiencia sólo podrá llevarse a cabo mediante
procedimientos estadísticos. En tal sentido la estadística es tan
imprescindible para el trabajo de la salud pública, como lo es la
contabilidad en las actividades del Comercio y la Industria.
El procedimiento que seguiremos en este trabajo comprende varios pasos;
las cuales será aplicadas en su orden.
68

3.5.1 Formación de la Hipótesis de Nulidad (Ho). Es una hipótesis de
diferencias nulas; es formulada por lo común con la intención expresa
de ser rechazada. Si se rechaza, puede aceptarse entonces la
hipótesis alterna (H1), la cuál es la aseveración operacional de
hipótesis de investigación del ser experimentado.
3.5.2 Elección de una prueba estadística (con su modelo estadístico
asociado) para probar Ho. De las pruebas capaces de usarse con un
diseño de investigación dado, hay que escoger aquella cuyo modelo
se aproxima más a las condiciones de la investigación y cuyos
requisitos satisfacen las medidas usadas en la investigación.
3.5.3 Especificación del nivel de significancia ( ∝ ) y del tamaño de la
muestra (N)
3.5.4 Encuentro (o suposición) de la distribución muestral de la prueba
estadística conforme a Ho.
3.5.5 Sobre los resultados obtenidos hasta a hora se toma o se define la
región de rechazo.
3.5.6 Calculamos el valor de la prueba estadística con los datos obtenidos
de la (s) muestra (s). Sí el valor desciende a la región de rechazo
Ho, debe rechazarse; si el valor cae fuera de la región derechazo, Ho
no puede rechazarse al nivel de significación escogido.
3.6 DIFERENCIA ENTRE LAS PRUEBAS PARAMÉTRICAS Y NO
PARAMÉTRICAS
Aunque en cada caso, el interés se enfoca en estimar o probar una
hipótesis; una prueba estadística Paramétrica, es aquella cuyo modelo
especifica ciertas condiciones acerca de los parámetros de la
población de la que se obtuvo la muestra investigada, que no se
prueba ordinariamente, sino se supone que se mantienen. La
significación de los resultados de una prueba paramétrica depende la
validez de estas suposiciones. Las pruebas paramétricas también
requieren de los puntajes analizados sean productos de una medición
que por lo menos tenga la fuerza de una escala de intervalo
69

Una prueba estadística no paramétricas es aquella cuyo modelo no
especifica las condiciones de los parámetros de la población de la que
se saco la muestra. Hay algunas suposiciones que se asocian con la
mayorías de las pruebas estadísticas no paramétricas: observaciones
independientes y variables de continuidad básica; pero estas
suposiciones son pocas y muchas más débiles que las asociada con
las pruebas paramétricas. Además, las no paramétricas se aplican a
datos de una escala ordinal, y algunos a los de una escala nominal.
70

3.6.1 Ventajas de las Pruebas Estadísticas No Paramétricas
(i) Permiten la prueba de hipótesis que no son afirmaciones acerca de
valores de parámetros de población.
(ii) Puede usarse pruebas no Paramétrica cuando se desconoce la forma
de la población muestreada; aunque algunas pruebas no paramétricas
supongan identidad de forma de dos o más distribuciones de
población. En ciertos casos, las pruebas no paramétricas suponen que
la distribución de base es continua, suposición que comparten las
pruebas paramétricas.
(iii) Sí los tamaños de las muestras son tan pequeños como N=6, no hay
alternativa no paramétrica a menos que se conozcan exactamente la
naturaleza de la distribución de la población.
(iv) Hay pruebas estadísticas no paramétricas adicionadas para
observaciones hechas en poblaciones diferentes. Ninguna prueba
paramétrica puede manejar tales datos sin exigirnos suposiciones
aparentemente irreales.
( v) Las pruebas estadísticas no paramétricas son útiles tanto para datos
inherentes a los rangos como datos cuyos puntajes aparentemente
numéricos tiene fuerza de rango.
( vi) Los métodos no paramétricos son útiles para los datos simplemente
clasificatorios, medidos en una escala nominal y son estos métodos
más fáciles en relación con el cálculo y como consecuencia, se
aplican con mayor rapidez que los procedimientos paramétricos.
3.6.2 Desventajas de las Pruebas Estadísticas No Paramétricas
(i) El uso de procedimientos no paramétricos con datos que pueden
manejarse con un procedimiento paramétricos conduce a un
desperdicio de datos.
(ii) Hasta el momento (al menos no conocemos) no hay métodos no
paramétricos para probar las interacciones dentro del modelo de
análisis de varianza.
(iii) La aplicación de algunas de las pruebas no paramétricas puede ser
laboriosa para muestras grandes.
71

3.6.3 ¿Cuando se deben usar las Estadísticas no Paramétricas?
Los procedimientos no paramétricos proporcionan alternativas útiles y en
muchas situaciones únicas, como las siguientes:
(i) Cuando la hipótesis que se va a verificar no incluye un parámetro de
población.
(ii) Cuando los datos consisten en conteo o rangos de frecuencias, más
bien que en medidas tales como: estatura, peso, puntajes de
pruebas etc.
( iii) Cuando no se hacen las suposiciones necesarias para la aplicación
válida de un procedimiento paramétrico.
(iv) Cuando se necesitan rápidamente los datos o información, que con el
uso de procedimientos paramétricos sólo se conseguirán después de
un período relativamente largo.
EL TAMAÑO DE LA MUESTRA. Muchas veces nos cuestionamos
acerca del tamaño que debe tener una muestra y, sin embargo, es éste un
aspecto de gran importancia. Dado un nivel de confianza α ,
denominamos error de estimación, denotado por E a la máxima
diferencia que permitir, con nivel de confianza 100(1 - α ) %, entre el
parámetro desconocido y el estadístico utilizado como estimador.
FORMULAS PARA CALCULAR EL TAMAÑO DE LA MUESTRA:
1.0 ERROR MAXIMO DE ESTIMACIÓN:
E =
n
σ
αΖ 2 E =
12
−
−
Ζ N
nN
n
σ
α
Los valores de mayor uso para Ζ 2α son 1.645 para confiabilidad del 90%, 1.96 para
95% y 2.575 para una confiabilidad del 99%.
2.0 TAMAÑO DE LA MUESTRA
72

n =
E
Z 2
2
2
2
σα
n =
( ) σ
σ
α
α
22
2
2
2
1
2
2
ZE
Z
N
N
+−
3.0 ERROR MAXIMO PARA PROPORSIÓN: Cuando no se conoce p se toma
p= 0.50
E =
( )
n
pp
Z
−1
2
α
4.0 TAMAÑO DE LA MUESTRA PARA PROPORSIÓN:
n =
( )
E
ppZ
2
12
2
−α
n =
( )
( ) ( )ppN
N
ZE
ppZ
−+−
−
11
2
2
2
2
2
1
α
α
73

3.7. LA PRUEBA BINOMIAL
Es una de las pruebas que se encuentra con más frecuencia en la estadística
aplicada. La prueba se obtiene de un proceso conocido como Ensayo
de Bernoulli, en honor del matemático suizo James Bernoulli (1.654
- 1.705), quien realizo importantes contribuciones en el campo de la
probabilidad. Cuando un sólo ensayo de algún proceso o experimento
puede conducir sólo a uno de dos resultados mutuamente exclusivos,
tales como muerto o vivo, enfermo o saludable, masculino o femenino,
el ensayo se conoce como ensayo de Bernoulli .
DATO: La prueba consiste del resultado de N ensayos independientes.
Cada resultado es uno u otro; “ clase 1” ó “ clase 2” pero no
ambas ; el número de observaciones en la clase 1 es n1 , y el
número de observaciones en la clase 2 es n2 = N - n1 ; por tanto N
= n1+n2.
SUPOSICIONES: Se fundamenta esta prueba en las siguientes suposiciones
(i) Cada una de las “n” observaciones se puede clasificar según tenga
o no la característica de interés.
(ii) Las “n” observaciones son mutuamente independientes
(iii) La probabilidad p de tener la característica de interés permanece
constante en todo el procedimiento de muestreo.
HIPÓTESIS: Hay muchas situaciones en que un investigador desea verificar
la hipótesis nula de que, en alguna población de interés, la proporción
(porcentajes) de sujetos que tienen determinada característica es igual
a algún valor p. Por ejemplo, un investigador en probar una hipótesis
nula relacionada con la proporción de estudiantes del bachillerato que
fuman, o la proporción de víctimas del cáncer que sobreviven durante
cinco años o más, etc.
La hipótesis nula puede tener una hipótesis alterna bilateral o una de las dos
posibles hipótesis alterna unilaterales. Es decir, siendo po alguna
constante especifica 0 ≤ po ≤ 1:
(i) Prueba Bilateral o de Dos Colas
74

Ho : p = po
H1 : p ≠ po
(ii) Prueba Unilateral o de Una Cola.
Ho : p ≤ po
H1 : p > po
(iii) Prueba Unilateral o de Una Cola
Ho : p ≥ po
H1 : p < po
PRUEBA ESTADÍSTICA
Un experimento de Bernoulli puede resultar en un éxito con una
probabilidad p y en un fracaso con una probabilidad q = 1 - p .
Entonces la prueba tendrá una distribución de probabilidades de la
variable aleatoria ( V.a ) binomial X, el número de éxito en n
experimentos independientes, es:
b ( x ; n , p ) = n Cx. px . qn - x
, con X = 0,1,2,....n
La medida (µ ) y la varianza ( ∂² ) de la prueba binomial b( x ; n , p ) están
dadas por :
µ = np y ∂² = npq
Estamos interesados en la probabilidad del resultado de la “clase 1”.
Permitiremos que la prueba estadística T sea el número de veces del
resultado es “ clase 1 “ ; esto es : T = n1
REGLA DE DECISIÓN: Dependiendo en que hipótesis sea probada i , ii, iii las
reglas de decisión son diferentes :
75

(i) Prueba de Dos Colas: La región crítica de tamaño α corresponde
a las 2 colas de la prueba binomial con parámetros Po y N donde el
tamaño de la cola superior es de α1 y el tamaño de la cola inferior es
α2 y α1 + α2 = α . Esto es en la tabla binomial para el valor
particular de Po y N encontramos el número t1 tal que p ( y < t1 ) =
α1 y encontramos el número t2 tal que p ( y > t2 ) = α2 o su
equivalente p ( y ≤ t2 ) = 1 - α 2. Donde y es una variable aleatoria
binomial con parámetros Po y N.
76

Región aceptación
Región rechazo Región rechazo
t1 y t2
Los valores de α1 y α2 pueden ser aproximadamente iguales el uno al
otro. Entonces rechazamos Ho si T excede a t2 ( T > t2 ) o si T
es menor o igual a t1 ( T ≤ t1 ), en caso contrario aceptamos Ho.
(ii) Prueba de Una sola Cola : Ya que para valores grandes de T
indicaremos que ∝ es falso, la región critica de tamaños ∝ consiste
para todos los valores de T Mayores que t donde t es el número
obtenido de la tabla binomial , usando po y N tales que p ( y > t )
= ∝ o su equivalente p ( y ≤ t ) = 1- ∝ donde Y tiene
distribución binomial con
parámetros Po y N Rechazamos Ho si T > t ; aceptamos Ho si T ≤ t.
Región rechazo
t
(iiii) Prueba de Una sola Cola : En este caso para pequeños valores de
T indican que Ho es falso, la región crítica de tamaño ∝ consiste
para todos valor de T ≤ t donde t es obtenida de la tabla binomial
usando Po y N a si que :
p ( y ≤ t ) = ∝
donde Y tiene una distribución binomial con parámetros Po y N.
rechazamos Ho si T ≤ t , en otro caso aceptamos Ho
77

Región rechazo
t
PROCEDIMIENTOS: Brevemente, estos son los pasos para el uso de la
prueba binomial:
(i) Se determina N, el número total de casos observados
preferiblemente (N ≤ 25).
(ii) Se determina las frecuencias de ocurrencia observando en cada una
de las dos categorías o “clases”
(iii) Se escoge el método para encontrar la probabilidad de ocurrencia
conforme a Ho de los valores observados, o valores aún más
extremos.
EJEMPLO ILUSTRATIVO.
Por registro tomado por el S.S.S. (Servicio Seccional de Salud del Chocó)
en el programa E.T.V. de epidemiología se sabe que en Quibdó
existieron en 1.995, 21267 casos censados con 91.584 habitantes de
los cuáles se toma una muestra de sangre a 10.957 habitante.
Saliendo Positivo (Malaria) 2.648 casas y 8.309 habitantes Negativos.
Si denotamos los Positivos como clase 1 entonces Po= 0.24 ; puesto
que Po = 2.648/10.957 = 0.24= 24%.
HIPÓTESIS
Ho : Po = 0.24
Hi : Po ≠ 0.24
Como n = 8.309 +2.648 la región crítica de tamaño ∝ = 0.05
aproximadamente puede obtener usando la aproximación para
muestra grande al final de la tabla, así la región crítica corresponde
para todos los valores T ≤ t1 , donde t1 = nPo + W 0.025
npo po( )1− con ∝ = 0.05 , entonces ∝ / 2 = 0.025; W0.025 = ±
1.96
78

t1= ( 10.957) (0.24) + ( - 1.96 ) 10957 024 076( . )( . ) = 2542
t2 = ( 10.957) (0.24) + 1.96 10957 024 076( . )( . ) = 2717
El valor de T obtenido es 2648 en este experimento por lo tanto la Ho es
aceptada dado que t1 < T < t2.
3.8 LA PRUEBA DE LOS SIGNOS.
La prueba de los signos es justamente la prueba binomial con
Po = ½.
El uso de esta prueba se remonta a 1.710 y por lo tanto tal vez es el método
más antiguo.
Es una de las pruebas no paramétricas mas sencillas de utilizar, su nombre
proviene del hecho de que se basa en la dirección (o signos de más y
menos) de un par de observaciones y no en su magnitud numérica.
Es particularmente útil cuando la medición cuantitativa es imposible o no es
práctica, pudiendo aún haber cierto orden entre los miembros de cada
pareja, es usada esta prueba para dos poblaciones que tienen la
misma mediana, puede ser utilizada también para tendencia en una
serie de medidas ordinales o como una prueba para correlación.
DATOS : Consiste del resultado de observar una muestra aleatoria
bidimensional, ( x1, y1 ) , ( x2 , y2 ) , ........ , ( xi , yi ) , .......... ( xn , yn
) , en donde hay n pares de observaciones.
Dentro de cada par ( xi , yi ) una composición es hecha y la pareja es
clasificada como “ + “ ( más) o “ - “ ( menos ).
Sí xi > yi la diferencia se denota con un “ +”
Sí xi < yi la diferencia será denotado con un “ - ” .
Sí xi = yi eliminará el par de las muestras y se reduce el tamaño de la
misma.
SUPOSICIONES: Tal vez la aplicación más frecuente de la prueba de los
signos es la verificación de la hipótesis nula de que la diferencia de
las medidas es 0 (cero).
79

Supongamos que designamos un conjunto de puntajes con X y otros
conjuntos de puntajes comprendidos en la población relacionando
con Y
Las muestras de tamaño N de cada conjuntos de puntajes producirá pares
de observaciones , que se pueden designar : ( X1 , X2 ) , ( X2 ,
y2 ) , ...( Xi , yi ) , ........... ( Xn, yn ) :
(i) Las variables aleatorias bidimensionales ( Xi , yi ), i = 1,2,....,n son
mutuamente independiente .
(ii) La escala de medida es por la mayor ordinal dentro de cada par. Esto
es cada pareja ( Xi , yi ), puede determinar un “ + “ ( más) , un “ -
“ ( menos ) “o “ en pares “ .
(iii) Las parejas ( Xi , Yi ) son internamente consistentes en que sí
P ( +) > P ( - ) para una pareja ( Xi , Yi ) entonces P ( + ) > P ( -1 )
para todas las parejas; lo mismo sucede para P ( +) < P ( - ) y P ( +)
= P ( -).
HIPÓTESIS:
(i) Prueba Bilateral
Ho : P ( Xi < Yi ) = P ( Xi > Y1 ) ∀i
Hi : P ( Xi < Yi ) < P ( Xi > Yi ) ∀i ó
P ( Xi < Yi ) > P ( Xi > Yi ) ∀i
(ii) Prueba Unilateral
Ho : P ( Xi < Yi ) ≤ P ( Xi > Yi ) ∀i
Hi : P ( Xi < Yi ) > P ( Xi > Yi ) ∀i
(iii) Prueba Unilateral
Ho : P ( Xi < Yi ) ≥ P ( Xi > Y1 ) ∀i
Hi : P ( Xi < Yi ) < P ( Xi > Yi ) ∀i
Es de anotar que la prueba de los signos es insesgada y consistente cuando
se prueba las hipótesis de arriba.
80

La prueba es usada también para probar la siguiente contraparte en cuyo
caso no es insesgada ni consistente.
(i) Prueba Bilateral: interpretamos la hipótesis nula como “ Xi y Yi “ ,
tomando el mismo parámetro :
Ho : E ( Xi) = E ( Yi) ∀i
Hi : E ( Xi) ≠ E ( Yi) ∀i
Similarmente puede hacerse la prueba para la mediana ( med)
Ho : Med ( Xi) = Med ( Yi) ∀i
Hi : Med (Xi) ≠ Med ( Yi) ∀i
(ii) Prueba Unilateral: La hipótesis nula puede ser considerada para
indicar que los valores de Xi tienden hacer mayores que los valores de
yi ó viceversa. Por lo tanto:
Ho : E ( Xi ) ≥ E ( Yi ) ∀i
Hi : E ( Xi) < E ( Yi) ∀i
(ii) Prueba Unilateral:
Ho : E ( Xi ) ≤ E ( Yi ) ∀i
Hi : E ( Xi) > E ( Yi) ∀i
PRUEBA ESTADÍSTICA
La estadística para esta prueba denotada por T , es el número de signos
“ más “ ( +) entre las N pares . Dado que bajo Ho cada par
constituye un
ensayo independiente con una probabilidad para el signo “ + “ de 0.5 , la
estadística T tiene una distribución binomial con P = 0.5 .
T : Nº de parejas ( Xi , Yi ) en la cuál Xi > Yi
T : Nº de “ +”
REGLA DE DECISIÓN
81

Es prioritario que se elimine todas las parejas empatadas y se tome a N
como todas las parejas no empatadas , es decir , N = Nº total de “
+ “ y “ - “
α Representará el nivel de significancia aproximado.
La regla de decisiones siguiente depende de la hipótesis a probar.
( i) Bilateral : Para N ≤ 20 se usa la Tabla Binomial con el valor
aproximado para N y con P = 0.5 . Seleccionando en la tabla un valor
al rededor de α/ 2 y lo llamaremos α1. El valor de Y corresponde a
α1 es
llamado t. La región crítica de tamaño 2α corresponde al valor de T ≤ t
o T ≥ n - t .
Rechazamos Ho si T ≤ t o si T ≥ n - t al nivel de significancia 2α1 en
otro caso aceptamos Ho.
Para n > 20 se usará la aproximación:
t = ½ ( n + W α/2 n )
Donde W α/2 es obtenida de la tabla si α = 0.05 entonces W α/2 =
(- 1.996) y la anterior ecuación seria aproximadamente t = n/2 - √ n
(ii) Unilateral : Para grandes valores de T indica que un más “ +” es
probable que un menos “ - ” como dice H1 ; así la región crítica
correspondiente a valores de T ≥ n-t, donde t es hallado por medio de
la tabla con P = 0.5 y n , y es aproximadamente igual a α1 . El
valor correspondiente a α1 es t. Para n > 20 puede
encontrarse por la aproximación
t = ½ ( n + W α n ).
Ho es rechazado al nivel de significancia α1 ( o α si el valor en la tabla es
exacto ) si T ≥ n - t .
82

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