Este documento introduce las ecuaciones de Maxwell que describen el electromagnetismo y las ondas electromagnéticas. Explica que las ecuaciones relacionan los campos eléctricos y magnéticos con las cargas eléctricas y las corrientes eléctricas. También describe que las ondas electromagnéticas son ondas transversales que se propagan a la velocidad de la luz y transportan energía.

1. ONDAS ELECTROMAGNETICAS
C.O. Dib∗ , apuntes para la asignatura FIS-140, UTFSM
Depto de F´
ısica, Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ Valpara´
e
ıa,
ıso, Chile
(Dated: September 9, 2012)
Este art´
ıculo introduce los temas de: (i) ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo; (ii) ondas
electromagn´ticas; (iii) ondas arm´nicas; (iv) polarizaci´n; (v) frentes de onda planos y esf´ricos;
e
o
o
e
(v) energ´ en la onda e.m. Esta es una versi´n preliminar, de modo que l´ala en forma cr´
ıa
o
e
ıtica. Si
tiene comentarios o correcciones, informe a su profesor[1].
I.
ECUACIONES DE MAXWELL
A.
Cargas y Corrientes
La ley cl´sica del electromagnetismo se describe mediante
a
cargas y campos. Las cargas el´ctricas pueden considere
arse “puntuales” si su distribuci´n espacial est´ conceno
a
trada en espacios mucho m´s peque˜os que cualquier otra
a
n
distancia asociada al problema. De otro modo, hay que
considerar la carga como algo distribuido en forma “continua” en el espacio, y medirla mediante una funci´n de
o
“densidad” de carga (cantidad de carga por unidad de
volumen) ρ(r). As´ la carga que hay en un volumen V
ı,
del espacio es la integral de ρ(r) en ese volumen:
Qdentro
de V
=
ρ(r)dV
Ique
atraviesa S
J(r) · dS
=
(2)
S
EJERCICIO: Considere un canal recto de seccion rectangular, por el que pasa agua. Considere que el canal
tiene ancho a, el agua en el canal tiene una profundidad
h, y la densidad de flujo de agua (litros de agua por cada
cm2 por cada segundo) es una funci´n dependiente de la
o
altura y, medida desde el fondo:
(1)
V
EJERCICIO: Considere una esfera con una densidad de
carga esf´ricamente sim´trica ρ(r) = ρ0 e−r/r0 , donde ρ0
e
e
y r0 son constantes. Calcule la carga total. Calcule el
valor promedio del radio de carga (piense c´mo definir el
o
radio promedio de la carga).
Adem´s de la densidad de carga, otro concepto impora
tante asociado a la carga el´ctrica es la corriente y la
e
densidad de corriente. En un sistema en el que las cargas el´ctricas est´n en movimiento, se define la corriente
e
e
el´ctrica (o flujo de carga el´ctrica), I, como la cantidad
e
e
de carga que cruza una superficie dada del espacio, en
una unidad de tiempo.
EJERCICIO: Por el cable que alimenta un foco de autom´vil pasa una corriente de 10 Ampere (=Coulomb/s).
o
Siendo la carga del electr´n igual a e = −1.6 × 10−19
o
Coulomb, calcule cu´ntos electrones cruzan una secci´n
a
o
del cable en cada segundo.
Ahora bien, el flujo de carga que cruza una cierta superficie no tiene por qu´ ser igual en todas partes: puede
e
ser m´s intenso en una zona y m´s d´bil en otra. Para
a
a e
∗ Derechos
caracterizar esta variaci´n espacial, se define una densio
dad de corriente (o densidad de flujo de carga), como la
cantidad de corriente que pasa por cada unidad de ´rea,
a
J(r), de modo que la integral de la componente normal
de J(r) sobre una superficie dada S es la corriente neta
que cruza esa superficie:
reservados. Reproducci´n total o parcial del material
o
requiere permiso del autor.
y
J(y) = J0 ,
h
(3)
donde J0 es una constante (igual a la densidad de flujo en
la superficie). La densidad de flujo es cero en el fondo y
aumenta linealmente con la altura, probablemente debido
al roce en el fondo del canal. Calcule el caudal en el
canal (cantidad de litros que cruzan la secc´on completa
ı´
del canal cada segundo).
B.
Campos
En F´
ısica, se denomina Campo a una cantidad f´
ısica distribuida continuamente por el espacio y que, en general,
depende del tiempo. La temperatura en la atm´sfera, la
o
presi´n y la gravedad son ejemplos de campos:
o
T (r, t),
p(r, t),
g(r).
(4)
Los dos primeros son campos escalares (su valor no depende de la orientaci´n de los ejes de coordenadas), y el
o
ultimo es un campo vectorial (su valor est´ dado por tres
´
a
componentes, que s´ dependen de la direcci´n de los ejes
ı
o
coordenados). La interacci´n electromagn´tica es uno de
o
e
los tipos fundamentales de interacci´n, y ocurre entre
o
part´
ıculas elementales que tengan carga el´ctrica. Las
e

2. 2
otras interacciones fundamentales son la Gravitaci´n, la
o
Interacci´n Fuerte (que mantiene unidos a los n´cleos
o
u
at´micos) y la Interacci´n D´bil (que permite la transo
o
e
mutaci´n de la materia, como en el decaimiento beta nuo
clear).
La interacci´n electromagn´tica se puede describir meo
e
diante un par de campos vectoriales: el campo el´ctrico
e
E(r, t) y el campo magn´tico B(r, t). Aunque en general
e
estos campos no son independientes, apareciendo ambos
en la mayor´ de las situaciones, hay casos en los que
ıa
aparece un puro campo el´ctrico (cuando s´lo hay care
o
gas est´ticas), o un puro campo magn´tico (cuando s´lo
a
e
o
hay corrientes est´ticas). En otros casos, ambos campos
a
aparecen.
C.
Ecuaciones de Maxwell
Los campos el´ctricos y magn´ticos pueden tener una ine
e
finidad de formas en el espacio, pero no cualquier forma:
en cada punto del espacio deben obedecer las Ecuaciones
de Maxwell. Estas son ecuaciones diferenciales que definen la din´mica de los campos (la forma como evolua
cionan en el tiempo) y su distribuci´n en el espacio. Las
o
ecuaciones de Maxwell son completamente restrictivas,
en el sentido de que si uno conoce la distribuci´n de caro
gas y corrientes en el espacio (y condiciones de borde si
el espacio considerado no es infinito), los campos quedan
determinandos en forma unica.
´
FIG. 1: Flujo neto cero saliendo de superficie cerrada.
La ley de Faraday dice que la circulaci´n del campo
o
el´ctrico (integral de la componente de E a lo largo de
e
un camino cerrado, o algo as´ como el “trabajo” de E
ı
en un camino cerrado) es igual a la tasa de cambio de
flujo magn´tico abrazado por la curva. El signo “menos”
e
no significa algo “negativo” u “opuesto”, sino algo m´s
a
bien geom´trico: el sentido en el que se mide el flujo ree
specto a la orientaci´n en que se recorre la curva cerrada
o
es opuesto al indicado por la regla de la mano derecha
(para toda superficie infinitesimal, uno define un vector
normal a la superficie y una direcci´n de circulaci´n por
o
o
el borde de la misma de modo tal que cuando los dedos
curvados de la mano derecha se orientan seg´n la circuu
laci´n, el pulgar debe indicar el sentido del vector normal
o
al ´rea).
a
C0
James Clerck Maxwell (1831-1879) no estableci´ todas
o
estas ecuaciones, sino s´lo arregl´ la ultima de ellas para
o
o ´
que el conjunto fuera consistente y completo. Las ecuaciones, en su forma integral, son:
E · dS =
Qint
(Gauss),
0
S0
B · dS = 0
(sin nombre),
S0
E·d
dΦmag
= −
dt
B·d
= µ0 I + µ0
C0
C0
n
(Faraday),
0
dΦE
dt
(Ampere − Maxwell)
La ley de Gauss dice que el flujo el´ctrico (“n´mero de
e
u
l´
ıneas de campo el´ctrico”) neto saliente de una superfie
cie cerrada S0 es proporcional a la carga el´ctrica en el
e
volumen interior a la superficie. Dado que S0 es completamente arbitraria, en cualquier vecindad donde no
haya carga neta, las l´
ıneas de campo el´ctrico deben ser
e
continuas.
La segunda expresi´n dice algo similar a la ley de Gauss,
o
pero para el campo magn´tico, en cuyo caso las l´
e
ıneas
de B siempre son continuas, pues no existen “cargas”
magn´ticas.
e
FIG. 2: Referencias para la ley de Faraday: si la curva C de
integraci´n de E es recorrida en la direcci´n de la flecha, el
o
o
area por donde pasa el flujo magn´tico es medida en direcci´n
´
e
o
del vector n. El signo “menos” en la ley de Faraday significa
ˆ
que el flujo magn´tico cambia en sentido opuesto a n.
e
ˆ
La ley de Ampere-Maxwell es la extensi´n que hizo
o
Maxwell a la ley de Ampere (A.M. Amp`re, 1775-1836):
e
B · d = µ0 I.
C0
La ley de Ampere establece que la circulaci´n (integral en
o
un camino cerrado) del campo magn´tico es proporcional
e
a la corriente el´ctrica neta encerrada por la trayectoria.
e
Esto, not´ Maxwell, es inconsistente con la conservaci´n
o
o
de la carga el´ctrica. Veremos eso m´s abajo.
e
a

3. 3
implicar´ que ninguna carga jam´s podr´ moverse: conıa
a
ıa
sidere una superficie cerrada y una carga en su interior
que se est´ moviendo. Como la carga se est´ moviendo,
a
a
en alg´n momento va a tener que salir, cruzando la suu
perficie. En ese instante, la corriente neta saliendo de la
superficie no es cero!.
C0
n
D.
FIG. 3: Referencias para la ley de Ampere: si la curva C de
integraci´n de B es recorrida en la direcci´n de la flecha, la
o
o
corriente encerrada es medida en direcci´n del vector n.
o
ˆ
Las mismas ecuaciones en forma diferencial son:
ρ
·E =
(Gauss),
0
·B = 0
(sin nombre),
×E = −
∂B
∂t
(Faraday),
× B = µ0 J + µ0
0
∂E
∂t
(Ampere − Maxwell).
Veamos ahora el trabajo de Maxwell. Considere una
curva cerrada y una superficie cuyo borde sea esa curva.
La validez de la Ley de Ampere no depende de la forma
de la superficie, de modo que podemos escoger una superficie con forma de globo. Aplicando la ley de Ampere al caso en el que la curva se reduzca a un punto,
C0 → 0, claramente la integral de circulaci´n de B se
o
anula, quedando la relaci´n:
o
B·d
= µ0 Isaliente
La ecuaci´n de continuidad
o
La carga el´ctrica es una cantidad conservada (de hecho,
e
es una de las pocas cantidades f´
ısicas que se conservan
siempre y en todo proceso). La carga no puede simplemente desaparecer en un lugar y aparecer en otro, sino
que debe fluir de un lugar a otro. Considere una superficie cerrada, que encierra cierto volumen interior, en el
cual se encuentra una cierta cantidad de carga. La carga
interior s´lo puede disminuir si ´sta logra salir cruzando
o
e
la superficie. Siendo Qint la carga interior, la tasa de
disminuci´n de la carga ser´ −dQint /dt. En tal caso,
o
ıa
la corriente Isale que atraviesa la superficie hacia afuera
debe ser igual a esa cantidad:
Isale = −
dQint
.
dt
Esto significa que toda la carga que desapareci´ del inteo
rior debi´ haber salido a trav´s de la superficie; no puede
o
e
haber carga que simplemente se haya “esfumado”.
La relaci´n anterior se puede escribir en t´rminos de la
o
e
densidad de carga interior ρ(r) y de la densidad de corriente J en la superficie:
C0 →0
0 = µ0 Isaliente .
(5)
J · dS = −
S0
Q
I
C0→ 0
Esto dice que la corriente neta que sale de cualquier superficie cerrada es cero. Esto es falso en general, pues
ρ(r)dV.
V
Podemos escribir esto en forma diferencial si tomamos
como V un cubito infinitesimal, de volumen dV . En tal
caso, el flujo de corriente saliente del cubo es simplemente
·J dV . Por otro lado, la tasa de cambio de carga interior
es −∂ρ/∂t dV . As´ la relaci´n de conservaci´n en forma
ı,
o
o
diferencial queda:
∂ρ
+
∂t
FIG. 4: Al reducir la curva C a un punto, la superficie por
la que pasa la corriente I queda cerrada. En esa situaci´n, la
o
corriente neta saliente no puede ser siempre cero (como afirmar´ la ley de Ampere), sino igual a la tasa de disminuci´n
ıa
o
de la carga encerrada en el interior, −dQ/dt.
d
dt
·J =0
A este tipo de relaci´n (entre la densidad volum´trica
o
e
ρ y la densidad de flujo J de una cantidad conservada)
se le llama Ecuaci´n de Continuidad, porque expresa el
o
hecho de que la cantidad conservada, para cambiar en un
cierto lugar, debe hacerlo “fluyendo” continuamente por
el espacio hacia otro lugar.

4. 4
E.
II.
El trabajo de Maxwell
Para arreglar el problema de la Ec. 5, Maxwell reemplaza
la corriente en el lado derecho por un aut´ntico cero,
e
escrito en t´rminos de la corriente (nada malo con eso!):
e
ONDAS ELECTROMAGNETICAS
Considerando las ecuaciones de Maxwell en el vac´ (es
ıo
decir, ρ = 0 y J = 0), se nota una clara simetr´
ıa:
∂B
,
∂t
∂E
× B = µ0 0
.
∂t
· E = 0,
B · d → 0 = µ0 Isaliente +
C0 →0
dQint
dt
· B = 0,
Ahora expresamos el lado derecho en forma de integrales
sobre la superficie (cerrada, en este caso):
B · d → 0 = µ0
C0 →0
J · dS +
S0
d
dt
ρdV
.
V
Note que la integral de la izquierda es de un camino
de largo nulo, la segunda integral es sobre la superficie (cerrada) y la tercera es en el volumen interno a la
superficie cerrada. Por supuesto, esto no es otra cosa
que la ecuaci´n de continuidad. El problema es que la
o
ley de Ampere no se refiere a un camino nulo ni a una
superficie cerrada, sino a un camino cerrado, borde de
una superficie abierta. Pero en la expresi´n anterior no
o
podemos abrir la superficie, porque entonces la integral
sobre el “volumen interior” carece de sentido. El ingenio
de Maxwell est´ primeramente en escribir la integral de
a
volumen como una integral de superficie, usando la ley
de Gauss:
B · d → 0 = µ0
J · dS +
C0 →0
S0
d
dt
0E
×E =−
· dS .
S0
Las dos ecuaciones de la izquierda dicen que las l´
ıneas de
los campos son continuas. Esto es una restricci´n casi puo
ramente geom´trica. Las dos ecuaciones de la derecha, en
e
cambio, expresan la din´mica: la evoluci´n de los campos
a
o
en el tiempo depende de su forma en el espacio.
Por supuesto, sin especificar nada m´s, hay infinitas fora
mas de campos que satisfacen estas ecuaciones. Algunos
casos especiales son, por ejemplo, los campos est´ticos
a
(sin dependencia en t). En tales casos, las derivadas temporales son cero. En particular, el campo electrost´tico
a
satisface entonces: × E = 0, que implica que el campo
es conservativo (la integral sobre un camino cerrado es
cero) y permite entonces definir en todo el espacio una
funci´n de potencial el´ctrico.
o
e
Pero en nuestro caso, queremos ver otra cosa: estas ecuaciones implican que los campos el´ctrico-magn´ticos se
e
e
pueden propagar en el espacio como ondas! Veamos:
Tomamos el rotacional de la ecuaci´n de Faraday, luego
o
tomamos la derivada temporal de la ecuaci´n de Ampereo
Maxwell, y finalmente igualamos las expresiones, obteniendo:
El segundo punto genial es un salto al agua: suponer
que esta relaci´n (que hasta aqu´ no es otra cosa que la
o
ı
ecuaci´n de continuidad) sigue siendo v´lida para una
o
a
superficie abierta, donde la integral de camino sea sobre
el borde (curva cerrada) de la superficie:
×
× E = −µ0
0
∂2E
.
∂t2
(7)
No es muy dif´ probar que:
ıcil
B · d = µ0
C0
J · dS +
S
d
dt
0E
×
· dS .
·E −
2
E,
(8)
S
y seg´n la ley de Gauss, el primer t´rmino de la derecha
u
e
es cero, de modo que la ecuaci´n anterior queda:
o
En forma diferencial, esto significa:
× B = µ0 J + µ0
×E ≡
0
∂E
.
∂t
2
(6)
Por supuesto, no hay c´mo demostrar la validez f´
o
ısica de
esta expresi´n sin hacer experimentos que la comprueben
o
(el hecho de que la expresi´n sea matem´ticamente cono
a
sistente, no quiere decir que corresponda en verdad a una
ley del mundo f´
ısico), de modo que atreverse a aseverar
esto es un golpe de intuici´n...que experimentalmente reo
sulta ser correcto!
Al t´rmino 0 ∂ E/∂t se le denomina “corriente de dese
plazamiento”.
E = µ0
0
∂2
E.
∂t2
(9)
Esto es la ecuaci´n de onda!
o
EJERCICIO: Se puede probar de manera similar que el
campo magn´tico satisface la misma ecuaci´n de onda;
e
o
h´galo!.
a
El operador diferencial 2 se llama Laplaciano, y en coordenadas cartesianas tiene una forma muy simple:
2
=
∂2
∂2
∂2
+ 2 + 2.
∂x2
∂y
∂z
(10)

5. 5
A.
Ondas en Una Dimensi´n Espacial
o
E
Queremos estudiar ondas que avancen s´lo en direcci´n
o
o
del eje z. Para ello, supongamos un caso simple en el
que los campos E(x, y, z, t) y B(x, y, z, t) no dependan
de x ni de y, sino s´lo de z (y por supuesto de t). De
o
inmediato, la ecuaci´n de onda se reduce a:
o
∂2
E(z, t) = µ0
∂z 2
0
∂2
E(z, t).
∂t2
ct
E( z )
E( z – ct )
z
(11)
Pero eso no es todo: debemos adem´s satisfacer la ley de
a
Gauss (condici´n geom´trica) · E = 0, que en este caso
o
e
queda:
∂
Ez (z, t) = 0,
∂z
(12)
es decir, la componente z del campo es uniforme en el
espacio (no depende de z, ni tampoco de x ni de y, de
acuerdo a lo supuesto). Al no tener variaci´n en z, Ez
o
no entra en el lado izquierdo de la ecuaci´n de onda (que
o
s´lo tiene derivada en z). Por lo tanto, vamos a descartar
o
esta componente: supongamos que Ez = 0.
As´ el campo el´ctrico s´lo puede tener componentes x
ı,
e
o
e y. Adem´s, s´lo puede depender espacialmente de z
a
o
(lo cual es autom´ticamente consistente con la ley de
a
Gauss). Supongamos que el campo apunta en direcci´n
o
x. La ecuaci´n de onda queda:
o
∂2
Ex (z, t) = µ0
∂z 2
0
∂2
Ex (z, t).
∂t2
(13)
Cualquier funci´n de la forma E(z, t) = E(z − c t) auo
tom´ticamente satisface la ecuaci´n de onda, con tal que:
a
o
c2 =
1
.
µ0 0
(14)
Note que si E(z) como funci´n de z tiene cierta forma
o
gr´fica, como por ejemplo, en la figura,
a
entonces E(z − c t), para t > 0, tiene la misma forma que
para t = 0, pero desplazada hacia los z positivos en una
distancia c t. En otras palabras, la forma de la onda se
mantiene, pero se va desplazando continuamente hacia la
derecha a una velocidad igual a c.
EJERCICIO: Usando las ecuaciones de Maxwell, demuestre que para una onda electromagn´tica que se
e
propaga en direcci´n +z y en la que el campo el´ctrico
o
e
apunta en direcci´n x, entonces el campo magn´tico
o
e
apunta en direcci´n y, y es proporcional al campo
o
el´ctrico: By (z, t) = Ex (z, t)/c.
e
FIG. 5: Valor del campo el´ctrico como funci´n del espacio
e
o
(coordenada z), en un instante t = 0 fijo, y en un instante t
fijo, pero posterior.
B.
Polarizaci´n
o
En una onda electromagn´tica, los campos que ondulan
e
son vectoriales, es decir, apuntan en alguna direcci´n eso
pacial. Como vimos, los campos en la onda siempre son
transversales, es decir, apuntan en direcci´n perpendico
ular a la direcci´n de propagaci´n. A su vez, los camo
o
pos el´ctrico y magn´tico son perpendiculares entre s´
e
e
ı,
en cada punto del espacio.
Si conocemos la direcci´n de propagaci´n de la onda,
o
o
sabemos entonces que el campo el´ctrico debe apuntar
e
en alguna direcci´n perpendicular a la propagaci´n. Llao
o
mamos polarizaci´n a esa direcci´n. Claramente, la dio
o
recci´n de polarizaci´n yace entonces en el plano perpeno
o
dicular a la direcci´n de propagaci´n.
o
o
1.
Polarizaci´n lineal
o
Se habla de polarizaci´n lineal cuando el campo el´ctrico,
o
e
en cualquier punto dado del espacio, oscila en una sola
direcci´n.
o
Supongamos una onda arm´nica, de frecuencia ω y
o
n´mero de onda k, que se propaga en direcci´n z. Como
u
o
el campo el´ctrico es transversal, su direcci´n (es decir,
e
o
la polarizaci´n) debe ser perpendicular al eje Z.
o
Si esta onda tiene polarizaci´n lineal en direcci´n X, eno
o
tonces la expresi´n para el campo el´ctrico debe ser:
o
e

6. 6
E(z, t) = ˆ E0 ei(kz−ωt) .
ı
(15)
EJERCICIO: En este ejemplo, cu´l es la expresi´n para
a
o
el campo magn´tico? Cu´l ser´ la expresi´n para los
e
a
ıa
o
campos el´ctrico y magn´tico en una onda linealmente
e
e
polarizada en direcci´n del eje Y?
o
Polarización lineal
Polarización circular
X
E
Z
Y
B
FIG. 7: Representaci´n gr´fica de dos ondas, una con polaro
a
izaci´n lineal y la otra con polarizaci´n circular. Se muestra
o
o
un plano transversal, en el que se indica la direcci´n que tiene
o
el campo en distintos instantes (l´
ınea punteada). Se muestran adem´s las direcciones del campo el´ctrico en el espacio
a
e
anterior al ´rea transversal.
a
FIG. 6: Onda e.m. que se propaga en direcci´n Z, polarizada
o
linealmente en direcci´n X. La figura muestra algunas l´
o
ıneas
de campo el´ctrico (en direcci´n X) y de campo magn´tico
e
o
e
(en direcci´n Y), pero es importante entender que los campos
o
no existen s´lo en el plano donde se dibujan, sino en todo el
o
volumen del espacio.
Si, en cambio, la polarizaci´n estuviera en el plano XY
o
pero en el eje que est´ a 45o del eje X, la expresi´n para
a
o
el campo el´ctrico ser´
e
ıa:
ˆ+ˆ
ı 
(16)
E(z, t) = √ E0 ei(kz−ωt) ,
2
√
donde el factor 1/ 2 asegura la norma unitaria del vector
de direcci´n.
o
igual frecuencia, polarizadas linealmente en direcciones
transversales perpendiculares entre s´ (ej. para una onda
ı
que se propaga en direcci´n Z, polarizaciones en X y en
o
Y), y desfasadas en un cuarto de ciclo (π/4 radianes):
E(z, t) = ˆ E0 cos(kz − ωt) + ˆ E0 sin(kz − ωt).
ı

(17)
la direcci´n del campo de esta onda sigue una especie de
o
h´lice en el espacio. Hay dos posibilidades de giro ese
pacial, o quiralidad (del griego ”xiros”= mano): derecho o izquierdo (seg´n sigan la regla de la mano derecha
u
o izquierda: cuando los cuatro dedos se enroscan en la
direcci´n de giro, el pulgar de la correspondiente mano
o
deber´ apuntar en la direcci´n de propagaci´n).
ıa
o
o
Giro derecho
Note entonces que una onda polarizada en direcci´n de
o
45o en el plano XY se puede ver como una superposici´n
o
de dos ondas en fase y linealmente polarizadas, una en
direcci´n X y la otra en direcci´n Y.
o
o
2.
Polarizaci´n circular
o
Se habla de polarizaci´n circular cuando el campo
o
el´ctrico, en cualquier punto dado del espacio, en vez de
e
oscilar en una direcci´n del plano transversal, mantiene
o
su m´dulo pero gira en dicho plano.
o
Una onda arm´nica con polarizaci´n circular se puede
o
o
representar como la suma de dos ondas arm´nicas de
o
FIG. 8: Giro derecho: la flecha curva (dedos) indica el sentido
de giro del campo en el espacio al avanzar en la direcci´n de
o
propagaci´n (pulgar).
o
Veamos la quiralidad en la Ec. 17: como queremos ver
el campo en el espacio en un instante t dado, tomemos
t = 0. El campo en z = 0 apunta en direcci´n +x; al deso
plazarnos en la direcci´n de propagaci´n en un peque˜o
o
o
n
z, vemos que la componente x decrece (de cos0 = 1 a

7. 7
coskz < 1) mientras que la componente y empieza a
aparecer (de 0 a sinkz > 0). Eso claramente significa
que el vector de campo el´ctrico gira desde X a Y al
e
avanzar en Z: eso es quiralidad derecha. Compru´belo.
e
EJERCICIO: Demuestre que la onda siguiente tiene
quiralidad izquierda:
E(z, t) = ˆ E0 cos(kz − ωt) − ˆ E0 sin(kz − ωt).
ı

3.
(18)
Polarizadores
Un vidrio, pl´stico o cristal polarizado es un matea
rial transparente que deja pasar s´lo la componente del
o
campo en una cierta direcci´n, absorbiendo la compoo
nente perpendicular a la anterior. Lea sobre esto. Usualmente se llama eje ´ptico a la direcci´n en la cual el
o
o
polarizador es transparente.
EJEMPLO: Suponga que la onda e.m. dada en la Ec. 17
incide sobre un vidrio polarizador, orientado en el plano
XY . Suponga que el eje ´ptico del polarizador tiene la
o
direcci´n del eje X. Entonces la onda a la salida del
o
polarizador tiene la expresi´n:
o
E(z, t) = ˆ E0 cos(kz − ωt).
ı
(19)
Note que aqu´ la onda incidente tiene polarizaci´n circuı
o
lar. A la salida del polarizador, en cambio, la onda est´
a
linealmente polarizada en la direcci´n del eje ´ptico.
o
o
Existen materiales en los que la componente de la luz con
polarizaci´n en una cierta direcci´n viaja a una velocio
o
dad, y la componente polarizada en la direcci´n perpeno
dicular viaja a otra velocidad. Estos materiales se llaman birrefringentes (se llaman as´ porque tienen dos
ı
´
ındices de refracci´n distintos). Uno de estos materiales
o
es la Calcita (cristal de carbonato de calcio, CaCO3 ).
Lea sobre una placa de cuarto de onda, que es un dispositivo ´ptico para transformar una onda de cualquier
o
polarizaci´n en una onda de polarizaci´n circular.
o
o
EJERCICIO: As´ como la Ec. 17 muestra una onda de
ı
polarizaci´n circular expresada como una superposici´n
o
o
de dos ondas linealmente polarizadas (polarizadas en direcciones mutuamente perpendiculares), as´ tambi´n uno
ı
e
puede escribir una onda linealmente polarizada como la
suma de dos ondas de polarizac´on circular (polarizadas
ı´
con quiralidad opuesta). Escriba una expresi´n para esto
o
ultimo.
´
C.
La velocidad de la Onda Electromagn´tica
e
Num´ricamente: µ0 = 4π × 10−7 T · m/A y 0 ≈ 8, 84 ×
e
10−12 F/m, de lo cual se obtiene que c ≈ 2, 99 × 108 m/s.
Esta es la conocida velocidad de la luz. Si esto no le
parece impresionante, note lo siguiente:
• Las leyes del electromagnetismo implican la existencia de ondas electroman´ticas que se mueven
e
precisamente a la velocidad de la luz...ser´ entonces
a
la luz visible una onda electromagn´tica? (tenemos
e
una evidencia de la naturaleza de la luz!).
• Hemos deducido el valor de c a partir de µ0 y 0 , dos
cantidades que se miden en condiciones completamente est´ticas y distintas: una se mide mediante
a
la fuerza entre corrientes continuas y la otra entre
cargas electrost´ticas...ser´ entonces que la electa
a
ricidad y el magnetismo no son dos sino s´lo una
o
misma cosa a nivel fundamental?
Toda la evidencia posterior nos ha indicado que estas
dos conjeturas son correctas: la luz es un fen´meno de
o
ondas electromagn´ticas y el electromagnetismo es una
e
interacci´n unificada a nivel fundamental.
o
III.
ONDAS ARMONICAS
A una onda en el vac´ o en un medio uniforme se le llama
ıo
onda arm´nica si en cada punto del espacio, su depeno
dencia en el tiempo es sinusoidal (de una sola frecuencia).
Por ejemplo, una onda arm´nica que se propaga en dio
recci´n +z y polarizada en direcci´n x se puede escribir
o
o
como sigue:
Ex (z, t) = E0 cos (k(z − ct)) ;
By (z, t) = B0 cos (k(z − ct)) ;
Ey = Ez = 0
Bx = Bz = 0
donde E0 = cB0 y k es una constante.
A.
Fase, Frecuencia y N´ mero de Onda
u
Como en toda oscilaci´n, llamamos fase al argumento
o
de la funci´n sinusoidal, es decir, a lo que va dentro del
o
par´ntesis en cos(...), o sin(...). La fase se mide en rae
dianes. A medida que avanza el tiempo t, la fase va
cambiando. Cada vez que la fase cambia en 2π, el valor
del campo completa un ciclo de oscilaci´n.
o
En el ejemplo anterior, si tomamos punto fijo en el espacio (z fijo), los campos oscilan peri´dicamente, con freo
cuencia angular ω = kc. La frecuencia angular es un
concepto asociado a oscilaciones: es el cambio que sufre
la fase por cada unidad de tiempo. Se mide en unidades
como rad/s. Note que si se trata de una onda, para describir la oscilaci´n debemos escoger un punto fijo en el
o
espacio, y observar el cambio de la fase en funci´n del
o
tiempo.
Si en vez de fijar z y observar la dependencia en t, fijamos
el instante t y estudiamos la dependencia en z, notaremos
que los campos tambi´n son peri´dicos en el espacio: as´
e
o
ı

8. 8
como ω es la frecuencia angular en el tiempo, asimismo
k es una “frecuencia” angular en el espacio: es la cantidad de radianes que cambia la fase por cada metro de
distancia medida en la direcci´n de propagaci´n de la
o
o
onda, en un instante fijo. Se le llama a k el n´ mero de
u
onda. Mutatis mutandis, para describir la ondulaci´n en
o
el espacio, hay que escoger un instante dado en el tiempo
y observar la onda en todo el espacio, simult´neamente
a
(un, dos, tres, MOMIA ES!).
B.
Per´
ıodo y Longitud de Onda
As´ como el per´
ı
ıodo de una oscilaci´n es el tiempo reo
querido para que la fase cambie en 2π (completando un
ciclo de oscilaci´n en el tiempo), asimismo, en una onda
o
la longitud de onda es la distancia entre dos puntos
en el espacio, medida a lo largo de la direcci´n de propao
gaci´n, entre los cuales la onda tiene una diferencia de
o
fase 2π.
Matem´ticamente, la fase de una onda que se propaga en
a
direcci´n +z es de la forma:
o
φ(z, t) = k z − ω t.
(20)
Podemos determinar el per´
ıodo, fijando z = z0 y viendo
el intervalo de tiempo ∆t que debe transcurrir en ese
lugar para que el cambio de fase, ∆φ, sea igual a 2π (no
nos preocupemos del signo de la fase):
En general, si z = fijo,
∆φ = ω ∆t.
Entonces, cuando ∆φ = 2π,
∆t ≡ T (periodo) =
2π
.
ω
Del mismo modo, podemos determinar la longitud de
onda, fijando un instante t = t0 y viendo la distancia
∆z que hay que desplazarse (en ese instante fijo) para
que el cambio de fase, ∆φ, sea igual a 2π:
En general, si t = fijo,
∆φ = k ∆z.
Entonces, cuando ∆φ = 2π,
NOTACION COMPLEJA
e
= cos θ + i sin θ.
En notaci´n compleja, la idea es que cada vez que nos
o
encontramos con superposiciones lineales de funciones sinusoidales, las convertimos a una superposici´n de expoo
nenciales complejas. Por ejemplo, cuando aparezca un
coseno:
cos(kz − ωt) = ei(kz−ωt) .
Del mismo modo, cuando aparezca un seno, primero lo
escribimos como coseno usando sin x = cos(x − π/2):
sin(kz − ωt) = cos(kz − ωt − π/2)
=
ei(kz−ωt−π/2) .
Al final, en esta convenci´n, las cantidades f´
o
ısicas corresponden a la parte Real de la expresi´n compleja.
o
Las expresiones con exponenciales permiten extraer factores comunes y hacer sumas, que en t´rmino de sinue
soidales requerir´ conocer y usar un mont´n de identiıa
o
dades trigonom´tricas.
e
Por ejemplo, suponga que tenemos: cos kz+sin kz. Podemos usar una identidad trigonom´trica para hacer esta
e
suma (h´galo!), pero no es f´cil acordarse de detalles (siga
a
nos, etc) en estas identidades . Si lo escribimos como:
cos kz + sin kz →
eikz + ei(kz−π/2) = (1 + e−iπ/2 )eikz
= (1 − i)eikz
√ −iπ/4 ikz
2e
e
=
√ i(kz−π/4)
=
2e
.
Por lo tanto,
√
2 cos(kz − π/4).
Tal vez esto no le parezca muy impresionante, pero note
que s´lo usamos manipulaciones algebraicas, salvo la simo
ple propiedad de la exponencial: ea eb = e(a+b) , algo bien
conocido. Si a´n no est´ impresionado, note la siguiente
u
a
suma:
eiωt + ei(ωt−α) + ei(ωt−2α)
+ . . . + ei(ωt−(N −1)α)
En general, el trabajo matem´tico se hace mucho m´s
a
a
simple (aunque un poco m´s abstracto) si usamos
a
n´meros complejos para describir los campos oscilatorios.
u
La raz´n de esto es la famosa relaci´n de Euler:
o
o
iθ
1 2
1
1
x + x3 + x4 + . . .
2!
3!
4!
1
1
cos x = 1 − x2 + x4 + . . .
2!
4!
1
1
sin x = x − x3 + x5 − . . .
3!
5!
ex = 1 + x +
cos kz + sin kz =
2π
∆z ≡ λ (longitud de onda) =
.
k
IV.
Esta relaci´n es f´cil de demostrar si uno usa i2 = −1 y
o
a
la expansi´n en serie de potencias de las funciones expoo
nencial y sinusoidales:
(21)
= eiωt 1 + e−iα + e−i 2α
+ . . . + e−i (N −1)α
= eiωt
1 − e−i N α
1 − e−iα
,

9. 9
donde hemos usado el resultado de una suma geom´trica
e
en el ultimo paso. Ahora podemos factorizar las exponen´
ciales para encontrar la magnitud y fase de la expresi´n:
o
1 − e−iN α
1 − e−iα
eiωt
eiN α/2 − e−iN α/2
eiα/2 − e−iα/2
sin(N α/2)
= ei(ωt−(N −1)α/2)
.
sin(α/2)
= eiωt
e−iN α/2
e−iα/2
(22)
Tomando la parte real de esta expresi´n , llegamos a un
o
resultado que no habr´ sido f´cil deducir usando identiıa
a
dades trigonom´tricas:
e
cos(ωt) + cos(ωt − α) + cos(ωt − 2α)
+ . . . + cos(ωt − (N − 1)α)
sin(N α/2)
cos (ωt − (N − 1)α/2) .
=
sin(α/2)
V.
La suma infinita que representa a f (t) se llama serie de
Fourier.
Note que usamos exponenciales imaginarias en vez de
sinusoidales reales. Si f (t) es real, es f´cil demostrar que
a
∗
fn = f−n , con lo cual se puede convertir la suma a senos
y cosenos con n ≥ 0. Haga el ejercicio si lo desea.
EJERCICIO: Considere la funci´n peri´dica, de per´
o
o
ıodo
T , tal que f (t) = −A para t ∈ (−T /2, 0) y f (t) = A para
t ∈ (0, T /2).
• Haga un gr´fico de la funci´n f (t en el intervalo
a
o
t ∈ (−T, +T ). Note la simetr´ de la funci´n en
ıa
o
torno al origen t = 0.
• Calcule fn para todo n. Note los valores de n para
los cuales fn = 0.
• Convierta la suma de f (t) en sinusoidales reales.
Deber´ aparecer s´lo senos, no cosenos, debido a
ıan
o
la antisimetr´ de la funci´n en torno a t = 0.
ıa
o
FORMAS DE ONDA
En general, las ondas no son arm´nicas puras (de una
o
sola frecuencia), sino de formas de onda diversas. Sin embargo, toda forma de onda se puede descomponer como
una superposic´n lineal (suma) de ondas arm´nicas. Eso
o
o
es lo que se llama descomposici´n de Fourier. Si la forma
o
de onda es peri´dica, la suma es sobre un conjunto diso
creto de frecuencias (serie de Fourier).
• Use un programa como Mathematica o Maple para
graficar la serie de f (t), truncada al tercer o cuarto
t´rmino. Note la convergencia de la serie; note
e
que la convergencia no es muy buena en los puntos de discontinuidad (eso es de esperar, porque estamos tratando de reproducir una funci´n discono
tinua sumando funciones sinusoidales, que son continuas), pero converge bastante bien en las zonas
continuas.
B.
A.
Series de Fourier
Supongamos una funci´n f de una variable real continua
o
t, es decir
f : t −→ f (t),
t∈R
(23)
Para empezar a imaginar el ejemplo, podemos suponer
que t es el tiempo, pero lo que vamos a decir vale
matem´ticamente en forma abstracta para cualquier
a
funci´n f de una variable continua t. Supongamos que
o
f (t) es peri´dica en t, con per´
o
ıodo T . Esto significa que:
f (t + T ) = f (t),
para todo t.
(24)
Entonces, la funci´n f puede descomponerse como suma
o
infinita (una serie) de funciones sinusoidales de frecuencias m´ltiplos de ω0 = 2π/T :
u
∞
fn ein ω0 t ,
f (t) =
n=−∞
con fn
1
=
T
T /2
f (t) e
−T /2
−in ω0 t
dt ;
ω0 = 2π/T.
Transformada de Fourier
Las funciones que no son peri´dicas tambi´n se pueden
o
e
descomponer en funciones arm´nicas, pero esta vez el
o
per´
ıodo es “infinito”. En tal caso, la suma se convierte
en una integral (suma de Riemann) sobre una variable ω
(= ω0 n) continua:
f (t) =
1
2π
∞
˜
f (ω) eiω t dω,
−∞
∞
˜
con f (ω) =
f (t) e−iω t dt.
−∞
A la expresi´n de f (t) como integral sobre ω se le llama
o
integral de Fourier y a la funci´n f (ω) se le llama transo ˜
formada de Fourier de la funci´n f (t). Si f (t) es una
o
funci´n real, entonces se puede demostrar f´cilmente que
o
a
˜
˜
f (ω)∗ = f (−ω). Adem´s, en el caso de que f (−t) = f (t)
a
˜
(funci´n sim´trica respecto al origen t = 0), f (ω) resulta
o
e
ser real (y por lo anterior, tambi´n sim´trica).
e
e
EJERCICIO: Considere una funci´n f de la variable t tal
o
que f (t) = A para t ∈ (−T /2, +T /2), y es cero fuera de
ese intervalo.

10. 10
• Encuentre la transformada de Fourier. Compruebe
˜
que efectivamente f (ω) es real y sim´trica, debido
e
a que f (t) lo es.
˜
• Grafique f (t) y f (ω). Compruebe que mientras
m´s “ancha” sea f (t) (mayor sea T ), m´s angosta
a
a
˜
resulta ser f (ω) y viceversa.
C.
Descomposici´n de Fourier de una Onda
o
1
2π
∞
˜
f (k) eik x ,
En t = 0 el pulso tiene la forma f (x), seg´n Ec. 25. Al
u
pasar el tiempo, cada funci´n arm´nica adquiere una fase
o
o
−ωk t, de modo que la onda en tiempos posteriores a t = 0
queda seg´n Ec. 26. Si el medio no es dispersivo, entonces
u
ω = c k, donde c es independiente de k. Por lo tanto, lo
anterior queda:
ψ(x, t) =
Consideremos una onda ψ(x, t) que se propaga en direcci´n +x. Supongamos que en el instante t = 0, la
o
forma de la onda en el espacio corresponde a una cierta
funci´n f (x) (es decir, ψ(x, 0) = f (x)). En general podeo
mos descomponer la funci´n f (x) como una integral de
o
Fourier:
ψ(x, 0) = f (x) =
Note que si el medio no es dispersivo, el pulso no se deforma al propagarse. Repitamos el procedimiento:
(25)
−∞
1
2π
∞
˜
f (k) ei(k(x−ct)) dk.
(27)
−∞
Si comparamos con Ec. 25, vemos que esto no es otra cosa
que el mismo pulso, pero desplazado hacia adelante en c t
(es simplemente reemplazar x por (x − ct)):
ψ(x, 0) = f (x) ;
ψ(x, t) = f (x − ct).
Sin embargo, si c depende de k, el paso que nos lleva a
Ec. 27 no se puede hacer y el pulso se deformar´.
a
∞
˜
con f (k) =
f (x) e−ik x dx.
−∞
VI.
Note que en este caso no tenemos una funci´n del tiempo,
o
sino del espacio, pues nuestra variable abstracta t aqu´ se
ı
llama x y representa una posici´n espacial. Del mismo
o
modo nuestra variable transformada ω aqu´ se llama k
ı
y corresponde al n´mero de onda (algo an´logo a la freu
a
cuencia, pero en el espacio, no en el tiempo). Aparte de
esa analog´ la matem´tica es la misma que antes.
ıa,
a
Pensemos ahora qu´ pasa cuando agregamos la depene
dencia del tiempo de esta onda.
En el caso de una onda arm´nica que se propague hao
cia los x positivos, sabemos que la funci´n espacial
o
exp(ikx) cambia su fase con el tiempo, de acuerdo a
exp (i(kx − ωt)), donde ω ≡ ck.
Del mismo modo, la dependencia temporal de la onda
no-arm´nica aparece al cambiar la fase de cada onda
o
arm´nica con el tiempo:
o
ψ(x, t) =
1
2π
∞
˜
f (k) ei(k x−ωk t) dk.
ENERG´ EN LAS ONDAS
IA
´
ELECTROMAGNETICAS
A.
Energ´ el´ctrica
ıa e
En los cursos de electricidad y magnetismo se ha visto
que para cargar un condensador de capacitancia C desde
carga cero hasta un valor Q, se requiere hacer un trabajo el´ctrico U = Q2 /2C. Dicho trabajo se convierte en
e
energ´ almacenada en el condensador, que puede posıa
teriormente usarse. Esta energ´ se puede reexpresar en
ıa
t´rminos del campo el´ctrico E entre las placas como:
e
e
U=
Q2
1
= 0 E 2 × Vol.
2C
2
donde Vol. es el volumen del espacio entre placas, en el
que existe campo el´ctrico. As´ podemos atribuir la enere
ı,
g´ U al campo el´ctrico mismo: es la energ´ necesaria
ıa
e
ıa
para “construir” ese campo. De este modo,
(26)
−∞
˜
Lo importante de notar aqu´ es que f (k) es la misma
ı
expresi´n que encontramos en t = 0; el tiempo s´lo afecta
o
o
a la fase compleja.
Sin embargo, hay una sutileza: la frecuencia ωk en general puede depender de k. Esto ocurre cuando la velocidad
de la onda en el medio depende de k. En tal caso, se dice
que el medio es dispersivo.
Dicho medio se llama dispersivo, puesto que un pulso que
viaje por ese medio no mantendr´ su forma, sino que se
a
ir´ “dispersando” (algunas componentes arm´nicas viaa
o
jar´n m´s lento y otras m´s r´pido).
a
a
a a
(28)
uE =
1
2
0E
2
(29)
es la densidad de energ´ (energ´ por unidad de voluıa
ıa
men) asociada al campo el´ctrico, localmente en cada
e
punto del espacio donde el campo tenga un valor E.
B.
Energ´ magn´tica
ıa
e
En forma similar, se puede asociar energ´ a la “consıa
trucci´n” de un campo magn´tico, mediante el trabajo
o
e
que se requiere para hacer pasar una corriente I por un

11. 11
solenoide, partiendo desde una corriente cero. Para un
solenoide de inductancia L, dicho trabajo es U = LI 2 /2.
Igual que en el caso el´ctrico, esta energ´ se puede exe
ıa
presar en t´rminos del campo magn´tico B que aparece
e
e
en el espacio interior del solenoide:
1 2
1 2
LI =
B × Vol.
2
2µ0
El vector Intensidad (densidad de flujo), cuya magnitud
es I, se llama usualmente el vector de Poynting, y se
puede expresar como:
S=
0c
2
E × B.
(34)
(30)
EJERCICIO: Compruebe que el m´dulo del vector de
o
Poynting es efectivamente la intensidad uem c.
Nuevamente, Vol. es el volumen del espacio interior del
solenoide, en el que existe el campo magn´tico, y as´
e
ı,
podemos definir la densidad de energ´ asociada al campo
ıa
magn´tico,
e
EJERCICIO: La radiaci´n solar en la superficie de la
o
Tierra tiene una intensidad de aprox. 1,5 kWatt/m2 .
U=
uB =
1 2
B ,
2µ0
(31)
cantidad definida localmente en cada punto del espacio
en el que el campo magn´tico tenga el valor B.
e
EJERCICIO: Determine la relaci´n entre la densidad
o
de energ´ el´ctrica y magn´tica en una onda electroıa e
e
magn´tica.
e
Soluci´n:
o
• Estime el valor R.M.S. del campo el´ctrico (la ra´
e
ız
cuadrada del valor promedio de E 2 ).
• Determine la potencia solar total recibida por la
superficie de la Tierra en cada instante. (Cuidado:
lo que interesa es el ´rea transversal al flujo, no la
a
superficie de la esfera terrestre).
• siendo que cada litro de bencina libera en la combusti´n aprox. 10 MegaJoule de energ´ y que el
o
ıa,
precio del litro es aprox. 1 d´lar, estime a cu´ntos
o
a
dolares por cada segundo equivale la potencia total
que recibe la Tierra desde el Sol.
Sabemos que en una onda, E y B est´n relacionados por
a
√
E = cB, donde c = 1/ µ0 0 es la velocidad de la luz.
De esto se deduce que:
uB =
VII.
1 2
1
1 E2
= 0 E 2 = uE .
B =
2µ0
2µ0 c2
2
(32)
Por lo tanto, en la onda electromagn´tica, las densidades
e
de energ´ el´trica y magn´tica son iguales entre s´ localıa e
e
ı,
mente en cada punto del espacio, y en cada instante de
tiempo (cuando una es m´xima, la otra tambi´n; cuando
a
e
una es cero, la otra tambi´n).
e
´
ONDAS PLANAS Y ESFERICAS
A diferencia de las ondas en una cuerda u otro medio de
una sola dimensi´n espacial, las ondas electromagn´ticas
o
e
se propagan en el espacio tridimensional. Esta diferencia
es simple pero muy importante de comprender: los campos electromagn´ticos no se propagan a lo largo de una
e
l´
ınea, sino por el volumen del espacio. Esto nos obliga a
estudiar un poco de geometr´
ıa.
A.
C.
Fase y Frentes de Onda
Intensidad y Vector de Poynting
A medida que la onda avanza por el espacio, la energ´
ıa
se transporta con ´sta: la onda viajera conlleva un flujo
e
de energ´
ıa.
Se define la intensidad en la onda como la densidad de
flujo de energ´ (la cantidad de energ´ que cruza una
ıa
ıa
secci´n transversal unitaria por unidad de tiempo). Esto
o
es an´logo a la densidad de corriente J, en el caso de flujo
a
de carga (salvo que aqu´ no es carga sino energ´ lo que
ı
ıa
fluye).
Siendo uem = 0 E 2 la densidad de energ´ (energ´ por
ıa
ıa
unidad de volumen), y siendo c la velocidad del flujo,
entonces la Intensidad es:
I = uem c.
(33)
En una onda arm´nica que se propaga por el espacio,
o
en cada punto del espacio los campos oscilan sinusoidalmente. Esto significa que en cada punto del espacio y
en cada instante dado, la onda tiene una cierta fase de
oscilaci´n (matem´ticamente, la fase es el argumento de
o
a
la funci´n sinusoidal) .
o
Al tratarse de una oscilaci´n arm´nica, en cada punto del
o
o
espacio la fase cambia continuamente (de hecho linealmente) con el tiempo, en la forma φ(t) = ωt.
Pero eso no es todo: trat´ndose de una onda viajera (que
a
se propaga por el espacio), si vemos a la onda en el espacio
en un instante dado, veremos que la fase tambi´n cambia
e
continuamente en el espacio. Entre dos puntos infinitesimalmente cercanos, la diferencia de fase tambi´n es ine
finitesimalmente peque˜a. Podemos entonces describir la
n

12. 12
fase de la onda en el espacio y tiempo como una funci´n
o
continua
φ(r, t).
(35)
Ahora recordemos un poco de geometr´ y funciones en
ıa
el espacio. Consideremos un instante fijo tF . La funci´n
o
continua φ(r, tF ) define el valor de la fase en cada punto
del espacio. El valor de la fase va cambiando continuamente de un punto a otro. Sin embargo, hay muchos
puntos donde la fase tiene un mismo valor. La ecuaci´n:
o
φ(r, tF ) = φ0
(36)
define todos los puntos r del espacio para los cuales la
fase tiene un mismo valor, φ0 . Estos puntos forman una
superficie, pues de las tres coordenadas de r, s´lo dos
o
quedan independientes.
Si tomamos un valor de fase levemente diferente, φ0 +∆φ,
la superficie definida estar´ levemente desplazada de la
a
anterior, de modo tal que en ning´n punto puede tocarse
u
con la superficie anterior (la funci´n no podr´ tener, en
o
ıa
el mismo punto r, dos valores distintos a la vez, φ0 y
φ0 + ∆φ).
fase φ+2π
fase φ+2π
FIG. 10: Frentes de onda (se muestra s´lo un trozo de cada
o
superficie), o superficies en las cuales la fase de la onda tiene
un valor dado, m´s un m´ltiplo entero de 2π. El vector indica
a
u
la direcci´n de propagaci´n de la onda en esa zona del espacio.
o
o
Si estoy en un frente de onda y avanzo una distancia λ
sobre la misma superficie, la fase no cambia. Si avanzo
en alguna direcci´n cualquiera, la fase tampoco cambiar´
o
a
en 2π, sino en general en un valor menor. S´lo hay una
o
direcci´n en la cual la fase cambiar´ en 2π: la direcci´n de
o
a
o
m´ximo cambio es perpendicular a la superficie. Esta es
a
la direcci´n del gradiente. Una buena forma de entender
o
esto es darse cuenta de lo siguiente:
• Como la funci´n φ(r) es suave, la superficie φ(r) =
o
φ0 tambi´n lo es. Por lo tanto si uno toma un
e
trozo suficientemente peque˜o de la superficie, el
n
trozo ser´ muy parecido a un plano.
a
• Al incrementar la constante φ0 en un peque˜o valor
n
φ0 + , el trocito de superficie ser´ otro trozo plano,
a
aproximadamente paralelo al anterior.
FIG. 9: Dos frentes de onda consecutivos (se muestra s´lo un
o
trozo de cada superficie). Se indica la fase de la onda en cada
uno de los frentes.
As´ si partimos de un punto en el primer plano y avanı,
zamos una peque˜a distancia recta hasta llegar al sen
gundo plano, la distancia m´s corta ocurre en la direcci´n
a
o
perpendicular al plano: ´sa es la direcci´n de gradiente
e
o
(m´xima raz´n de cambio de la funci´n ante desplazaa
o
o
mientos en el espacio).
Estas superficies de igual fase se llaman frentes de
onda.
Si dibujamos la superficie donde la fase es un valor φ0
dado, y todas las dem´s superficies donde la fase sea este
a
mismo valor m´s un m´ltiplo de 2π, nos quedar´ una
a
u
a
figura como de capas de cebolla, donde la separaci´n eno
tre capas ser´ justamente la longitud de onda λ. Piense
a
por qu´.
e
Note que estamos en el espacio tridimensional. Si estuvi´ramos en una cuerda, al avanzar una distancia λ la
e
fase cambiar´ en 2π. Sin embargo, en el espacio tridiıa
mensional, el cambio de fase no depende s´lo de la diso
tancia desplazada, sino tambi´n de la direcci´n. Veamos
e
o
eso.
B.
Vector N´ mero de Onda
u
Hemos definido los frentes de onda como aquellas superficies donde la fase tiene un valor fijo, o bien ese valor
fijo, m´s un m´ltiplo de 2π.
a
u
Complementariamente, definimos el vector n´ mero de
u
onda en cada punto del espacio, a un vector k normal al
frente de onda en ese punto y de magnitud igual a 2π/λ:
|k| ≡ k =
2π
λ
(37)

13. 13
La direcci´n de k es aqu´lla en la que la fase cambia m´s
o
e
a
r´pido ante desplazamientos. (direcci´n del gradiente de
a
o
la fase).
(agregar figura)
Para una onda en una cuerda definida a lo largo del eje
X, al desplazarse a lo largo de la cuerda en una cantidad
∆x, la fase cambia en k∆x.
Para una onda en el espacio, en cambio, debemos considerar un desplazamiento vectorial ∆r. Dicho desplazamiento partir´ desde un frente de onda y llegar´ a otro.
a
a
Si ∆r es suficientemente peque˜o, en ese entorno los dos
n
frentes de onda ser´n aproximadamente planos paralea
los. Como en cada plano la fase es igual, la diferencia de
fase ante el desplazamiento ∆r no depende de los puntos
espec´
ıficos donde empieza o termina en vector desplazamiento, sino s´lo de la proyecci´n perpendicular a los
o
o
planos:
∆φ = k · ∆r.
C.
(38)
Ondas Planas y Esf´ricas
e
Debido a la expresi´n anterior, que indica c´mo cambia la
o
o
fase en el espacio, en un instante dado, podemos contruir
la expresi´n general para una onda arm´nica:
o
o
E(r, t) = E0 (r)ei(k·r−ωt) .
(39)
Debemos hacer notar que, en general, el vector k es una
funci´n del espacio, al igual que la amplitud E0 . Aunque
o
esto parece razonable, en rigor, hay que demostrar que la
expresi´n sea efectivamente una soluci´n de la ecuaci´n
o
o
o
de onda. No haremos aqu´ ese desarrollo. Sin embargo
ı
existen configuraciones de ondas que se pueden obtener
f´cilmente usando argumentos de energ´ sin recurrir a
a
ıa,
la ecuaci´n de onda: estos son los casos de las ondas
o
planas y esf´ricas, que describimos a continuaci´n.
e
o
Cuando los frentes de onda son planos (paralelos, por
cierto, porque no pueden tocarse nunca, y separados consecutivamente en λ), se habla de una onda plana.
Similarmente, se habla de una onda esf´rica cuando
e
los frentes de onda son casquetes esf´ricos conc´ntricos
e
e
(separados radialmente, por supuesto, cada λ).
Una onda esf´rica es lo que se produce cuando la fuente
e
de emisi´n es puntual y emite igual en todas direcciones.
o
Una onda plana es una buena aproximaci´n a la forma de
o
la onda a una distancia muy grande de la fuente emisora
(muy grande en comparaci´n con el tama˜o de la zona
o
n
de inter´s).
e
Un ejemplo de onda plana es una onda que depende
s´lo de una coordenada cartesiana espacial (la fase no
o
depende de las otras dos coordenadas espaciales). Por
ejemplo, una onda arm´nica que se desplaza en el espao
cio en direcci´n Z es:
o
E(r, t) = E0 ei(kz−ωt) ,
para todo x, y.
(40)
Claramente, como la fase de la onda no depende de x ni
de y, los frentes de onda son planos paralelos al plano
XY (perpendiculares al eje Z) en todo el espacio.
Note que la amplitud de la onda es una cosntante, independiente del punto del espacio. Esto es consistente con
la conservaci´n de la energ´ el flujo de energ´ ocurre
o
ıa:
ıa
uniformemente en direcci´n Z, sin acumularse ni desparo
ramarse, por lo cual la densidad de energ´ (promedio en
ıa
un ciclo temporal) debe ser uniforme.
En una onda esf´rica, en cambio, la fase s´lo depende
e
o
de la distancia a la fuente puntual. Usando coordenadas
esf´ricas, esto significa que la fase depende de la coore
denada radial r, pero no de los ´ngulos θ o φ. Por lo
a
mismo, el vector k apunta radialmente hacia afuera, y
por lo tanto no tiene la misma direcci´n en todo el espao
cio, a diferencia de una onda plana.
Adicionalmente, debido a la conservaci´n de la energ´ la
o
ıa,
amplitud de la oscilaci´n en cada punto tambi´n depende
o
e
de la distancia radial:
E(r, t) = A(r)ei(kr−ωt) ,
para todo θ, φ.
(41)
En rigor, la onda esf´rica es una soluci´n de la ecuaci´n
e
o
o
de onda, de modo que la amplitud A(r) aparece autom´ticamente cuando uno soluciona la ecuaci´n usana
o
do coordenadas esf´ricas y condiciones de contorno de
e
simetr´ esf´rica.
ıa e
Sin embargo, el argumento de energ´ es simple y eleıa
gante: al propagarse la onda radialmente hacia afuera,
en estado estacionario (promediando sobre el per´
ıodo de
oscilaci´n) no hay una tasa de acumulaci´n de energ´
o
o
ıa
en ninguna parte, de modo que la potencia promedio
que cruza un casquete esf´rico de radio dado, m´s tarde
e
a
cruzar´ otro de radio mayor. Como la potencia es el proa
ducto de la intensidad por el ´rea transversal (en este
a
caso, el ´rea de un casquete esf´rico de radio r), tenemos
a
e
que:
Potencia = I × (4πr2 ).
(42)
Como hemos dicho, esta potencia no depende de r, por lo
cual la intensidad I debe depender de r en forma inversa
a la dependencia del ´rea 4πr2 , es decir,
a
I(r) =
Const.
.
r2
(43)
Como la intensidad s´lo depende del campo, y en la
o
forma I ∼ E 2 , entonces la amplitud del campo en la

14. 14
onda esf´rica debe depender de r en la forma:
e
A(r) =
Const.
.
r
(44)
donde A0 es una constante, con unidades de campo
el´ctrico por distancia, es decir, V olt u otra unidad
e
equivalente.
La onda esf´rica, por lo tanto, obedece la expresi´n:
e
o
E(r, t) =
A0 i(kr−ωt)
e
,
r
para todo θ, φ,
(45)
[1] Se agradece revisi´n del texto a Andr´s Ulloa (estudiante
o
e
Ing.C. Electr´nica).
o
[2] Paul Tipler, Physics for Scientists and Engineers, third
ed., extended, Worth Publishers, 1991. Cap´
ıtulo 33: Interference and Diffraction.
[3] Paul Tipler, F´
ısica para la Ciencia y la Tecnolog´ cuarta
ıa,
ed., editorial Revert´, 2001. Cap´
e
ıtulo 35: Interferencia y
Difracci´n.
o
[4] D. Halliday, R. Resnick and K. Krane, Physics, fourth ed.,
John Wiley & Sons, Inc., 1992. Cap´
ıtulo 45: Interference;
cap´
ıtulo 46: Diffraction; cap´
ıtulo 47: Gratings and Spectra.