1. Cambios de variable para integrales trigonom´etricas
1) Si R(− sen x, cos x) = −R(sen x, cos x) (integrando impar en seno), se hace cos x = t
con lo que
sen x =
√
1 − t2 ; − sen x dx = dt =⇒ dx =
−dt
√
1 − t2
Ejemplo: sen3
x cos2
x dx = sen2
x
1−t2
cos2
x sen x dx
−dt
= − (1 − t2
)t2
dt.
2) Si R(sen x, − cos x) = −R(sen x, cos x) (integrando impar en coseno), se hace sen x = t
con lo que
cos x =
√
1 − t2 ; cos x dx = dt =⇒ dx =
dt
√
1 − t2
Ejemplo: (cos3
x + cos x) sen2
x dx = (cos2
x + 1
2−t2
) sen2
x cos x dx
dt
= (2 − t2
)t2
dt.
3) Si R(− sen x, − cos x) = R(sen x, cos x), se hace tan x = t , con lo que
cos x =
1
√
1 + t2
; sen x =
t
√
1 + t2
; (1 + tan2
x) dx = dt =⇒ dx =
dt
1 + t2
Ejemplo:
cos2
x
sen4
x
dx =
dt
t4 .
4) En los restantes casos, se hace tan
x
2
= t , con lo que
cos
x
2
=
1
√
1 + t2
; sen
x
2
=
t
√
1 + t2
=⇒ sen x =
2t
1 + t2 ; cos x =
1 − t2
1 + t2
1 + tan2 x
2
d
x
2
= dt =⇒ dx =
2dt
1 + t2
Ejemplo:
2 + sen x
2 + cos x
dx =
1 + t + t2
(3 + t2
)(1 + t2
)
dt.
5) Cambio de productos en sumas. A partir de
cos(x + y) = cos x cos y − sen x sen y
cos(x − y) = cos x cos y + sen x sen y
sen(x + y) = sen x cos y + cos x sen y
sen(x − y) = sen x cos y − cos x sen y
se obtiene
sen x sen y =
cos(x − y) − cos(x + y)
2
cos x cos y =
cos(x − y) + cos(x + y)
2
sen x cos y =
sen(x − y) + sen(x + y)
2