Este documento explica los conceptos básicos de la trigonometría. Introduce los triángulos semejantes y rectángulos, el teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas como relaciones entre los lados y ángulos de un triángulo. Incluye ejemplos para ilustrar cómo aplicar estos conceptos al cálculo de alturas y distancias desconocidas.
The use of 3D simulation technology to improve health and safety performance ...Stephen Au
As building construction projects become more complex with shorter time to market, 3D design becomes a key driver for success. By adopting the leading 3D, BIM, ITEM, Mobile and Cloud computing technology, an integrated collaboration platform allows owners, architects, engineers, constructors and sales & marketing working together at any place and any time to get the instant correct information with controlled business process. This can greatly improve design innovation, productivity, safety and cost effectiveness under the GREEN design-build-sell-maintain lifecycle. This seminar will be more focus on how to use BIM information to create the 3D construction method statement and 3D on line safety training manual and courses. Some examples of applications of 3D designs in mitigating safety hazards in the construction and manufacturing industries will be highlighted in this seminar.
The role of civil society is vital for protecting children from vested corporate interests. For this knowledge about popular interventions and their pros and cons is vital.
Trabajo realizado a la Universidad UAPA, asignado por la maestra Solanlly Martínez sobre el tema Recursos y Materiales Informáticos, desarrollando el tema de la Planificación Funciones trigonométricas
Today is Pentecost. Who is it that is here in front of you? (Wang Omma.) Jesus Christ and the substantial Holy Spirit, the only Begotten Daughter, Wang Omma, are both here. I am here because of Jesus's hope. Having no recourse but to go to the cross, he promised to return. Christianity began with the apostles, with their resurrection through the Holy Spirit at Pentecost.
Hoy es Pentecostés. ¿Quién es el que está aquí frente a vosotros? (Wang Omma.) Jesucristo y el Espíritu Santo sustancial, la única Hija Unigénita, Wang Omma, están ambos aquí. Estoy aquí por la esperanza de Jesús. No teniendo más remedio que ir a la cruz, prometió regresar. El cristianismo comenzó con los apóstoles, con su resurrección por medio del Espíritu Santo en Pentecostés.
ACERTIJO DE CARRERA OLÍMPICA DE SUMA DE LABERINTOS. Por JAVIER SOLIS NOYOLAJAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA, crea y desarrolla ACERTIJO: «CARRERA OLÍMPICA DE SUMA DE LABERINTOS». Esta actividad de aprendizaje lúdico que implica de cálculo aritmético y motricidad fina, promueve los pensamientos lógico y creativo; ya que contempla procesos mentales de: PERCEPCIÓN, ATENCIÓN, MEMORIA, IMAGINACIÓN, PERSPICACIA, LÓGICA LINGUISTICA, VISO-ESPACIAL, INFERENCIA, ETCÉTERA. Didácticamente, es una actividad de aprendizaje transversal que integra áreas de: Matemáticas, Neurociencias, Arte, Lenguaje y comunicación, etcétera.
Las capacidades sociomotrices son las que hacen posible que el individuo se pueda desenvolver socialmente de acuerdo a la actuación motriz propias de cada edad evolutiva del individuo; Martha Castañer las clasifica en: Interacción y comunicación, introyección, emoción y expresión, creatividad e imaginación.
2. Trigonometría . Teoría
2
MATEMÁTICAS
TEMA 8
1.- Los triángulos semejantes
Decimos que dos triángulos son semejantes cuando sus lados correspondientes son
proporcionales y sus ángulos son iguales.
Para saber si estos dos triángulos son semejantes, hemos de analizar sus lados y sus
ángulos.
Si sus lados son proporcionales, se han de cumplir estas proporciones:
Si los triángulos son semejantes, se han de cumplir estas igualdades entre los ángulos:
1.1.- Aplicaciones de la semejanza
La semejanza de figuras, en especial la de triángulos, nos ayuda a resolver numerosos
problemas originados en situaciones cotidianas como:
El cálculo de la altura de un objeto vertical a partir de su sombra.
El cálculo de la altura de un objeto vertical con un espejo.
Vamos a resolver un caso de imagen reflejada, para ilustrar la aplicación de la semejanza.
Rosa ve reflejada en un espejo la parte más alta de un edificio. La altura de sus ojos desde el
suelo es de 1,6 m y el espejo se encuentra a una distancia de 3 m de sus pies y a 15,6 m del
edificio. ¿Cuál es la altura del edificio?.
Para resolver este problema, hacemos primero un esquema con todos los valores:
3. Trigonometría . Teoría
3
MATEMÁTICAS
TEMA 8
Observamos que los dos triángulos son semejantes y, por tanto, sus lados son
proporcionales. Escribimos las relaciones de proporcionalidad derivadas de la semejanza entre
los dos triángulos:
2.- Los triángulos rectángulos
Un triángulo es rectángulo si tiene un ángulo de 90°.
Observa este triángulo rectángulo, con un ángulo de 90°.
Los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos, y el lado opuesto al ángulo recto es
la hipotenusa del triángulo.
Dos triángulos rectángulos son semejantes si:
Tienen un ángulo agudo igual.
Sus catetos son proporcionales.
El teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras afirma que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo
es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
4. Trigonometría . Teoría
4
MATEMÁTICAS
TEMA 8
Observa los elementos de un triángulo rectángulo y la fórmula del teorema de Pitágoras.
Las aplicaciones del teorema de Pitágoras
Calcula la altura del siguiente triangulo isósceles:
Toma nota de los valores de los lados para calcular la altura de este triánguloisósceles.
Así pues, la altura del triángulo es de 3,61 cm.
3.- Las razones trigonométricas
La trigonometría establece relaciones matemáticas entre las longitudes de los lados de un
triángulo y las amplitudes de sus ángulos, de manera que es posible calcular unas a partir de
los datos de las otras.
El estudio de las razones trigonométricas se basa en la semejanza de triángulos. Decimos
que dos triángulos son semejantes entre sí cuando sus ángulos son iguales y sus lados
homólogos son proporcionales.
En el caso de los triángulos rectángulos, son semejantes cuando tienen un ángulo agudo igual:
Los triángulos ABC, A′B′C y A″B″C son semejantes entre sí.
5. Trigonometría . Teoría
5
MATEMÁTICAS
TEMA 8
Por tanto, podemos establecer razones o cocientes entre los lados de los triángulos
rectángulos semejantes. Estas relaciones se denominan razones trigonométricas y son
constantes si el ángulo se mantiene constante, sea como sea el triángulo rectángulo.
Razones trigonométricas entre los lados de los triángulos semejantes ABC, A′B′C y A″B″C.
Dado un triángulo rectángulo, se llaman razones trigonométricas de un ángulo agudo α a
los diversos cocientes entre las longitudes de los lados del triángulo:
Los lados del triángulo rectángulo se nombran en función de su ubicación respecto al ángulo α:
el lado a es la hipotenusa, el lado b es el cateto opuesto y el lado c es elcateto adyacente.
El seno de α es el cociente entre la longitud del cateto opuesto al ángulo α y la
longitud de la hipotenusa. De forma abreviada se escribe sen α.
.
El coseno de α es el cociente entre la longitud del cateto adyacente al ángulo α y la
longitud de la hipotenusa. De forma abreviada, se escribe cosα.
6. Trigonometría . Teoría
6
MATEMÁTICAS
TEMA 8
.
La tangente de α es el cociente entre el cateto opuesto al ángulo α y el cateto
adyacente al mismo. De forma abreviada, se escribe: tg α.
.
Las relaciones entre las razones trigonométricas de un
ángulo
Las razones trigonométricas de un ángulo no son independientes, sino que están
relacionadas entre sí. El conocimiento de las relaciones entre las razones
trigonométricas de un ángulo facilita el cálculo de las demás razones trigonométricas a
partir de una de ellas.
Las relaciones trigonométricas fundamentales son las siguientes:
sen2
α + cos2
α = 1
tg α = sen α/cos α
1 + tg2
α = 1/cos2
α
Ejemplo:
Queremos calcular la altura de una torre, sabiendo que cuando nos separamos 30 metros de
su base, vemos la punta del campanario bajo un ángulo de 60°.
Resolvemos el ejercicio siguiendo estos pasos:
1. Identificamos los datos. Para ello, hacemos un esquema y vemos que:
Distancia que nos separa de la base = cateto adyacente al ángulo de 60°.
7. Trigonometría . Teoría
7
MATEMÁTICAS
TEMA 8
Dibujamos un esquema del problema y, al lado, el triángulo rectángulo que esquematiza la
situación.
.
2. Identificamos las incógnitas:
Altura de la torre = cateto opuesto al ángulo de 60°.
3. Utilizamos una de las razones trigonométricas para calcular uno de los lados del triángulo
rectángulo (el lado b, que coincide con la altura de la torre):
El resultado es que la torre tiene una altura de 51,96 m.