Topografia+minera 001

UNIVERSIDAD DE LA SERENA
DEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para Ingeniería
Waldo Valencia Cuevas – Académico 1
TOPOGRAFÍA PARA INGENIERÍA
Marzo 2008

Capítulo 1 Conceptos y generalidades.
1.1. Definición de topografía.
Tradicionalmente se ha definido a la topografía como una ciencia aplicada,
encargada de determinar la posición relativa de puntos sobre la Tierra y la
representación en un plano de una porción de la superficie terrestre.
En un sentido mas general, se puede definir como la disciplina que abarca
todos los métodos, para reunir información de partes físicas de la Tierra y sus
alrededores, usando para ello los métodos clásicos de medición en terreno, la
topografía aérea (Anexo A) y la topografía por satélite (Anexo B).
1.1.1. Representación de un punto en topografía.
Un punto en el espacio puede representarse en 3D o en 2D, a través de los
sistemas cartesianos tri y bidimensionales respectivamente.
En 3D o sistema cartesiano tridimensional.
Figura 1: Sistema cartesiano tridimensional.
P(X;Y;Z): coordenadas tridimensionales del punto P, expresadas en metros.
P'(X;Y) : coordenadas bidimensionales del punto P, expresadas en metros.
Ejemplo: P(X;Y;Z) = P(5000; 5000; 500) Este trío de puntos nos indica que las
coordenadas respectivas del punto P son:
XP = 5000 m (coordenada este de P).
YP = 5000 m (coordenada norte de P).
ZP = 500 m (cota o altitud de P).
P(X;Y;Z
P'(X;Y)
X (Este)
Z (Cota o Altitud )
Y(Norte)
XP
YP
ZP
XP : Proyección Este de P.
YP : Proyección Norte de P.
ZP : Cota o altitud de P.

La diferencia entre cota y altitud, radica en que la primera está referida a un
plano de referencia cualquiera, mientras que la altitud lo está al nivel medio del
mar.
En 2D o sistema cartesiano bidimensional.
Figura 2: Sistema cartesiano bidimensional.
1.1.2. Operaciones topográficas.
En los métodos topográficos corrientes de medición en terreno, no se
considera la verdadera forma de la Tierra, solo se utilizan modelos aproximados a
la realidad, entre las prescindencias esta se considera plana, la dirección de la
plomada entre dos puntos sería paralela y los trabajos se desarrollan en
extensiones relativamente pequeñas, hechas estas consideraciones, cabe destacar
que se distinguirían tres operaciones topográficas importantes, el levantamiento, el
replanteo y el control.
1.1.2.1. Levantamiento topográfico.
Conjunto de operaciones que tienen por objeto determinar la posición de
puntos en el espacio y su representación en un plano, el conjunto de operaciones
incluye:
• Selección del método de levantamiento (poligonación, radiación, triangulación,
intersección inversa, perfiles, contorno, etc.)
• Elección del instrumental a utilizar (estación total con jalón y prisma, teodolito
con mira, teodolito con cinta, teodolito-distanciómetro con jalón y prisma, nivel
de ingeniero con mira, etc.)
• Identificar y ubicar posibles vértices de apoyo (red geodésica nacional, red
geodésica de nivelación nacional, red G.P.S., red local, etc.)
• Realizaciones de mediciones en terreno (distancia horizontal, vertical,
direcciones de líneas, ángulos) en forma directa o indirectamente.
• Registro de datos en forma manual (tiende a desaparecer), o automatizada
(tendencia actual).
Y(Norte)
X(Este)
P(X,Y)
YP
YP: Proyección Norte de P.
XP: Proyección Este de P.
XP

• Cálculo y procesamiento de datos por procedimientos manuales (tiende a
desaparecer), o automatizada ( a través de software topográfico).
• Elaboración de planos por medios manuales (tiende a desaparecer) y
automatizados ( a través de software topográfico y plotter).
1.1.2.2. Replanteo.
Una vez realizado el levantamiento y teniendo como resultado un plano
topográfico, los ingenieros o planificadores realizan proyectos sobre ellos, que hay
que materializar en el terreno, por lo tanto, la operación de replanteo consiste en
volver a terreno a ubicar cada uno de los elementos geométricos previamente
definidos en el proyecto. Esta operación contempla un replanteo planimétrico
(consistente en ubicar en el terreno en 2D la posición de un punto, al medir la
distancia horizontal y el ángulo horizontal horario entre la estación de ubicación del
instrumento, la estación de calaje y el punto a replantear) y un replanteo
altimétrico ( consistente además en ubicar en el terreno la diferencia de nivel
sobre o bajo la cota de terreno, para completar la posición en 3D del punto a
materializar). Esta operación de replanteo general incluye la colocación de hitos,
monolitos, marcas, crucetas, etc. para delinear, delimitar y guiar trabajos de
ingeniería.
1.1.2.3. Control.
Conjunto de operaciones cuya finalidad es constatar o fiscalizar en el
terreno la materialización de las obras de ingeniería, en el caso de una obra vial no
solo se fiscaliza las dimensiones y componentes de la loza o carpeta de asfalto, con
sus respectivos testigos y especificaciones técnicas, sino también los radios de
curvatura, desarrollos, las posiciones de los principios y fin de curvas, el peralte, el
bombeo, y demás elementos geométricos de las curvas verticales y horizontales.
Por otro lado en la propiedad minera, el inspector debe chequear la posición o
amarre del hito de mensura a la red geodésica nacional, o a la red G.P.S, las
correctas dimensiones de los hitos, y el método topográfico o geodésico utilizado.
En general es según la actividad desarrollada y el organismo estatal con facultades
de georreferenciación, lo que el inspector debe realizar.
1.2. Relación de la topografía con otras disciplinas y ciencias.
La topografía (clásica de medición en terreno, aérea y satelital) se relaciona
con diversas ciencias tales como, las ciencias exactas, las ciencias naturales, las
ciencias de la tierra y un sin número de disciplinas, esta relación tiene que ver
desde los fundamentos matemáticos, ópticos, teóricos, de proyecciones
cartográficas, hasta con los elementos y soluciones químicas que se requieren
para rebelar las imágenes fotográficas de los levantamientos aerofotogramétricos,
como también la tecnología aplicada en la topografía clásica, en los sistemas de
posicionamiento global por satélite y la que se usa en las imágenes satelitales.

En este texto abordaremos la estrecha relación de la topografía con la
geodesia y la cartografía.
1.2.1. Definición de geodesia.
La geodesia es la ciencia que trata de las investigaciones de la forma y
dimensiones de la superficie terrestre, incluyendo su campo gravitacional exterior y
el posicionamiento de puntos sobre la superficie de la Tierra.
Figura 3: El geoide y un elipsoide geocéntrico.
La superficie de la Tierra, tal como la conocemos, dista mucho de ser
uniforme, sin embargo los océanos son bastante mas uniforme (aún cuando
imágenes satelitales indican que también en el mar se observan valles y
montañas), pero la superficie o topografía de las masas de tierra muestran
grandes variaciones verticales entre montañas y valles, lo cual hace imposible
expresar la forma sobre un área de gran tamaño, mediante un modelo
razonablemente simple; esto se puede simplificar al remover la masa continental
sobre el nivel medio del mar, resultando una superficie con algo de realidad física,
que se denomina geoide, figura que no posee una expresión matemática, pero
que corresponde a una superficie equipotencial del campo de gravedad de la
Tierra que mejor se aproxima al nivel medio del mar (nmm).
Si la Tierra tuviera una densidad uniforme, la topografía terrestre no
existiría, y el geoide tendría la forma de un elipsoide achatado, centrado sobre el
centro de masa de la Tierra; sin embargo donde exista una deficiencia de masa, el
geoide se undirá por debajo del elipsoide promedio, y al revés donde exista un
exceso de masa, el geoide se levantará por sobre el elipsoide medio, a esta
desviación se le conoce como ondulación o altura geoidal que alcanza en algunas
zonas mas o menos 100 m. Estas variaciones han sido determinadas utilizando
datos de satélites ópticos y dópler, mediciones gravimétricas, redes geodésicas,
poligonales de alta precisión, mediciones astronómicas y adoptando previamente
un elipsoide con parámetros establecidos.
Elipsoide
Geoide
Ondulación geoidal

Para realizar cálculos de posición, distancia, direcciones, etc. sobre la
superficie terrestre, es necesario tener algún marco de referencia matemático, en
nuestro caso el elipsoide achatado es el mejor modelo matemático, dado que es
una figura geométrica relativamente simple y que se ajusta al geoide.
Las naciones o grupos de naciones han escogido diferentes elipsoides de
referencia, los cuales calzan en forma adecuada con un área particular del geoide,
y al punto donde la altura geoidal es mínima o cero, es decir, donde coincide el
elipsoide de referencia con el geoide se le denomina datum, y para su
identificación, se le agrega el nombre del lugar geográfico y el país donde se
origina.
La expresión del elipsoide como modelo matemático de la Tierra es:
1/// 222222
=++ czbyax si ⇒= 0z 1// 2222
=+ byax , correspondiendo a la
ecuación de la elipse, donde a representa el semieje mayor o ecuatorial y b el
semieje menor o polar.
Los parámetros utilizados para definir un elipsoide de revolución son ( ba, )
o ( fa, ) y e , donde abaf /)( −= “achatamiento” y e = 2
)/(1 ab− = 2
2 ff −
excentricidad”.
1.2.1.1. Representación de un punto en geodesia.
Un punto en geodesia se representa en el sistema de coordenadas
geográficas, cuyos orígenes son el paralelo del Ecuador y el meridiano de
Greenwich, que permiten fijar la posición de un punto sobre el elipsoide, por medio
de la latitud (ϕ) y longitud (λ).
Figura 4: Coordenadas geográficas de un punto P.
Polo Norte
Polo Sur
Meridiano Greenwich
Ecuador
P(ϕ ,λ)
Hemisferio Norte
Hemisferio Sur
ϕ
λ
Paralelo del punto PMeridiano del punto P

La latitud ϕ de un punto, es el ángulo que se genera entre la normal al
elipsoide a través del punto y el plano ecuatorial, toma el valor cero grado
sexagesimal en el Ecuador y aumenta hacia los polos hasta un valor máximo de 90
grados sexagesimales en el Polo Norte y 90 grados sexagesimales en el Polo sur.
La longitud λ de un punto, es el ángulo que se forma entre la elipse
meridiana que pasa a través de Greenwich y la elipse meridiana que contiene al
punto; se mide a lo largo del Ecuador desde el meridiano de Greenwich 180 grados
sexagesimales en dirección Este y 180 grados en dirección Oeste.
Figura 5: Las tres superficies, Topografía superficie terrestre, Geoide y Elipsoide.
1.2.2. Definición de cartografía.
La cartografía es la disciplina que estudia la representación de la superficie
terrestre en cartas o mapas topográficos, a través de proyecciones cartográficas.
1.2.2.1. Proyección cartográfica U.T.M. (Universal Transversal de Mercator)
Figura 6: Elipsoide girando en su eje polar en un cilindro secante da origen a 60 Husos.
Normal al elipsoide Normal al geoide (Dirección de plomada)
Elipsoide
Superficie terrestre Superficie del mar ≈ geoide
Desviación de la vertical

Acuerdos cartográficos internacionales que se iniciaron a partir de la
conferencia en Bélgica 1951 por la I.U.G.G. (International Union of Geodesy and
Geophysics, Unión Internacional de Geodesia y Geofísica), recomendaron el uso de
la proyección Universal Transversal de Mercator, por ser esta una proyección
conforme, donde las deformaciones se hacen mínimas.
Esta proyección puede ser visualizada como la Tierra encerrada en un
cilindro secante, cuyo eje forma un ángulo de 90 grados sexagesimales con el eje
polar de la tierra. El cilindro tiene generalmente un radio menor que el de la Tierra,
de tal manera que las líneas de contacto entre la superficie cilíndrica y la superficie
elipsoidal serán líneas paralelas a los meridianos.
Girando el elipsoide dentro del cilindro, la secancia podría hacerse frente a
cualquier meridiano central y los puntos situados a 3 grados sexagesimales de el,
se pueden considerar casi libres de distorsión, donde los paralelos y meridianos
terrestres quedarán representados en una superficie plana, por líneas rectas y
paralelas que se cortan en ángulo recto; todo esto gracias a que la superficie del
cilindro puede extenderse como un plano, lo que da origen al sistema de
cuadriculado U.T.M.
Si se gira el cilindro en torno al eje polar terrestre se forman 60 zonas de 6
grados sexagesimales de longitud cada una, cada zona se denomina Huso y están
numerados desde el 1 al 60, partiendo del meridiano 180º y siguiendo la dirección
Este. Nuestro país está comprendido en los Husos 18 y 19, cuyos meridianos
centrales son 75º y 69º de longitud Weste respectivamente. Por otro la extensión
en latitud de cada zona es de 84º y 80º hacia el Norte y Sur del Ecuador
correspondientemente.
Figura 7: Tres zonas o Husos de 6° de longitud cada una, con sus respectivos meridianos centrales.

La proyección UTM toma como origen de las ordenadas al Ecuador, para el
Hemisferio Norte se le asigna el valor 0 m, ascendiendo en la dirección del Polo
Norte, al Hemisferio Sur se le asignan 10.000.000 m, descendiendo en la dirección
del polo Sur, el origen de las abscisas es el Meridiano Central de cada Huso,
asignando a cada uno de ellos un valor de 500.000 m. Las ordenadas se conocen
como coordenadas Norte UTM y las abscisas como coordenadas Este UTM.
El valor de las abscisas en la proyección UTM (EUTM) aumentan en la
dirección Este del Meridiano Central y disminuyen en la dirección Weste. Por otro
lado si se trazaran paralelas al Paralelo del Ecuador en la dirección Sur, y paralelas
a ambos lados del Meridiano Central, se generaría el sistema de cuadriculado
UTM, consistente en una red de líneas perpendiculares entre si, que forman una
serie de sectores cuadrados del mismo tamaño, con datos marginales que dan
valor a cada una de las líneas que los forman.
1.2.2.2. Cartografía nacional y sistemas de datum utilizados.
En nuestro país trabajamos con tres sistemas de datum, dos locales y uno
global:
Datum Provisorio Sudamericano La Canoa, Venezuela 1956 (PSAD-56).
Elipsoide: elipsoide internacional de 1924.
a : 6.378.388,000 m “semieje ecuatorial”
b : 6.356.911,946 m “semieje ecuatorial”
f : ( ba − ) / a = 1 ≈ 1 “achatamiento”
296,999998231 297
2222
/)(: abae − = 0,00672267006118 “primera excentricidad cuadrada
del meridiano de la elipse”
2'
e : 222
/)( bba − = 0,0067681702366 “segunda excentricidad cuadrada
Obs. 1 : La cartografía nacional escala 1:50.000 y 1:250.000 está referida al
PSAD-56.
Obs. 2 : La Constitución de la Propiedad Minera nacional al norte de la latitud
Sur 43º30’ está referida al PSAD-56.
Obs. 3: El centro geométrico del elipsoide PSAD-56 no coincide con el centro
de masa de la tierra (es no geocéntrico).

Datum Sudamericano Chua, Brasil 1969 (SAD-69).
Elipsoide: elipsoide sudamericano de referencia 1969.
f : (a- b) / a = 1 ≈ 1 “achatamiento”
298,250011223 298,25
e2
: (a2
– b2
) /a2
= 0,00669454160387 “primera excentricidad cuadrada
e’2
: (a2
– b2
)/b2
= 0,0067396605417 “segunda excentricidad cuadrada
Obs. 1: La cartografía Nacional escala 1:25.000, 1:100.000, 1:500.000 y la
ortofotografía 1:10.000 y 1:20.000 está referida al SAD-69.
Obs. 2: La Constitución de la Propiedad Minera nacional al sur de la latitud
Sur 43º30’ está referida al SAD-69.
Obs. 3: El centro geométrico del elipsoide SAD-69 no coincide con el centro
de masa de la tierra (es no geocéntrico).
Sistema Geodésico Mundial Misuri, EE.UU. 1984 (WGS-84).
Elipsoide: Elipsoide mundial de referencia de 1984.
f : (a- b) / a = 1 “achatamiento”
298,257222933
e2
: (a2
– b2
) /a2
= 0,0066943800047 “primera excentricidad cuadrada
e’2
: (a2
– b2
)/b2
= 0,00673949675703 “segunda excentricidad cuadrada

C2,0 : -484,16685 x 10-6
“Coeficiente normalizado de armónico zonal
de segundo grado de potencial de gravitación”.
W : 7292115 x 10-11
Rad/S “Velocidad angular de la tierra”.
GM : 3986005 x 108
m3
/S2
“Constante de gravitación de la tierra”
(masa de la atmósfera de la tierra incluida).
Obs. 1: El Instituto Geográfico Militar (IGM) ha comenzado a partir de
1996, la edición conjunta en PSAD-56 y WGS-84 de la cartografía nacional
1:50.000, existiendo en las cartas parámetros para convertir coordenadas desde
PSAD-56 a WGS-84 y viceversa.
Ejemplo : para la carta de Santiago E-58 escala 1:50.000
NUTM PSAD-56 = NUTM WGS-84 + 414 m.
EUTM PSAD-56 = EUTM WGS-84 + 192 m.
Obs. 2: Los GPS tipo navegadores, profesionales y geodésicos vienen
configurados en el sistema WGS-84, en el caso de los navegadores cuando se le
agotan las baterías y se está trabajando en algún sistema geodésico local (PSAD-
56 o SAD-69), debe revisarse el datum de configuración del equipo, dado que,
cuando pasan varias horas del reemplazo de las baterías, automáticamente vuelve
la configuración al datum WGS-84.
Obs. 3: El centro geométrico del elipsoide WGS-84 coincide con el centro de
masa de la tierra (es geocéntrico).
1.3. Tipos de levantamientos.
Existen diversas variantes de levantamientos, tanto es así que un especialista
en una disciplina topográfica a lo largo de su trayectoria, puede tener escaso
contacto con las otras áreas de desarrollo de la topografía.
Los levantamientos actualmente se utilizan para confeccionar cartas
topográficas de la superficie terrestre, de los fondos marinos, deslindes de
propiedades públicas, privadas, mineras, agrícolas, para la navegación aérea,
terrestre y marítima, para conocer el relieve del suelo y el comportamiento del
subsuelo, también se usan en los estudios catastrales, peritajes judiciales y
proyectos de ingeniería. Además se emplean en la evaluación de datos sobre el
tamaño, forma, gravedad y campo magnético terrestre, y aún se ha logrado
confeccionar planos de la Luna y de los Planetas.

Dado que la topografía es demasiado importante para muchas ramas de la
ingeniería, en este texto trataremos los levantamientos que tienen mayor
aplicabilidad en ella.
• Levantamiento geodésico o de control: son levantamientos de grandes
extensiones de terrenos, de alta precisión u orden geodésico, generalmente
abarcan la totalidad o gran parte de los territorios de los países, consideran la
verdadera forma y dimensiones de la Tierra, conforman redes longitudinales y
transversales de puntos con coordenadas horizontales y verticales, que sirven
como marco de referencia para otros levantamientos de menor rango
geodésico. Comúnmente los ejecutan organismos del Estado, en nuestro país el
IGM (Instituto Geográfico Militar), el SHOA (Servicio Hidrográfico y Oceánico de
la Armada).
• Levantamientos topográficos: determinan la posición y características de
los accidentes naturales y artificiales, incluyendo las elevaciones de los puntos
que permitan la representación en un plano. No consideran la verdadera forma
de la Tierra , ésta se considera plana, la dirección de la plomada entre puntos
sería paralela en la obtención de los rumbos y azimutes de las líneas que se
forman, los trabajos se desarrollan en extensiones relativamente pequeñas.
• Levantamientos aerofotogramétricos: forman parte de la topografía aérea
(ver Anexo A), utiliza la percepción remota a través de una cámara fotográfica
ubicada en la parte posterior de un avión para tomar los datos de terreno
(fotogramas), siguiendo rigurosamente la planificación del vuelo y a partir de
las fotografías aéreas obtenidas, se hace uso de la fotogrametría, de los
procesos de restitución, fotointerpretación, clasificación de terreno, proceso
cartográficos y de los vértices de apoyo terrestre para obtener las cartas,
mapas o planos topográficos. Estos levantamientos se usan para terrenos de
difícil acceso, pueden abarcar grandes extensiones del territorio y se pueden
lograr gran precisión en ellos. La cartografía nacional del territorio continental,
insular y Antártico se ha obtenido usando esta metodología. El SAF (Servicio
Aerofotogramétrico) de la Fuerza Aérea de Chile, el IGM (Instituto Geográfico
Militar) son los principales organismos del estado que realizan este tipo de
levantamientos en nuestro país.
• Levantamientos catastrales: normalmente se trata de levantamientos
urbanos o rurales, con el propósito de localizar los linderos de las propiedades
(agrícolas, mineras, acuicultura, derechos de agua, etc.), las construcciones
que contienen, para conocer sus detalles, su extensión, su valor o tasación, los
derechos de propiedad y transmisión, con la finalidad principal de que el estado
pueda recaudar los impuestos respectivos.

• Levantamientos hidrográficos: corresponden a los levantamientos
relacionados con la definición de deslindes de playas de mar, ríos, lagos,
embalses, y otros cuerpos de agua, así como con la configuración e
irregularidades de sus profundidades (batimetría), utilizando instrumental
topográfico clásico en la determinación planimétrica y sofisticados instrumentos
electrónicos para determinar sus profundidades. Las finalidades pueden ir
desde la delimitación de sus playas para uso público, pasando por la
navegación, estudio de sedimentos y el dragado de sus fondos. El organismo
oficial, técnico y permanente del estado en nuestro país facultado para dirimir
diferendos en los trabajos en las costas, lagos y ríos es el SHOA.
• Levantamientos de ingeniería: incluye los trabajos topográficos requeridos
antes, durante y después del término o cierre de los proyectos de ingeniería,
un plano topográfico resultante de un levantamiento que entregue la
configuración del terreno, mas la incipiente concepción mental de algún
proyecto de ingeniería, son las materias primas mas elementales y suficientes
para que un ingeniero comience a plasmar en el plano su proyecto.
Posteriormente necesitará materializar cada uno de sus elementos en el terreno
(operación de replanteo), y alguna institución de fiscalización tendrá la facultad
para verificar si lo materializado efectivamente corresponde a lo proyectado
(control topográfico), de ahí la importancia que tiene la topografía para los
estudiantes de ingeniería en el desarrollo u orientación de sus potencialidades
ingenieriles.
• Levantamientos satelitales: corresponden a los levantamientos obtenidos
con tecnología satelital (ver Anexo B), por una parte se puede utilizar la
percepción remota a través de un sensor electro-óptico ubicado en la parte
posterior de una plataforma satelital, que captan las diversas bandas
electromagnéticas correspondiente a luz solar reflejada por los cuerpos
terrestres, que luego es clasificada en formatos digitales, que permiten obtener
productos computacionales llamadas imágenes satelitales, que con apoyos de
redes de puntos coordenados, permiten obtener productos cartográficos de
amplio uso civil y militar. Por otro lado, el uso de posicionadores satelitales
(GPS, GPS + GLONASS, y en el futuro GALILEO) en conexión con sus
respectivas constelaciones de satélites artificiales, permiten obtener la posición
tridimensional de puntos en la superficie terrestre, y por ende de los planos
topográficos que requiere la ingeniería, así como también el monitoreo y
posicionamiento de móviles terrestres, marinos y aéreos, con el apoyo de otras
tecnología electrónicas.

1.4. Teoría de errores.
Todas las mediciones realizadas con fines topográficos o geodésicos están
afectadas por errores de diferentes clases, es imposible determinar la verdadera
magnitud de una serie de mediciones que podrían representar distancias,
ángulos, superficies, cubicación de movimiento de tierra y coordenadas. En la
práctica solo es posible obtener los valores más probables de dichas mediciones
acompañados por una cierta incerteza, es decir: l dl±
nlil
n
i
/
1
∑=
= “valor mas probable de la serie de mediciones ”
∑=
−−=
n
i
nnllidl
1
2
))1(/()( = E2Ml “incerteza ” o “error medio de la media o
desviación estándar del valor mas probable de la serie de mediciones”
1.4.1. Clasificación de los errores.
Errores accidentales o aleatorios (se compensan).
Errores sistemáticos (se corrigen).
Errores personales o faltas (se eliminan).
1.4.1.1. Errores accidentales o aleatorios, pueden ser provocados por la
imperfección de nuestros sentidos (dislexia, miopía, estrabismo, etc.) por la
irregularidad de la atmósfera y del terreno a medir, actúan de un modo
completamente irregular sobre los resultados de las mediciones y se presentan con
signo positivo (+) y negativo (-), ejemplos de esto último, serían los cambios de
temperatura por sobre y bajo de la de inicio de un trabajo de medición con una
cinta de acero, o con un teodolito de círculos metálicos, también sucede lo mismo
cuando se están midiendo ángulos con un teodolito y el viento que incide sobre la
señal de puntería, cambia constantemente en un sentido y en otro contrario;
algunas veces movimientos sísmicos imperceptibles para nuestros sentidos,
desnivelan los equipos topográficos, afectando aleatoreamente las mediciones, por
ello es que el tratamiento de la serie de mediciones se hace a través de las leyes
de las estadísticas y probabilidades, utilizando en algunos casos los Test de
distribución Normal (para n ≥30) o la T- Student (para n < 30).
1.4.1.2. Errores sistemáticos, pueden ser originados por mala calibración
instrumental, por la acción unilateral de la atmósfera sobre la línea de puntería,
por mediciones no conformes, tales como la mala alineación de las miras o de las
cintas durante la medición de distancias. En igualdad de condiciones son siempre
constantes en magnitud y con el mismo signo, obedecen siempre a una ley
matemática o física.
Ejemplos de estos errores serían, cuando falla el control de calidad y se pasan
equipos de medición angular electrónica con círculos en graduación sexagesimal y
centesimal, originándose errores instrumentales constantes. Cuando se utiliza un

teodolito o un taquímetro mecánico desconocido para un operador, es
recomendable realizar previamente mediciones angulares por reiteración
(mediciones en directo y directo-tránsito), para descubrir posibles errores
instrumentales tanto en el origen del limbo horizontal como en el círculo o limbo
vertical (error de índice), para posteriormente realizar las correcciones
pertinentes.
Si se conocen antecedentes de fabricación de una cinta de acero tales como,
la temperatura, tensión de calibración, y dichos datos durante la medición,
también es posible corregir las mediciones por corrección por temperatura, por
tensión incorrecta y por pandeo o flecha.
1.4.1.3. Errores personales o faltas, son producto de la inhabilidad, descuido o
cansancio del operador de un instrumento, pueden generarse por la mala
anotación de las mediciones, se descubren repitiendo las observaciones.
1.4.2. Cuantificación de los errores accidentales o aleatorios.
1.4.2.1. Método matemático.
1.4.2.1.1. Principales parámetros estadísticos.
Sea l una serie de mediciones de distancias, ángulos, superficies, volúmenes o de
posición topográfica, entonces:
nlil
n
i
/
1
∑=
= “valor más probable de la serie de mediciones”
El = ∑=
−
n
i
nlli
1
2
/)( “desviación estándar de la serie de mediciones”
E2l ∑=
−−=
n
i
nlli
1
2
)1/()( σ= “error medio cuadrático de la serie de
mediciones”
E2Ml ))1(/()(
1
2
∑=
−−=
n
i
nnlli “error medio de la media” o
“desviación estándar del valor más probable de la serie de mediciones”
E2Ml = E2l / n “error medio de la media en función del error medio cuadrático y
del número de observaciones realizadas”.
Cuando se conoce MSE (Root Mean square error) para medir distancias
electrónicas con Estaciones Totales o Distanciómetros, que es una característica
propia del instrumental topográfico utilizado, entonces se debe usar:

E2Ml = M.S.El / n “Error medio de la media para instrumental electrónico de
distancia”
Ejemplo. Si el error medio cuadrático (M.S.E) para una Estación Total es M.S.E = ï
(3 mm + 3ppm) y se ha medido 5 veces una distancia electrónica inclinada
resultando un valor mas probable de 4.589,325 m. Determine la incerteza con
que se midió dicha distancia.
Solución:
l = 4.589,325 m
n = 5
M.S.El = ï (0,003 + 3/106
l ) m = ï (0,003 + 3/106
4.589,325) m
M.S.El =4.589,325 = ï 0,016767975 m
E2Ml = M.S.El / 5 = ï 0,007498866389 m ≈ 0,0075 m
1.4.2.1.2. Error relativo o exactitud relativa.
1.4.2.1.2.1. Error relativo al medir una base topográfica, geodésica o
GPS.
E.R. = E2l / l = 1/ (l /E2l ) = 1/ Denominador “cuantifica la precisión con que se
ha medido una base topográfica con cinta o con taquímetro y mira”
E.R. = M.S.El /l = 1 / ( l / M.S.El ) = 1/ Denominador “ cuantifica la precisión
con que se ha medido una base geodésica con estación total o distanciómetro”
E.R. = M.S.EL / L = 1 / ( L/ M.S.EL) = 1/ Denominador “cuantifica la precisión con
que se ha medido un vector GPS” ( ver ejercicio en página 66 y grados de
precisión en página 64 del texto Topografía en Minería Cielo Abierto)
Observación: a manera de relacionar trabajos según precisiones alcanzadas, al
medir sus bases se dan las siguientes referencias.
i) 1/1.000 ≤ E.Rl Bases en Trabajos de Laboratorio de Topografía ≤ 1/500
ii) 1/10.000 ≤ E.Rl Bases en Trabajos Topográficos corrientes ≤ 1/1.000
iii) E.Rl Bases en Trabajos Geodésicos ≤ 1 /100.000

1.4.2.1.2.2. Error relativo al medir un polígono topográfico, geodésico o
GPS.
E.R.Polígono = ε/∑=
n
k
k
ji
DH
1
,
= 1/(∑=
n
K
k
ji
DH
1
,
/ε ) = 1/Denominador “cuantifica la precisión
con que se ha medido un polígono taquimétrico o electrónico”
ε = (εN
2
+ εE
2
)(1/2)
“error de cierre lineal “ o “ error de posición al medir un
polígono taquimétrico o electrónico”
εN : “ error de cierre lineal o de posición en la proyección Norte”
εE : “ error de cierre lineal o de posición en la proyección Este”
∑=
n
k
k
ji
DH
1
,
: “lados o distancias horizontales más probables del polígono” o “ perímetro
del polígono”
Y(Norte)
B
YA A
εN ε
YA
′
A′
C
D
εE
X (Este)
XA
′
XA
Figura 8: Error de cierre lineal en un polígono cerrado de 4 lados.
n
E.R.Polígono GPS = 1/ ( ∑i=1 Di3D / d3D) “cuantifica la precisión con que se ha medido
un polígono GPS” (ver páginas 65,66, 162-171 del texto Topografía en Minería
Cielo Abierto de los autores).
Observación: a manera de relacionar trabajos según precisiones alcanzadas, al
medir polígonos taquimétricos y electrónicos se dan las siguientes referencias.

i) 1/1.000 ≤ E.R.P/ Polígonos en Trabajos de Laboratorio de Topografía ≤ 1/500
ii) 1/10.000 ≤ E.R.P/ Polígonos en Trabajos Topográficos corrientes ≤ 1/1.000
iii) E.R.P/Polígonos Trabajos Geodésicos ≤ 1 /20.000
1.4.2.2. Método diferencial.
1.4.2.2.1. A partir de la ley general de propagación de errores accidentales o
aleatorios, es posible cuantificar la incerteza (dF) al calcular indirectamente por
medio de una función F conocida, que a la vez contiene variables con errores.
Sea F una función que depende de n variables ( F= f(a, b, c,...., n) ), entonces la
incerteza dF , puede calcularse de acuerdo a la ley de propagación de errores
aleatoreos por:
dF = [ (δF/δa)2
(da)2
+ (δF/δb)2
(db)2
+..........+(δF/δn)2
(dn)2
](1/2)
donde :
(δF/δa) , (δF/δb),.........(δF/δn) “representan las derivadas parciales de la función F
con respecto a sus variables a, b, c,....., n.
(da), (db),........,(dn) “representan las incertezas al medir las variables a, b, c,....,n
,es decir:
E2Ma = da E2Mb = db E2Mc = dc E2Mn = dn
Ejemplo: las funciones para calcular la DHA-B por medio de una estación total o con
distanciómetro son:
DHA-B = Di A-B Cos α A-B = Di A-B Sin Z A-B = Di A-B Sin N A-B
Si escogemos la primera expresión :
dDHA-B = [ (δDHA-B/δ Di A-B)2
(d Di A-B)2
+ (δDHA-B/δα A-B)2
(dα )2
](1/2)
1.4.2.3 Errores de 50, 90, 95 y 99.7 %, de los datos de la gráfica de relación
entre el error y el porcentaje del área bajo la curva de distribución normal, puede
determinarse la probabilidad de un error de cualquier porcentaje de probabilidad,
donde la ecuación general es:
EP = CP σ , donde CP: factor numérico tomado desde la curva.

E50 = ± 0.6745 σ “Error del 50%, fija los límites dentro de los cuales han de
permanecer las mediciones un 50% de las veces”.
E90 = ± 1.6449 σ “Error del 90%”.
E95 = ± 1.9559 σ “Error del 95 %, llamado también error dos sigma (2σ ) “.
E99.7 = ± 2.567 σ “Error del 99.7 % o error tres sigma (3σ ).
Figura 9: Relación entre el error y el porcentaje de área bajo la curva de distribución normal.
1.5. Unidades de medición.
1.5.1. Unidades angulares.
Los círculos horizontales y verticales en los teodolitos, taquímetros,
estaciones totales, o los limbos horizontales en los niveles de ingeniero y brújulas,
vienen generalmente graduados en los sistemas angulares sexagesimales y
centesimales, sin embargo la últimas pueden también venir graduadas en el
sistema de 6400-
milésimas.
1. Sistema sexagesimal (MODE DEG).
1 Círculo horizontal o vertical graduado = 360° grados sexagesimales.
1° = 60′ (minutos sexagesimales)
1′ = 60″ (segundos sexagesimales)

Observación 1: Las cantidades expresadas en este sistema deben sumarse o
restarse por separado, los grados, los minutos y segundos.
Observación 2: Es importante que los usuarios de calculadoras aprendan a
usarlas, seleccionando apropiadamente el sistema de medición de ángulos, en este
caso Mode DEG, así como también conocer el proceso de conversión de
mediciones angulares expresadas en formato de fracciones de grados
sexagesimales, a formatos de (grados, minutos, segundos) sexagesimales.
Ejemplo: 270° 45′ 52″
- 120° 37′ 13″
150° 8′ 39″
2. Sistema centesimal (MODE GRA).
1 Círculo horizontal o vertical = 400 g
1g
= 100 c
(minutos centesimales)
1c
= 100 cc
(segundos centesimales)
Observación 1: Las operaciones aritméticas se efectúan exactamente igual que el
común de las operaciones usadas en el sistema decimal.
Ejemplo: 215 g
30c
40cc
= 215,3040 g
(grados centesimales)
215,3040 g
+ 28,7227 g
244,0267 g
3. Sistema en radianes (MODE RAD)
En este sistema de unidades angulares trabajan los computadores, luego al usar
algún lenguaje de programación debe conocerse la equivalencia entre los sistemas
hasta aquí tratados.
2 π radianes = 360 ° (Sistema sexagesimal).
2 π radianes = 400 g
(Sistema centesimal).
4. Sistema en milésimas.
En este sistema de graduación han sido fabricadas algunas brújulas geológicas
e instrumentales de artillería.
1 Círculo horizontal = 6400-
(milésimas)
1/4 Círculo horizontal = 1600-
(milésimas)
1/64 Círculo horizontal = 100-
(milésimas)
5. Relación entre sistemas sexagesimal y centesimal.

X° = 0,9 X g
X g
= 1/0,9 x°
6. Relación entre sistemas en radianes, sistema sexagesimal y
centesimal.
x (radianes) = π/180 ° x°
x (radianes) = π/200 g
xg
7. Relación entre sistemas en milésimas, sexagesimal y centesimal.
x-
(milésimas) = 1/0,05625 x°
x° = 0,05625 x-
(milésimas)
x-
(milésimas) = 16 x g
x g
= 1/16 x–
(milésimas)
1.5.2. Unidades de longitud.
Los múltiplos y divisores del metro aumentan o disminuyen de diez en diez
según la siguiente tabla:
10-6
10-3
10-2
10-1
1 101
102
103
106
micro mili centi deci metro deca hecto kilo mega
μ m mm cm dm m da hm km Mm Abreviatura
1.5.3. Unidades de superficie.
Los múltiplos y divisores del metro cuadrado aumentan y disminuyen de
cien en cien, según la siguiente tabla:
10-6
10-4
10-2
12
102
104
106
mili2
centi2
dici2
metro2
área hectárea bilom2
mm2
cm2
dcm2
m2
a ha Abreviatura
1 acres (ac) = 4.046,873 m2
1 hectárea = 2,47104 acres
1.5.4. Unidades de volumen.
Los múltiplos y divisores del metro cúbico aumentan o disminuyen de mil en
mil, según la tabla:
10-9
10-6
10-3
1 103
106
109
mili3
centi3
deci3
m3
--- --- Kilo3

Observación: en las cubicaciones de movimiento de tierra se sugiere trabajar
solo a la décima del metro cúbico, dado que los modelos utilizados para cubicar
solo son aproximaciones a la realidad.
Ejemplo: Volumen Terraplén = 702,3 m3
Volumen Corte = 975,9 m3
1.6. Escalas.
1.6.1. Escala numérica. Es la relación entre una distancia medida en el plano y
la correspondiente distancia medida en el terreno, ambas expresadas en una
misma unidad de longitud.
E = Dibujo/Terreno = 1/Denominador
Ejemplo: ¿Cuál sería la escala numérica de un plano si 10 cm de dibujo
representan 200 m de terreno?
E = 10 cm/200 m = (10 cm 1m/100 cm)/200 m = 1/2000
1.6.2. Escala gráfica. Es una barra graduada sobre el plano, subdividida en
distancias que corresponden a determinado número de unidades en terreno.
0,8 cm
Figura 10: Escala gráfica.
¿ A que escala numérica se encuentra la escala gráfica?
E = Dibujo/Terreno = 0,8 cm/1 km = 1/125000

Capítulo 2 Medición de ángulos.
2.1. Medición de ángulos horizontales.
Los ángulos horizontales proporcionan la posición horizontal de un punto,
respecto a una alineación o a una base topográfica, pueden medirse en el sentido
horario (+) (HR) o antihorario (-) (HL), son medidos en un plano horizontal entre
dos planos verticales.
HR = Horizontal Right
HL = Horizontal Left
P.V = Plano Vertical
P.H = Plano Horizontal
Figura 11: Medición de ángulos horizontales en el Plano Horizontal P.H.
A : Estación topográfica o vértice de instalación del teodolito.
B : Vértice de calaje u orientación cero – cero grados ( 0,00 g
).
C : Vértice de medición angular horizontal y/o vertical.
θ : Angulo horizontal (+) medido en el círculo horizontal del teodolito.
α : Angulo horizontal (-) medido en el círculo horizontal del teodolito.
La medición de ángulos horizontales puede realizarse en dos posiciones del
anteojo topográfico, una en directo y la otra en directo-tránsito, con lo cual es
posible detectar eventuales errores en el calaje, en el instrumento, los generados
por la irregularidad de la atmósfera o por los movimientos terrestres durante las
mediciones. Dichos errores cuando están dentro de las tolerancias admisibles
pueden ser corregidos, compensados o simplemente rechazados.

2.1.1. Medición de ángulos horizontales en directo.
El círculo vertical del teodolito debe encontrarse al lado izquierdo del
anteojo topográfico si se está observando de frente el lente ocular.
2.1.2. Medición de ángulos horizontales en directo-tránsito.
El círculo vertical del teodolito debe encontrarse al lado derecho del anteojo
topográfico si se está observando de frente el lente ocular.
En general la condición que debe cumplir la medición de un ángulo
Horizontal en Tránsito y ángulo Horizontal en Directo debe ser la siguiente:
Teoría: Angulo HorizontalT
– Angulo HorizontalD
≈ R2
Práctica: Angulo HorizontalT
– Angulo HorizontalD
≈ R2 + ∠ε
R = 1 Recto (100 g
grados centesimales o 90° grados sexagesimales).
∠ε : Error de cierre angular obtenido en el origen.
Si el ∠ε ≤ ∠ε Admisible ⇒ Ajuste de Angulo HorizontalD
∠ε Admisible ≤ ± 0,01g
“si el instrumento tiene una precisión de 1 minuto
centesimal”
“si el instrumento tiene una precisión de 1 segundo
centesimal”
2.1.3. Toma de datos de terreno, cálculo de registro y ajuste angular.
Est. Pto. Obs. Ang. Horiz. (+) Ang. Horiz. Ajustado
A BD
0,00g
CD
74,81g
74,81g
CT
274,80g
BT
199,99g
Toma de datos de terreno.
A : Punto Estación o de instalación instrumental.
BD
: Punto Observado o de Orientación en Directo.
BT
: Punto Observado o de Orientación en Tránsito.
CD
: Punto de Medición angular en Directo.
CT
: Punto de Medición angular en Tránsito.
Cálculo de registro y ajuste angular.
i) Origen: (0,00g
+ 199,99g
– 200g
)/2= -0,005g
= 399,995g

ii) .HorizAngulo = (74,81g
+274,80g
– 200g
)/2 = 74,805g
iii) .HorizAngulo AJUSTADO = .HorizAngulo + 500,0− g
= 74,81g
.HorizAngulo : Representa el ángulo horizontal promedio.
2.2. Medición de ángulos verticales.
Los ángulos verticales proporcionan la posición vertical de un punto respecto:
1. Zenit (Z)
2. Nadir (N)
3. Horizonte (α)
Figura 12: Las tres referencias de la medición de ángulos verticales.
Zenit (cenit) (Z): es el punto celeste que se genera al prolongar el eje vertical del
teodolito o estación total con la semiesfera celeste aparente, el cero del círculo
vertical del instrumento topográfico coincidiría con el punto zenit.
Horizonte (α): es el punto celeste que se genera al prolongar una línea
perpendicular al eje vertical del teodolito o estación total en la dirección de la línea
aparente que separa la tierra de la esfera celeste, el cero del círculo vertical del
instrumento topográfico coincidiría con el punto horizonte.

Nadir (N): es el punto celeste que se genera al prolongar el eje vertical del
teodolito o estación total atravesando diametralmente a la tierra e intersectando a
la semiesfera celeste aparente, el cero del círculo vertical del instrumento
topográfico coincidiría con el punto nadir.
La medición de ángulos verticales al igual que los horizontales puede
realizarse en dos posiciones del anteojo topográfico, una en directo y la otra en
directo-tránsito (dando vuelta de campana el anteojo topográfico), con lo cual es
posible detectar eventuales errores en el calaje, en el instrumento, los generados
por la irregularidad de la atmósfera o por los movimientos terrestres durante las
mediciones. Dichos errores cuando están dentro de las tolerancias admisibles
pueden ser corregidos, compensados o simplemente rechazados.
Las recomendaciones para medir ángulos verticales en directo y en directo-
tránsito, son las mismas dadas en los ángulos horizontales referente al círculo
vertical, en lo concerniente a las condiciones angulares que deben cumplir los
ángulos verticales en ambas posiciones del anteojo serían:
Teoría : ZD
+ ZT
= 4 R
ND
+ NT
= 4 R
αD
+ αT
= 2 R (Para ángulos de elevación)
αD
+ αT
= 6 R (Para ángulos en depresión)
Práctica: ZD
+ ZT
= 4 R + ε∠
ND
+ NT
= 4 R + ε∠
αD
+ αT
= 2 R + ε∠ (Para ángulos de elevación)
αD
+ αT
= 6 R + ε∠ (Para ángulos en depresión)
ε∠ : Error angular obtenido o error de índice obtenido, puede producirse por
desajuste del instrumento, por turbulencias atmosférica, imprecisión en el visado o
calaje.
Si el ∠ε ≤ ∠ε Admisible ⇒ Ajuste de Angulo VerticalD
(εi = ± ε∠ /2 )
εi : Factor de ajuste o compensación.
εi > 0 si ∠ε < 0
εi < 0 si ∠ε > 0
“si el instrumento tiene una precisión de 1 minuto centesimal
y se trata de trabajos topográficos corrientes”
∠ε Admisible ≤ 0,0050g
“si el instrumento tiene una precisión de 1 segundo
centesimal y el trabajo es de 3er
orden geodésico”

2.2.1. Toma de datos de terreno, cálculo de registro y ajuste angular.
Estac. Pto. Obs. Ang. Vert. (N) Ang. Vert. Ajustado
A BD
89,14g
89,13g
BT
310,88g
Toma de datos de terreno.
A : Punto Estación o de instalación instrumental.
BD
: Punto Observado en Directo.
BT
: Punto Observado en Tránsito.
Cálculo de registro y ajuste angular.
i) ND
+ NT
= 400g
+ ε∠
400,02g
– 400g
= ε∠
ε∠ = 0,02g
⇒ εi = - 0,02g
/2 = - 0,01g
ND
AJUSTADO = ND
+ εi = 89,13g

Capítulo 3 Medición de distancia.
3.1. Procedimiento taquimétrico.
Este método utiliza el anteojo topográfico del teodolito o taquímetro y la
lectura en una mira graduada, para determinar distancias horizontales, inclinadas y
verticales.
Figura 13: Medición de distancia con teodolito y mira.
I : Punto Estación o de instalación instrumental.
II : Punto Observado o de ubicación de mira verticalmente nivelada.
LiII : Lectura de hilo inferior en la mira en el Punto II.
LsII : Lectura de hilo superior en la mira en el punto II.
hmII : Lectura de hilo medio en la mira en el punto II, hmII = (LsII + LiII )/2.
G : Generador, G= LsII - LiII.
hiI : Altura instrumental en el punto estación o de instalación I.
Z : Angulo vertical de referencia zenital.
N : Angulo vertical de referencia nadiral.
α : Angulo vertical de referencia al horizonte.
DHI-II : Distancia horizontal desde estación I a punto observado II.
DiI-II : Distancia inclinada desde estación I a punto observado II.
DNI-II : Diferencia de nivel entre estación I y el punto II.
K : Constante estadimétrica (K= 100 m).

Las siguientes expresiones según la referencia del ángulo vertical con que los
teodolitos sean fabricados, nos permiten determinar los parámetros necesarios
para obtener la coordenada conocida como cota de un punto observado.
DHI-II = KG Cos α2
= KG Sin Z2
= KG Sin N2
DiI-II = KG Cos α = KG Sin Z = KG Sin N
HI-II = DHI-II tg α = DHI-II / tg Z = - DHI-II / tg N
DNI-II = hiI + HI-II - hmII
TI-II = HI-II - hmII
CotaII = CotaI + DNI-II “para registro por diferencias de nivel entre estaciones”
CotaII = CotaI + hiI +HI-II – hmII
CotaII = CotaINSTRUMENTAL I + TI-II “para registro por cota instrumental”
3.1.1. Toma de datos de terreno y cálculo de cota por diferencia de nivel.
AnguloEstac. hi Pto.
Obs. Horiz.(+) Vert.(Z)
Estadía
Ls Li
hm D.H. D.N. Cota
I 1,32 500,25
II 0,00g
100,32g
3,240 1,000 2,120 223,99 -1,93 498,32
1 102,39g
98,25g
3,080 1,000 2,040 207,84 4,99 505,24
2 223,84g
102,78g
2,272 1,000 1,636 126,96 -5,86 494,39
3 77,20g
99,24g
2,950 1,000 1,975 194,97 1,67 501,92
Los datos mas ennegrecidos son los antecedentes tomados en terreno o que se
han asignados, el cálculo manual del registro debiera iniciarse en el siguiente
orden:
i) Seleccionar el MODE Gra en calculadora, dado que los ángulos vienen referidos
al sistema centesimal.
ii) Identificar las expresiones en función del ángulo vertical zenital para calcular las
distancia horizontales (D.H.), diferencias de nivel (D.N.) y Cotas.
iii) Si se cuenta con calculadora de programación Basic, las expresiones para
completar el registro serían:
DH= 100 * (Ls – Li) * Sin Z2
: DN= 1.32 + DH/Tan Z – hm: Cota= 500.25 + DN
Observación: En Basic Sin Z2
= Sin Z * Sin Z

3.1.2. Toma de datos de terreno y cálculo de cota por cota instrumental.
Angulo CotaEst. hi Pto
Obs
Horiz.(+) Vert.(Z)
Estadía
Ls Li
hm D.H. T
INST. PTO.
I 1,32 501, 57 500,25
II 0,00g
100,32g
3,240 1,000 2,120 223,99 -3,25
498,32
1 102,39g
98,25g
3,080 1,000 2,040 207,84 3,67
505,24
2 223,84g
102,78g
2,272 1,000 1,636 126,96 -7,18
494,39
3 77,20g
99,24g
2,950 1,000 1,975 194,97 0,35
501,92
El registro de datos es el mismo que en el caso anterior y el cálculo manual
también es muy similar, salvo las expresiones propias de este registro:
i) Seleccionar el MODE Gra en calculadora.
ii) Identificar las expresiones en función del ángulo vertical zenital para calcular las
distancia horizontales (D.H.), el valor de T, la cota instrumental (500.25+1.32=
501.75) y las cotas de los puntos.
completar el registro de datos serían:
DH= 100 * (Ls – Li) * Sin Z^2 : T= DH/Tan Z – hm: Cota= 501.57 + T
Observación: En Basic Sin Z^2 = Sin Z * Sin Z
3.1.3. Condiciones y requisitos operacionales del teodolito.
El teodolito o taquímetro es uno de los instrumentos topográficos mas
completos y de gran utilidad en la ingeniería. Su adecuado uso, cuidado y manejo,
permiten disponer de una valiosa herramienta para medir ángulos horizontales y
verticales, obtener distancias horizontales, inclinadas y verticales, todos
parámetros fundamentales para representar la superficie terrestre.
Los elementos geométricos del teodolito deben cumplir las siguientes
condiciones y requisitos de operación:
1. E.V.R. ⊥ L.F. (P.S.) “se cumple con instalación del equipo”.
2. E.H. (A.T.) ⊥ E.C. (A. T.) “se logra con calibración del equipo”
3. E.H. (A. T.) ⊥ E.V.R. “se logra con calibración del equipo”
E.V.R.: Eje Vertical de Rotación del instrumento.
L.F. (P.S.) : Línea de Fe (Plato Superior).

E.H. (A.T.) : Eje Horizontal (Anteojo Topográfico)
E.C. (A.T.) : Eje Colimación (Anteojo Topográfico).
Figura 14: Teodolito en corte.
3.1.4. Elementos mecánicos del teodolito.
• Movimiento general (plato inferior).
1. Base nivelante.
2. Plato inferior.
3. Sistema de tornillos de fijación y tangencial.
4. Eje vertical del movimiento general (E.V.).
6. Círculo o limbo horizontal.
8. Plomada óptica.
• Movimiento de alidada (plato superior).
5. Sistema de tornillos de fijación y tangencial.
7. Eje vertical de movimiento de alidada.
9. Plato superior o alidada.
10. Eje horizontal del anteojo topográfico (E.H.)
11. Círculo o limbo vertical.
12. Sistema de tornillos del anteojo topográfico.
13. Ampolleta tubular del plato superior.
14. Anteojo topográfico.
3.1.5. Operaciones de terreno con el teodolito.
El buen uso y manejo del teodolito en la ingeniería requiere tener presente
tres operaciones básicas, por un lado está la correcta instalación sobre una estaca,
clavo, o estación; el calar cero-cero, y el orientar el teodolito, estas dos últimas en
algunos equipos pueden fusionarse en una sola operación.

1. Instalar el teodolito: es la operación que consiste en el hacer coincidir el Eje
Vertical del instrumento con la cabeza de la estaca, a través de la plomada (óptica,
mecánica, o vástago), accionando los tornillos nivelantes, nivelando el nivel circular
con las patas de trípode, y finalmente nivelando la burbuja tubular con los tornillos
nivelantes.
2. Calar cero-cero: una vez instalado se hace coincidir el cero del limbo o círculo
horizontal con el cero del plato superior e inferior.
3. Orientar el teodolito: consiste en dirigir la visual cero-cero hacia un punto de
coordenadas o dirección conocida.
Figura 15: Teodolito en sistema modular para la instrucción.
Para la instrucción de sus estudiantes de ingeniería algunas universidades
europeas utilizan los teodolitos en el sistema modular, lo cual les permite
didácticamente observar el funcionamiento de los círculos horizontal y vertical
descubiertos, así como también el suministro de accesorios modulares les permite
convertir el teodolito en un nivel de ingeniero, o en una alidada (alidada: todo
elemento óptico o mecánico que sirve para trazar visuales).

3.2. Procedimiento electrónico.
Este método a diferencia del taquimétrico que utiliza principios de la física
óptica, aquí se utiliza los elementos de la física cuántica para medir distancias, es
decir, se determina el tiempo en que tarda una onda luminosa o electromagnética
en hacer el recorrido de ida y regreso, entre el aparato emisor de la onda y el
prisma reflectante, de modo que en función del tiempo de recorrido, es posible
determinar la distancia inclinada, horizontal o vertical entre dos puntos, previa
corrección por presión, temperatura y humedad atmosférica.
El distanciómetro montado sobre el teodolito, o integrado al teodolito, fue uno
de los primeros instrumentos que incorporó la tecnología de medición de distancia
electrónica, llegando algunas generaciones de estos equipos, a contar con tarjetas
electrónicas y memorias incorporadas para la recolección de datos en terreno. Una
variante de tecnología mas avanzada lo constituyen las Estaciones Totales,
conformando un solo equipo, con mayor alcance en las mediciones, así como
también con la toma automatizada de datos de terreno, también en el último
tiempo han salido las Estaciones Totales GPS, que en forma alternativa puede usar
la metodología convencional del posicionamiento de puntos o el uso de la
tecnología satelital, todo lo anterior ha contribuido a la agilización y eficiencia en el
trabajo de campo, y a la vez, velocidad en el procesamiento de la información a
través de software de topografía y calidad en el trazado de los planos con el uso
del plotter.
Figura 16: Medición de distancia usando Estación total con jalón y prisma.

I : Punto Estación o de instalación instrumental.
II : Punto Observado o de ubicación de mira verticalmente nivelada.
hmII : Lectura de hilo medio en el punto II, (hmII= hpII = hjII).
hpII : Lectura de prisma en el punto II, (hmII= hpII = hjII).
hjII : Lectura de jalón en el punto II, (hmII= hpII = hjII).
hiI : Altura instrumental en el punto estación o de instalación I.
Z : Angulo vertical de referencia zenital.
N : Angulo vertical de referencia nadiral.
α : Angulo vertical de referencia al horizonte.
DHI-II : Distancia horizontal desde estación I a punto observado II.
DiI-II : Distancia inclinada desde estación I a punto observado II.
DNI-II : Diferencia de nivel entre estación I y el punto II.
6.66/108
DiI-II
2
: Factor combinado de curvatura terrestre y refracción atmosférica.
Las siguientes expresiones según la referencia del ángulo vertical con que las
Estaciones totales hayan sido fabricadas, nos permiten determinar los parámetros
necesarios para obtener la coordenada conocida como cota de un punto
observado.
DHI-II = DiI-II Cos α = DiI-II Sin Z = DiI-II Sin N
HI-II = DiI-II Sin α = DiI-II Cos Z = - DiI-II Cos N
HI-II = DHI-II Tg α = DHI-II /Tg Z = - DHI-II /Tg N
Para trabajos topográficos de precisión:
DNI-II = hiI + HI-II + 6.66/108
DiI-II
2
– hmII
TI-II = HI-II + 6.66/108
DiI-II
2
– hmII
CotaII = CotaI + DNI-II “para registro por diferencia de nivel entre estaciones”
CotaII = CotaINSTRUMENTAL I + TI-II “para registro por cota instrumental”

3.2.1. Toma de datos de terreno y cálculo de cota por diferencia de nivel.
AnguloEst. hi Pto.
Obs. Horiz (+) Vert (N)
Di hj DH DN Cota
I 1.30 782,32
II 0,0000g
100,0425g
1502,87 1,45 1502,87 1,00 783,32
1 55,2981g
101,9872g
2891,32 2,60 2889,91 89,49 871,81
2 189,7532g
99,3741g
1125,60 2,60 1125,55 -12,28 770,04
3 202,2734g
98,7890g
525,37 0,05 525,27 -8,72 773,60
Los datos mas ennegrecidos son los antecedentes tomados en terreno o que se
han asignados, el cálculo manual del registro debiera iniciarse en el siguiente
orden:
i) Seleccionar el MODE Gra en calculadora, dado que los ángulos vienen referidos
al sistema centesimal.
ii) Identificar las expresiones en función del ángulo vertical nadiral para calcular las
distancia horizontales (D.H.), diferencias de nivel (D.N.) y Cotas.
completar el registro serían:
DH= Di * Sin N : DN= 1.30 - DH/Tan N + 6.66/10^8 * Di^2 – hm : Cota= 782.32
+ DN
Observación: En Basic 108
= 10^8 ; Di2
= Di^2
3.2.2. Toma de datos de terreno y cálculo de cota por cota instrumental.
Angulo CotaEst. hi Pto
Obs
Horiz. (+) Vert.(Z)
Di hj D.H. T
INST. PTO.
I 1,30 783,62 782,32
II 0,0000g
100,0425g
1502,87 1,45 1502,87 -0,30
783,32
1 55,2981g
101,9872g
2891,32 2,60 2889,91 88,19
871,81
2 189,7532g
99,3741g
1125,60 2,60 1125,55 -13,58
770,04
3 202,2734g
98,7890g
525,37 0,05 525,27 -10,02
773,60
El registro de datos es el mismo que en el caso anterior y el cálculo manual
también es muy similar, salvo las expresiones propias de este registro:
i) Seleccionar el MODE Gra en calculadora.

ii) Identificar las expresiones en función del ángulo vertical nadiral para calcular las
distancia horizontales (D.H.), el valor de T, la cota instrumental (782.32+1.30=
783,62) y las cotas de los puntos.
completar el registro de datos serían:
DH= 100 * Sin N : T= - DH/Tan N + 6.66/10^8 * Di^2 - hm: Cota= 783.62 + T
Observación: En Basic 108
= 10^8 ; Di2
= Di^2
3.2.3. Mediciones de distancia electrónica en forma automatizada.
Las últimas generaciones de estaciones totales permiten la toma de
información de terreno en forma automática, reemplazando a la recolección
manual de la información. Estos instrumentos tienen tres componentes en uno, el
Instrumento Electrónico de Medición de Distancia (IEMD), un teodolito digital
electrónico y un microprocesador.
Figura 17: Estación Total Geodimeter con característica de toma automatizada de datos en
terreno.
La memoria del microprocesador en el caso del Geodimeter está dividida en dos
archivos separados, los Job (archivos de trabajo o de terreno) y los Area
(archivos de coordenadas conocidas). El número total de archivos está limitado

solo por la capacidad total de la memoria, en cuanto mas información sin procesar
exista almacenada en los archivos Job, menos información se podrá almacenar en
los archivos de coordenadas conocidas o de Area y viceversa. La capacidad de
memoria de las Estaciones Geodimeter 600 alcanzarían a la toma de alrededor de
4000 puntos de terreno, a lo cual habría que descontar la memoria utilizada al
cargar las UDS (Secuencias Definidas por el Usuario), que corresponden a los
diversos Programas que eventualmente el usuario podría utilizar entre los que se
encuentran:
PRG : PROGRAMAS.
PRG 20 : Establecimiento de la Estación.
PRG 23 : Replanteo por coordenadas.
PRG 24 : Línea de Referencia.
PRG 25 : Cálculo de superficie.
PRG 26 : Distancia entre dos objetivos.
PRG 40 : Creación de UDS (desde PRG 1 a PRG 19).
PRG 41 : Definición de Etiquetas.
PRG 43 : Creación de archivos de tipo Area.
PRG 54 : Transferencia de archivos.
3.2.4. Procedimiento para trabajar con los PRG más elementales que
posee la Estación Total Geodimeter 600, para realizar levantamientos
topográficos.
Para mas detalles sobre uso y manejo de este instrumental (vea Anexo C), a
continuación veremos como utilizar los PRG 20, PRG 1 y PRG 2 para realizar
levantamientos topográficos en forma automatizada.
Una vez instalada la estación total siguiendo procedimiento semejante a la
instalación del teodolito, se sigue el siguiente protocolo:
1. Presionar la tecla PWR tanto para el encendido como para el apagado del
sistema, si no se pulsa ninguna tecla después de 60 segundos desde que se ha
activado, el instrumento automáticamente se desactivará. Si se desea conectar el
instrumento antes de las primeras 2 horas, en la pantalla aparecerá la siguiente
leyenda:
Interrupción por el operador
¿Continuar (S/N)?
Si responde “S”, la estación total conserva sus parámetros de instalación.
Si responde “N”, la estación total se restablece perdiendo sus parámetros de
instalación.

2. Calibración del compensador para obtener la precisión máxima de la
inteligencia inherente al sistema, esta operación se logra en forma semejante a la
nivelación de la burbuja tubular del teodolito, es decir, se perfila la pantalla en la
dirección de dos tornillos nivelantes, se accionan dichos tornillos hasta lograr la
nivelación del compensador, luego accionando el tercer tornillo nivelante se logra
la nivelación electrónica del equipo. Posteriormente se presiona la tecla A/M o
ENT, se oirá un pito, se debe esperar entre 6 a 8 segundos por un segundo pito, y
por el cambio en la pantalla:
INIC Comp
Girar: 200
Girar el instrumento en 200 g
(grados centesimales) y la pantalla cambiará:
INIC Comp
Presionar A/M
Un nuevo pito se oirá y la pantalla ahora indicará:
INIC Comp
Esperar
Se espera por un pito doble entre 6 a 8 segundos hasta que la pantalla vuelva a
cambiar automáticamente.
3. Aparece en la pantalla el PΦ, indicador de que el compensador está activado lo
cual permite introducir las siguientes variables:
Temp = 15 ºC (Temperatura promedio anual en La Serena, o se mide con
termómetro).
Presión = 760 mm de Hg (al nivel medio del mar o en el Patio de Topografía, o se
mide con barómetro)
Se introducen o aceptan los valores presionando la tecla ENT, apareciendo en la
pantalla la constante del prisma:
Const = 0.000
Se acepta el valor previa verificación del prisma en el Jalón y se presiona ENT,
solicitándose ahora en la pantalla el ángulo azimutal de referencia:
AHZ : 128.3845
AHZ Ref = ---------------

Se teclea el nuevo azimut de referencia, o el valor cero, o se acepta el valor
que aparece en la pantalla; se dirige la visual hacia el objetivo de referencia y se
presiona la tecla ENT, el instrumento automáticamente quedará en el modo de
medición STD y con orientación en el sistema de coordenadas locales.
En esta fase se debe seleccionar la forma en que se desea realizar las
mediciones de distancia, modo Tracking (al cabo de 2 a 3 segundos se obtiene la
medición de distancia con precisión centimétrica), modo Estándar STD ( se
demora un poco más pero se logra precisión milimétrica).
4. Para lograr “Alta resolución de nivelación” en la estación total, se presiona
la tecla del nivel electrónico ( figura ampolleta de nivel) y se procede a afinar la
nivelación electrónica del equipo, para salir de este proceso se presiona
nuevamente la tecla del nivel electrónico.
En esta etapa la estación total se encuentra habilitado para trabajar como
teodolito y como Instrumento Electrónico de Medición de Distancia, es decir, se
puede medir ángulos verticales, horizontales azimutales, distancias inclinadas,
distancias horizontales y diferencias de nivel, que junto con la altura instrumental,
la altura de jalón en el punto observado, el azimut magnético de la línea base que
se quiere determinar, más la asignación de coordenadas arbitrarias al punto de
instalación, o la determinación de coordenadas aproximadas a través de un
navegador GPS, permiten calcular las coordenadas del punto observado usando las
siguientes expresiones:
YB = YA + DiA-B * Sin ZA-B * Cos AzA-B
XB = XA + DiA-B * Sin ZA-B * Sin AzA-B
ZB = ZA + hiA + DiA-B Cos ZA-B + 6.66/10^8 * DiA-B
^
2 - hjB
Con la obtención de la base topográfica (Ver Figura 18 A), o si eventualmente
se conocieran las coordenadas de un par de puntos (Ver Figura 18 B), se estaría
en condiciones de comenzar a utilizar el PRG 20:
Teclear PRG 20, ENT, aparece
¿Medir Cota? Se puede responder con un Si o un No, si es con Si presione ENT.
10:21 Esta sería la cota de la última Estación de instalación, por lo tanto
Cota = X.XXX se puede teclear Si o No, si es Si presione ENT.
Sustituir Z?

10:21 Introducir la altura instrumental de su equipo, ENT.
A1
Figura 18 A Datos requeridos cuando no se conoce una base topográfica. Figura 18 B Datos
necesarios para ingresar a Estación Total Geodimeter, después de seleccionar Programa UDS 20.

4. Tipo de direcciones.
En topografía se puede trabajar con cuatro tipos de direcciones, la geográfica
o verdadera que se obtiene por medio del giróscopo, o realizando observaciones
estelares, amarrándose a la Red Geodésica Nacional o a la Red GPS, la UTM
(Universal Transversal de Mercator) corresponde a una dirección cartográfica que
se puede obtener amarrándose a Red Geodésica Nacional o a la Red GPS, la
dirección magnética se obtiene por medio de brújula, y la arbitraria se logra
por simple arbitrio y se corrige posteriormente.
Figura 19. Origen de los cuatro puntos cardinales o sistema de referencia de direcciones.
4.1. Rumbo de una línea topográfica.
Corresponde a la dirección de una línea respecto al meridiano escogido, se
indica por el ángulo agudo que la línea forma con el meridiano, se mide a partir del
Norte o Sur, el rumbo puede ser geográfico, UTM, magnético o arbitrario.
RumboA-B = N θ E “Rumbo directo A-B”
RumboB-A = S β W “Rumbo directo B-A”
“Rumbo inverso A-B”
θ = β
Convención: N,E (+); S,W (-).
Figura 20. Dirección A-B del rumbo directo, dirección B-A del rumbo inverso.

4.2. Azimut de una línea topográfica.
Representa la dirección de una línea respecto al meridiano escogido, se indica
por el ángulo entre la línea y un extremo del meridiano (para trabajos topográficos
extremo Norte y para trabajos geodésicos extremo Sur), el ángulo se mide en
sentido horario y el azimut puede ser geográfico, UTM, magnético o arbitrario.
AzimutA-B = θ “Azimut directo A-B”
AzimutB-A = 2R + θ “Azimut directo B-A”
“Azimut inverso A-B”
R = 90 ̊ sistema sexagesimal.
R = 100g
sistema centesimal.
Figura 21. Dirección A-B del azimut directo, dirección B-A del azimut inverso.
4.3. Determinación de distancia horizontal (DH), rumbo (Rbo) o azimut
(Az) de una línea o base topográfica.
Si se conocen las coordenadas bidimensionales de una base topográfica,
además los cuadrantes topográficos de las funciones trigonométricas y la
convención de los signos de los cuatro puntos cardinales, entonces podemos
obtener los siguientes parámetros:
Δ : Estación topográfica de coordenadas conocidas.
Figura 21A. Base topográfica en el primer cuadrante (IC). Figura 21B. Cuadrantes topográficos y
sus funciones trigonométricas S: Seno, C: Coseno.
DHA-B = 22
BABA XY −− Δ+Δ = 22
)()( ABAB XXYY −+− Distancia HorizontalA-B.

Tg BA−θ = BAX −Δ / BAY −Δ = Sen BA−θ /Cos BA−θ
⇒ )/()(()/( ABABBABABA YYXXArctgYXArctg −−=ΔΔ= −−−θ “Interpretar el cuadrante
topográfico”
Cuadrante I. ))/()(( ABABBA YYXXArctg −−=−θ = )/()( ++ = (+)
⇒ RboA-B = N BA−θ E; 0 R1≤≤ θ
⇒ AzA-B = BA−θ ; 0 RAz BA 1≤≤ −
Cuadrante II. ))/()(( ABABBA YYXXArctg −−=−θ = )/()( −+ = (-)
⇒ RboA-B = S BA−θ E; 0 R1≤≤ θ
⇒ AzA-B = +R2 BA−θ ; R1 RAz BA 2≤≤ −
Cuadrante III. ))/()(( ABABBA YYXXArctg −−=−θ = (-)/(-) = (+)
⇒ RboA-B = S BA−θ W 0 R1≤≤ θ
⇒ AzA-B = +R2 BA−θ ; 2 R RAz BA 3≤≤ −
Cuadrante IV. ))/()(( ABABBA YYXXArctg −−=−θ = (-)/(+)= (-)
⇒ RboA-B = N BA−θ W; 0 R1≤≤ θ
⇒ AzA-B = +R4 BA−θ ; 3 R RAz BA 4≤≤ −
Ejemplo: Determine la DHA-B, RboA-B, AzA-B, RboB-A, AzB-A, de la base topográfica
siguiente:
YA = 4500,830 m
XA = 3820,370 m
YB = 3973,980 m
XB = 3572,250 m
Solución
DHA-B = 22
)830,450098,3973()370,3820250,3572( −+− = 582,353 m
))830,4500980,3973/()370,3820250,3572(( −−=− ArctgBAθ = (-)/(-)=(+) 28,0201g

⇒ III Cuadrante; RboA-B = S 28,0201g
W; AzA-B = 2R + BA−θ = 228,0201g
=−−=− ))980,3973830,4500/()250,3572370,3820((ArctgABθ (+) 28,0201g
⇒ I Cuadrante; RboB-A = N 28,0201g
E; AzB-A= AB−θ = 28,0201g
4.4. Relación entre Norte Astronómico y Norte Magnético de una base
topográfica.
Para fines topográficos se considera que las direcciones astronómicas de una
base topográfica no cambian en el espacio ni en el tiempo, por el contrario si lo
hacen las direcciones magnéticas, por lo cual es de suma importancia conocer las
expresión que nos permita calcular las direcciones astronómicas y magnéticas de
una base topográfica.
AzA-B Astronómico Año = AzA-B Magnético Año+ ∂ M Año
∂ M Año: declinación magnética de la base para un año determinado.
∂ M > 0 ⇒ Norte Magnético está al Este del Norte Astronómico.
∂ M < 0 ⇒ Norte Magnético está al Weste del Norte Astronómico.
Figura 22.La declinación magnética M∂ entre los meridianos magnético (en rojo) y astronómico
(en negro) en el Hemisferio Norte, se repite en el Hemisferio Sur.
La declinación magnética es el ángulo comprendido entre los meridianos
magnético (en rojo) y astronómico (en negro), en las cartas IGM 1:50000 se
encuentra impresa en el extremo derecho de la carta, entregándose su valor para
el lugar y año del levantamiento, así como también su variación anual expresada
en minutos sexagesimales y su dirección de cambio, lo que permite evaluar la
declinación correspondiente a unos cuantos años antes o después del año de la
carta topográfica; la declinación magnética como se dijo varía en el tiempo en
cualquier parte del planeta, clasificándose sus variaciones como seculares, diarias,
anuales e irregulares.

Ejemplo: El azimut magnético de una base topográfica A-B para el año 1970 era
de 137,82g
, si la declinación magnética en el lugar para el mismo año era 5̊ 33,8̓
E , con una variación anual de 5.4̓ W. Determine AzA-B Magnético 2004 , AZA-B
Astronómico 2006 , ¿a partir de qué año la M∂ estará al Weste del Norte Astronómico ?.
Datos:
AzA-B Magnético 1970 = 137,82 g
M∂ 1970 = 5̊ 33,8̓ E = 6,18 g
E
Δ Anual = 5,4 ̓ W = - 0,1 g
Δ 34 años = 34 * 0,1 g
= 3,4 g
W
Solución 1 (análisis gráfico).
M∂ 2004 = M∂ 1970 - Δ 34 años = 6,18 g
– 3,4 g
= 2,78 g
AzA-B Magnético 2004 = AzA-B Magnético 1970 + Δ34 años = 137,82 g
+ 3,4 g
= 141,22 g
Solución 2 (uso de expresión).
AzA-B Astronómico 1970 = AzA-B Magnético 1970+ ∂ M 1970 = 137,82g
+ 6,18 g
AzA-B Astronómico 1970 = 144,00 g
AzA-B Magnético 2004 = AzA-B Astronómico 1970 - M∂ 2004
=
144,00 g
– 2,78 g
AzA-B Magnético 2004 = 141,22 g
4.5. Relación entre el Norte Astronómico y Norte UTM.
En el Hemisferio Sur y para nuestro país, en los meridianos centrales 69̊ y 75̊ ,
podemos encontrar bases topográficas ubicadas al Este y Weste de dichos
meridianos, en tal caso, es necesario considerar el ángulo de convergencia (c),
comprendido entre el meridiano verdadero o astronómico, y el meridiano UTM,
para determinar la dirección astronómica o UTM de la base topográfica.
Figura 23: Base topográfica A-B al Este y Weste de un Meridiano Central en el Hemisferio Sur.
4.5.1. Obtención de c ángulo de convergencia entre los meridianos UTM y
Astronómico, a partir de coordenadas geográficas.

C= ((XII) p + (XIII) p3
+ C5)/3600
XII = Sin ϕ 104
XIII = (Sin2
1̎ Sin ϕ Cos2
ϕ )/3 (1+3 e ̍̍ 2
Cos 2
ϕ +2 e̍ 4
Cos4
ϕ ) 1012
C5 = p5
(Sin4
1̎ Sinϕ Cos4
ϕ )/15 (2 – tg2
ϕ ) 1020
P = 0,0001 λΔ
λΔ = λ−MC *3600 ; MC : Meridiano Central.
λΔ = λλ −0 ; 0λ = 69 ̊ ∨ 75 ̊
Observación:
Si λΔ < 0 ⇒ que el punto o base topográfica está al Weste del MC.
Si λΔ > 0 ⇒ que el punto o base topográfica está al Este del MC.
Ejemplo: Determinar el ángulo de convergencia entre meridianos para el punto
que tiene las siguientes coordenadas geográficas, para PSAD-56.
=Pϕ S 29 ̊ 30 ̍ 14,32 ̎ Pλ = W 70 ̊ 27 ̍ 54,25 ̎
e̍ 2
= 0,0067681702366 0λ = 69 ̊
Solución. Reemplazando el valor de ϕ y λ en XII, XIII y C5 se obtiene:
XII = 4924.839836
XIII = 2.96777548
λΔ = 5274.25
P = 0.527425
C5 = 7.134764737E-05
C = 0.8018268972 g
= 0 ̊ 43 ̍ 17.92 ̎
4.5.2. Obtención de c ángulo de convergencia entre los meridianos UTM y
Astronómico, a partir de coordenadas UTM.
C = (XV) q + (XVI) q3
+ F5
XV = (tg ϕ ̍ )/ (r sin 1 ̎ K0 ) 106
XVI = tg ϕ ̍ /(3 r3
Sin 1 ̎ ) (1 + tg2
ϕ ̍ - e ̍ 2
Cos2
ϕ ̍ -2 e ̍ 4
Cos4
ϕ ) (1/K0
3
) 1018
F5 = q5
tg ϕ ̍ /(15 r5
Sin 1 ̎ ) (2 +5 tg2
ϕ ̍ + 3 tg4
ϕ ̍ ) (1/K0
5
) 1030
q = 0.000001 |E ̍ |
E ̍ = 500000 – E
4.6. Cálculo de direcciones por rumbos.
Angulo comprendido
entre alineaciones.
Agregar Primera letra
0 – 1 R 0 Cambia
1 R – 3 R -2 R No cambia
> 3 R - 4 R Cambia

4.7. Cálculo de direcciones por azimutes.
Angulo comprendido entre
alineaciones.
Agregar
> 2 R - 2 R
> 6 R - 6 R
< 2 R + 2 R
4.8. Cálculo de azimutes al radiar puntos desde una base topográfica.
Angulo resultante Agregar
> 4 R - 4 R
< 4 R 0

4.9. Cálculo de coordenadas.
En topografía para determinar las coordenadas rectangulares bi o
tridimensionales de un punto observado, es suficiente con conocer la posición de
un punto estación, desde el cual se debe determinar directa o indirectamente la
DH Pto. Estación- Pto. Observado (directamente con cinta, indirectamente con teodolito y
mira, teodolito con cinta, Estación Total con jalón y prismas, Distanciómetro con
Jalón y prismas) y además debe medirse la dirección entre el punto estación y el
punto observado, es decir, el Azimut Pto. Estación- Pto. Observado o el rumbo Pto. Estación- Pto.
Observado. Luego deben aplicarse las siguientes expresiones para obtener la posición
del punto observado B:
Δ : Estación topográfica de coordenadas
conocidas.
Ο : Punto observado o a determinar sus
coordenadas.
ΘA-B : RumboA-B, en el primer cuadrante
topográfico también representa al
AzimutA-B.
Figura 24: parámetros requeridos para determinar posición del Punto observado B.
XB = XA + ΔXA-B = XA + DHA-B * Sin AzA-B = XA + DHA-B * Sin RboA-B
YB = YA + ΔYA-B = YA + DHA-B * Cos AzA-B = YA + DHA-B * Cos RboA-B
ZB = ZA + DNA-B = ZA + hiA + HA-B + 6.66/10^8 * DiA-B
^
2 - hjB
(XB, YB, ZB): Coordenadas Totales del Punto Observado B.
(ΔXA-B, ΔYA-B, DNA-B) : Coordenadas Parciales A-B
Observación: cuando se utiliza el RboA-B en el cálculo de las coordenadas, debe
recordarse la convención 4.1 N,E (+) , S,W (-), es decir, debe anteponerse el
signo de la primera letra del RboA-B en el caso ΔYA-B , y el signo de la segunda letra
del RboA-B en el caso ΔXA-B. Todo esto se debe a que el Rumbo siempre es un
ángulo agudo, luego las funciones coseno y seno siempre serían positivas, por lo
que los signos de las primeras letras antes indicadas le dan la característica de la
dirección de la línea, tema tratado cuando se analizó el cuadrante donde se ubica
el rumbo de la línea.

4.9.1. Aplicaciones de las coordenadas.
4.9.1.1. Determinación de superficies utilizando coordenadas.
Cuando se conocen las coordenadas bidimensionales del perímetro de un
predio, es posible determinar la superficie del terreno encerrada por dicho
perímetro, para ello se utiliza la expresión del determinante alterado, es decir,
siguiendo la dirección en el sentido horario (+) o antihorario (-) de los puntos que
representan el perímetro del predio, se tabulan los datos ordenándolos en forma
secuencial, y cuando se llega al último punto del contorno del predio, se repite el
primero, luego se multiplican desde arriba y cruzado obteniendo los productos Xi
Yi+1 y después se calcula también desde arriba y cruzado los productos Xi Yi+1 ,
aplicando la expresión en valor absoluto se obtiene lo requerido:
Superficie = 1/2 )11
1
1
(1
2
1 YnXiY
n
i
iXX
n
i
nYiYiX ++∑
−
=
−∑
=
+−
Para el caso de un predio de cuatro puntos el determinante alterado quedaría
tabulado de la siguiente manera:
Y1 X1
Y2 X2
Superficie=1/2 Y3 X3 = ½⏐(Y1X2 + Y2X3 + Y3X4 +Y4X1) – (X1Y2 + X2Y3 + X3Y4 + X4Y1)⏐
Y4 X4
Y1 X1
Observaciones:
1. El valor absoluto del determinante alterado es para preservar el valor positivo
del cálculo de la superficie, dado que, cuando se ordena o tabula el determinante

en la dirección contraria a los punteros del reloj, las superficies dan valores
negativos.
2. El cálculo de superficie se realiza en la proyección horizontal del plano (Y,X) o
(X,Y), sin embargo en el caso de la ingeniería agrícola generalmente se requiere
obtener el cálculo de la superficie de laderas de cerros, es decir, la superficie del
plano inclinado, para ello se sugiere obtenerlo de la siguiente manera:
PV: Plano Vertical.
PH: Plano Horizontal.
PI: Plano inclinado.
α : ángulo de pendiente del
terreno, el cual puede medirse
con el eclímetro de una brújula.
Superficie PI ≈ Superficie PH/ Cosα
Superficie PH =1/2 )141
14
1
(1
4
2
41 YXiY
i
iXX
n
i
YiYiX ++∑
−
=
−∑
=
=
+−
Es evidente que la expresión propuesta se cumple para planos inclinados
perfectos, y para ángulos de pendientes uniformes, situaciones que en la realidad
no suelen ocurrir, pero que pueden aproximarse a ella.
4.9.1.2. Replanteo de puntos, ejes, y arcos a través de coordenadas.
Una vez realizado el levantamiento y obtenido el plano topográfico, viene
generalmente la etapa del diseño de algún proyecto, el cual involucra una serie de
elementos geométricos coordenados tales como puntos, ejes, curvas y arcos que
pueden representar diversos diseños de ingeniería, entre ellos ejes de galerías,
caminos, canales, principios o fin de curvas, esquinas de edificios, centro de
piques, etc. Los cuales deben materializarse en el terreno, para ello se recurre a
las coordenadas de los puntos estaciones desde los cuales se realizó el
levantamiento, o a la creación de nuevos puntos coordenados.
En rigor es necesario, tener una base topográfica desde la cual se pueda
instalar el instrumento en uno de los extremos de la base y se cala u orienta el

instrumento hacia el otro extremo de la base, se mide el ángulo horizontal horario
Ω Estación- Pto. Replanteo y la distancia DH Estación- Pto. Replanteo , se demarca en el terreno a
través de estacas los puntos en terreno, se unen los puntos y se originan los ejes;
las curvas en superficie se replantean con ángulos de deflexiones y cuerdas que a
la vez van generando los respectivos arcos, los cuales a través de estacas también
se van materializando. La situación se complica un poco en el subsuelo donde hay
que realizar apertura del subsuelo por medio de la perforación y tronadura, para
mayores detalles se sugiere revisar los ejercicios resueltos del apunte La
Topografía y sus Aplicaciones en los Laboreos subterráneos del suscrito, el
cual se encuentra disponible en la plataforma moodle del Departamento de
Ingeniería de Minas: www.depminasuls.cl/moodle
Obtención de elementos de replanteo:
DH Estación- Pto. Replanteo = ((XPto Replanteo – X Estación)2
+ (YPto Replanteo – Y Estación)2
)(1/2)
Si el Az Estación- Pto. Replanteo < AzBase ⇒ Ω (+) “ángulo horario sería”:
Ω Estación- Pto. Replanteo = 4R- (AzBase - Az Estación- Pto. Replanteo)
Si el Az Estación- Pto. Replanteo > AzBase ⇒ Ω (+) “ángulo horario sería”:
Ω Estación- Pto. Replanteo = Az Estación- Pto. Replanteo - AzBase

5. Métodos de levantamientos topográficos.
Con el avance de la tecnología han surgido también nuevas metodologías para
realizar levantamientos topográficos, como es el caso de la topografía satelital, en
este capítulo se expondrán principalmente los métodos mas clásicos de medición
en terreno, los cuales son aplicables a un sinnúmero de áreas y actividades de la
ingeniería.
5.1. La radiación.
Es un método topográfico que consiste en instalarse en uno de los puntos de
coordenadas conocidas de una base topográfica, o sobre un punto de coordenadas
conocidas (A), y orientándose por el otro punto de la base (B) o de un punto de
dirección conocida (B), se mide la distancia horizontal DHA-P, entre el punto
estación (A) y el punto observado (P) y además se mide el ángulo horizontal
horario θA-P entre las líneas.
Para la medición de distancia se puede utilizar teodolito con mira, teodolito
con cinta de acero, distanciómetro o estación total con jalón y prismas.
5.1.1. Radiación a partir de una base topográfica.
XP = XA + ΔXA-P
YP = YA + Δ YA-P
ZP = ZA + DNA-P
(XP, YP, ZP): coordenadas totales de P.
ΔXA-P = DH A-P Sin AZA-P
ΔYA-P = DH A-P Cos AZA-P
DNA-P = hi A + H A-P + 6.66 108
DiA-P
2
- hjP
(ΔXA-P, ΔYA-P, DNA-P): coord. parciales A-P.
Figura 25 a: Radiación desde una base topográfica.
Δ : símbolo que representa los puntos trigonométricos de la base topográfica,
cuyas coordenadas son conocidas, en este caso el trío de puntos coordenados de
A(X,Y,Z) y B(X,Y,Z).
Ο : símbolo que representa el vértice al cual se desea conocer las coordenadas (P).
ΘA-P : ángulo horizontal horario medido en terreno entre las líneas A-B y A-P.
AZA-B= Azimut A-B medido en terreno.
AZA-P = Azimut A-P necesario para calcular coordenadas de P.
Observación: Cuando se utiliza un teodolito o taquímetro repetidor, debe
verificarse la orientación (cero-cero) cada una cierta cantidad de puntos
levantados, aceptándose como tolerancia máxima la precisión del equipo de
medición.

5.1.2. Radiación a partir de un punto con coordenadas y dirección
conocida.
XP = XA + Δ XA-P
YP = YA + ΔYA-P
ZP = ZA + DNA-P
(XP, YP, ZP): coordenadas totales de P.
Δ XA-P = DH A-P Sin AZA-P
Δ YA-P = DH A-P Cos AZA-P
DNA-P = hi A + H A-P + 6.66 108
DiA-P
2
- hjP
(Δ XA-P, Δ YA-P, DNA-P): coord. parciales A-P.
Figura 25 b: Radiación desde un punto con coordenadas y dirección conocida.
Δ : símbolo que representa un punto trigonométrico cuyas coordenadas son
conocidas, en este caso representa al trío de puntos coordenados de A(X,Y,Z).
Ο : símbolo que representa al vértice de orientación (B) y al punto al cual se desea
conocer las coordenadas (P).
ΘA-P : ángulo horizontal horario medido en terreno entre las líneas A-B y A-P.
AZA-B= Azimut A-B medido en terreno.
AZA-P = Azimut A-P necesario para calcular coordenadas de P.
5.2 La intersección
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎩
⎨
⎧
Inversa
iónTrilaterac
iónTriangulac
Directa
.2
.2
.1
.1
5.2.1.1 La triangulación.
La triangulación topográfica, por su precisión, ha sido uno de los métodos
clásicos más usados en el levantamiento de coordenadas planimétricas de vértices
ubicados a distancias kilométricas; dichos vértices sirven a su vez para ligar
diversos trabajos topográficos.
Este método, consiste básicamente en que a partir de una base
topográfica A-B conocida, se puede determinar la posición de un punto C, para ello
la solución consiste en instalarse con un teodolito en las estaciones topográficas
A, B y C y se miden por reiteración los ángulos horizontales interiores γβα y, ,
además los ángulos verticales A-C, A-B, B-A, B-C, C-A, C-B, las alturas
instrumentales hiA, hiB, hiC , los hilos medios hmA, hmB y hmC.

Δ : Base topográfica de coordenadas conocidas, por
lo que se conocen implícitamente los azimutes
AzA-B, AzB-A y la distancia horizontal DHA-B=DHB-A = C.
Ο : Estación creada para determinar su posición.
α , β ,γ : Angulos horizontales horarios promedios
C-A-B, A-B-C y B-C-A respectivamente, resultantes
de una serie de reiteraciones, en el caso de
trabajos de 3er
orden geodésico, es necesario medir
cuatro reiteraciones por cada ángulo.
dα ,d β , dγ : desviación estándar de los valores
más probables, de los ángulos respectivos γβα ,, .
dα ,d β , dγ ≤ ± 0,0017g
, para trabajos de 3er
orden geodésico.
Figura 26: Triangulación desde una base topográfica conocida.
Condición angular de una triangulación.
Teoría : α + β + γ = 2R R= 100g
sistema centesimal.
Práctica: α + β + γ = 2R + ε∠ R = 90º sistema sexagesimal.
ε∠ : error de cierre angular obtenido.
Obs. Para trabajos geodésicos de 3er
orden el ε∠ Admisible ≤ ± 0,0030g
.
Si el ε∠ ≤ ε∠ Admisible ⇒ compensación εi = ± |ε∠ |/3
α’= α + εi , si ε∠ > 0 ⇒ εi (-), si ε∠ < 0 ⇒ εi (+)
β’ = β + εi
γ’ = γ + εi
Cálculo de lados de una triangulación.
sinγ’/c = sinα’/a = sin β’/b , α’,β’, γ’: ángulos horizontales ajustados.
DHA-B = c “base conocida”
DHB-C = a = sinα’/ sinγ’/c DHA-C = b = sin β’/ sinγ’/c
Cálculo de coordenadas de C (desde la estación A).
XC = XA + ΔXA-C= XA + DHA-C sinAzA-C AzA-C = AzA-B - α’
YC = YA + ΔYA-C = YA + DHA-C cosAzA-C
ZC = ZA + DNA-C= ZA + hiA + HA-C +6.66/108
DiA-C
2
- hmC
HA-C = DHA-C tg α = DHA-C/tgZ = - DHA-C/tgN , α, Z, N: ángulos verticales referidos
al horizonte, al zenit y al nadir respectivamente.
DiA-C= DHA-C/cosα = DHA-C/sinZ= DHA-C/sinN, DHA-C = b “Distancia Horizontal A-C”.

Cálculo de coordenadas de C (desde la estación B).
X’C = XB + ΔXB-C= XB + DHB-C sinAzB-C AzB-C = AzB-A + β’
Y’C = YB + ΔYB-C = YB + DHB-C cosAzB-C
Z’C = ZB + DNB-C= ZB + hiB + HB-C +6.66/108
DiB-C
2
- hmC
HB-C = DHB-C tg α = DHB-C/tgZ = - DHB-C/tgN , α, Z, N: ángulos verticales referidos
al horizonte, al zenit y al nadir respectivamente.
DiB-C= DHB-C/cosα = DHB-C/sinZ= DHB-C/sinN, DHB-C = a “Distancia Horizontal B-C”.
Coordenadas definitivas de C.
XC = (XC + X’C)/2
YC = (YC + Y’C )/2
ZC = (ZC +Z’C )/2
Observaciones:
1. Para triangulaciones de 3er
orden geodésico los ángulos horizontales
interiores γβα y, se miden c/u con cuatro reiteraciones.
2. Los ángulos verticales referidos al α, Z y N, al horizonte, al zenit y al nadir
respectivamente se miden con tres reiteraciones para trabajos geodésicos de 3er
orden, y el error de índice tolerable es ε∠ Admisible ≤ ± 0,0050g
.
3. De los métodos clásicos es el de mayor precisión y el de menor costo.
5.2.1.2 La trilateración.
Δ: Base topográfica de coordenadas conocidas, donde
se conocen implícitamente los azimutes AzA-B, AzB-A y
la distancia horizontal DHA-B= DHB-A = C.
Ο : Estación creada para determinar su posición.
DHB-C = DHC-B = a (se mide con instrumental electrónico
de distancia en forma recíproca).
DHA-C = DHC-A = b (se mide con instrumental electrónico
de distancia en forma recíproca).
Figura 27: Trilateración desde una base topográfica conocida.
El surgimiento del método topográfico conocido como trilateración se inicia
con la aparición de una amplia gama de distanciómetros electrónicos y de
estaciones totales, las operaciones consisten en medir las longitudes de los

lados de los triángulos, para determinar con ellos por trigonometría los valores de
sus ángulos, es decir, el proceso inverso que se utiliza en la triangulación.
La medición de los lados de los triángulos debe hacerse en forma recíproca y
con a lo menos cuatro mediciones en ambas direcciones. Las mediciones lineales
deben corregirse por presión y por temperatura, ingresándose además la
constante de los prismas, en 0,000 m en el lado de afuera o plano del portaprisma
(of set) o en 0,030 m en el lado interior del portaprisma (in).
Las operaciones en terreno consisten en instalarse en las tres estaciones A,B
y C con el distanciómetro o con una estación total, en los extremos opuestos se
ubican los prismas reflectores, y se miden recíprocamente las distancias A-B, A-C,
B-A, B-C, C-B y C-A, además se deben medir los ángulos verticales con tres
reiteraciones c/u (para lograr trabajos geodésicos entre el 3er
y 4º orden) en las
direcciones A-C, A-B, B-A, B-C, C-A y C-B, las alturas instrumentales hiA, hiB, hiC, así
como también las alturas de jalón hjA, hjB y hjC..
Cálculo de los ángulos α, β y γ de una trilateración.
a2
= b2
+ c2
– 2bc cosα ⇒ α = Arcos (b2
+ c2
- a2
)/2bc)
b2
= a2
+ c2
– 2ac cosβ ⇒ β = Arcos (a2
+ c2
- b2
)/2ac)
c2
= a2
+ b2
– 2ab cosγ ⇒ γ = Arcos (a2
+ b2
- c2
)/2ab)
Condición angular y cálculo de coordenadas de una trilateración.
Idéntico a la triangulación, ver método de la triangulación en 5.2.1.1.
Observaciones:
Por el costo que significan las operaciones topográficas es el método menos
utilizado, además de los costos de los materiales accesorios como los prismas
reflectantes y el requerimiento de uso de radio de comunicaciones dada las
distancias kilométricas entre estaciones.
5.2.2 Intersección inversa o problema de la carta (Pothenot).
La intersección inversa consiste en que a partir de tres puntos de
coordenadas conocidas, un operador se puede instalar con teodolito sobre una
estación creada P y se miden los ángulos horizontales α’ y β, la altura instrumental
hiP, los hilos medios hmA, hmB y hmC, los ángulos verticales P-A, P-B o P-C y
obtener la posición de la estación de instalación P.

Δ : Vértice con coordenadas conocidas.
Ο : Vértice sin coordenadas.
∠ APB = α ’ , ∠ BPC = β
Azimut B-A – Azimut B-C = θ = ∠ BCA
∠ BAP = X , ∠ PCB = Y
∠ BCP = Ω = 2R – ( β + Y)
DHA-B = DHB-A = a , DHB-C = DHC-B = b
DHB-P = DHP-B = d
AzB-P = AzB-C + Ω , AzP-B = AzB-P – 2R
Figura 28: Intersección inversa o problema de la carta.
De la figura ABCP se puede obtener:
i)∑
=
=
∠
4
1
int
n
i
eriores i = 2R(n – 2) = 4R, (n=4)
i) x + θ + y + β + α’ = 4R, R= 100g
o R= 90º
i) x+y = 4R – (α’ + β + θ), si k= 4R – (α’ + β + θ)
1) x = k- y
De la figura 1, triángulo ABP se puede obtener:
sinα’/a = sinx/d ⇒ d= a sinx/sinα’
De la figura 2, triángulo BCP se puede obtener:
sinβ/b = siny/d’ ⇒ d’= b siny/sinβ
Igualando d = d’ ⇒ a sinx/sinα’ = b siny/sinβ
2) sinx = b sinα’ siny/a sinβ
1) x = k- y
Como 1ª solución con las expresiones 1) y 2) se puede obtener la solución
numérica de una ecuación, utilizando la iteración por el método de Newton,
obteniendo los valores angulares de x e y.

Como 2ª solución se puede trabajar de la siguiente manera:
1) x = k- y / sin (aplicando la función seno a la expresión 1).
sinx = sin(k-y) = sink cosy – siny cosk
1’) sinx = sink cosy – siny cosk
2) sinx = b sinα’ siny/a sinβ
sink cosy – siny cosk = b sinα’ siny/a sinβ
sink cosy = siny (cosk+ b sinα’/a sin β)
2’) tgy = sink/( cosk+ b sinα’/a sin β) ⇒ y = Arctg(sink/( cosk+ b sinα’/a sin β))
El valor de y se debe interpretar para indicar en que cuadrante se encuentra el
ángulo buscado y, luego se reemplaza en 1) y se obtiene x.
Cálculo de coordenadas de la estación P.
XB = XP + ΔXP-B
YB = YP + ΔYP-B Coordenadas totales del vértice de posición conocida B.
ZB = ZP + DNP-B
Pto. Pto.
Observado Estación
XP = XB - ΔXP-B
YP = YB - ΔYP-B Coordenadas totales de la estación de instalación P.
ZP = ZB - DNP-B
ΔXP-B = DHP-B sin AzP-B =⎯d sin AzP-B ⎯d = (d+d’)/2
ΔYP-B = DHP-B cos AzP-B =⎯d cos AzP-B Coordenadas parciales desde P-B.
DNP-B = hiP + HP-B + 6.66/108
Di2
P-B - hjB
HP-B = DHP-B tgα = DHP-B / tgZ = - DHP-B / tgN (α, Z, N ángulos verticales al
horizonte, zenit y nadir respectivamente).
DiP-B = DHP-B/cosα = DHP-B/sinZ = DHP-B/sinN
AzP-B = AzB-P – 2R , AzB-P = AzB-C + Ω , Ω= 2R – ( β + Y)

5.3 Poligonales.
A partir de un vértice que tiene coordenadas conocidas es posible determinar
la posición de otro punto, si se mide la distancia horizontal entre ellos y su azimut ,
este proceso puede extenderse indefinidamente midiendo cada vez la distancia
horizontal entre la última estación creada y el nuevo punto del polígono, y además
el ángulo horizontal entre las líneas, a todo este proceso se le denomina
poligonación.
Δ : Vértice con coordenadas conocidas.
Ο : Vértice de estación creada.
⎯DHi,j: pueden medirse con teodolito y mira, con
teodolito y huincha, distanciómetro con jalón y
prismas, o estación total con jalón y prismas.
Las DHi,j deben medirse en forma recíproca.
Los Azimutesi,j se obtienen a partir del AzA-B y
los ángulos exteriores αi aplicando la regla de
los azimutes en cada línea.
Los ángulos horizontales αi deben medirse por
reiteración las veces que lo requiera el orden de
precisión del trabajo topográfico.
Figura 29: Proceso de generación de un polígono.
La finalidad de las poligonales es la densificación de puntos coordenados que
permitan realizar operaciones topográficas, tales como, levantamientos de detalles
de sectores específicos, realización de replanteos o materialización de proyectos de
ingeniería, y control de las obras o proyectos de ingeniería.

5.3.1 Variantes de poligonación y condición angular.
1. Poligonales cerradas con ángulos interiores.
Δ: Vértice de inicio y llegada de la poligonal,
sus coordenadas son conocidas.
(-): Sentido de avance antihorario, referencia
a considerar al medir el acimut AzA.B y los
los ángulos interiores αi, las distancias
horizontales DHi,j, las coordenadas parciales
ΔXi,j, ΔYi,j y DNi,j.
Las distancias horizontales DHi,j deben
medirse en forma recíproca.
Los ángulos horizontales αi deben medirse
por reiteración las veces que lo requiera el
orden de precisión del trabajo topográfico.
Figura 30: Poligonal cerrada se inicia y se llega a la misma estación de coordenadas conocidas,
midiendo los ángulos interiores horizontales en el sentido antihorario.
Condición angular.
Teoría: ∑=
n
i
i
1
α = 2R (N-2)
Práctica: ∑=
n
i
i
1
α = 2R (N-2) + ε∠
R= 90º ∨ 100g
según sistema sexagesimal o centesimal respectivo.
N : Nº de lados o vértices del polígono.
Si el ε∠ ≤ ε∠ ADMISIBLE ⇒adoptar criterio de compensación.

2. Poligonales cerradas con ángulos exteriores.
Δ: Vértice de inicio y llegada de la poligonal,
sus coordenadas son conocidas.
(+): Sentido de avance horario, referencia a
considerar al medir el acimut AzA.B y los
ángulos exteriores αi, las distancias
horizontales DHi,j, las coordenadas parciales
ΔXi,j, ΔYi,j y DNi,j.
Las distancias horizontales DHi,j deben
medirse en forma recíproca.
Los ángulos horizontales αi deben medirse
por reiteración las veces que lo requiera el
orden de precisión del trabajo topográfico.
midiendo los ángulos exteriores horizontales en el sentido horario.
Condición angular.
Teoría: ∑=
n
i
i
1
α = 2R (N+2)
Práctica: ∑=
n
i
i
1
α = 2R (N+2) + ε∠
R= 90º ∨ 100g

3. Poligonales cerradas con ángulos exteriores e interiores.
Δ : Vértice de inicio y llegada de
la poligonal con coordenadas
conocidas.
(+): sentido de avance horario,
se usan los ángulos horizontales
exteriores para el cálculo de
azimutes.
(-):sentido de avance antihorario
se usan los ángulos horizontales
interiores para el cálculo de
azimutes.
F: estación ficticia, se considera
para obtener el valor de K en la
condición angular.
DHi,j, ΔXi,j, ΔYi,j y DNi,j deben
calcularse en la misma dirección
en que se calculan los azimutes
Azi,j.
midiendo ángulos horizontales exteriores e interiores.
Condición angular.
Teoría: ∑=
n
i
i
1
α = KR
Práctica: ∑=
n
i
i
1
α = KR+ ε∠
R= 90º ∨ 100g
K ∈ lN ; K = 2 N1 + 2 N2 – 4; N1 : es el número de lados o vértices del polígono 1,
el cual puede tener n lados. N2 : es el número de lados o vértices del polígono 2, el
cual también puede tener n lados.

Obtención de K.
Si F es una estación ficticia, en la figura 1 ABCF la condición angular es:
∑=
n
i
i
1
α = 2R (N1+ 2) ⇒ i)α1 + α2 + α3 + 4R - ϕ = 2RN1 + 4R
∴ i) α1 + α2 + α3 - ϕ = 2RN1
En la figura 2 FDE la condición angular es:
∑=
n
i
i
1
α = 2R (N2 - 2) ⇒ ii)α4+ α5+ ϕ = 2RN2 - 4R
Luego: i) α1 + α2 + α3 - ϕ = 2RN1
ii)α4+ α5+ ϕ = 2RN2 - 4R
∑
=
=
5
1
n
i
iα = 2RN2 + 2RN1 – 4R = R(2N2 – 2N1 – 4)
K
∴ ∑
=
=
5
1
n
i
iα = K R

4. Poligonales de enlace.
Δ: Vértice de triangulación, cuyas
coordenadas son conocidas.
Ο : Vértice estación de poligonal
creada.
AzI-II: Azimut de partida de la
poligonal de enlace.
AzIII-IV: Azimut de llegada de la
poligonal de enlace.
calcularse en la misma dirección
en que se calculan los azimutes
Azi,j, es decir, en el sentido de
avance del polígono.
Figura 33: Poligonal de enlace, se inicia en un vértice con coordenadas y se llega a otro también de
posición conocida, midiendo los ángulos horizontales en la dirección del sentido de avance.
Una poligonal de enlace se inicia en un vértice con coordenadas, y se llega a otro
vértice también de posición conocida, estos vértices pueden pertenecer a trabajos
anteriores, tales como triangulaciones, poligonaciones, red geodésica nacional, red
GPS, etc.
Condición angular.
Teoría: ∑=
n
i
i
1
α = Az Llegada – Az Partida + KR
→ sentido de avance
Práctica: ∑=
n
i
i
1
α = Az Llegada – Az Partida + KR + ε∠
→ sentido de avance
R= 90º ∨ 100g
K ∈ lN y se puede obtener en forma analítica o aproximadamente por cálculo.

Obtención de K
1. Método analítico (usando regla de los azimutes, ver tabla página 48).
AzII-A = AzI-II + α1 – 2R
Ver tabla
AzA-B = AzII-A +α2 - 2R
Ver tabla
AzB-C = AzA_B +α3 - 2R
Ver tabla
AzC-III = AzB-C +α4 - 2R
Ver tabla
AzIII-IV = AzC-III +α5 - 2R
Ver tabla (+)
AzI-II = ∑
=
=
5
1
n
i
iα - 10R + AzIII-IV
∑
=
=
5
1
n
i
iα = AzIII-IV - AzI-II + 10 R
∴ K = 10
2. Método por cálculo.
K ≈ (∑
=
=
5
1
n
i
iα + AzI-II - AzIII-IV )/R

5. Poligonales abiertas.
Δ : vértice de poligonal con
coordenadas conocidas.
Ο : vértice estación poligonal
creada.
determinarse en la dirección
del cálculo de los azimutes Azij.
Condición angular.
No tiene comprobación global.
Observaciones:
1. En todos los casos de poligonales anteriores, tanto los ángulos horizontales
como los verticales deben medirse por algún método de medición precisa de
ángulos, siendo el mas recurrente la reiteración. Los ángulos horizontales para
trabajos geodésicos de 3er
orden deben medirse con 4 reiteraciones cada uno,
aceptándose incertezas dα ≤ ± 0,0017g
del promedio de las reiteraciones. Los
ángulos verticales se deben medir con 3 reiteraciones y el error de índice debe ser
ε∠ ≤ ± 0,0050g
del promedio de las reiteraciones.
2. Las distancias inclinadas en las poligonales deben medirse en forma recíproca
como lo indican las flechas rojas, para trabajos geodésicos de 3er
orden se miden a
lo menos 4 veces desde una dirección y con un instrumento que permita medir
líneas con un error relativo εR ≤ 1/100.000.
3. En todos los tipos de poligonales tratadas desde las estaciones creadas debe
observarse totalmente la estación anterior y la siguiente.
4. En todas las poligonales que tienen comprobación global (cerradas y de enlace)
si ε∠ ≤ ε∠ ADMISIBLE ⇒ (εi).

5.3.2 Criterios de compensación de ángulos horizontales.
1. Proporcional al nº de lados o vértices:
Si el ε∠ ≤ ε∠ ADMISIBLE ⇒ εi = ± |ε∠ |/N
Ejemplo: de acuerdo al criterio enunciado compense los ángulos interiores αi de
una poligonal taquimétrica cerrada ABCDE de 5 lados cuyos ángulos interiores
resultaron: α1 = 123,8215g
, α2= 169,0917g
, α3= 72,2513g
, α4= 154,0408g
y
α5= 80,8145g
y considerando que el ε∠ ADMISIBLE ≤ 0,02g
N , N=5
Teoría: ∑=
n
i
i
1
α = 2R (N-2)
Práctica: ∑=
n
i
i
1
α = 2R (N-2) + ε∠
∑=
5
1i
iα = 6R + ε∠ , 600,0198g
= 600g
+ ε∠ ∴ ε∠ = 0,0198g
ε∠ ADMISIBLE ≤ 0,02g
5 , ε∠ ADMISIBLE ≤ ± 0,04472g
∴ε∠ < ε∠ ADMISIBLE ⇒εi = - 0,0198g
/5 = - 0,00396g
(compensación para cada
ángulo αi).
Estación αi medido Compensación (εi ) αi Compensados
A α1= 123,8215g
- 0,00396g ⇒ α1 = 123,81754g
B α2= 169,0917g
- 0,00396g ⇒ α2 = 169,08774g
C α3= 72,2513g
- 0,00396g ⇒ α3 = 72,24734g
D α4= 154,0408g
- 0,00396g ⇒ α4 = 154,03684g
E α5= 80,8145g
- 0,00396g ⇒ α5 = 80,81054g
∑=
5
1i
iα = 600,0198g
∑=
5
1i
iα = 600,00000g
2. Criterio de los mínimos cuadrados.
Sean αi los ángulos medidos.
Sean α’
i los ángulos ajustados o compensados.
Sean εi = αi - α’
i los residuos.
1) U = ∑=
n
i 1
εi
2
= mínimo
2) Condición angular en teoría
Utilizado los datos del ejemplo anterior se realizará el ajuste según criterio de los
mínimos cuadrados.

1) U=∑=
5
1i
εi
2
=(α1 - α’
1 )2
+(α2 - α’
2 )2
+ (α3 - α’
3 )2
+(α4 - α’
4 )2
+(α5 - α’
5)2
= Mínimo
2) ∑=
5
1i
α’
i = 2R(N - 2) = 6R = 600g
De 2) α’
1+α’
2 +α’
3 +α’
4 +α’
5 = 600g
se obtiene α’
1= 600g
– (α’
2 +α’
3 +α’
4 +α’
5 )
1’) U=(α1+α’
2+α’
3 +α’
4 +α’
5 - 600g
)2
+(α2 - α’
2 )2
+(α3 - α’
3 )2
+(α4 - α’
4 )2
+(α5 - α’
5)2
= Mínimo
Obtención de las ecuaciones normales:
∂ U/∂ α’
2 = 2 (α1+α’
2+α’
3 +α’
4 +α’
5 - 600g
)+2(α2 - α’
2 ) (-1)= 0 /*1/2
i) 2α’
2+α’
3 +α’
4 +α’
5 = 600g
+α2 - α1 = 645,2702g
∂ U/∂ α’
3 = 2 (α1+α’
2+α’
3 +α’
4 +α’
5 - 600g
)+2(α3 - α’
3 ) (-1)= 0 /*1/2
ii) α’
2+2α’
3 +α’
4 +α’
5 = 600g
+α3 - α1 = 548,4298g
∂ U/∂ α’
4= 2 (α1+α’
2+α’
3 +α’
4 +α’
5 - 600g
)+2(α4- α’
4) (-1)= 0 /*1/2
iii) α’
2+α’
3 +2α’
4 +α’
5 = 600g
+α4 - α1 = 630,2193g
∂ U/∂ α’
5= 2 (α1+α’
2+α’
3 +α’
4 +α’
5 - 600g
)+2(α5- α’
5) (-1)= 0 /*1/2
iv) α’
2+α’
3 +α’
4 +2α’
5 = 600g
+α5 - α1 = 556,9930g
i) 2α’
2+α’
3 +α’
4 + α’
5 = 645,2702g
Resolviendo se obtiene: α’
2 = 169,0880g
ii) α’
2+2α’
3+α’
4 + α’
5 = 548,4298g
α’
3 = 72,2473g
iii) α’
2+α’
3 +2α’
4 + α’
5 = 630,2193g
α’
4 = 154,0370g
iv) α’
2+α’
3 +α’
4 + 2α’
5 = 556,9930g
α’
5 = 80,8105g
α’
1= 123.8172g
En forma matricial tenemos:
2 1 1 1 α’
2 6R+α2 - α1
1 2 1 1 α’
3 = 6R+α3 - α1
1 1 2 1 α’
4 6R+α4 - α1
1 1 1 2 α’
5 6R+α5 - α1
A B C
Análisis
La matriz A mantiene su diagonal principal en 2 cualquiera sea el tipo de poligonal
(cerrada con ángulos exteriores, cerrada con ángulos interiores y exteriores, y de
enlace), esta matriz debe ser linealmente independiente y poseer inversa.

El vector B es un vector columna que tendrá N elementos, según sea el número de
lados o vértices del polígono.
En la matriz C el valor 6R representa la ley angular teórica del polígono de 5
vértices, es decir, 2R(N-2), así por ejemplo, si se tratase de una poligonal cerrada
de 5 vértices con ángulos exteriores, el valor que tendría que contener la matriz
sería 14R, es decir, 2R(N+2) ; si se tratase de un polígono de 5 vértices con
ángulos exteriores e interiores, la matriz tendría que contener la expresión (2N1 +
2N2 – 4)R; en el caso de una poligonal de enlace donde se han medido 5 ángulos
horizontales, tendríamos Azllegada – Azpartida + KR, donde K estará en función de
la regla de los azimutes.
5.3.3 Error de cierre lineal o de posición en las poligonales cerradas y de
enlace.
1. Poligonales cerradas.
Figura 34: Poligonal cerrada, se inicia en el vértice A de coordenadas conocidas y se llega al mismo
vértice, sin embargo, debido a que se han medido los valores más probables de las distancias y de
los ángulos, al calcular y sumar los YΔ i,j , y los XΔ i,j se va a llegar en la práctica alrededor del
vértice A (A’), generándose un error de posición ε.

Para que un polígono cerrado cierre linealmente, en sus proyecciones debe ocurrir:
En la proyección norte:
Teoría: =Δ∑=
n
k
k
jiY
1
, YFinal - YInicial = 0
Práctica: ∑=
Δ
n
k
k
jiY
1
, = εY
En la proyección este:
Teoría: =Δ∑=
n
k
k
jiX
1
, XFinal - XInicial = 0
Práctica: ∑=
Δ
n
k
k
jiX
1
, = εX
En el polígono de la figura 34, en la práctica las sumatorias de las proyecciones en
los ejes debieran ser:
∑=
Δ
n
k
k
jiY
1
, = YΔ A,B + YΔ B,C + YΔ C,D + YΔ D,A = εY
⎯DHA,B cosAZA-B
∑=
Δ
n
k
k
jiX
1
, = XΔ A,B + XΔ B,C + XΔ C,D + XΔ D,A = εX
⎯DHA,B sinAZA-B
ε = ε =
22
YX εε +
ε : Error de cierre lineal o de posición en un polígono cerrado.
εY : Error de cierre lineal en la proyección norte.
εX : Error de cierre lineal en la proyección este.
Para poligonales electrónicas de 3er
orden geodésico el error relativo está dado por
la siguiente inecuación:
ERPolígono Electrónico ≤ 1/20.000 ; ER = 1/(∑=
n
k
k
jiDH
1
, /ε )
Si εY ≤ εTolerable ⇒ εYi’ = Yε /( ∑=
Δ
n
k
k
jiY
1
, ) jiY ,Δ parcial
Si εX ≤ εTolerable ⇒ εXi’ = Xε /(∑=
Δ
n
k
k
jiX
1
, ) jiX ,Δ parcial
Si εY > 0 ⇒ εYi’ (compensación) < 0; Si εY < 0 εYi’ (compensación) >0
Si εX> 0 ⇒ εXi’ (compensación) < 0; Si εX < 0 εXi’ (compensación) >0

Figura 35: Poligonal de enlace, se inicia en el vértice II de coordenadas conocidas, se realiza el
recorrido y se llega al vértice III, sin embargo, debido a que se han medido los valores más
probables de las distancias y de los ángulos, al calcular y sumar los YΔ i,j , y los XΔ i,j se va a
llegar en la práctica alrededor del vértice III (III’), generándose un error de posición ε.
Para que una poligonal de enlace cumpla su condición de cierre, en sus
proyecciones debe ocurrir:
En la proyección norte:
Teoría: =Δ∑=
n
k
k
jiY
1
, YFinal - YInicial
Práctica: ∑=
Δ
n
k
k
jiY
1
, = YFinal - YInicial + εY
En la proyección este:
Teoría: =Δ∑=
n
k
k
jiX
1
, XFinal - XInicial
Práctica: ∑=
Δ
n
k
k
jiX
1
, = XFinal - XInicial + εX
En el polígono de la figura 35, en la práctica las sumatorias de las proyecciones en
los ejes debieran ser:

∑=
Δ
n
k
k
jiY
1
, = YΔ II,A + YΔ A,B + YΔ B,C + YΔ C,III = YFinal - YInicial + εY
300 - 800 + εY
⎯DHII;A cosAZII;A
- 500 m
∑=
Δ
n
k
k
jiX
1
, = XΔ II,A + XΔ A,B + XΔ B,C + XΔ C,III = XFinal - XInicial + εX
1.200 - 50
⎯DHII,A sinAZII,A
1.150 m
ε = ε =
22
YX εε +
ε : Error de cierre lineal o de posición en un polígono cerrado.
εY : Error de cierre lineal en la proyección norte.
εX : Error de cierre lineal en la proyección este.
Ejemplo de poligonal taquimétrica cerrada.
A partir de los datos de terreno del siguiente registro de una poligonal taquimétrica
cerrada ABCDA, determine las coordenadas de los puntos B, C y D, previo ajuste
de las mediciones, si se sabe que el instrumento utilizado mide ángulos en el
sistema centesimal y verticales cenitales, YA = XA = 1000 m , ZA = 500 m, y el
acimut AZA-D = 174,82g
.
Angulos Angulos AjustadosEstación hi Pto.
Obs.
Horiz (+) Vert (Z)
Estadía hm
Horiz. (+) Verticales (Z)
A 1,45 DD
0,00g
91,29g
1,828 1,076 1,45 91,295g
BD
114,25g
99,30g
2,500 1,300 1,90 114,25g
99,305g
BT
314,23g
300,69g
2,520 1,300 1,91
DT
199,98g
308,70g
1,830 1,080 1,45
B 1,46 AD
0,00g
100,45g
2,070 0,850 1,46 100,455g
CD
101,32g
94,22g
1,735 1,190 1,46 101,32g
94,245g
CT
301,30g
305,73g
1,730 1,190 1,46
AT
199,98g
299,54g
2,070 0,850 1,46
C 1,43 BD
0,00g
105,78g
1,710 1,150 1,43 105,805g
DD
106,93g
98,01g
2,140 0,720 1,43 106,93g
98,035g
DT
306,91g
301,94g
2,130 0,720 1,43
BT
199,98g
294,17g
1,700 1,160 1,43
D 1,34 CD
0,00g
102,01g
2,045 0,635 1,34 102,005g
AD
77,48g
108,67g
1,720 0,965 1,34 77,485g
108,695g
AT
277,49g
291,28g
1,710 0,965 1,34
CT
200,00g
298,00g
2,045 0,635 1,34
Solución:

1. Dibujo de poligonal ABCDA.
Para dibujar a priori el polígono aproximaremos y ocuparemos la siguiente
expresión:
DH = 100 (Ls - Li) sinZ2
≈ 100 (Ls –Li), aproximando sinZ2
= 1
Figura 36: Dibujo preliminar de la poligonal cerrada ABCDA, a partir de las coordenadas del vértice
A, del AzA-D, de los ángulos horizontales sin compensar y aproximando DH= KG.
2. Ajuste de ángulos horizontales:
i) Origen: (0,00g
+ 199,98g
-200g
)/2= - 0,01g
ii) .HorizAngulo = (114,25g
+ 314,23g
– 200g
)/2= 114,24g
iii) .HorizAngulo Ajustado = 114,24g
+ ⏐-0,01g
⏐= 114,25g
Siguiendo la metodología expuesta se ajustaron y se obtuvieron los ángulos
horizontales ajustados en las estaciones A,B,C y D.
3. Ajuste de ángulos verticales:
ZD
+ ZT
= 4R + ε∠
91,29g
+ 308,70g
= 400g
+ ε∠
ε∠ = - 0,01g
“Error de índice obtenido” ⇒ εi = + ⏐-0,01g
/2⎟ = 0,005g
ZD
CORREGIDO = ZD
corregido + εi

ZD
CORREGIDO = 91,29g
+ ⏐-0,01g
/2⎟ = 91,2950g
4. Comprobación global y compensación de ángulos horizontales.
Práctica: ∑
=
=
4
1
n
i
iα = 2R (N-2) + ε∠ = 4R + ε∠
399,985g
- 400g
= ε∠ ∴ ε∠ = - 0,015g
⇒ εi = +⎟ - 0,015g
|4 = 0,00375g
Compensación
Observación: ε∠ Admisible P/poligonales taquimétricas ≤ 0,02g
n , n : número de lados o
vértices del polígono.
Estación αi medido compensación αi compensados
A α1 = 114,25g
+ 0,00375g
α1= 114,25375g
B α2 = 101,32g
+ 0,00375g
α2= 101,32375g
C α3 = 106,93g
+ 0,00375g
α3= 106,93375g
D α4 = 77,485g
+ 0,00375g
α4= 77,48875g
∑=
4
1i
iα = 399,985g
∑=
4
1i
iα = 400,00000g
5. Cálculo de azimutes.
Usando la regla de los azimutes y en el sentido antihorario se calculan las
direcciones:
AzD-A = 374,8200g
+ 114,25375g
489,07375g
– 200g
AzA-B = 289,07375g
+ 101,32375g
390,39750g
-200g
AzB-C = 190,39750g
+ 106,93375g
297,33125g
-200g
AzC-D = 97,33125g
+77,48875g
174,8200g
+ 200g
AzD-A = 374,8200g

6. Ajuste de generadores e hilos medio, cálculos de DHi,j y de DNi,j. y sus
valores más probable.
Lado G ⎯G hm ⎯hm Zi,j DHi,j DNi,j ⎯DHi,j ⎯DNi,j
Directo 1,20 1,90AB
hiA=1,45 Tránsito 1,22
1.21
1,91 1,905 99,305g
120,986 0,866
Directo 1,22 1,46BA
hiB=1,46 Tránsito 1,22
1,22
1,46 1,460 100,455g
121,994 -0,872
121,490 0,869
Directo 0,545 1,46BC
hiB=1,46 Tránsito 0,540
0,5425
1,46 1,460 94,245g
53,808 4,877
Directo 0,56 1,43CB
hiC=1,43 Tránsito 0,54 0,55 1,43
1,43 105,805g
54,544 -4,987
54,176 4,932
Directo 1,42 1,43CD
hiC=1,43 Tránsito 1,41 1,415 1,43
1,43 98,035g
141,365 4,365
Directo 1,41 1,34DC
hiD
=
1,34 Tránsito 1,41 1,41 1,34
1,34 102,005g
140,860 -4,438
141,113 4,402
Directo 0,755 1,34DA
hiD
=
1,34 Tránsito 0,745 0,750 1,34
1,34 108,695g
73,610 -10,117
Directo 0,752 1,45AD
hiA=1,45 Tránsito 0,750 0,751 1,45
1,45 91,295g
73,705 10,141
73,658 -10,129
7. Cálculo de coordenadas a partir del vértice A de coordenadas
conocidas.
Coord. Parciales Compensación Coord. Parc. Comp. Coord. TotalesLado
⎯DHi,j AZii,j
Δyi,j Δxi,j εyi εxi Δy’i,j Δx’i,j Y(N) m X(E)m
A 1000,000 1000,000
AB 121,490 289,07375g
-20,749 -119,705 0,059 - 0,420 -20,690 -120,125 979,310 879,875
BC 54,176 190,39750g
-53,561 8,141 0,154 -0,029 -53,407 8,112 925,903 887,987
CD 141,113 97,33125g
5,914 140,989 0,017 -0,496 5,931 140,493 931,834 1028,480
DA 73,658 374,8200g
67,971 -28,380 0,195 -0,100 68,166 -28,480 1000,000 1000,000
437,
4
1
390∑
=
=
n
k
εy=-0.425 εx=1.045 εy’=0,425 εx’= -1,045 ∑= 0 ∑= 0
∑ =+ 885,73)( ∑ =+ 130,149)(
∑ =− 310,74)( ∑ =− 085,148)(
εy’ = Yε /(∑=
Δ
n
k
k
jiY
1
, ) jiY ,Δ parcial “expresión para obtener la compensación en el eje y”
cte.
εXi’ = Xε /(∑=
Δ
n
k
k
jiX
1
, ) jiX ,Δ parcial “expresión para obtener la compensación en el eje x”
cte.

ε = 22
YX εε + = 1,128117902 m ERPolígono = 1/(∑=
n
k
k
jiDH
1
, /ε ) = 1/346,096
Observación: de acuerdo a la referencia de error relativo para una poligonal
taquimétrica vista en teoría de error página 18 de este texto, el trabajo debiera
rechazarse porque el valor obtenido está fuera del rango de la inecuación.
8. Recálculo de las DHi,j y de los Azi,j , a través de las coordenadas
parciales compensadas.
DHi-j = 2
,
2
, jiXjiY Δ+Δ “distancia horizontal desde i hasta j”
=ΔΔ=− ),/,( jiYjiXArctgjiθ ”expresión para obtener los rumbos de los lados del
polígono”.
Lado DHi,j (m) Rumboi,j Azimuti,j
AB 121,894 S 89,1416 W 289,1416g
BC 54,020 S 9,5963g
E 190,4037g
CD 140,618 N 97,3141g
E 97,3141g
DA 73,876 N 25,1948g
W 374,8052g
Observación: si se comparan las nuevas distancias horizontales y los azimutes
recalculados, con sus equivalentes datos obtenidos en terreno, se puede apreciar
grandes diferencias, por lo cual es necesario dejar en claro que los azimutes
recalculados son los utilizados para el cálculo de azimutes de nuevos puntos y las
nuevas distancias las que deben utilizarse en el polígono definitivo.

Ejemplo de poligonal electrónica cerrada.
A partir de los datos de terreno del siguiente registro de una poligonal electrónica
cerrada IABCDI, determine las coordenadas totales compensadas de los puntos A,
B, C y D, previo ajuste de las mediciones, si se sabe que la estación total utilizada
mide ángulos en el sistema centesimal y verticales cenitales, los ángulos
horizontales y verticales han sido previamente ajustados.
Estación Y (Norte) m X (Este) m Z (Cota)
I 13.508,275 16.925,821 1.214,235
II 14.729,336 15.327,628 1.619,823
Angulos
Estac. hi Pto.
Obs. Horiz(+) Vertic Z)
Di hj DHi,j DNi,j ⎯DHi,j ⎯DNi,j Lado
I 1,59
II 0,0000g
D 94,4445g
106,2643g
5089,779 2,5 5065,158 -499,208
A 219,8214g
104,2011g
5799,364 3,2 5786,741 -381,797 5786,420 -381,868 I-A
A 1,55
I 0,0000g
95,8179g
5798,606 2,5 5786,099 381,939
B 113,5001g
98,3593g
3869,850 3,2 3868,565 99,070 3868,574 99,038 A-B
B 1,57
A 0,0000g
101,6185g
3869,834 3,2 3868,583 -99,006
C 143,2083g
103,6773g
5314,241 3,2 5305,378 -306,544 5305,355 -306,586 B-C
C 1,58
B 0,0000g
96,3278g
5314,169 3,2 5305,331 306,627
D 107,9865g
99,0754g
6154,437 2,5 6153,788 90,984 6153,641 90,674 C-D
D 1,50
C 0,0000g
100,9433g
6154,170 3,2 6153,494 -90,363
I 109,9107g
93,7487g
5089,712 2,5 5065,193 499,708 5065,176 499,458 D-I
Ω = 94,4445g
“ángulo horario II-I-D”
α1 = 219,8214g
– Ω = 125,3769g

Solución:
1. Dibujo de poligonal IABCDI.
A partir de la expresión DH= Di sinZ ≈ Di, aproximando sinZ =1, se dibuja a priori
el polígono en el sistema de coordenadas cartesianas, comenzando con las
coordenadas de la estación I, se utilizan las Di y los ángulos horizontales αi sin
compensar.
2. Ajuste de ángulos horizontales y verticales.
Los ángulos horizontales y verticales se midieron por reiteración y fueron ajustados
previamente, para no extender el desarrollo del problema.
3. Comprobación global y compensación de ángulos horizontales.
Práctica: ∑
=
=
5
1
n
i
iα = 2R (N-2) + ε∠ = 6R + ε∠
599,9825g
- 600g
= ε∠ ∴ε∠ = - 0, 0175g
Observación: ε∠ Admisible P/poligonales electrónicas 3
er
orden≤ 0,0050g
n , n : número de
lados o vértices del polígono.
ε∠ Admisible P/poligonales electrónicas 3
er
orden ≤ 0,0112g
∴ε∠ = - 0, 0175g
correspondería a
poligonales entre 5o
y 4o
orden.

Luego ε∠ = - 0,0175g
⇒ εi = +⎟ - 0,0175g
|5 = 0,0035g
Compensación
Estación αi medido compensación αi compensados
I α1 = 125,3769g
+ 0,0035g
α1
’
= 125,3804g
A α2 = 113,5001g
+ 0,0035g
α2= 113,5036g
B α3 = 143,2083g
+ 0,0035g
α3= 143,2118g
C α4 = 107,9865g
+ 0,0035g
α4= 107,9900g
D α5 = 109,9107g
+ 0,0035g
α5= 109,9142g
∑
=
5
1i
iα = 599,9825g
∑
=
5
1i
iα = 600,0000g
Observación : el ángulo α1 = 219,8214g
– 94,4445g
= 125,3769g
Ω
4. Cálculo de azimutes.
Usando la regla de los azimutes y en el sentido antihorario se calculan las
direcciones, previo cálculo del AZI-II.
θII-I = arc tag((XI – XII)/(YI – YII)) = -58,4658g
⇒ AZI-II = 2R + θII-I = 141,5342g
AzII-I= 141,5342g
+ 219,8249g
(Ω + α1
’
)
361,3591g
– 200g
AzI-A = 161,3591g
+ 113,5036g
274,8627g
-200g
AzA-B = 74,8627g
+ 143,2118g
218,0745g
-200g
AzB-C = 18,0745g
+107,9900g
126,0645g
+ 200g
AzC-D = 326,0645g
+109,9142g
435,9787g
-200g
AzD-I = 235,9787g
+ 125,3804g
361,3591g
– 200g
AzI-A = 161,3591g

5. Cálculo de DHi,j , DNi,j y sus valores más probables.
Las DHi,j , DNi,j , ⎯DHi,j y ⎯DNi,j fueron calculadas y se encuentran sus valores
ennegrecidas en el registro con los datos de terreno.
6. Cálculo de coordenadas a partir del vértice I de coordenadas
conocidas.
⎯DHi,j AZii,j
Δyi,j Δ xi,j εyi εxi Δ y’i,j Δx’i,j Y(N) m X(E)m
I 13508,275 16925,821
IA 5786,420 161,3591g
-4752,850 3300,465 -0,081 0,042 -4752,931 3300,507 8755,344 20226,328
AB 3868,574 74,8627g
1488,144 3570,895 -0,025 0,045 1488,119 3570,940 10243,463 23797,268
BC 5305,355 18,0745g
5092,963 1486,108 -0,086 0,019 5092,877 1486,127 15336,340 25283,395
CD 6153,641 326,0645g
2449,626 -5645,054 -0,042 0,072 2449.584 -5644,982 17785,924 19638,413
DI 5065,176 235,9787g
-4277,577 -2712,626 -0,072 0,034 -4277,649 -2712,592 13508,275 16925,821
∑
=
=
5
1
166,26179
n
k
εy= 0.306 εx=-0,212 εy’=-0,306 εx’= 0,212 ∑= 0 ∑= 0
∑ =+ 733,9030)( ∑ =+ 468,8357)(
∑ =− 427,9030)( ∑ =− 680,8357)(
εy’ = Yε /(∑=
Δ
n
k
k
jiY
1
, ) jiY ,Δ parcial “expresión para obtener la compensación en el eje y”
cte.
εXi’ = Xε /(∑=
Δ
n
k
k
jiX
1
, ) jiX ,Δ parcial “expresión para obtener la compensación en el eje x”
cte.
ε = 22
YX εε + = 0,3722633476 m ERPolígono = 1/( ∑=
n
k
k
jiDH
1
, /ε ) = 1/70324,317
E.R.P/Polígonos Trabajos Geodésicos ≤ 1 /20.000
Observación: de acuerdo a la referencia de error relativo para una poligonal
electrónica vista en teoría de error página 19 de este texto, el trabajo debiera
aceptarse porque el valor obtenido está dentro del rango de la inecuación.

8. Recálculo de las DHi,j y de los Azi,j , a través de las coordenadas
parciales compensadas.
DHi-j = 2
,
2
, jiXjiY Δ+Δ “distancia horizontal desde i hasta j”
=ΔΔ=− ),/,( jiYjiXArctgjiθ ”expresión para obtener los rumbos de los lados del
polígono”.
Lado DHi,j (m) Rumboi,j Azimuti,j
I-A 5.786,510 S 38,6408g
E 161,3592g
A-B 3.868,606 N 74,8634g
E 74,8634g
B-C 5.305,278 N 18,0750g
E 18,0750g
C-D 6.153,559 N 73,9356g
W 326,0644g
D-III 5.065,218 S 35,9779g
W 235,9779g
Observación: si se comparan las nuevas distancias horizontales y los azimutes
recalculados, con sus equivalentes datos obtenidos en terreno, se puede apreciar
pequeñas diferencias, por lo cual es necesario dejar en claro que los azimutes
recalculados son los utilizados para el cálculo de azimutes de nuevos puntos y las
nuevas distancias las que deben utilizarse en el polígono definitivo.

5.3.4 Cálculo de cota en las poligonales.
1. Poligonales cerradas.
Teoría: 0|)(
1
,|)(
1
, =−∑
=
−+∑
=
n
k
k
jiDN
n
k
k
jiDN
Práctica : =−∑
=
−+∑
=
|)(
1
,|)(
1
,
n
k
k
jiDN
n
k
k
jiDN εz
εz : error de cierre altimétrico obtenido.
Si εz ≤ εzAdmisible ⇒ εzi = ± | εz |/ |
1
,|∑
=
n
k
k
jiDN jiDN , parcial “compensación proporcional
a las diferencias de nivel DNi,j”.
εzAdmisible P/Trabajos 3
er
geodésico ≤ 0,15 L m
L: recorrido o perímetro del polígono expresado en Km.
Teoría: DN Obtenida – DN Real = 0
Práctica : DN Obtenida – DN Real = εz
εz : error de cierre altimétrico obtenido.
DN Obtenida = |)(
1
,|)(
1
, −∑
=
−+∑
=
n
k
k
jiDN
n
k
k
jiDN
DN Real = Cota Final - Cota Inicial
Si εz ≤ εzAdmisible ⇒ εzi = ± | εz |/ |
1
,|∑
=
n
k
k
jiDN jiDN , parcial “compensación proporcional
a las diferencias de nivel DNi,j”.
εzAdmisible P/Trabajos 3
er
geodésico ≤ 0,15 L m
L: recorrido o perímetro del polígono expresado en Km.

Ejemplo de ajuste de cotas en una poligonal cerrada.
De los datos de la poligonal taquimétrica cerrada anteriormente analizada se tiene:
⎯DNi,j ⎯DNi,j compensadasLado
(+) (-)
εZ
(+) (-)
Cota Estación
A 500,0000 A
A-B 0,869 - 0,0031 0,8658 500,8650 B
B-C 4,932 - 0,0179 4,9141 505,7799 C
C-D 4,402 - 0,0160 4,3860 510,1659 D
D-A 10,129 - 0,0369 10,1659 500,0000 A
∑
=
=
4
1 ,
n
i
k
ji
DN 10,203 10,129 - 0,0739 10,1659 10,1659
εz = 10,203 -10,129= 0,074 m
εzAdmisible = 0,15 390437,0 m = ± 0,0937 m
∴ εz ≤ εzAdmisible ⇒ εzi = ± | εz |/ |
1
,|∑
=
n
k
k
jiDN jiDN , parcial
εzi = - |0,074|/(10,203+10,129) jiDN , parcial
cte.
CA = 500 m
CB = CA + DN A-B
CC = CB + DN B-C
CD = CC + DN C-D
CA = CD + DN D-A = 500 m

Ejemplo de ajuste de cotas en una poligonal de enlace.
En el levantamiento de una poligonal electrónica de enlace cuyo perímetro fue de
26.782,332 m, y las cotas de los vértices de inicio y final son de 1623,564 m y
1569,075 m respectivamente, se obtuvieron los siguientes datos:
(+) (-)
εZ
(+) (-)
Cota Estación
II 1623,564 II
II-A 125,325 - 0,0953 125,2297 1748,7937 A
A-B 425,476 - 0,3237 425,7997 1322,9940 B
B-C 206,971 - 0,1574 206,8136 1529,8076 C
C-D 96,981 - 0,0738 97,0548 1432,7528 D
D-III 136,426 - 0,1038 136,3222 1569,075 III
∑
=
=
5
1 ,
n
i
k
ji
DN 468,722 522,457 - 0,7540 468,3655 522,8545
DN Obtenida = 468,722 – 522,457 = - 53,735 m
DN Real = Cota Final - Cota Inicial = 1569,075 -1623,564 = - 54,489 m
εz = DN Obtenida - DN Real = - 53,735 - (- 54,489) = 0,754 m
εzAdmisible = 0,15 782332.26 m = ± 0,776 m
1
,|∑
=
n
k
k
jiDN jiDN , parcial
εzi = - |0,754|/(468,722+522,457) jiDN , parcial
cte.
CII= 1623,564 m
CA = CII+ DN II-A
CB = CA + DN A-B
CC = CB + DN B-C
CD = CC + DN C-D
CIII = CD + DN D-III = 1569,073 m

Ejemplo de ajuste de cotas en una poligonal electrónica cerrada.
En el levantamiento de la poligonal electrónica cerrada IABCDI se obtuvieron los
siguientes datos:
(+) (-)
εZ
(+) (-)
Cota Estación
I 1.214,235 I
I-A -381,868 - 0,1985 382,0665 832,1685 A
A-B 99,038 - 0,0515 98,9865 931,1550 B
B-C -306,586 - 0,1593 306,7453 624,4097 C
C-D 90,674 - 0,0471 90,6269 715,0366 D
D-I 499,458 - 0,2596 499,1984 1.214,235 I
∑
=
=
5
1 ,
n
i
k
ji
DN 689,170 688,454 - 0,7160 688,8118 688,8118
εz = 689,170 - 688,454 = 0,716 m
εzAdmisible = 0,15 179166.26 m = ± 0,767 m
1
,|∑
=
n
k
k
jiDN jiDN , parcial
εzi = - |0,716|/(689.170+ 688.454 jiDN , parcial
cte.
CI = 1214,235 m
CA = CI + DN I-A
CB = CA + DN A-B
CC = CB + DN B-C
CD = CC + DN C-D
CI = CD + DN D-I = 1214,235 m

5.4. Representación del relieve a través de curvas de nivel.
La superficie real de la tierra, es el terreno, y se representa en un plano por
medio de curvas de nivel. Una curva de nivel es una línea imaginaria que
representa puntos que tienen la misma cota o altitud sobre o bajo un plano de
referencia. Sirven para representar el relieve del terreno en una vista de planta o
proyección horizontal.
Figura 37: Si una persona se encontrara sobre un islote en un momento determinado y considerara
como plano de referencia el nivel medio del mar (N.M.M) curva de nivel 0 m, al ascender la marea
después de cierto tiempo, observaría la intersección del agua con la superficie del terreno
originando la curva de nivel 1 en una vista de planta, y así sucesivamente podría continuar
subiendo el mar y a la vez generándose las curvas de nivel 2 hasta la 4. A la distancia vertical entre
dos planos horizontales (P.H.) consecutivos se le denomina equidistancia entre curvas de nivel.
5.4.1. Equidistancia entre curvas de nivel.
La equidistancia entre curvas de nivel, se refiere a la distancia vertical que existe
entre dos curvas de nivel consecutivas, que generalmente corresponden a la
milésima de la escala de representación de un plano, sin embargo, la elección de
la equidistancia vertical, dependerá de la precisión con que se desea obtener la
representación del relieve.
Escala plano Equidistancia entre curvas
1:500.000 cada 500 m
1:250.000 cada 250 m
1:100.000 cada 100 m
1:50.000 cada 50 m
1:25.000 cada 25 m
1:10.000 cada 10 m
1:5.000 cada 5 m
1:1.000 cada 1 m
1:500 cada 0,5 m
1:200 cada 0,2 m

5.4.2. Consideraciones para tener presente en la representación del
relieve.
1. Las curvas de nivel deben ser siempre múltiplos de la equidistancia.
2. Para representar la altimetría en un plano, se recurre a las curvas de nivel.
3. Para los efectos de apreciar las variaciones de las pendientes del terreno, los
planos horizontales están separados a una misma altura entre ellos (equidistancia).
4. Las curvas de nivel más próximas entre si, representan terrenos de pendientes
más fuertes, que las correspondientes curvas de nivel que están más separadas en
el plano.
5. Para que la representación del terreno sea lo más entendible, es indispensable
que las curvas de nivel sean acotadas, a fin de evitar falsas interpretaciones.
Figura 38: Los planos topográficos se acotan a través de curvas índices (curvas más ennegrecidas)
cuando se representa el relieve y algún proyecto de ingeniería, una forma alternativa sería la del
acotamiento por cada curva de nivel en los límites del modelo digital de terreno, generalmente
utilizado en los software topográficos.
5.4.3. Determinación de curvas de nivel.
1. Método directo (uso del isómetro).
2. Método indirecto (uso de regla o escalímetro).
3. Método computacional (uso de software topográfico).
1. Uso del isómetro.
Se construye a partir de un trozo de papel transparente como el diamante o
poliéster y se dibuja una primera recta y luego se trazan paralelas cada 5 mm o
según la necesidad. Una vez calculadas las coordenadas de los puntos del
levantamiento y vaciados en un plano, se van escogiendo de a dos puntos, cuyas
cotas son conocidas y se procede a la interpolación.

Se escoge el punto de menor cota (punto 5) y se adapta la cota del punto al
isómetro (20,35 m), se pincha con un alfiler o aguja el punto 5 y se hace girar el
isómetro hasta hacer coincidir el punto 6 de cota 27,80 m. Luego se pincha con un
alfiler aquellos puntos que están en la intersección de la recta segmentada con las
rectas paralelas del isómetro, lográndose encontrar los puntos por donde pasarán
las curvas de nivel 21 hasta la 27, para una equidistancia de 1 m entre curvas.
Figura 39: Prototipo de isómetro confeccionado para interpolación manual a una equidistancia de 1
m entre curvas de nivel.
2. Uso de regla o escalímetro.
Al igual que en el caso anterior, se van escogiendo de a dos puntos vecinos
contiguos de cota conocida y se procede a determinar las distancias d y d1,
correspondientes a las curvas de nivel buscadas según la equidistancia elegida.
La distancia d debe medirse con regla o escalímetro en el plano, desde el punto de
cota menor hasta la primera curva de nivel buscada, la distancia d1 en el caso de
existir otra(s) curva(s) de nivel, se mide a partir de la primera curva de nivel hasta
la siguiente curva que se busca, proceso que se repite en el caso de existir otras
curvas de nivel, desde la última curva a la subsiguiente.
La distancia d y d1 se pueden obtener de las expresiones resultantes usando el
teorema de Thales como se explica en la figura 41, las cuales pueden almacenarse
en las calculadoras y proceder a obtener las curvas de nivel requeridas.
d= D/(CM – Cm) (CN – Cm) d1 = D/(CM – Cm) e
D: Distancia horizontal medida con escalímetro o regla desde el plano, la escala
utilizada puede ser diferente a la escala del plano, siendo 1:100 la más recurrente.

CM : Cota Mayor de los puntos a interpolar.
Cm : Cota menor de los puntos a interpolar.
CN : Curva de Nivel múltiplo de la equidistancia buscada.
e : equidistancia entre curvas de nivel.
Figura 40: Interpolación con regla o escalímetro a equidistancia de 1 m, obsérvese que como
criterio de interpolación se ha utilizado la diagonal por la cual pasan 6 curvas de nivel, es decir, la
diagonal que pasa por los puntos 2 y 3, y no la diagonal entre 1 y 4, por la cual pasan solo 3
curvas de equidistancia 1 m.
Figura 41: Aplicación del teorema de Thales para obtener las expresiones d y d1 de interpolación
de curvas de nivel, en el triángulo mayor se representa la proyección vertical existente entre los
puntos 1 de Cota Mayor (CM) y el 3 de cota menor (Cm), además aparece CN que sería la curva
de nivel buscada y luego las curvas subsiguientes.

Al realizar la relación de semejanza de triángulos entre el triángulo mayor y los dos
triángulos menores en rojo y azul en la figura 41 se obtienen d y d1
respectivamente.
D/H = d/h ∴ d = D/H h ⇒ d= D/(CM – Cm) (CN – Cm) donde:
H = CM – Cm “diferencia de nivel entre las curvas de mayor a menor cota”
h = CN – Cm “diferencia de nivel entre la curva de nivel buscada múltiplo de la
equidistancia y la de menor cota”.
D/H = d1/h1 ∴ d1= D/H h1 ⇒ d1= D/(CM – Cm) e donde:
h1 = e “diferencia de nivel entre las curvas de nivel 60 y 59, o 61 y 60, o 62 y 61”,
correspondiendo por lo tanto a la equidistancia entre curvas e”.
Una vez calculadas las distancia d y d1 por cada par de puntos vecinos contiguos,
se unen las curvas de nivel con una regla, y posteriormente se repasan
manualmente para obtener el trazado definitivo de dichas curvas.
3. Uso de software topográfico.
Modernos sistemas de automatización topográfica (Cartomap, Topograph, Surfer,
Data Geosis, etc.) permiten en la actualidad generar curvas de nivel sobre un
modelo digital de terreno. El usuario podrá plotear el dibujo de curvas de nivel o
utilizarlo para generar perfiles longitudinales, transversales y cálculo de volúmenes.
Procedimiento preliminar para el uso del software topográfico Cartomap.
Una vez bajada la información de terreno levantada con estación total, se graba en
el PC el archivo de terreno con extensión nombre.pts, luego se importa dicho
archivo de trabajo con el software Cartomap siguiendo el siguiente proceder:
1. En el comando archivo se selecciona importar/exportar.
2. En la ventana Centro de comunicaciones Cartomap, en el campo fabricante se
selecciona la opción ASCII Genérico, en el campo modelo se escoge Datos de
Levantamiento y en el campo Formato se elige Puntos con coordenadas
absolutas, luego se selecciona importar.
3. En la ventana Lectura de puntos en coordenadas absolutas, se selecciona la
carpeta o unidad donde se encuentra el archivo.pts, se pincha sobre el nombre
del archivo y se teclea aceptar.

4. Aparece una nueva ventana Centro de comunicaciones, indicando que la
Importación ha finalizado, por lo tanto hay que aceptar.
5. Otra ventana se despliega indicando Presentación de Nuevos datos, donde el
Maestro Aconseja: 1) Muestra representación en 2D inicial. 2) Muestra puntos y
estaciones. Lo cual debe aceptarse.
6. En la pantalla se muestran posicionados los puntos del levantamiento en 2D,
con los cuales se puede dar inicio a la interpolación de curvas de nivel.
7. Se pincha en el box Edición y se selecciona Modelo Digital de Terreno
cálculo.
8. Surge la ventana Cálculo del Modelo Digital de Terreno (MDT), ante lo cual hay
que teclear calcular, para que se obtenga el número de triángulos que
conformarán la base del MDT.
9. Se va al box Gráficos y se elige Modelo Digital de Terreno apareciendo la
ventana Presentación de Modelos Digitales, en la cual deben estar seleccionadas
los box 1. Modelo Digital del terreno y 2. Mostrar Quads del nivel, y se teclea
aceptar, apareciendo los triángulos que originan el MDT, los cuales pueden
aparecer en color si previamente se elige dicho color.
10. En el box Gráficos se selecciona curvado, apareciendo la ventana Curvas de
nivel, en el casillero Curva de nivel se selecciona 1 para obtener las curvas de nivel
maestras, luego se hace un tick en el casillero visible, para que las curvas maestras
pueden verse en pantalla, se baja hacia el casillero Equidistancia y se selecciona el
número y el color que representará las curvas de nivel maestras que deseemos
visualizar, después podemos teclear en las casillas Numera por líneas de
numeración, Numera en los límites del MDT, seleccionar Dibujo, curvas suavizadas
o la casilla Guardar y al final tecleamos Aceptar.
11. Se vuelve al box Gráficos Curvado, se despliega nuevamente la
ventana Curvas de nivel, en el casillero Curva de nivel se selecciona ahora 2 para
obtener las curvas de nivel restantes, se teclea en el casillero visible, para que las
curvas restantes aparezcan en pantalla, se baja hacia el casillero Equidistancia y se
selecciona el numeral de representación del curvado y el color de las mismas,
luego se procede en forma idéntica a los pasos finales de la secuencia 10.
12. Aparecen en pantalla el MDT, todos los puntos del levantamiento, las curvas de
nivel maestras y restantes en sus colores seleccionados.
13. Existe la alternativa para eliminar los puntos del levantamiento y
descongestionar el dibujo, también es posible hacer desaparecer los triángulos que

conforman el Modelo Digital de Terreno (MDT), se pueden dividir los puntos en
capas de levantamiento y definir conexiones que formen tanto las líneas de
ruptura como las de zona de inclusión, mejoramiento del acabado del plano,
embellecimiento del trazado, etc.
Figura 42: Dibujo preliminar en Cartomap que muestra en verde los triángulos del Modelo Digital de
Terreno, cuyos vértices de los triángulos representan los puntos del levantamiento, en rojo se
indican las curvas de nivel maestras cada 3 m, en azul las curvas de nivel con equidistancia
altimétrica cada 1 m.

Anexo C
Guía de ejercicios de Topografía para Ingeniería capítulos 1 al 5.
Se entregan respuesta a los ejercicios impares y se orienta la obtención de las
respuestas pares.
R: respuesta.
O: orientación para obtener respuesta.
W. Valencia Cuevas - Académico 1

1. A que distancia en línea recta se encuentran las ciudades de La Serena y
Vicuña, si en una carta geográfica del IGM 1:500.000 están representadas a 10,4
centímetros.
R: 52 km.
2. Que ancho tiene una calle, que en una carta IGM 1:50.000 está representada
por una distancia de 0,5 milímetros.
O: Use el concepto de definición de escala numérica.
3. Indique como se representan las coordenadas Geográficas y UTM en las cartas
IGM 1:50.000, cartas IGM 1:25.000 y ortofotomosaico IGM 1:10.000.
R: En las cartas 1:50.000 las coordenadas geográficas se representan al margen con pequeñas
demarcaciones en negro, con su valor al minuto de arco; las coordenadas UTM se representan a
través de una cuadrícula cada km y valoradas cada 2 km.
En las carta IGM 1:25.000 las coord. geográficas se representan también con demarcaciones en
negro, con sus valores al minuto de arco, las coordenadas UTM se representan en una cuadrícula
cada km valorada.
En las ortofotos 1:10.000 las coordenadas geográficas se representan al margen cada 4 minutos de
arco tanto en latitud como en longitud, las coordenadas UTM se representan en una cuadrícula
cada km valorada.
4. Indique como se representan los datos cartográficos en las cartas IGM
1:50.000, cartas IGM 1:25.000 y ortofotomosaico IGM 1:10.000.
O: Solicite un ejemplar de c/u de las cartas y una ortofoto y busque en las leyendas marginales que
se encuentran al lado derecho de cada ejemplar.
5. Indique como se representan los datos geodésicos en las cartas IGM 1:50.000,
cartas IGM 1:25.000 y ortofotomosaico 1:10.000.
R: En el lado derecho de la carta 1:50.000 se indica el Elipsoide de Referencia Internacional 1924,
origen Datum Provisorio Sudamericano 1956.
En la cartas IGM 1:25.000 y en las ortofotos 1:10.000 en el lado derecho inferior se indica el Datum
y Elipsoide Sudamericano 1969.
6. Explique como se define el posicionamiento de un punto en topografía y en
geodesia.
O: Ver texto Topografía para Ingeniería.
7. Explique cual es el origen de las coordenadas Geográficas y de la proyección
cartográfica UTM.
R: Las coordenadas geográficas tienen como origen de las latitudes al paralelo del Ecuador, y de
las longitudes al meridiano de Greenwich.
La proyección cartográfica UTM se genera al hacer girar el elipsoide en torno a un cilindro secante,
generándose 60 zonas de 6º de longitud c/u y a cada zona se le denomina huso, los cuales tienen
todos un meridiano central a los cuales se les asigna un valor de las abscisas de 500 km que
aumenta hacia el Este y disminuye hacia el Weste, al Ecuador se le asigna como valor origen de
referencia 10.000 km a las ordenadas para el hemisferio sur, valor que va decreciendo hacia el polo
sur, al hemisferio norte se le asigna en el Ecuador el valor 0 Km para las ordenadas, valor que va
creciendo hacia el polo norte.

8. En que sectores de las zonas o husos el meridiano geográfico coincide con el
meridiano UTM.
9. En cuantos cm2
queda representado un predio de un terreno en una carta IGM
1:50.000, si una superficie es de 62 km2
.
R: 248 cm2
.
10. Cuales son las coordenadas Geográficas y UTM aproximadas del centro de la
Plaza de Armas de la ciudad de La Serena.
O: Solicite en el Laboratorio de Topografía la carta IGM D53 La Serena, con un escalímetro proceda
a obtener lo solicitado teniendo presente la respuesta de la pregunta 3.
11. Que se entiende por un elipsoide excéntrico y de uso local.
R: Elipsoide excéntrico es aquel elipsoide cuyo centro geométrico no coincide con el centro de
masas del geoide, y que sirve para representar la superficie terrestre solo en algunos sectores de la
Tierra, ejemplos el PSAD-56 y el SAD-69, sirven solo para representar parte del hemisferio Sur de
América.
12. Explique la finalidad de los levantamientos catastrales, geodésicos e
hidrográficos.
13. Cuales son los parámetros que definen un datum horizontal.
R: Origen de la red (latitud, longitud), Azgeodésico Origen- Red, parámetros del elipsoide (a, f).
14. Que se entiende por modelo de ondulación geoidal:
O: Ver página 51 texto Topografía en Minería Cielo Abierto de W. Valencia y otros.
15. Un ángulo horizontal se ha medido seis veces y los valores obtenidos son los
siguientes: β1= 47° 33′ 25″ β2= 47° 33′ 29″ β3= 47° 33′ 23″ β4= 47° 33′ 33″
β5= 47° 33′ 22″ β6= 47° 33′ 27″ . Obtenga el valor más probable de la
medición angular, y la desviación estándar del valor mas . probable.
R: β = 47° 33′ 26.50″ d β = 0° 0′ 1.668″±
16. Indique cuatro tipos de errores personales mas comunes cometidos en los
trabajos topográficos, tres errores sistemáticos y tres errores accidentales
presentes durante las mediciones topográficas.
O: Recurra a la definición de los errores mencionados en el texto Topografía para Ingeniería y
deduzca e infiera ejemplos.
17. Transforme cada uno de los ángulos del ejercicio nº 16 al sistema centesimal
con aproximación al segundo, y encuentre los parámetros anteriormente
solicitados.
R: β1= 52,8410g
β2= 52,8423g
β3= 52,8404g
β4= 52,8435g
β5= 52,8401g
β6= 52,8417g
β = 52,8415g
d β = 0,0000g
±

18. Demuestre por teoría de error que es mas preciso medir distancias horizontales
directamente, que medir distancias inclinadas y ángulos verticales
simultáneamente en topografía.
O: Usando una de las expresiones de DHA-B = Di cosα = Di sinZ = Di sinN, aplique la ley de
propagación de errores aleatorios del método diferencial, analice la definición de máximo o mínimo
y deduzca la afirmación enunciada en la pregunta.
19. Si un distanciómetro entrega un error medio cuadrático de ±(5 mm + 3ppm) y
se ha medido una distancia inclinada 4 veces, resultando su valor más probable de
1.848,983 m. Determine la precisión con que se midió la distancia.
R: ERl=1.848,983 = 1/175.309,8
20. Si el error de índice en la medición de un ángulo vertical nadiral fue de 0° 0′
50″ y el ángulo en tránsito es 261° 30′ 02″ , determine el ángulo nadiral
corregido en directo.
O: Ver cálculo de registro y ajuste de ángulos verticales en texto Topografía para Ingeniería.
21. Una poligonal electrónica se ha medido con una estación total cuyo error
medio cuadrático mse = ± (2 mm + 2 ppm), si el perímetro medido asciende a
29.536,356 m, el error de cierre lineal en la proyección norte es εN= -1,256 m.
¿Cuál es el error de posición máximo tolerable para la proyección εE si se tratase
de un trabajo geodésico?
R: A partir de la expresión ER Polígono Electrónico = ε/ 1/20.000, se obtiene εE ≤ 0,7768 m.≤∑=
n
i
k
ji
DH
1
,
±
22. Si las componentes del error de cierre en un polígono GPS son dx=-0,758 m,
dy= -1,158 m y dz= 0,976 m y el perímetro medido alcanzó a 3D =
79.345,806 m determine la exactitud con que se ha medido el polígono GPS.
∑
=
=
6
1
n
i
Di
O: Ver página 65 Cálculo de orden de exactitud relativa (E.R.) en un polígono GPS, en texto
Topografía en Minería Cielo Abierto de W. Valencia y otros.
23. Un terreno rectangular de lados ⎯a = 250,480 m, da= ± 0,023 m ⎯b= 123,371
m db= ± 0,014 m. Obtenga la superficie más probable del predio y la incerteza al
obtenerla.
R: ⎯S = 3.091,968 m2
ds= 4,511 m±
24. En una fotografía aérea se destaca una pista de aterrizaje de 1900 m de
longitud, representada por 58 mm. Calcule la escala aproximada del fotograma.
O: Utilice el concepto de escala numérica o vea el Anexo Topografía Aérea del texto Topografía
para Ingeniería.
25. La distancia en calle Los Carrera entre Prat y Cordovez (costado de Plaza de
Armas ) en un fotograma es de 2,3 cm, si la misma distancia en una carta IGM
1:50.000 es de 2,2 mm. Calcule la escala aproximada del fotograma.

R: E= 1/4.782,6
26. Los indicadores alfanuméricos de un fotograma muestran en sus marcadores,
una altura de vuelo de 17.100 ft, y la distancia focal de la cámara indica 153,03
mm. Determine la escala del fotograma.
O: Trabaje en m y utilice la expresión de escala absoluta de un fotograma.
27. Si el rumbo magnético para el año 1975 de una Línea topográfica A-B es de
N 29.35 g
W y la declinación magnética del lugar para el mismo año es 6˚6.9̀ E , la
variación anual es de 6.8̀’ Weste.
27.1. ¿Cuál es el rumbo astronómico de la Línea A-B?
27.2. ¿Cuál es el rumbo magnético de la Línea A-B para el año 2003?
27.3. ¿En que año y mes el meridiano magnético pasará a la dirección Weste?.
R: RboAstronómico A-B = N 22,556g
W RboMagnético A-B 2003 = N 25,822g
W En Noviembre del año
2008 el meridiano magnético pasaría a la dirección Weste.
28. Determine el ángulo de convergencia entre los meridianos de un punto cuyas
coordenadas geográficas son:
φP = S 30˚ 35̀ 34.1618˝
λP = W 71˚ 15́ 41.8071˝
O: Utilice expresiones de XII, XIII, Al, P, C5 de la convergencia entre meridianos del texto
Topografía para Ingeniería.
29. Los siguientes datos corresponden a los rumbos directos de las líneas:
Rbo. A-B = N 14.1531g
E
Rbo. B-C = S 45˚ 52́’ 31˝ W
Rbo. C-D = S 82.1743g
E
Rbo. D-E = N 49˚ 19̀’ 43˝ W
29.1. Determine los rumbos inversos y los azimutes directos de c/u de las líneas.
R: RboB-A = S 14,1531g
W; RboC-B = N 45˚ 52́’ 31˝ E; Rbo. D-_C = N 82.1743g
W; Rbo. E-D= S 49˚
19̀’43˝ E
AzA-B = 14,1531g
; AzB-C = 225˚ 52’ 31˝ ; AzC-D = 117,8257g
; AzD-E = 310˚ 40’ 17˝
30. Si las coordenadas rectangulares de una base topográfica son:
Estación Y(Norte) m X(Este) m
I 2.500,385 1.530,750
II 2.500,385 2.580,150
30.1. Determine el RboI-II, AzI-II, DHI-II, RboII-I y AzII-I.
O: Utilice expresión del rumbo de una línea, y proyecte las coordenadas en un plano cartesiano
bidimensional y obtenga lo solicitado.

31. La siguiente figura representa una poligonal taquimétrica cerrada cuyo lado A-
B tiene un rumbo magnético N 45.23g
E
31.1. Realice el ajuste angular por los criterios convencional y de los mínimos
cuadrados.
R: αi ajustados criterio convencional α1 = 99,1832g
, α2= 110,8912g
, α3 = 120,0112g
, α4 =
139,7762g
y α5 = 130,1382g
.
αi ajustados criterio mínimos cuadrados α1 = 99,1840g
, α2= 110,8910g
, α3 = 120,0110g
, α4 =
139,7760g
y α5 = 130,1380g
31.2. Con los ángulos ajustados por criterio de los mínimos cuadrados determine
los azimutes de c/u de los lados del polígono.
R: AzB-A = 245,230g
, AzA-E = 144,414g
, AzE-D= 55,305g
, AzD-C= 375,316g
, AzC-B= 315,092g
32. Las Estaciones M, N, O, P y Q forman una poligonal cerrada cuyas coordenadas
son:
Estación Y (Norte)m X (Este) m
M 2.000.00 2.000.00
N 3.327.14 1.242.24
O 4.093.95 2.048.62
P 3.141.82 3.035.30
Q 1.192.14 3.572.29
32.1. Determine la superficie en metros cuadrados y en hectáreas encerrada por
los vértices del polígono.
O: Utilizando las coordenadas del polígono conforme un determinante alterado al agregar a la
última fila las coordenadas de la estación M, luego aplique la siguiente expresión para obtener la
superficie solicitada :
Superficie = ½ | |)11
1
1
(11
6
2
YnXiY
n
i
iXXnYiY
n
i
iX ++∑
−
=
−+−∑
=
=
31.2. Determine los ángulos exteriores en los respectivos vértices y la longitud de
c/u de los lados.

O: El ángulo exterior en N α1 = 4R-(AzN-M – AzN-O) y así sucesivamente se obtienen los αi externos,
excepto en M, donde α5 = AzM-N – AzM-Q, por otro lado las distancias horizontales se obtienen por la
siguientes expresión DHi,j = 2)(2)( iYjYiXjX −+−
33. De una poligonal cerrada QRSTQ cuyos rumbos han sido corregidos y sus lados
corresponden a los valores mas probables de las distancias, se conocen:
Lado DHi,j m Rumbosi.j
Q-R 172.200 N 62˚ 02̀ 30˝ W
R-S 87.520 N 27˚ 35́ 10˝ E
S-T 93.810 S 78˚ 41̀ 15˝ E
T-Q 141.080 S 07˚ 58̀ 00˝ E
33.1. Calcular las coordenadas totales compensadas de las estaciones relativas al
origen Q.
R:
Coord. Parciales Compensación Coord. Parc.
Comp.
Coord. TotalesLado
⎯DHi,j Rboi,j
Δ yi,j Δ xi,j εyi εxi Δ y’i,j Δ x’i,j Y(N) m X(E)m
Q 0 0
QR 172,200 N 62˚ 02̀ 30˝ W 80,732 -152,102 -0,046 0,017 80,686 -152,085 80,686 -152,085
RS 87,520 N 27˚ 35́ 10˝ E 77,570 40,529 -0,045 0,004 77,525 40,533 158,211 -111,552
ST 93,810 S 78˚ 41̀ 15˝ E -18,402 91,987 -0,011 0,010 -18,413 91,997 139,798 -19,555
TQ 141,080 S 07˚ 58̀ 00˝ E -139,718 19,553 -0,080 0,002 -139,798 19,555 0 0
∑
=
=
4
1
610,494
n
k
εy=0,182 εx=-0,033 εy’=-0,182 εx’= 0,033 ∑= 0 ∑= 0
∑ =+ 302,158)( ∑ =+ 069,152)(
∑ =− 120,158)( ∑ =− 102,152)(
33.2. Determine el error de cierre lineal.
R: ε = 22
YX εε + = ± 0,1849675647 m ERPolígono = 1/( /∑=
n
k
k
jiDH
1
, ε ) = 1/346,096
33.3. Determine la precisión con que fue medida la poligonal.
R: ERPolígono = 1/( /∑=
n
k
k
jiDH
1
, ε ) = 1/2674,04
34. En una poligonal abierta a lo largo de un proyecto carretero se obtuvo:
Lado Angulo horizontal αi DHi,j m AzimutD-E = 269˚ 50’ 10”
E-F α1= 85º 31’ 20” 49.380
F-G α2= 260º 14 ’00” 114.675
G-H α3= 195º 31 ’20” 350.201
H-J α4= 195º 30 ’40” 210.110

34.1. Determine las coordenadas totales de los vértices F, G, H y J si las
coordenadas totales del vértice E son:
Y(Norte) m X(Este) m
550,200 350,280
O: Calcule los azimutes en el sistema sexagesimal de c/u de los lados del polígono, complete los
casilleros del registro y proceda a calcular lo solicitado.
Coord. Parciales Coord. Totales
Lado DHi,j Azi,j
Δ yi,j Δ xi,j Y(N) m X(E)m
Estación
E E
EF F
FG G
GH H
HJ J
∑
=
=
4
1
n
k
35. Identifique el tipo de poligonal del registro topográfico siguiente y obtenga las
coordenadas totales de las estaciones B,C y D.
⎯DHi,j AZii,j
Δ yi,j Δ xi,j εyi εxi Δ y’i,j Δ x’i,j Y(N) m X(E)m
A 6967,259 6188,243
AB 62,000 266,8174g
BC 270,00 284,7498g
CD 28,00 345,7868g
DE 67,304 345,7868g 6936,449 5800,875
∑
=
=
4
1
n
k
∑ =+)( ∑ =+)(
∑ =−)( ∑ =−)(
O: Ver página 69 y 70 del texto Topografía para Ingeniería.

Anexo A
Topografía Aérea.
Waldo Valencia Cuevas - Académico 1

Topografía aérea.
Comprende la utilización de datos obtenidos por cámaras fotográficas que se
instalan en los aviones o cualquier otra nave aérea. La toma de vistas aéreas,
consiste en cubrir totalmente el área a levantar con una serie de fotografías o
fotogramas verticales ordenadas en fajas o líneas de vuelo, dos fotografías
sucesivas en una línea de vuelo están tomadas con imágenes parcialmente
superpuestas, cuyo recubrimiento permite la formación de los pares de modelos
estereoscópicos.
Para que exista recubrimiento estereoscópico, es necesario un traslape
longitudinal fluctuante entre un 55 a 65%, es decir, los disparos deben hacerse de
tal manera que cada fotografía contenga un 65% de la anterior y un 65% de la
siguiente. También es necesario un traslape lateral de 15 a 30%, o sea que las
líneas de vuelo se acerquen hasta lograr que las fotos de cada línea contengan el
30% de la línea anterior y 30% de la siguiente.
Figura 1: Apoyo terrestre a un levantamiento aerofotogramétrico.
Los levantamientos aerofotogramétricos son una aplicación de la fotogrametría
a la topografía, la fotogrametría no es una ciencia nueva, puesto que los principios
matemáticos en que se basa se conocen hace más de un siglo, sin embargo sus
aplicaciones en la topografía son mas recientes. A continuación se definen algunos
elementos sobre estos levantamientos:
Fotograma o fotografía aérea: es el registro completo o detallado en el
instante de la toma de los elementos que conforman el medio ambiente
geográfico, es decir, de los fenómenos físicos del medio natural del complejo de
acciones que el hombre realiza en ese medio. Los fotogramas están considerados
como sensores remotos donde el método de registro es el óptico, la imagen es un
film que puede fluctuar entre 35 mm/70mm/9”, la escala de la imagen puede estar

comprendida entre 1:1000 a 1: 130.000, el rango espectral de las fotografías
varía entre 0,4 μ m a 0,9 μ m, las bandas espectrales corresponden al visible y al
infrarrojo cercano, la resolución en el terreno puede ser de 0,1 a 3 m , siendo las
ventajas principales la visión estereoscópica, la resolución en terreno, los detalles
levantados y la economía de los vuelos aéreos.
Figura 2: Recubrimiento longitudinal entre fotogramas.
Desde el punto de vista de la relación con la obtención y el uso de las
fotografías aéreas, se pueden diferenciar claramente tres especialidades:
• La fotografía aérea, entendida como el conjunto de técnicas relacionadas
con el instrumental necesario para lograr las fotografías (tipos de cámaras,
lentes, diafragmas, etc.), naves aéreas, sensores registradores, sistemas de
negativos, procesos de cámara oscura, máquina de desarrollo automático
papeles con diverso grado de resolución, contraste, brillo, etc.
• La fotogrametría, es decir, las técnicas destinadas a utilizar el valor métrico
de las fotos, analizarlas geométricamente y por medio de la restitución dar
origen a levantamientos cartográficos y topográficos de diversos tipos y
escalas.

Figura 3: Proceso de restitución convencional a partir del apoyo terrestre y el uso del restituidor.
• La fotointerpretación, conjunto de técnicas y principios destinados a
detectar, reconocer y deducir en las fotos aéreas las características principales
de los fenómenos superficiales registrados.
Figura 3: Estereoscopio de espejo, barra paraláctica y par de fotogramas.

Subproductos de las imágenes fotográficas.
Los subproductos principales de las imágenes fotográficas son los fotogramas,
mosaicos, ortofotos u ortofotomosaicos y las cartas topográficas:
• Mosaico, conjunto de fotografías dispuestas ordenadamente en forma
consecutiva en el sentido de las líneas de vuelo, permiten mostrar una visión
de conjunto de todas las áreas fotografiadas y lo que en ellas se encuentra.
Figura 4: Mosaico formado por 2 líneas de vuelo
• Ortofoto, es una imagen fotográfica de un espacio de terreno, cuya
proyección central ha sido transformada en proyección ortogonal, eliminando
las distorsiones de la fotografía aérea y del desplazamiento por relieve,
transformándose en un producto cartográfico con características métricas.
Figura 5: Ortofoto.

• Carta topográfica, es una imagen reducida, convencional, geométricamente
exacta y plana de una parte de la superficie de la tierra. Por medio de
aparatos de restitución se pasa la información del terreno contenida en las
imágenes a una hoja de papel, actividad que compete a la fotogrametría.
Figura 6: Carta Topográfica IGM D-52 Coquimbo Escala 1: 50.000
Planificación de un vuelo.
La planificación de un vuelo está dada en función de la escala que se desea
obtener del levantamiento, de la finalidad del trabajo y de acuerdo a la
disponibilidad de equipos. Bajo estos aspectos se puede decir que los elementos
principales que intervienen en la planeación de un vuelo son:
1. Altura de vuelo sobre el nivel medio del mar (H0).
2. Altura del avión sobre el terreno o altura de referencia de vuelo del avión (HR).
3. Altura media del terreno referida al nivel medio del mar (HM).
4. Área total del terreno a levantar (ST) (C: largo y G: ancho del terreno).
5. Número de líneas de vuelo (NLV).
6. Número de fotografías por línea de vuelo (NFLV).
7. Traslape longitudinal (p%) y lateral (q%).
8. Escala del fotograma (1/E, E: denominador de escala).
9. Distancia focal de la cámara ( f ).
10. Línea de base o distancia entre centros ( A ).
11. Distancias entre centros adyacentes ( B ).
12. Apoyo terrestre (2 puntos de apoyo geodésico horizontal (NUTM, EUTM), 2
puntos de apoyo geodésico vertical (altitud sobre el nivel medio del mar)) por cada
par de fotogramas.

Figura 7: Las alturas como elementos de planeación de un levantamiento aerofotogramétrico.
Expresiones para determinar los elementos de un plan de vuelo:
H0 = HR + HM “Altura absoluta de vuelo sobre el n.m.m” (1)
1/E = f/H0 = 1/(H0/f) “Escala absoluta del fotograma” (2)
1/E = f/HR = 1/(H R/F) “Escala de referencia del fotograma” (3)
A = d E (1- p%/100) “Distancia entre centros o línea base” (4)
B = d E (1- q%/100) “Distancia entre centros adyacentes” (5)
SF = (d E)2
“Área del terreno cubierta por fotograma” (6)
ST = C G “Superficie total del terreno requerida para cubrir (7)
con fotografías”
SM = A B “Área del terreno cubierta por el modelo estereoscópico” (8)
I = A/V “Intervalo de tiempo que transcurre entre 2 exposiciones (9)
correlativas”
NLV = (G-D)/B +1 “ Número de Líneas de Vuelo” (10)

NFLV = C/A +1 “ Número de fotografías por línea de vuelo” (11)
NTF = ST/SM +1 “ Número total de fotografías” (12)
Figura 8: Distancias entre centros principales (A) y adyacentes (B), traslape longitudinal (p%) y
lateral (q%).
Ejemplo de cálculo.
Se requiere realizar un levantamiento aerofotogramétrico en un terreno de 10
Km de ancho por 13 Km de largo, el recubrimiento debe realizarse con fotogramas
a escala 1:10.000 con traslape longitudinal 60% y lateral 30%. Para la ejecución
de este proyecto se cuenta con una cámara fotográfica de formato normal (23 x
23 cm) y una distancia focal de 153,05 mm. El avión disponible se desplazará a
una velocidad de 300 Km/Hra. Calcule los elementos del plan de vuelo si la altura
media del terreno es de 2000 m s.n.m.m.
Solución
Datos entregados:
C = 13 Km D= 23 cm 1 Km /100.000 cm 10.000 = 2,3 Km E= 10.000
f = 153,05 mm = 0,15305 m G= 10 Km p= 60% q= 30%
H0 = HR + HM
1. HR = f E = 0,1503 10.000 = 1530,5 m

2. H0 = 1503,5 +2000 = 3530,5 m
3. A = d E (1- p%/100) = 0,23 10.000 (1 – 60/100) = 920 m = 0,92 Km
4. B = d E (1- q%/100) = 0,23 10.000 (1 – 30/100) = 1610 m = 1,61 Km
5. SF = (d E)2
= (0,23 10.000 m )2
(1 Km/1000 m)2
= 5,29 Km2
6. SM = A B = 0,92 Km 1,61 Km = 1,4812 Km2
7. ST = C G = 13 km 10 Km = 130 Km2
8. I = A/V = 0,92 Km /300 Km/Hra = 0,003066666666 Hra 3600 s/Hra = 11,04 s
9. NLV = (G – D)/B +1 = (10 – 2,3) Km/1,61 Km +1 = 5,7826 ≈ 6 líneas de
vuelo.
10. NFLV = C/A + 1 = 13 Km/0,92 Km + 1 = 14,130 ≈ 14 fotos por línea de
vuelo.
11. NTF = ST / SM +1 = 130 Km2
/1,4812 Km2
+1 = 87,767 ≈ 88 fotos.
Fotografías aéreas de vuelos existentes en el IGM.
• Vuelos: Hycon, OEA, USAF, IGM.
Fotografías aéreas de vuelos existentes en el SAF.
• Proyecto FONDEF 1993 – 1995, Vuelo Chile – 30 Convenio CORFO 1974, Vuelo
Chile – 60.
Ortofotos en blanco y negro existentes en el IGM.
• Cuarta Región Coquimbo: 165 Ortofotos Escala 1: 10.000.
• Quinta Región de Valparaíso: 120 Ortofotos Escala 1: 20.000.
• Región Metropolitana: 135 Ortofotos Escala 1:20.000
Utilización práctica de los fotogramas.
Investigación geográfica y cartográfica.

Desarrollo económico de grandes áreas no explotadas.
Planificación urbana y regional.
Construcción de ferrocarriles y caminos.
Ingeniería Hidráulica.
Obras de drenaje e irrigación para la agricultura.
Redistribución de la propiedad rural.
Levantamientos catastrales.
Prospección geológica.
Aplicaciones militares.
Estudio de tráfico y problemas de estacionamiento.
Incendios forestales, control de plagas de cultivos.
Control de crecidas de ríos, desplazamiento de terreno, etc.

DEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía Ingeniería Civil Minas
Propiedad Minera
Académico: Waldo Valencia Cuevas 1

Propiedad minera.
1. Marco legal o normativo minero.
El conjunto de normas que se establecen y que rigen una sociedad en un
momento determinado y a cuyo cumplimiento estamos obligados, requieren de un
estado jurídicamente organizado.
El Estado chileno está conformado por una nación jurídicamente organizada
más un territorio, estando su estructura organizativa dividida en tres poderes
estatales (poder ejecutivo, legislativo y judicial) y sus facultades las ejercen en el
territorio nacional (espacio terrestre, aéreo y marítimo).
En general la normativa legal aplicable a las diversas actividades que se
desarrollan en el país en orden de gravitancia (peso legal) se puede encontrar en
los siguientes cuerpos legales:
• Constitución Política del Estado.
• Leyes Orgánicas Constitucionales.
• Leyes Ordinarias.
• Decretos de Leyes.
• D.F.L. (Decreto con Fuerza de Ley)
• Tratados Internacionales.
• Reglamento.
• D.S. (Decreto Supremo)
• Decreto Simple.
• Resoluciones.
2. Derecho minero.
Se refiere al conjunto de normas jurídicas aplicables a la exploración,
explotación y al beneficio de las sustancias minerales. Este derecho se
complementa con las otras ramas del derecho por la jurisprudencia de los
tribunales de justicia, la opinión de los tratadistas y demás fuentes que le son
propias a cualquier disciplina jurídica.
La normativa legal aplicable a la actividad minera en Chile se puede encontrar
en los siguientes cuerpos legales:
• Nueva Constitución Política de Chile, Decreto Nº 100 del 22 Septiembre
de 2005.
• Ley Orgánica Constitucional sobre Concesiones Mineras, Ley Nº 18097 de
Enero 1982.
• Código de Minería, Ley Nº 18248 del 14 de Octubre 1983.
• Reglamento del Código de Minería , Decreto Nº 1 de Febrero 27 de 1987.
• Otras leyes relacionadas con la minería:
- Reglamento de Seguridad Minera Decreto 72 del 27 de Enero 1986,
modificado por D.S. Nº140 del Ministerio de Minería del 5 de Enero
de1993, D.S. Nº73 del 13 de Marzo de 2001 y D.S. Nº132, del Ministerio
de Minería del 7 Febrero de 2004.
- Ley Nº 19300 sobre Bases Generales del Medio Ambiente, de Marzo de
1994.

- Decreto Nº 95 de 2001 Reglamento del Sistema de Evaluación de
Impacto Ambiental, publicado en Diciembre de 2002.
- Otras.
3. Breve análisis de algunos artículos de la Ley Orgánica Constitucional
sobre concesiones mineras.
Art.1. Las concesiones mineras pueden ser de exploración o de explotación.
Art.2. Las concesiones mineras son derechos reales e inmuebles; distintos e
independientes del dominio del predio superficial, aunque tengan un mismo
dueño; oponibles al Estado y a cualquier persona; transferible y transmisibles;
susceptibles de hipoteca y otros derechos reales y, en general, de todo acto o
contrato; y que se rigen por las mismas leyes civiles que los demás inmuebles,
salvo en lo que contraríen disposiciones de esta ley o Código de Minería (ver Art. 2
del código de Minería).
Art.3. Las facultades conferidas por las concesiones mineras se ejercen sobre el
objeto constituido por las sustancias minerales concesibles que existen en la
extensión territorial que determine el Código de Minería, la cual consiste en un
sólido cuya profundidad es indefinida dentro de los planos verticales que la limitan.

Son concesibles y respecto de ellas cualquier interesado podrá constituir
concesión minera, todas las sustancias minerales metálicas y no metálicas (ver
Reglamento del Código de Minería) y, en general, toda sustancia fósil, en
cualquiera forma en que naturalmente se presenten, incluyéndose las existentes
en el subsuelo de las aguas marítimas sometidas a la jurisdicción nacional que
tengan acceso por túneles desde tierra.
Las sustancias minerales concesibles contenidas en desmontes, escorias o
relaves, abandonadas por su dueño, son susceptibles de concesión minera junto
con las demás sustancias minerales concesibles que pudieren existir en la
extensión territorial respectiva.
No son susceptibles de concesión minera los hidrocarburos líquidos o gaseosos,
el litio, los yacimientos de cualquier especie existentes en las aguas marítimas
sometidas a jurisdicción nacional ni los yacimientos de cualquier especie situados,
en todo o en parte, en zonas que, conforme a la ley, se determinen como de
importancia para la seguridad nacional con efectos mineros, sin perjuicio de las
concesiones mineras válidamente constituidas con anterioridad a la
correspondiente declaración de no concesibilidad o de importancia para la
seguridad nacional.
No se consideran sustancias minerales las arcillas superficiales, las salinas
artificiales, las arenas, las rocas y demás materiales aplicables directamente a la
construcción, todas las cuales se rigen por el derecho común o por las normas
especiales que a su respecto dicte el Código de Minería.
Art.5. Las concesiones mineras se constituirán por resolución de los tribunales
ordinarios de justicia, en procedimiento seguido ante ellos y sin intervención
decisoria alguna de otra autoridad o persona…… .

4. Breve análisis de algunos artículos del Código de Minería de 1983.
Art.1. El Estado tiene dominio absoluto, exclusivo, inalienable e
imprescriptible de todas las minas, comprendiéndose en éstas las covaderas, las
arenas metalíferas, los salares, los depósitos de carbón e hidrocarburos y las
demás sustancias fósiles con excepción de las arcillas superficiales, no obstante la
propiedad de las personas naturales o jurídicas sobre los terrenos en cuyas
entrañas estuvieren situadas.
Pero toda persona tiene la facultad de catar y cavar para buscar sustancias
mineras, con arreglo al párrafo 2º de este título y también el derecho de constituir
concesión minera de exploración o de explotación sobre las sustancias que la ley
orgánica constitucional declara concesibles, con la sola excepción de las personas
señaladas en el artículo 22.
Absoluto: porque se reunen en el todos los atributos del dominio, es decir, usar,
gozar y disponer sobre todas las minas.
Exclusivo: es un dominio único, solo excluye el de cualquier otro titular.
Inalienable: no se puede enajenar, es parte de la soberanía del Estado, no se
puede transferir a nadie.
Imprescriptible: no puede prescribir, esto es no puede perderse o disminuirse en
el transcurso del tiempo. Nadie puede ganar por prescripción el dominio que tiene
el Estado sobre las minas.
Art. 2 (ver Art. 2 analizado en la Ley Orgánica Constitucional sobre Concesiones
Mineras).
Art. 8. La exploración o la explotación de las sustancias que, conforme al artículo
anterior (art. 7), no son susceptibles de concesión minera, podrán ejecutarse
directamente por el Estado o por sus empresas, o por medio de concesiones
administrativas o de contratos especiales de operación, con los requisitos y bajo
las condiciones que el Presidente de la República fije, para cada caso, por decreto
supremo.
Observación: para el curso de Topografía Ingeniería Civil Minas de la ULS se
requiere estudiar desde el Art. 1 al Art. 162 del código de Minería y desde el Art. 1
al Art. 84 del Reglamento del Código de Minería.

5. Procedimiento de constitución de concesiones mineras de explotación.
1. Se inicia con un escrito llamado Manifestación.
1.1. Terreno manifestado comprendido dentro de un cuadrado, dos de los
lados tienen orientación UTM Norte-Sur. (Ver artículo 46 Código de Minería)
NUTM
AZ.UTML1-L2 = 100g
DUTM L1-L2
L1 L2
AZ.UTML4-L1 = 0g
Az. UTML2-L3 = 200g
DUTML4-L1 PI DUTML2-L3
L4 L3
AZ.UTML3-L4 = 300g
DUTM L3-L4
EUTM
Li i=1,…….,4 “Lindero de la esquina i”
PI= Punto de interés (intersección entre diagonales principales).
AZ.UTMLi-Lj= Azimutes UTM de los lados Li , Lj de la concesión, donde i=1,….,4 y
j=1,……,4.
DUTML1-L2 = DUTML2-L3 = DUTML3-L4 = DUTML4-L1 (Distancia UTM de los lados L1-L2, L2-
L3, L3-L4 y L4-L1 respectivamente, deben ser múltiplos de 100 m y guardando la
relación Largo/Ancho≤5/1).
Observación:
• La concesión cuadrada de explotación mínima que puede manifestarse es
de 100 m de largo por 100 m de ancho, es decir, 1 hectárea.
• La concesión cuadrada de explotación máxima que puede manifestarse es
de 3100 m de largo por 3100 m de ancho, es decir, 961 hectáreas.

1.2. Terreno manifestado comprendido en un rectángulo, dos de los lados
tienen orientación UTM Norte-Sur. (Ver Art. 46 Código de Minería).
NUTM
AZ.UTML1-L2 = 100g
DUTM L1-L2
L1 L2
AZ. UTML4-L1 = 0g
Az. UTML2-L3 = 200g
DUTML4-L1 PI DUTML2-L3
L4 L3
AZ.UTML3-L4 = 300g
DUTM L3-L4
EUTM
Li i=1,…….,4 “Lindero de la esquina i”
PI= Punto de interés (intersección entre diagonales principales).
AZ.UTMLi-Lj= Azimutes UTM de los lados Li , Lj de la concesión, donde i=1,….,4 y
j=1,….4.
DUTML1-L2 = DUTML3-L4 ; DUTML2-L3 = DUTML4-L1 (Distancia UTM de los lados L1-L2, L2-
L3, L3-L4 y L4-L1 respectivamente, deben ser múltiplos de 100 m y guardando la
relación Largo/Ancho≤5/1).
Observación:
• La concesión rectangular de explotación mínima que puede manifestarse es
de 200 m de largo por 100 m de ancho, es decir, 2 hectáreas.
• La concesión rectangular de explotación máxima que puede manifestarse es
de 5.000 m de largo por 2.000 m de ancho, es decir, 1.000 hectáreas.
• La superficie manifestada se divide y cada subdivisión se denomina
pertenencia, la cual debe cubrir entre 1 a 10 Hás. (número entero), su
lado mas largo no podrá exceder, en ningún caso, de mil metros y la
proporción entre su largo y ancho no podrá ser superior de diez a uno (ver
Art. 8 inciso tercero del Reglamento del Código de Minería).

• Lo más usual es que las pertenencias cubran una superficie de 5 Hás., es
decir, 500 m de largo por 100 m de ancho.
• Cada pertenencia tiene como mínimo 1 Hás., es decir, 100 m de largo por
100 m de ancho.
• Cada pertenencia tiene como máximo 10 Hás., es decir, 1.000 m de largo
por 100 de ancho.
Manifestación “Rosa 1 al 2” de 10 Hás. (2 Pertenencias de 5 Hás . c/u).
L1 DUTML1-L2 = 500 m L2
100 m “ Rosa 1” 5 Hás.
DUTML2-L3 = 200 m
100 m “Rosa 2” 5 Hás.
L4 DUTML3-L4 =500m L3
Manifestación “Rosa 1 al 5” de 10 Hás. (5 Pertenencias de 2 Hás. c/u)
L1 DUTML1-L2 = 500 m L2
DUTML4-L1= 200 m “ Rosa 1” “Rosa 2” “Rosa 3” “Rosa 4” “Rosa 5" DUTML2-L3 = 200 m
2 Hás 2 Hás 2 Hás 2 Hás 2 Hás
L4 L3
DUTML3-L4 = 500m
1.3. Indicación del PI (Punto de Interés) en una manifestación.
1. Para superficies manifestadas > 100 Hás. (Ver Art. 45 Código de Minería)
• PI en Coordenadas UTM con precisión a los 10 m, indicando la provincia y
la región.
• PI en Coordenadas Geográficas con precisión de 1”, indicando la provincia
y la región.
2. Para superficies manifestadas ≤ 100 Hás. (Ver Art. 45 Código de Minería)

La ubicación del PI podrá describirse indicando sus señales más precisas y
características, el nombre del predio o del asiento mineral en que se encuentra y
el de la provincia en que está situado.
• PI se indica mediante visuales características (situándose en la zona de
interés e indicar accidentes de importancia, quebradas, carreteras, líneas
férreas, cordones montañosos, cerros, etc.) a los cuatro puntos cardinales
con la indicación de la distancia aproximada y nombre de las estancias o
sierra o asentamiento minero, la comuna, provincia y región.
Al Norte ………….
Al Sur……………..
Al Este ……………
Al Weste…………
3. Antecedentes que la Manifestación debe señalar: (Ver Art. 44 del Código de
Minería)
3.1. Individualización del manifiesto.
• Nombre del manifestante o profesional que la realiza.
• Oficio del manifestante.
• Estado civil del manifestante.
• Domicilio del manifestante.
• Rut del manifestante.
3.2. Indicación del PI según el Art. 45 del Código de Minería.
3.3. Nombre de la Manifestación.
3.4. Superficie total cubierta por la Manifestación expresadas en Hás.
3.5. Forma y longitud de los lados de la Manifestación, y orientación de lados en la
dirección Norte-Sur UTM.
3.6. Número de pertenencias y la superficie de ellas.
Ejemplo: En las siguientes dos imágenes se presenta un terreno franco sobre la
cual se requiere iniciar el proceso de constitución de una concesión minera de
explotación, de forma rectangular con 600 m en la dirección Norte-Sur y 500 m en
la dirección Este-Oeste, la que se denominará “Rosa 1 al 6” con 6 pertenencias
de 5 hectáreas c/u, con un total de 30 hás., el PI tiene como coordenadas NUTM =
6.300.300.00 m EUTM= 350.150.00 m.
En una de las imágenes se muestra el terreno franco con las concesiones
contiguas constituidas Flor 1-15, María 1-20, Angel 1-3 y la manifestación “Rosa 1-
6”, en la otra imagen se observa la solicitud de mensura “Rosa 1 al 5”, Rosa 1 de 2

Hás., Rosa 2 con 1 Hás., Rosa 3 de 3 Hás, Rosa 4 de 2 hás. y Rosa 5 de 1 Hás. Al
realizar la solicitud de mensura de tal manera de cubrir la mayor parte del terreno
franco, se generan cinco demasías, las cuales accederán por el ministerio de la ley,
al momento en que se constituya la pertenencia que de origen a la demasía, a
aquella que haya sido o se tenga por manifestada primero.
Al realizar el análisis de antigüedad de constitución de las concesiones en la zona
en cuestión, se llega a la conclusión que las demasías generadas por “Rosa 1 al 5”
y las anteriores concesiones, el concesionario que resultaría favorecido con las
demasías 1, 3, 4 y 5 sería la de la concesión “María 1 al 20”, y la demasía 2
correspondería al concesionario de “Flor 1 al 15”.
5.1. Artículos del Código de Minería relacionados con la forma y
dimensiones de las concesiones:
Art. 28.- La extensión territorial de la concesión minera configura un sólido cuya
cara superior es, en el plano horizontal, un paralelogramo de ángulos rectos, y
cuya profundidad es indefinida dentro de los planos verticales que lo limitan. El
largo o el ancho del paralelógramo deberá tener orientación UTM norte sur.
A voluntad del concesionario, los lados de la pertenencia, horizontalmente,
medirán cien metros como mínimo o múltiplos de cien metros; y los de la
concesión de exploración, también horizontalmente, medirán mil metros como
mínimo o múltiplos de mil metros.
La cara superior de la pertenencia no podrá comprender más de diez hectáreas; ni
más de 5.000 hectáreas, la de concesión de exploración.
Art. 31.- El terreno encerrado por tres o más pertenencias constituidas, en que no
sea posible constituir otra de la forma y cabida mínima indicadas en el artículo 28,
será una demasía y accederá por ministerio de la ley, en el momento en que se
constituya la pertenencia que de origen a la demasía, a aquella que haya sido o se
tenga por manifestada primero.
Art. 32.- El concesionario favorecido podrá anotar al margen de la inscripción de
dominio de su pertenencia la existencia de la demasía, previo decreto del Juez,
dado con citación de los colindantes de ésta, en la que apruebe y ordene archivar
un plano que represente la demasía y las pertenencias contiguas.
No habiéndose practicado los trámites a que se refiere el inciso anterior, el
concesionario favorecido perderá su derecho a la demasía cuando caduque o se
extinga cualquiera de las pertenencias que la encerraban.
La demasía no aumentará el valor de la patente de la pertenencia a que accede, y
formará con ella un solo todo.

Ejemplo de manifestación de más de 100 hás.
CODIGO : M01
MATERIA: Manifestación Minera.
Procedimiento : Voluntario.
Solicitantes : Juan Rojas Milla Rut 4.690.141-K y Waldo Valencia Cuevas Rut
7.371.378-1.
MANIFESTACIÓN
S.J.L
Juan Orlando Rojas Milla, chileno, separado, minero, Rut Nº 4.690.141-k,
domiciliado en el Varillar, valle del Elqui, y Waldo Pedro Valencia Cuevas, chileno,
casado, ingeniero de ejecución en geomensura, Rut 7.371.378-1, domiciliado en
Pasaje O’Higgins Nº 59 Villa Los Canelos Coquimbo, respetuosamente a Us. dicen:
Que deseando constituir propiedad minera de explotación, venimos a
manifestar antiguas vetas productoras de sustancia concesibles en terrenos
abiertos e incultos, en la Comunidad Agrícola La Plata.
El punto de interés tiene las siguientes coordenadas: Norte UTM:
6.686.687 metros. Este UTM: 349.323 metros y se ubica en la comuna de Vicuña,
provincia de Elqui, cuarta Región Coquimbo.
El área que solicitamos es un rectángulo de 1000 metros de Norte a Sur,
por 2000 metros de Este a Oeste con orientación UTM.
Rogamos a Us. nos conceda veinte pertenencias de diez hectáreas cada
una, totalizando doscientas, las que denominaremos “Mafalda 1-20”.
En mérito a lo expuesto, ruego a Us., se sirva tener por presentada esta
manifestación y ordenar su inscripción y publicación conforme a la ley minera
vigente.
Juan Rojas Milla Waldo Valencia Cuevas

Ejemplo de manifestación menor a 100 Hás.
CODIGO : M01
MATERIA: Manifestación Minera.
Procedimiento : Voluntario.
Solicitantes : Fernando Cuellar Rojas Rut 9.887.241-8 y Waldo Valencia Cuevas
Rut 7.371.378-1.
MANIFESTACIÓN
S.J.L
Fernando Alberto Cuellar Rojas, chileno, casado, minero, Rut Nº 9.887.241-
8, domiciliado en calle Alemania Nº 2794, Cía. Alta La Serena, y Waldo Pedro
Valencia Cuevas, chileno, casado, ingeniero de ejecución en geomensura, Rut
7.371.378-1, domiciliado en Pasaje O’Higgins Nº 59 Villa Los Canelos Coquimbo,
respetuosamente a Us. dicen:
Que deseando constituir propiedad minera de explotación, venimos a
manifestar antiguas minas y vetas productoras de sustancias concesibles en
terrenos abiertos e incultos.
El punto de interés tiene las siguientes coordenadas: Norte UTM:
6.698.350 metros. Este UTM: 287.500 metros, se ubica al sur del asiento minero
Brillador, en la Quebrada El Sauce, comuna de La Serena, provincia de Elqui,
cuarta Región Coquimbo.
El área que solicitamos es un rectángulo de 1000 metros de Norte a Sur,
por 500 metros de Este a Oeste con orientación UTM.
Rogamos a Us. nos conceda diez pertenencias de cinco hectáreas cada
una, totalizando cincuenta, las que denominaremos “Verito 1-10”.
En mérito a lo expuesto, ruego a Us., se sirva tener por presentada esta
manifestación y ordenar su inscripción y publicación conforme a la ley minera
vigente.
Fernando Cuellar Rojas Waldo Valencia Cuevas

5.2. Pago de tasa a beneficio fiscal de las concesiones de exploración y
explotación:
Art. 51.- Se pagará por una sola vez, por cada pedimento y cada manifestación
una tasa a beneficio fiscal, expresada en centésimos de unidad tributaria
mensual.
El monto de la tasa, por cada hectárea completa pedida en concesión de
exploración, será:
1º.- Medio centésimo (0.005 UTM), si la superficie total pedida no excede de
trescientas hectáreas (Superficies ≤ 300 Hás.).
2º.- Dos centésimos (0.02 UTM), si esa superficie excede de de trescientas y no
sobrepasa mil quinientas hectáreas ( 300 Hás.< Superficie ≤ 1500 Hás.).
3º.- Tres centésimos (0.03 UTM), si dicha superficie excede de mil quinientas y no
sobrepasa tres mil hectáreas (1500 Hás. < Superficie ≤ 3000 Hás.).
4º.- Cuatro centésimos (0.04 UTM), si esa superficie excede de tres mil hectáreas
(Superficie > 3000 Hás.).
El monto de la tasa, por cada hectárea completa manifestada será:
1º.- Un centésimo (0.01 UTM), si la superficie total manifestada no excede de cien
hectáreas (Superficies 100 Hás.).≤
2º.- Dos centésimos (0.02 UTM), si esa superficie excede de ciento y no sobrepasa
trescientas hectáreas (100 Hás. < Superficie ≤ 300 Hás.).
3º.- Cuatro centésimos (0.04 UTM), si dicha superficie excede de trescientas y no
sobrepasa seiscientas hectáreas (300 Hás. < Superficie ≤ 600 Hás.).
4º.- Cinco centésimos (0.05 UTM), si esa superficie excede de seiscientas
hectáreas (Superficie > 600 Hás.).
Observaciones:
1.- Para el pago de las tasas de manifestación y pedimento existe el Formulario Nº
10 de la Tesorería General de la República, el cual debe ser llenado íntegramente y
debe contener el timbre de la institución recaudadora, indicando la fecha de pago
de dicha tasa.
2.- El comprobante de este pago deberá conservarse y acompañarse a la solicitud
de sentencia constitutiva del pedimento o a la solicitud de mensura de la
pertenencia, según corresponda.

5.3. Amparo de las concesiones.
Art. 142.- La concesión minera debe ser amparada mediante el pago de una
patente anual cuyo monto será equivalente a un décimo (1/10) de unidad
tributaria mensual por cada hectárea completa, si es de explotación; y a
quincuagésimo (1/50) de dicha unidad por la misma extensión si es de
exploración. Con todo, los titulares de pertenencias cuyo interés económico
principal resida en las sustancias no metálicas o en los placeres metalíferos
que existan en ellas y los titulares de pertenencias constituidas sobre sustancias
existentes en salares, pagarán una patente anual cuyo monto será equivalente
a un trigésimo (1/30) de unidad tributaria mensual por cada hectárea
completa; un reglamento determinará la forma en que los titulares acreditarán
los hechos ya referidos, que los hagan acreedores a este beneficio, y señalará
cuáles son las sustancias que se consideran no metálicas para estos efectos y
cuáles constituyen para los mismos efectos, placeres metalíferos.
Art. 143.- El pago de la patente será anticipado y se efectuará en el curso del mes
de marzo de cada año, en cualquier banco o institución autorizados para
recaudar tributos.
Art. 144.- La obligación de amparo comienza al solicitar la sentencia
constitutiva de la concesión de exploración, o al solicitarse la mensura de
la pertenencia, época en que debe pagarse la primera patente, a que se refiere
el inciso siguiente.
El monto de la primera patente será proporcional al tiempo que medie entre
la fecha de la solicitud de sentencia o la de la solicitud de mensura, en su
caso, y el último día del mes de febrero siguiente.
Una vez pagada la patente a que se refiere el inciso anterior, se deberá seguir
pagando patente anualmente, en la oportunidad y forma prescritas en el
artículo anterior.
Pago de patente proporcional para concesiones de explotación metálicas y no
metálicas o en placeres metalíferos o en sustancias existentes en salares:
PP Metálicas = H * UTM Mes /10 * d/365
PP No Metálicas = H * UTM Mes /30 * d/365

Pago de patente proporcional para concesiones de exploración:
PP C. Exploración = H * UTM Mes/50 * d/365
PP : Patente Proporcional.
H : Nº de hectáreas en solicitud de mensura o sentencia constitutiva.
UTM Mes : Unidad Tributaria Mensual del mes de pago.
d : Nº de días que faltan para el 28 o 29 de febrero siguiente inclusive.
365 : Nº de días de un año normal, para año bisiesto considere 366 días.
5.4. Efectos del desamparo de las concesiones.
Art. 146.- Si el concesionario no paga la patente en el plazo que fija este Código,
se iniciará el procedimiento judicial para sacar la concesión a remate público.
La ejecución de la obligación de pagar la patente solo podrá perseguirse sobre la
respectiva concesión.
La acción referida prescribirá en el plazo de tres años, contado desde el 1º de abril
del año en que debió pagarse la patente.
Art. 147.- Antes del 1º de julio de cada año, el Tesorero General de la República
enviará a cada uno de los juzgados competentes la correspondiente nómina de las
concesiones mineras cuya patente no haya sido pagada, con especificación de su
nombre y ubicación, del dueño que figura en el rol respectivo y del monto
adeudado.
Mientras no se haya dado cumplimiento al trámite señalado en el inciso anterior, el
pago de la patente podrá hacerse sin el recargo indicado en el inciso segundo del
artículo 149.
Recibida la nómina, el Juez señalará día y hora para el remate, y ordenará que
esta resolución y esta nómina sean publicadas en dos días distintos. Corresponderá
a la Tesorería General de la República efectuar estas publicaciones y cubrir sus
gastos, sin perjuicio de lo dispuesto en el artículo 150.
El remate no podrá efectuarse antes de los treinta días siguientes a la fecha del
último aviso.
Las omisiones o errores en que la Tesorería haya incurrido en la nómina referida
en el inciso primero, podrán ser rectificadas antes del remate a solicitud de
cualquier persona. El procederá con conocimiento de causa. Estas rectificaciones
se publicarán en la forma establecida en el inciso tercero, debiendo darse
cumplimiento a lo dispuesto en el inciso cuarto.
El secretario pondrá testimonio en los autos de haberse publicado los avisos en la
forma y con la anticipación señaladas.

Art. 155.- Si no hay postor por alguna concesión o lote, el juez declarará franco el
terreno y ordenará cancelar las correspondientes inscripciones en el Conservador
de Minas. Esta resolución se notificará por el estado diario.
5.5. De las internaciones entre concesiones.
Art. 139.- Se prohíbe al minero internarse con sus labores en concesión ajena.
Toda internación sujeta al que la efectúa al pago del valor líquido de los minerales
que haya retirado y a la indemnización de los perjuicios causados.
Si los minerales están aún en poder del internante, el internado podrá exigir su
restitución , pagando los costos de extracción, y, además, demandar la
indemnización de lo perjuicios.
Si hubiere mala fe, el pago del valor de los minerales retirados o su restitución, se
hará sin deducción alguna, sin perjuicio de la responsabilidad penal del internante
responsable del hurto o robo.
Se presume mala fe cuando la internación excede de diez metros, medidos
perpendicularmente desde el plano vertical que limita la concesión internada, o
cuando el internante se haya opuesto a la visita pedida judicialmente o
dificultado la ya decretada o dificultado la ya decretada.
Art. 140.- El minero que sospeche internación o que tema inundación, por el mal
estado de las labores de la concesión contigua o próxima o por el desarrollo de los
trabajos que en ella se efectúan, tendrán derecho a visitarla, asesorado por un
perito.
En caso de negativa o dificultad opuesta al ejercicio de este derecho, podrá el juez
autorizar esta visita, sin más trámite que la celebración de un comparendo que se
llevará a efecto con la parte que asista. Solo será apelable la resolución que
deniegue la visita.
Art. 141.- El interesado podrá solicitar del juez, como medidas prejudiciales o
precautorias, que ordene fijar sellos, suspender provisionalmente las labores a que
se refiere el denuncio o tomar las demás disposiciones urgentes de seguridad a
que haya lugar.
Para dictar estas medidas, el juez deberá oír el informe del perito que designe.
Observación: para evitarse problemas de internación se sugiere al minero tener
un sistema común de coordenadas (sistema UTM), tanto para exterior mina
(mensura de la mina) como para el interior de ella (levantamiento de galerías), es
decir, debe aprovechar el amarre geodésico del H.M. de su concesión y trasladarlo
al interior de la mina, levantando cada una de sus galerías, comparando las
posiciones de dichas galerías con los límites de la concesión.

5.6. De los trámites posteriores a la manifestación.
Art. 59.- Dentro del plazo que medie entre los doscientos uno y doscientos veinte
días, contado desde la fecha de la presentación de la manifestación al juzgado, el
manifestante o cualquiera de ellos cuando fueren varios, deberá solicitar, en el
mismo expediente, la mensura de su pertenencia o pertenencias. La
solicitud podrá abarcar todo o parte del terreno manifestado, pero, en ningún
caso, terrenos situados fuera de éste.
La solicitud deberá, además, indicar las coordenadas UTM de cada uno de los
vértices del perímetro de la cara superior de la pertenencia o grupo de
pertenencias, relacionando uno de ellos, en rumbo y distancia, con el punto de
interés señalado en la manifestación. Deberá asimismo, designar al ingeniero o
perito que practicará la mensura, e indicará el largo y ancho de la pertenencia o de
cada una de ellas, el nombre de las pertenencias conocidas que existan en la
vecindad y, en lo posible, el nombre de sus dueños.
Se acompañará a la solicitud (primer otrosi):
1º.- Comprobante de haberse pagado la tasa de manifestación;
2º.- Comprobante de haberse pagado la patente proporcional establecida en el
artículo 144;
3º.- Copia autorizada de la inscripción de la manifestación;
4º.- Ejemplar del Boletín Oficial de Minería en que se haya publicado esa
inscripción, y
5º.- Plano en el que se señalen la configuración de la pertenencia o grupo de
pertenencias, las coordenadas de cada uno de los vértices del perímetro y la
relación, en rumbo y distancia, del mismo vértice – ligado en la solicitud- con el
punto de interés indicado en la manifestación.
El secretario deberá otorgar recibo de este escrito, si el interesado lo pide.
Todo el ordenamiento catastral de la propiedad minera nacional está referida
al sistema de proyección cartográfica de Mercator, por lo que todas las medidas
relativas a ubicación y superficie de las pertenencias, sus vértices y puntos de
interés PI, deberán estar única y forzosamente referidas a dicho sistema.
El art. 24 inciso final del Reglamento del Código de Minería clarifica que:
“Cuando la superficie abarcada por la solicitud de mensura comprenda terrenos
ubicados a ambos lados del meridiano 72º, las coordenadas de sus vértices
deberán expresarse en valores de coordenadas correspondientes al Huso en que
se encuentre la mayor proporción de la superficie que se pretende mensurar,
debiendo, si es del caso, convertirse las coordenadas del punto de interés a las
correspondientes a este Huso. Si la superficie mensurada tiene la misma
proporción en ambos Huso, las coordenadas quedarán referidas al Huso
correspondiente al punto de interés.

En la cartografía mundial el territorio de nuestro país se encuentra emplazado
en los Husos 18 y 19, cuyos meridianos centrales son 75º y 69º respectivamente;
de igual manera, el Datum de aplicación general a la propiedad minera al norte de
la latitud 43º30’ es el PSAD-56 y al sur de dicha latitud es el SAD-69.
Por lo que una solicitud de mensura puede encontrarse en cualquiera de
esas combinaciones de Datum y Huso, lo que el ingeniero o perito habrá de tener
siempre presente al momento de efectuar sus cálculos, de lo que se desprende
que la participación de un perito o ingeniero es indispensable en la
preparación de la solicitud de mensura.
En esta etapa se requiere la designación de un ingeniero civil de minas
o perito que practicará la mensura, para lo cual el interesado podrá consultar
la nómina designada por el Presidente de la República, a propuesta del Director del
Servicio Nacional de Geología y Minería, la cual se publica a comienzos de año en
el Diario Oficial.
Es conveniente que la designación del ingeniero o perito mensurador la haga
el interesado en un otrosi de su presentación, y no en lo principal, de manera que
exista una resolución del juez respecto de ella.
También en esta parte del proceso de constitución de la concesión de
explotación se requiere la designación de abogado patrocinante y mandatario
judicial, conforme lo dispone el artículo 36 del Código de Minería. Ambas
representaciones la puede hacer un abogado, el cual deberá firmar el escrito de la
solicitud de mensura, indicando además su nombre, apellidos, domicilio, patente
municipal y Nº de inscripción, en el tercer otrosi de la presentación.
Estas designaciones tienen por objeto que exista un orden legal en las
peticiones y una correcta tramitación de la gestión de constitución de concesión
minera, normalmente se denominan patrocinio y poder y cierran el escrito de
solicitud de mensura.
A continuación se presentan algunas láminas que muestran las coordenadas
geográficas en que se ubica el territorio nacional, los Husos con respecto al
meridiano de Greenwich, y otras que indican parte del proceso de constitución de
las concesiones de explotación, tales como la presentación del manifiesto, pago de
tasa, inscripción de la manifestación en el Conservador de Minas, solicitud de
mensura y su escrito:

Localización del territorio nacional en coordenadas geográficas.

Disposición de las 60 zonas o Husos con respecto al Meridiano de
Greenwich, el territorio nacional se ubica en los Husos 19 y 18, cuyos
meridianos centrales son 69º y 75º respectivamente.

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