Topografia I

Topografía I, Ing. Miguel Bocanegra Jácome, Ciclo Extraordinario 2005 1
Índice
INTRODUCCIÓN 03
CAP. I GENERALIDADES: 04
Topografía; Levantamientos Topográficos, Topografía Plana. Geodesia 04
Formas y dimensiones de la tierra 04
El Elipsoide; El Geoide; Estación Laplace 05
Superficies de Nivel; Datum Horizontal 06
Datum Vertical; Sistema de Coordenadas Geodésicas, Sistema UTM 07
El Punto Topográfico; Puntos permanentes y temporales señalización 08
Escalas Numéricas y gráficas. 08
CAP. II TEORIA DE ERRORES: 09
Redondeo de datos. Cifras Significativas 09
Mediciones Observadas y Calculadas. Causas de los Errores 11
Clases de errores; Probabilidades y Estadísticas, Observaciones de Igual precisión 12
Observaciones de Diferente Precisión 14
Observaciones Indirectas 15
Precisión y Exactitud; Niveles de Confianza 16
Límite Gráfico, Escala de Origen 17
Precisión de las Medidas 18
CAP. III MEDIDA DIRECTA DE DISTANCIAS: 18
Distancias; Unidades de medida 18
Clases de Medida de Distancias; A pasos, con Cintas Graduadas 19
Errores que se cometen en la medida con Cintas 22
Ejemplo de correcciones a las medidas con Cinta 24
CAP. IV INSTRUMENTOS ELEMENTALES: 28
Trabajos Elementales con Cinta; Alineamiento. Trazado de Perpendiculares 28
Trazado de Paralelas. Medida entre Puntos Accesibles e Inaccesibles 29
Medida de Ángulos con Cinta 33

Instrumentos Elementales; Escuadra de Prismas 35
El Eclímetro 36
CAP. V NIVELACION: 39
Definiciones 39
Curvatura Terrestre y Refracción Atmosférica 40
Clases de Nivelación 40
Nivelación Geométrica; Niveles, Miras y sus clases 41
Nivelación Geométrica Simple y Compuesta 43
Nivelación Trigonométrica 45
CAP. VI MEDIDA DE ANGULOS Y DIRECCIONES: 47
Definiciones 47
Medida de Ángulos Horizontales; Medición Simple 48
Método de Repetición 49
Método de Reiteración 50
CAP. VII REDES DE APOYO PLANIMETRICO: 52
Poligonación; Ejemplo de poligonal en coordenadas topográficas 52
CAP. VIII MEDIDA INDIRECTA DE DISTANCIAS: 57
Distanciómetros; Generalidades 57
Clasificación de Distanciómetros, Precisión 60
BIBLIOGRAFÍA 62

Introducción
La topografía sirve como base para la mayor parte de los trabajos de ingeniería, pues la
elaboración de un proyecto se hace una vez que se tengan los datos suficientes y planos
topográficos que representan fielmente todos los accidentes del terreno sobre el cual se va a
construir la obra. También es usada para establecer límites de propiedades, medir sus áreas,
subdividirlas, etc.
La importancia de la topografía es indudable en la formación del estudiante de Ingeniería Civil,
por lo que se pone a su disposición la teoría que a continuación se describe:
El presente material académico tiene como finalidad complementar las clases teóricas y
prácticas del curso Topografía I de la escuela de Ingeniería Civil que se desarrollarán en el
Ciclo Extraordinario 2005, sirviendo de guía para diversos temas que serán tratados en la
materia, facilitando así el aprendizaje del alumno.
Los primeros capítulos muestran conocimientos básicos sobre topografía, geodesia y teoría de
errores, los que luego son utilizados en capítulos posteriores.
Se ha dado mayor énfasis a los temas de más difícil comprensión, colocando ejemplos que
esclarezcan los conceptos y procedimientos empleados.

CAP. I GENERALIDADES:
TOPOGRAFÍA
Es la ciencia aplicada que estudia el conjunto de procedimientos que persiguen determinar la
posición de puntos sobre nuestro planeta para en base a ello conocer su forma.
Para practicar topografía es necesario tener conocimientos de matemáticas en general, física,
astronomía y otras ciencias, así como un adiestramiento adecuado sobre el manejo de
Instrumentos para hacer mediciones.
LEVANTAMIENTOS TOPOGRÁFICOS
Se le denomina así a las operaciones de medición por las cuales se determina la posición de
diferentes puntos en la superficie terrestre.
TOPOGRAFÍA PLANA Y GEODESIA
La Topografía Plana y la Geodesia persiguen lo mismo, es decir ubicar puntos en nuestro
planeta, sin embargo lo que las hace diferente estriba en la magnitud de terreno que cubren,
mientras que en la Topografía Plana se puede llegar a una extensión máxima de unos 25
kilómetros de longitud, en la Geodesia se puede superar largamente este valor.
La Topografía Plana o simplemente Topografía para abreviar, no considera la curvatura
terrestre para las ubicaciones en planta, sin embargo en el estudio de alturas es común tenerla
en cuenta.
La Geodesia considera la curvatura terrestre tanto para la planta como para las alturas, debido
a las grandes extensiones que puede cubrir.
FORMAS Y DIMENSIONES DE LA TIERRA
FIGURA DE LA TIERRA.
La expresión "figura de la tierra" puede tener varias interpretaciones, de acuerdo con el sentido
en que se use y el grado de precisión con que se trate de definir su forma y tamaño.

La superficie más aparente para nosotros es la superficie topográfica real de la Tierra, con su
variedad de formas continentales y oceánicas; esta es la superficie sobre la cual se hacen
realmente las mediciones, pero debido a que las fórmulas necesarias para tomar en cuenta las
irregularidades terrestres requiere un volumen prohibitivo de cálculos, no se presta para llegar
a una definición exacta de su forma.
Pitágoras (550 a. J.C.) fue el primero en admitir la esfericidad de la Tierra.
Aristóteles (384 a.J.C.) llegó a la conclusión que era la Tierra esférica por sus observaciones de
la sombra que producía sobre la Luna en los eclipses.
Eratóstenes (250 a. J.C.) encontró un valor para el radio de la Tierra bastante aceptable.
La Tierra en efecto se encuentra ligeramente achatada en los polos y algo abultada en el
Ecuador por lo tanto es un esferoide.
EL GEOIDE :
Se admite como forma de la tierra la superficie de equilibrio materializada por los mares en
calma. Esta es una superficie definida físicamente sobre la cual la gravedad en todos sus
puntos es normal a ella.
EL ELIPSOIDE :
Es una figura geométrica obtenida de hacer girar una elipse alrededor de su eje menor. Se
define matemáticamente por su semieje mayor y su semieje menor; los geodestas utilizan por
consenso general el semieje mayor y el achatamiento
a = Semieje mayor
b = Semieje menor
f = Achatamiento = (a-b)/a
ESTACION LAPLACE :
Es una estación o vértice de triangulación, trilateración o poligonación donde se relaciona
acimut, latitud y longitud geodésica con acimut, latitud y longitud astronómica para la
determinación de su posición geodésica.

SUPERFICIE DE NIVEL O SUPERFICIE EQUIPOTENCIAL :
Se denomina así a la superficie conformada por elementos donde cada uno de ellos se obtuvo
al realizar el mismo trabajo originado por el desplazamiento de la unidad de masa desde el
Geoide o superficie de referencia hasta su propia superficie.
Si consideramos una extensión bastante limitada donde podemos considerar g = constante
tendremos:
T = F*h = m*g*h
Considerando dos superficies equipotenciales W1 y W2 y llamando ha y hv a las diferencias
de nivel en los puntos "a" y "v", de la definición anterior tendremos:
ga*ha = gv*hv ----- (I)
Por otra parte se tiene la fórmula de Laplace que nos da la gravedad de acuerdo a su latitud:
gø = go (1+ b*sen²Ø)
Donde :
go = Gravedad en el Ecuador
b = 0.0052
Ø = Latitud
DATUM GEODESICO HORIZONTAL :
Está dado por los diferentes parámetros que definen al elipsoide y su posición respecto del
geoide, se define por lo siguiente:
1.- Semiejes a y b del elipsoide.
2.- Coordenadas x, y, z del centro del elipsoide con respecto al centro de masas de la Tierra.
3.- Giros para colocar el eje del elipsoide paralelo al de rotación terrestre.
El Datum tiene un Origen o punto astronómico fundamental en donde la normal al geoide
coincide con la normal al elipsoide.
DATUM VERTICAL :

Se acepta mundialmente que el datum para la determinación de alturas es la superficie del
Geoide
Entre los modelos de Geoide más usados tenemos:
OSU 91
EGM 96 (usado por IGN)
SISTEMA DE COORDENADAS GEODESICAS Ø y  :
Las coordenadas Geodésicas dadas por su Latitud (Ø) y su Longitud () se determinan
considerando el elipsoide por lo tanto son elipsoidales.
Latitud (Ø).- Es el ángulo medido en el plano del meridiano entre el plano ecuatorial del
elipsoide y una línea perpendicular o normal a su superficie que pasa por el punto a ubicar
sobre la superficie de la Tierra.
Longitud ().- Es el ángulo medido en el plano ecuatorial desde el meridiano de Greenwich
hasta el meridiano.
SISTEMA DE PROYECCIÓN CARTOGRÁFICA U.T.M. :
Es un Sistema de Proyección Cilíndrica Transversa Conforme, es la más conveniente para la
resolución sobre el plano de los problemas topográficos.
En esta proyección el Ecuador terrestre se transforma en una recta y se toma como eje X
(Este) y el Meridiano del elipsoide tangente al cilindro se toma como eje Y (Norte).
Si las distancias al Meridiano tangente o Meridiano Central son demasiado grandes las
distorsiones lineales alcanzan valores inadmisibles, para evitar esto se recurre al artificio de
dividir la Tierra en 60 franjas de 6 , conteniendo cada una de ellas su Meridiano Central;
existiendo así 60 proyecciones iguales que cubren la tierra, limitando además la proyección
entre los paralelos +/- 80 de Latitud.
La numeración de las franjas se hace a partir del antimeridiano de Greenwich de Oeste a Este
del 01 al 60.

Para no tener valores negativos en cada franja se le da al Meridiano Central una abscisa de
500,000 m. y para el Hemisferio Sur se le da al Ecuador una ordenada de 10'000,000
EL PUNTO TOPOGRÁFICO
Es la base para el trabajo topográfico y se materializan en el terreno de diferente forma,
dependiendo del terreno en donde se localizan y su importancia, los hay permanentes y
temporales.
Puntos Permanentes.- Son aquellos que son utilizados varias veces, sirviendo de base para
otras labores topográficas.
Puntos Temporales o Auxiliares.- Son utilizados generalmente en una sola operación
topográfica.
MÉTODOS PARA UBICAR PUNTOS TOPOGRÁFICOS
Para fijar puntos topográficos en planta es necesario que se refieran con respecto a una línea
de referencia, siendo los más utilizados los que combinan medición de ángulo y distancia.
ESCALAS
Existen dos tipos de escalas que normalmente se encuentran presentes en los planos
topográficos, siendo estas:
Escalas Numéricas.- Representadas por una fracción adimensional donde el numerador
representa unidades del dibujo y el denominador unidades del terreno; en topografía se
consideran escalas grandes como 1/100, escalas medianas como 1/5000 y escalas pequeñas
como 1/15000, pero en general se puede decir que una escala es mas grande o más pequeña
que otra si está más cerca o más lejos de la escala 1/1.
Escalas Gráficas.- Representadas por una barra graduada que se dibuja en el plano de
acuerdo a la escala numérica en que fue impreso dicho plano, tiene la ventaja sobre la escala
numérica que si se modifica el tamaño del plano esta se mantiene constante.

CAP. II TEORÍA DE ERRORES:
REDONDEO DE DATOS:
Si tenemos una cantidad cualquiera como :
69.438 y por alguna razón queremos trabajar solo con dos decimales, el número que mejor
representa a la cantidad anterior es 69.44 puesto que solo le sobran 2 milésimas, a diferencia
de 69.43 que le faltan 8 milésimas.
Esta forma de redondear es muy conocida y normalmente se hace de una manera mecánica,
sin embargo hay casos especiales como cuando el dígito que se evalúa para el redondeo es 5,
por ejemplo la cantidad 27.45 a un decimal, tanto 27.5 como 27.4 representan con igual
precisión a la cantidad; en estos casos se acostumbra a usar el numero que antecede al 5
para tomar una decisión, quedando igual si es número par, o aumentándolo en uno si es impar.
En el caso visto la cantidad quedaría como 27.4
Se debe tener conciencia que al redondear una cantidad cualquiera, se representa por otra que
tiene menos dígitos, si esta cantidad es fruto de procedimientos que nos hacen dudar de que
se deban considerar todos los números que la conforman, es muy conveniente utilizar el
redondeo para dar una respuesta.
Por ejemplo fruto de varias operaciones la calculadora nos dio 128.2345259 es posible que de
acuerdo a los datos ingresados sea suficiente dar la respuesta como:
128.235 (redondeo a la milésima)
Pero si se trata de cantidades obtenidas por mediciones muy bien hechas, el hacer redondeos
disminuye la precisión real de los equipos utilizados.
Por ejemplo usando un distanciómetro que mide hasta la centésima de metro se determinó una
distancia de 1.45633 kilómetros, si se redondea la cantidad se perderá precisión.
CIFRAS SIGNIFICATIVAS:
Concepto: Son aquellas cifras dígitas de las cuales mayormente no se duda, aparte de los
ceros necesitados para situar el lugar decimal.

Al anotar una cantidad medida se consignan solo los dígitos no dudosos facilitados por el
equipo con que se hace la medición, sin embargo el dígito colocado más a la derecha siempre
encierra cierta incertidumbre, que se puede determinar si se cuenta con un equipo aún más
preciso que aumentara las cifras.
Por ejemplo si se mide una distancia, resultando ser de 24.3 metros con tres cifras
significativas, es de esperar que si se contara con un instrumento de más precisión el valor de
la distancia podría estar en el intervalo de [24.2501, 24.3499], es decir (24.25,24.35)
Como ejemplo de cifras significativas tenemos:
27.35 metros, existen 4 C.S.
7.3200 kilómetros, existen 5 C.S.
0.008 toneladas = 8 kilogramos, existe 1 C.S.
12000 metros, sin saber la precisión del equipo no es posible determinarlas.
1.476x10^5 Kilómetros, existen 4 C.S.
Cálculos con Cifras Significativas:
Cuando se hacen multiplicaciones, divisiones y extracciones de raíces de números es de
esperar que el resultado final no tenga más cifras significativas que los datos con menor
número de éllas.
Ejemplos
a. 79.22 m. x 7.5 m. = 594.15 como solo la respuesta puede tener 2 C.S. sería
59x10 m2. o también 590 m2 con 2 C.S.
b. (45.39 m2)½ = 6.737210105 como solo puede tener 4 C.S. sería 6.737 m.
En las operaciones en que hay sumas y restas de números el resultado final es de esperar que
no tenga más cifras significativas después del punto decimal que las de los datos con menor
número de éllas luego del punto.
Ejemplos
a. 128.345 m. + 12.3 m. = 140.645 como se espera 1 C.S. después del punto en

total serán 4 C.S. y la cantidad 140.6 m.
b. 234.47 m. + 1.4x10^2 = 2.3447x10^2 m. + 1.4x10^2 m. = 3.7447x10^2 = 374.47
en este caso debido a que en 1.4x10^2 las unidades no son significativas se utiliza la notación
científica en las dos cantidades para aplicar la regla, solo pudiendo tener 1 C.S. después del
punto y un total de 2 C.S. quedando el resultado como 3.7x10^2 m. o 370 m. con 2 C.S.
c. 128.456 m. - 123.43 m. = 5.026 en este caso se esperan 2 C.S. después del
punto y 5 C.S. en total, sin embargo al restar
se pierden cifras quedando solo 3 C.S.
el resultado es 5.03 m.
CLASES DE MEDICIONES:
Mediciones Observadas:
Son aquellas que se obtienen de manera directa en el campo, Como cuando se mide una
distancia de 27.18 metros con una cinta de longitud total 30.00 metros.
Mediciones Calculadas:
Son aquellas obtenidas luego de un proceso de cálculo, como cuando utilizando la cinta del
ejemplo anterior se determina una distancia de 345.27 metros.
CAUSAS DE LOS ERRORES:
El Instrumento:
Se debe a las imperfecciones en la fabricación y ajustes del propio instrumento, como por
ejemplo, una cinta graduada puede indicar como longitud total 50.00 m. sin embargo tener en
realidad 49.70 m.
La Naturaleza:
Se debe a la acción de diferentes fenómenos naturales sobre la medición que se ejecuta, como
por ejemplo al medir con una cinta graduada bajo condiciones de mucho viento.
La Persona:

Proviene de la imperfección de los sentidos y de las distracciones o equivocaciones, como por
ejemplo se puede cometer un error al leer la graduación de una cinta.
TIPOS DE ERRORES:
Errores Materiales o Equivocaciones:
Tiene origen en la mente del observador, su causa es pues la misma persona, como por
ejemplo leer un 6 y anotar 9, para eliminarlos se deben utilizar procedimientos que permitan
prevenirlos ya que una vez cometidos es prácticamente imposible eliminarlos.
Errores Constantes o Sistemáticos:
Son los que modifican el resultado de la medición casi siempre en el mismo sentido, es decir
son acumulativos, su origen o causa puede ser el instrumento o la naturaleza, como por
ejemplo una cinta de 30.00 m. que tiene en realidad 30.60 m. cada vez que se use se cometerá
un error que irá aumentando; para eliminarlos se puede hacer por medio de fórmulas o
procedimientos que permitan eliminarlos
Errores Fortuitos o Accidentales:
Son los que se encuentran después de haber eliminado todo los errores Materiales y
Sistemáticos, a estos errores también se les conoce como Errores Compensables, por que
tienden a acumularse y anularse parcialmente entre si en una serie de medidas.
PROBABILIDADES Y ESTADISTICA:
Valor Verdadero o Real de una Magnitud : Debido a que toda medición está sujeta a un
sinnúmero de errores muchos de los cuales imposibles de eliminar, el valor verdadero no se
llegará a conocer nunca.
Valor Más Probable de una Magnitud: Se demuestra por la teoría de mínimos cuadrados que el
valor que tiene mayor probabilidad de representar al valor verdadero está dado por la Media
Aritmética o valor más probable de las mediciones hechas, siempre que estas se hallan
realizado bajo las mismas condiciones de precisión.

M = xi / n Donde xi = Sumatoria de observaciones hechas
n = Número de observaciones
Errores Aparentes: Libres las mediciones de equivocaciones y errores constantes, se
determinan los errores aparentes encontrando la diferencia entre los valores medidos y el valor
más probable, estos residuos permiten evaluar el grado de precisión de las observaciones
hechas.
Estimador de la Desviación Típica o Error Medio Cuadrático de una Observación:
Está dado por:
1
2



n
ri
EMC
Donde:
ri² = Sumatoria de los residuos al cuadrado.
n = Número total de observaciones.
Estimador de la Desviación Típica de la Media o Error Medio Cuadrático de La Media
Aritmética:
Está dado por
 1
2



nn
ri
EMC
Donde:
ri² = Sumatoria de los residuos al cuadrado.
n = Número total de observaciones.
Error Relativo:

Se denomina así al cociente entre el EMC y M
M
EMC
ER  Siempre en el numerador va la unidad.
CASO DE OBSERVACIONES CON DIFERENTE PRECISION:
Valor Más Probable de una Magnitud: Si las observaciones no tienen la misma precisión se
demuestra que este valor se define por la Media Aritmética Pesada:
 


Pi
PiMi
MP
.
Donde:
 (Mi.Pi) = Sumatoria del producto de cada media aritmética por su peso o número
de observaciones.
 Pi = Sumatoria de todos los pesos o de todas las observaciones.
Estimador de la Desviación Típica o Error Medio Cuadrático de una Observación:
Está dado por
 
1
. 2



n
riPi
EMC
Donde:
 (Pi.ri²) = Sumatoria de cada peso o número de observaciones por el cuadrado de
su residuo
n = Número total de medias aritméticas.

Estimador de la Desviación Típica de la Media o Error Medio Cuadrático de La Media
Aritmética:
Está dado por:
 
  1
. 2




nPi
riPi
EMCm
Donde:
 (Pi.ri²) = Sumatoria de cada peso o número de observaciones por el cuadrado de
su residuo
 Pi = Sumatoria de todos los pesos o de todas las observaciones
n = Número total de medias aritméticas.
CASO DE OBSERVACIONES INDIRECTAS:
Cuando las mediciones realizadas no son directamente de la magnitud misma si no de ciertos
parámetros que son función para calcularla se utiliza la siguiente fórmula para determinar el
error final (E)
E = ± ( (dU/dx.ex)² + (dU/dy.ey)² + (dU/dz.ez)² + . . . . . ) ½
Donde:
ex, ey, ez, ... Son errores correspondientes a las magnitudes medidas x, y, z, ...
U Es una función de x, y, z, ...
Cuando los errores de las mediciones indirectas hechas afectan independientemente la
magnitud misma se tiene que de la fórmula anterior
dU/dx = dU/dy = dU/dz = 1 quedando:

E = ± ( ex² + ey² + ez² + .... ) ½
Un caso interesante deducido de esta fórmula es el EMCm, conocemos que la media aritmética
es M = xi / n entonces el error de la media será:
E = ± (( e1² + e2² + e3² + ....en² ) ½) / n como todas las mediciones son de igual precisión
tendremos que e1² = e2² = e3² = ....en² = e² quedando la formula reducida a:
E = ± (e (n) ½) / n = e / (n) ½ como e = EMC se tiene que:
E =
 1
2



nn
ri
EMC
PRECISION:
Es el grado de refinamiento, acercamiento o consistencia de un grupo de medidas de una
misma magnitud, se evalúa en base a los errores aparentes, siendo más preciso cuando más
pequeños sean éstos.
EXACTITUD:
Es el grado de acercamiento de un grupo de medidas de una misma magnitud a su valor
verdadero, siendo más exacto cuanto más cercanos estén los valores medidos de su valor real.
NIVELES DE CONFIANZA:
Se demuestra en la teoría de errores que el EMC fija los límites dentro de los cuales debe
esperarse que queden las mediciones el 68.27% de las veces. En otras palabras, si una
medición se repite diez veces, podría esperarse que siete de las observaciones queden dentro
de los límites determinados por el EMC, y que tres de ellas queden fuera; o dicho de otra

manera la probabilidad de que el valor verdadero se encuentre dentro de los límites impuestos
por el EMC es solo del 68.27% que vendría a ser su Nivel de Confiabilidad o Confianza.
Dependiendo del tipo de trabajo y de sus exigencias los niveles de confianza pueden variar, a
continuación se dan algunos en función del EMC.
Nivel de Confianza del 50% = 0.6745 EMC
Nivel de Confianza del 68% = EMC
LIMITE GRAFICO:
Se acostumbra denominar así, a la menor distancia entre dos puntos que se pueden
representar en un plano y que permite que se vean separados.
Depende de la agudeza visual del observador, sin embargo se considera que si esta distancia
es menor o igual a 0.2 mm la mayoría de observadores solo vería un punto desde una longitud
de visualización normal (aprox. 60 cm.)
ESCALA DE ORIGEN:
Es la escala más grande en la que se representarán los datos tomados en el campo de
acuerdo a su precisión.
Ejemplo: Si en la determinación de longitudes en cierto levantamiento topográfico se utilizó una
cinta graduada en centímetros determinando que el EMCm estaba por +/- 0.01 m. la escala de
origen sería:
0.2 mm  10 mm

1.0 mm  X entonces X = 50 por lo tanto la Escala de Origen es
1/50
PRECISIÓN DE LAS MEDIDAS:
La precisión de las mediciones debe ir de acuerdo con la finalidad del levantamiento, no
pueden darse reglas fijas para la precisión de las distintas clases de trabajos, pues las
finalidades, aplicaciones y demás circunstancias son tan numerosas como complicadas.
Se debe tener en cuenta que al posicionar puntos con ángulos y distancias, los errores
angulares y lineales deben ser parecidos, ya que de no serlo las precisiones mayores se
perderían al igual que el tiempo en conseguirlas.
CAP. III MEDIDA DIRECTA DE DISTANCIAS:
DISTANCIA
Al hablar de distancia entre 2 puntos en topografía, se sobreentiende que se trata de la
distancia horizontal prescindiendo del nivel que pueda haber entre ellos; aunque es frecuente la
medición de distancias inclinadas, para su utilización en mapas, cálculo de superficies, etc.
UNIDADES DE MEDIDA
Se usará: Para la medida de longitudes, el METRO, sus múltiplos y submúltiplos según las
necesidades, para la medida de superficies, se emplea el metro cuadrado ó centiárea, y para
extensiones mayores, la hectárea y el kilómetro cuadrado.
Para los ángulos se empleará el sistema sexagesimal, en el cual la circunferencia está dividida
en 360°, cada grado en 60’ y cada minuto en 60”; contándose en decimal las fracciones de
segundo.

CLASES DE MEDIDA DE DISTANCIAS DIRECTA
Hay diversas formas o métodos para medir distancias entre las cuales tenemos:
A PASOS:
Este sistema de medición de distancias proporciona un medio rápido y sencillo para comprobar
aproximadamente otras mediciones más precisas, se emplea mucho en levantamientos de
escala pequeña.
En condiciones normales cualquier persona acostumbraba a ello no encuentra dificultades en
medir a pasos una distancia con una precisión desde 1/100 de grado de error relativo.
Para la medición a pasos es común utilizar el podómetro, este registra automáticamente el
número de pasos, tiene el tamaño de un reloj de bolsillo y se lleva sujeto en una pierna.
CON CINTAS GRADUADAS:
Es el modo más usual para determinar distancias la precisión de las mediciones con cinta,
dependen del cuidado con que se hace la operación, tratándose de terrenos quebrados, la
cinta suele dar resultados poco precisos.
Procediendo con extremo cuidado para eliminar toda causa posible de error, se han logrado
mediciones con un error relativo menor a 1 / 100 000.
La precisión normal en terreno llano y sin accidentes, esta comprendida entre 1 / 3 000 y 1 / 5
000 de error relativo.
De acuerdo con la precisión requerida, se emplea dos clases de cintas: Cintas Plásticas y
Cintas Metálicas.
Cintas Plásticas.- Son utilizadas en los casos en que necesite poca precisión o cuando se
tenga que hacer levantamientos cerca de líneas de transporte de energía eléctrica que por no
ser metálicas no son conductores de electricidad.
Por lo general, las cintas plásticas tienen un alma de fibra de vidrio para hacerlas más
resistentes y que no se alarguen fácilmente.
Cintas metálicas.- Las que usualmente se utilizan, son las de acero; la longitud más corriente
de estas cintas suele ser de 30 m. aunque las hay de 15, 25, 50 y 100 m. las cintas de acero

tiene un ancho variable generalmente de 6 a 10 mm. de ancho con un espesor de 6/10 de mm.,
es la que más se aconseja para trabajos ordinarios de la topografía.
Las cintas de más de 50 m. de longitud, son poco manejables y se rompen con facilidad; las
cintas de acero tienen una graduación grabada bien indicando hasta los milímetros en toda su
longitud, o lo que es más corriente graduadas en centímetros, con el primer decímetro dividido
en milímetros, con una cifra antepuesta que indica los metros.
Cuando se trata de mediciones de gran precisión como es el caso de planos de población, se
hace uso de las cintas invar, el cual es un metal compuesto de níquel y acero, esta aleación
tiene un coeficiente de dilatación térmica bastante pequeño del orden de 1/30 del
correspondiente al acero, pero como las aleaciones que tienen un coeficiente de dilatación
extremadamente reducido pueden variar de longitud al cabo de cierto tiempo, se suele emplear
una aleación con coeficiente mayor que oscila entre la octava y la décima parte del propio del
acero. El invar es un metal blando que debe manejarse con mucho cuidado para evitar que se
formen dobleces. Su costo elevado y las circunstancias anteriores limitan mucho el uso del
invar.
Medición con cinta en terreno llano.-
Cuando la cinta a utilizarse es más grande que la longitud a medirse, lo único que se necesita
es aplicar la cinta entre los dos puntos cuya distancia se va a medir, darle la tensión debida y
cuidar de que permanezcan horizontal. Cuando la distancia a medirse es más grande que la
cinta, ésta se debe extender en toda su longitud y se usarán jalones para llevar el alineamiento,
la persona que se coloca en el inicio (zaguero) alinea a la persona que está en el final de la
cinta para que éste coloque el jalón. Una vez medida esta distancia se puede dejar en
reemplazo una pequeña estaca de madera o de alambre para proseguir con la medición.
Medición con cinta en pendiente.- Puede ser:
Por resaltos horizontales.- El procedimiento referido viene a ser el mismo que acabamos de
describir para los terrenos llanos con la excepción de que es preciso usar plomadas y mantener
siempre horizontal la cinta.

Esta clase de medidas se hace de la siguiente manera: Para cuando la medida se hace
bajando; el cero de la cinta se fija en el terreno y la división delantera se tiene en el aire
conservando la cinta lo más aproximadamente posible en posición horizontal, el punto del
extremo de la cinta se marca en el terreno utilizando una plomada. Este proceso se repite por
resaltos horizontales, el método es más fácil de aplicar en una pendiente bajando que en una
pendiente subiendo.
Es aconsejable usar cintadas de pequeña longitud tanto más grandes sean las pendientes.
Directo sobre el suelo inclinado.- Cuando el terreno es de pendiente uniforme se hace la
medición directamente sobre el suelo con menos error que por resaltos horizontales, la forma
de proceder es la siguiente:
Se mide el ángulo que hace con la horizontal o la diferencia de nivel y las cintadas se hacen de
la misma forma que para terreno llano. Conociendo “S” y “ ” ó “S” y “h” se calcula la distancia
horizontal.
Donde S: Distancia en pendiente.
d: Distancia horizontal.
h: Diferencia de nivel.
22
d hS  ó d= S x cos 
Se puede usar una corrección:
Ch= S-(S x cos  ) = S(1- cos  )
O también:
Ch = S – d 22
hSSCh 
 
21
22
2
2






 hS
S
S
SCh
 21
2
2
1
S
hSSCh 
2
2
2S
ShSSCh 

S
hCh
2
2

ERRORES DE LAS MEDIDAS CON CINTAS
1° Cinta de longitud errónea: Una cinta de esta clase, da lugar a un error sistemático que
puede eliminarse contrastando la cinta y aplicando la corrección así determinada.
Si una cinta es más corta que la longitud que ella indica, la distancia medida entre 2 puntos
fijos resultará más larga que la distancia verdadera (error positivo), al contrario si es más larga
la distancia medida resultará más corta.
Ejemplo:
Si se mide una distancia de 150 m. con una cinta marcada como de 25 m. pero que en realidad
tiene 24.95 m, el resultado de la medición será.
Núm. De cintadas : 012.6
95.24
150

Constante de corrección: 998.0
25
95.24

25 x 6.012 = 150.30
Es decir existe un error de +0.30 m.
Si la cinta tuviese realmente una longitud de 25.05 m. el resultado sería.
70.149
05.25
15025

x
Constante de corrección: 002.1
25
05.25

Es decir el error es de: -0.3 m.
Si el error de la cinta es pequeño, se puede compensar haciendo variar la tensión que se lee
sobre un dinamómetro.
2° Falta de horizontalidad: El efecto en análogo al debido a una dirección defectuosa,
siempre es un error positivo ya que cualquier línea inclinada será siempre mayor que su
proyección horizontal, la corrección se puede hacer con
S
hCh
2
2
 .

Este error puede hacerse despreciable nivelando la cinta mediante un nivel de mano.
3° Cambios de temperatura: es un error sistemático positivo cuando la temperatura a la
cual e graduó la cinta es mayor que la temperatura con la cual se esta midiendo. En el caso
contrario es negativa.
El error debido a los cambios de temperatura puede tener gran importancia cuando se opera en
tiempo demasiado caluroso o extremadamente frió, pero para trabajos ordinarios no es
generalmente necesario tomar en cuenta este error.
La corrección Ct para la variación de longitud, esta dada por la fórmula:
Ct= Kt L (T-To)
Donde:
Kt: Coeficiente de dilatación térmica de la cinta, para el acero Kt=0.0000121
L: Longitud medida.
T: Temperatura observada.
To: Temperatura a la que se ha contrastado la cinta.
4° Tensión de cinta variable.- Si la tensión aplicada a la cinta resulta siempre demasiado
grande o siempre demasiado pequeña, el error es sistemático en caso contrario es
compensable, tiene poca importancia en los trabajos corrientes.
Cuando la tensión con que se atiranta la cinta es mayor o menor que la de que se debe aplicar
esta se alarga o se acorta.
La corrección Cp que se debe aplicar sería :
 
AE
LPoP
Cp


P : Tensión aplicada en kilogramos.
Po : Tensión de contraste en kilogramos.
L : Longitud en metros.
A : Sección transversal en mm2.
E : Modulo de elasticidad del acero en Kg/mm2.
Tener en cuenta en cintas ligeras.
5° Por Catenaria.- Es un error sistemático positivo y puede eliminarse de 3 maneras:

1.- Colocando una serie de soportes intermedios que eliminen prácticamente el efecto de
catenaria de la cinta.
2.- Aplicando una corrección calculada con la ecuación de la curva correspondiente.
3.- Aumentando la tensión de la cinta hasta que se compense el efecto de catenaria.
El primer método puede emplearse en las mediciones de precisión ordinaria; el segundo
método es el que generalmente se emplea en las mediciones de alta precisión, para calcular
esta corrección se acostumbra usar la siguiente fórmula, que determina con suficiente precisión
su valor:
2
2
2
32
2424 P
LW
P
Lw
Cc 
Donde:
Cc= Corrección por catenaria.
w = Peso de la cinta en Kg-f/metro.
W= Peso total de la cinta, en Kg-f.
L= Distancia entre soportes en m.
P = Tensión aplicada en kilogramos.
El tercer método resulta en la práctica difícil de aplicar, tiene en cuenta que una forma de
compensar el acortamiento causado por el pandeo con el alargamiento debido a la sobre
tensión es encontrar la tensión normal (Pn) que resulta de igualar los segundos miembros de
los efectos antes citados, lo que nos da la siguiente fórmula:
PoPn
AEW
Pn


204.0
EJEMPLO:
Hallar la longitud total de una distancia medida por tramos.
La medición se realizó con una cinta de acero de 30.00 m. de largo y de 1.50 Kg. de peso,
calibrada a 20ºC y 5.00 Kg-f. de tensión y cuya sección transversal es de 4.80 mm2.; además
se comparó la cinta con un patrón de medida obteniéndose como longitud real 29.97 m.

Los valores tomados para eliminar los errores sistemáticos son los siguientes:
DATOS DE LIBRETA DE CAMPO - LONGITUD AB
------------------------------------------------
Tramo Longitud(L) Temperat.(t) Difer. Nivel(h) Tensión(P)
(m.) (ºC) (m.) (Kg.)
A-1 29.98 22.5 0.56 4.7
1-2 29.90 22.6 0.70 4.9
2-3 29.95 22.8 0.21 5.2
3-4 29.10 23.0 0.42 5.1
4-5 29.02 23.7 0.10 5.3
5-B 29.75 24.0 0.05 4.8
SUMA 177.70
------------------------------------------------
Nota: Existe error por catenaria en todos los tramos.
S O L U C I O N
1.- Corrección por Longitud Inexacta (Cl=Long.real/Long.ap.)
Cl = 29.97/30.00 = 0.999 m/m
Tramo L L (Corr.)
A-1 29.98 29.95002
1-2 29.90 29.8701
2-3 29.95 29.92005
3-4 29.10 29.0709
4-5 29.02 28.99098
5-B 29.75 29.72025
SUMA 177.5223

2.- Corrección por Horizontalidad ( Ch=h^2/(2S) )
Tramo L = S h Ch
A-1 29.95_ 0.56 -0.005235
1-2 29.87_ 0.70 -0.008202
2-3 29.92_ 0.21 -0.000737
3-4 29.07_ 0.42 -0.003034
4-5 28.99_ 0.10 -0.000172
5-B 29.72_ 0.05 -0.000042
SUMATORIA = Ch = -0.017423
3.- Corrección por Temperatura ( Ct=LK(t-to) )
Tramo L t to Ct
A-1 29.95_ 22.5 20.0 0.0009060
1-2 29.87_ 22.6 20.0 0.0009397
2-3 29.92_ 22.8 20.0 0.0010137
3-4 29.07_ 23.0 20.0 0.0010553
4-5 28.99_ 23.7 20.0 0.0012979
5-B 29.72_ 24.0 20.0 0.0014385
SUMATORIA = Ct = 0.0066511
K=0.0000121
4.- Correción por Tensión ( Cp=(P-Po)L/(AE) )
Tramo L P Po Cp
A-1 29.95_ 4.7 5.0 -0.00008914
1-2 29.87_ 4.9 5.0 -0.00002963
2-3 29.92_ 5.2 5.0 +0.00005937
3-4 29.07_ 5.1 5.0 +0.00002884

4-5 28.99_ 5.3 5.0 +0.00008628
5-B 29.72_ 4.8 5.0 -0.00005897
SUMATORIA = Cp = -0.00000325
A=4.80 mm2
E=21000 Kg/mm2
4.- Corrección por Catenaria ( Cc=-w^2*L^3/(24P^2) )
Tramo L w P Cc
A-1 29.95_ 0.05 4.7 -0.12668
1-2 29.87_ 0.05 4.9 -0.11562
2-3 29.92_ 0.05 5.2 -0.10318
3-4 29.07_ 0.05 5.1 -0.09839
4-5 28.99_ 0.05 5.3 -0.09036
5-B 29.72_ 0.05 4.8 -0.11869
SUMATORIA = Cc = -0.65293
w=1.5/30 = 0.05 Kg/m
5.- CORRECCION TOTAL DE LA LONGITUD AB.
Long. AB = 177.5223 - 0.017423 + 0.0066511- 0.00000325 - 0.65293
= 176.8586
Por lo tanto la longitud total de AB medida una sola
vez será:
AB = 176.86 m.

CAP. IV INSTRUMENTOS ELEMENTALES:
TRABAJOS ELEMENTALES CON JALONES Y CINTAS GRADUADAS
ALINEACIÓN.- Se llama así a la línea de intersección del terreno con el plano vertical que pasa
por dos puntos dados vertical que pasa por dos puntos dados
TRAZADO DE PERPENDICULARES Y PARALELAS
TRAZADO DE PERPENDICULARES
Esta operación se hace por el método conocido como 3, 4, 5 o por el de la bisección de la
cuerda. Con el primero se tarda menos tiempo, pero el segundo es más exacto.
Método del 3, 4, 5.
C C’
A a’ a b B
Para trazar una perpendicular al alineamiento AB que pase por el punto C se toma sobre AB un
punto a como si perteneciera a la perpendicular buscada y se señala su posición con una
estaca, con lados que sean iguales o múltiplos de 3, 4, 5 como por ejemplo 6, 8 y 10 se
construye un triángulo rectángulo abc de la siguiente forma:
Se fija el cero de la cinta en a y se localiza el punto b a 8 m. y sobre el alineamiento AB,
colocar una estaca en b.
Se fija el cero de la cinta en a y en el punto b se coloca la señal que marca en la cinta 16 m.
(Suma de los lados de 6m y 10 m) uno de los operadores marcha hacia c con la señal que
marca en la cinta 6 m. en la mano, cuando los 2 tramos de la cinta (6 y 10 m) estén tirantes,
clava una estaca, este será el punto c, luego se medirá en dirección del alineamiento ac y se
localiza C’ (por lo general el punto C no está en la alineación a C’). se mide la distancia CC’ y

esta misma distancia se corre el punto a sobre el alineamiento AB dando origen a a’ que es el
pie de la perpendicular que pasa por C.
Método de la bisección de la cuerda
Para trazar una perpendicular al alineamiento AB que pase por el punto C.
Se toma un punto d sobre la perpendicular dirigida a ojo, a una distancia de AB algo menor que
la longitud de una cinta, con d como centro y con la cinta entera como radio, mientras un
operador sujeta un extremo en d, el otro traza un arco de círculo que corta a la línea AB en los
puntos b y c donde se colocan estacas, se toma el punto medio a de la distancia bc el cual será
el pie de la perpendicular ad, luego se prolonga hasta determinar el punto C’, luego se procede
como en el método anterior.
Trazado de Paralelas
Cuando se quiera encontrar desde un punto dado una paralela a una alineación se procede de
una de las siguientes maneras:
Primer Método.- Trazar una perpendicular que pase por el punto C (a’C).
Luego en otro punto de AB se traza otra perpendicular y se hace b’D=a’C con lo que se habrá
encontrado el alineamiento CD // a AB
C C’
d
cb aA B

Segundo Método.- Se fija un punto tal como a dentro del alineamiento AB luego se mide la
distancia aC y se encuentra su punto medio O, luego desde otro punto del alineamiento AB tal
como b se mide la distancia bO siguiendo el alineamiento bO se mide OD que es igual a bO,
con lo que encontramos DC//AB.
El segundo método es rápido y preciso y puede comprobarse con el primer método.
MEDIDA ENTRE PUNTOS ACCESIBLES E INACCESIBLES
MEDIDA ENTRE PUNTOS ACCESIBLES CON INTERPOSICIÓN DE OBSTÁCULOS:
Primer Método:
Supongamos que se requiere la distancia entre los puntos A y B separados por un obstáculo
intermedio, se elige un punto C, que se puede ver desde A y desde B luego se prolonga la
alineación BC fijando b de manera que bC=Cb, se prolonga también la alineación AC, fijando el
punto a de manera que CA=ac; luego se mide ba que será igual a AB.
A B
C D
'a 'b
A B
CD
a b
O

Segundo Método:
Para encontrar la distancia AB, se coloca un extremo de la cinta en B y como centro este punto
se describe un arco con radio igual a la longitud de la cinta si fuera necesario; al mismo tiempo
un operador se sitúa en A alinea un punto tal como O y dirige la colocación de estacas en los
puntos a y b, se determina C que se encuentra en el punto medio de la distancia ab y luego se
mide AC y CB, la distancia AB es igual.
22
CBACAB 
A B
C
b a
A B
C
a
b
O

Tercer Método:
(A visible desde B).
Para encontrar la distancia AB, se traza una perpendicular desde A (Aa) y se mide sobre este
alineamiento la distancia Aa se traza una perpendicular desde B el punto b se fija de tal forma
que Bb=Aa la distancia AB=ab.
MEDIDA ENTRE UN PUNTO ACCESIBLE Y OTRO INACCESIBLE
Para medir la distancia AB se traza una perpendicular desde A por uno de los métodos
explicados, se determina el punto C, luego se traza otra perpendicular a CB y se determina el
punto D que es la intersección de los alineamientos DB y DC se mide la distancia AC y DA, por
Pitágoras:
(DA+AB) 2 = BC2 + DC2.
DA2+2xDAxAB+AB2 = BC2 + DC2.
a b
A B
A
B
D
C
RIO

I
A B
B
RIO
BC2 =AC2+ AB2.
DC2 =DA2+ AC2.
Reemplazando:
DA
AC
AB
2

MEDIDA ENTRE PUNTOS INACCESIBLES
Sean A y B dos puntos inaccesibles, tómese un punto tal como I en una posición cualquiera y
determínese las distancias AI y BI por el método anterior, luego a partir de I se localizan los
puntos D y E de tal forma que:
IB
IE
IA
ID
 es conveniente de que esta relación sea simple por
ejemplo ½ ó 1/3 considerando 1/3 tendríamos ID = 1/3 x IA.
Luego: IB
IA
ID
IE *
Determinados ID e IE medimos DE y:
DI
AI
DEAB *
MEDIDA DE ÁNGULOS CON CINTA
Se puede medir ángulos con cinta por el método llamado de la cuerda del modo siguiente:
E
D

Con el vértice A del ángulo como centro se describe con la cinta un arco que cortara en a y b
los lados AB y AC respectivamente del ángulo , se clavan estacas en a y en b, luego se mide
la distancia ab considerando R=ab=Aa.
Tendremos:
R
ab
Sen
*22









R
ab
SenArc
*2
*2
En el caso de replantear un ángulo conociendo uno de los alineamientos que lo forman, se
mide una distancia conveniente Aa y luego por la tg del ángulo encontramos la longitud que
debe tener la perpendicular trazada desde a, de esta forma determinamos el punto b, luego b
A b viene a ser el ángulo buscado.
A B
a
b
2
1

C
A B
a
b


INSTRUMENTOS ELEMENTALES:
ESCUADRA DE PRISMAS DOBLES
Para determinar puntos dentro de un alineamiento y trazar perpendiculares en levantamientos
de terrenos planos no muy grandes puede usarse la escuadra de prismas.
FORMA DE USO :
Para usar este instrumento es necesario colocarlo sobre su bastón plomada y suspenderlo
para su trabajo.
Al mirar por su parte delantera encontramos 2 ventanillas donde están alojados dos prismas; el
Prisma Superior refracta los rayos luminosos 90 hacia la izquierda y el Prisma Inferior lo hace
para la derecha.
ENCONTRANDO PUNTOS DENTRO DE UN ALINEAMIENTO
1) Definir el alineamiento con jalones en los extremos.
2) Determinar un punto a "ojo" que se encuentre dentro del alineamiento.
3) Suspender el instrumento y tratar de que en los dos prismas se vean los dos jalones que
definen el alineamiento en una misma línea vertical, para lograr esto realizar pequeños
movimientos hacia adelante o hacia atrás; si solo aparece uno, significa que el alineamiento en
donde está el prisma se encuentra rotado por lo que se deberá hacer un pequeño giro hacia la
derecha o hacia la izquierda buscando el jalón faltante.
LEVANTANDO PERPENDICULARES
1) Definir desde que punto del alineamiento base se encontrará la perpendicular.
2) Proceder como en antes para encontrar el punto definido en el paso 1).
3) Colocar un jalón que se pueda ver encima del instrumento de tal manera que se encuentre
en la misma línea vertical que los dos jalones que se ven en los prismas; el punto dentro del
alineamiento y el jalón recién colocado definen la perpendicular buscada.

BAJANDO PERPENDICULARES
1) Colocar además de los jalones de los extremos del alineamiento base, otro sobre el punto
externo que formará parte del alineamiento perpendicular.
2) Encontrar un punto dentro del alineamiento base que también a su vez permita ver por
encima de él al jalón externo en una misma vertical. El punto donde se encuentra el prisma y el
jalón antes citado definen el alineamiento perpendicular buscado.
CALCULO DE AREAS
El levantamiento de parcelas pequeñas en terrenos planos se puede realizar con la escuadra
de prismas pero con una precisión baja en comparación con el teodolito. Para el cálculo del
área se debe proceder de la siguiente forma:
1) Definir la geometría del terreno a levantar por medio de estacas o marcas.
2) Tomar un alineamiento como base, y desde el bajar perpendiculares desde las estacas
colocadas en el paso anterior.
3) Realizar la medición de los segmentos que permitirán el cálculo de las pequeñas áreas en
que queda dividido el terreno.
4) El cálculo del Área Total será la sumatoria de todas las
pequeñas áreas.
EL ECLIMETRO
Cuando se desea encontrar de manera aproximada una altura, una pendiente o un angulo
vertical se puede hacer uso de este instrumento; es muy utilizado en el trazo de carreteras,
nivelaciones aproximadas y cálculo de alturas.
DESCRIPCION
Consiste en un tubo cuadrado de aproximadamente 15 cms de largo sin lentes, la mitad de un
limbo con graduación en grados y en porcentaje, un pequeño nivel de aire cuya burbuja puede
verse por el interior del tubo mediante un espejo o prisma que ocupa la mitad del tubo. por la
otra mitad se ve al exterior, teniendo aquí el instrumento un hilo metálico horizontal para dirigir

la visual, el cual debe coincidir en todo momento con el reflejo de la burbuja del nivel de aire
(burbuja centrada), de acuerdo a la Figura A.
Figura A
COMPROBACION DEL INSTRUMENTO
Antes de hacer cualquier medición es necesario que se revise y ajuste de ser necesario; si no
tenemos una superficie de comparación horizontal procederemos como sigue:
1) Se coloca el instrumento cero con cero, es decir pendiente cero.
2) En un lugar más o menos nivelado se escogen dos postes o dos árboles derechos no muy
distantes entre sí, como máximo unos 25 m. y desde uno de ellos se marca un punto (pto "A")
desde el cual se dirige una visual, con la burbuja centrada hacia el otro, y se marca un punto
(pto "B").
3) Se traslada el Eclímetro al punto "B" y desde aquí se dirige ahora una visual en sentido
contrario, si vemos que coincide con el punto "A" estará correcto el instrumento.
4) Si no coincide con el punto "A", se marca el lugar donde apunte (Pto "C")
5) Se mide la distancia "A-C", la que resulta ser el doble del error.
6) Se marca el punto "D" que será el punto medio de la distancia "A-C" y el cual quedará en la
horizontal que pasa por el punto "B".
7) Tomando como base esta horizontal se ajusta el instrumento a ella con el tornillo que
contiene el nivel de aire.
MEDICION DE ANGULOS
Este instrumento nos puede dar los ángulos verticales de dos maneras:
a) En grados y minutos.
Si usamos la graduación en grados tenemos la posibilidad de obtener por medio de un vernier
los ángulos con precisión de 10'.
b) En porcentaje.

Si usamos la graduación en porcentaje podemos directamente encontrar la pendiente hasta
con una graduación del 2% y aproximando hasta el 1%.
DETERMINACION DE ALTURAS
Para determinar alturas con este instrumento es necesario que se conozca la distancia
horizontal que hay desde el lugar donde se encuentra el aparato hasta la cúspide del objeto. Se
pueden presentar los siguientes casos:
a) Cuando el piso se encuentra nivelado:
1- Se mide la altura de la visual del observador "i".
2- Se dirige una visual a la parte más alta o cúspide del objeto a determinar su altura y se
centra la burbuja.
3- Se anota el Angulo Vertical "a".
4- Se mide la distancia horizontal "D".
La Altura será igual a:
H = D x tang.(a) + i
b) Piso desnivelado con visibilidad del punto inferior de la altura:
1- Se dirige una visual a la cúspide del objeto y se centra la burbuja.
3- Se visa el punto inferior de la altura y se centra la burbuja.
4- Se anota el Angulo Vertical "b".
La altura será igual a:
H = D x tang.(a) + D x tang.(b)
c) Piso desnivelado sin visibilidad del punto inferior de la altura:
1- Se visa la cúspide del objeto y se centra la burbuja.

4- Se visa al objeto con Angulo vertical cero y se marca a esta altura.
5- Se mide la altura marcada en el paso 4 "h".
La altura total será igual a:
H = D x tang.(a) + h
Si no fuese posible medir directamente la altura "h" por ser muy grande, se deberá hacer lo
siguiente:
! Cambiar de posición el instrumento de tal manera que se pueda ver el punto inferior de la
altura a determinar.
!! Fijar un jalón en este lugar, luego regresar a la anterior posición del instrumento, visarlo con
pendiente cero y marcarlo.
!!! Colocar el Eclímetro junto a la marca y medir el Angulo vertical formado por la horizontal y el
punto inferior de la altura "b"
!!!! Medir la distancia horizontal entre estos dos puntos "L".
La altura en este caso será:
H = D x tang.(a) + L x tang.(b)
CAP. V NIVELACIÓN
En este capítulo se estudiará las alturas, su determinación y precisión de acuerdo al
levantamiento topográfico que se desea realizar.
DEFINICIONES:
Cota, Altura o Elevación.- Viene a ser la distancia vertical existente desde una superficie
arbitrariamente tomada como superficie de nivel y un punto sobre la tierra.
Línea o Curva de Nivel.- Es toda línea perteneciente a una superficie de nivel.

Línea Horizontal.- Es toda recta tangente a una superficie de nivel.
Ángulo Vertical.- También denominado ángulo vertical de horizonte, es el formado por dos
rectas que se cortan en un mismo plano vertical, siendo una de ellas una línea horizontal que
es de donde se empieza a medir.
Ángulo Cenital.- Es el formado por dos rectas que se cortan en un mismo plano vertical, siendo
una de ellas una línea vertical que nace del punto de observación y va hacia el cenit, que es de
donde se empieza a medir.
Ángulo Nadiral.- Es el formado por dos rectas que se cortan en un mismo plano vertical, siendo
una de ellas una línea vertical que nace del punto de observación y va hacia el nadir, que es de
donde se empieza a medir.
B.M..- (Bench Mark), Son marcas fijas colocadas en el terreno de cota conocida, pueden ser
Absolutos cuando se refieren al Geoide, o pueden ser Relativos cuando están referidos a una
superficie de nivel cualquiera.
CURVATURA TERRESTRE Y REFRACCIÓN ATMOSFÉRICA:
Debido a la curvatura terrestre y a la refracción atmosférica se cometen errores en la medición
de alturas, dependiendo del tipo de trabajo ejecutado serán menos o más importantes, en
tramos menores al kilómetro su valor no supera algunos centímetros.
Tratando de cuantificar ambos efectos se puede decir que dicho error viene a estar dado por:
h´ = 0.068 ( D / 1000) 2
Donde :
h´ = Error por curvatura y refracción atmosférica en metros.
D = Distancia horizontal en metros
CLASES DE NIVELACIÓN:
NIVELACIÓN GEOMÉTRICA O DIRECTA
Consiste en medir directamente las alturas, es el método más preciso y el más empleado para
la determinación de cotas.

NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA O INDIRECTA
Aquí las alturas se calculan midiendo ángulos verticales y distancias, luego se resuelven
triángulos rectángulos para encontrarlas.
NIVELACIÓN BAROMÉTRICA
Se fundamenta en la medición de la presión atmosférica para después de diferentes
procedimientos determinar las alturas.
NIVELACIÓN CON RECEPTORES SATELITALES
Se basa en procedimientos de cálculo que involucran bases en tierra, satélites y receptores de
usuario, estos últimos determinan las alturas además dan la posición horizontal
NIVELACIÓN GEOMÉTRICA O DIRECTA
El estudio de las alturas se hace por medio de diversos instrumentos, la forma más precisa de
obtenerlas es por medio de la Nivelación Geométrica que es la que veremos.
NIVELES ÓPTICO-MECÁNICOS Y SUS MIRAS
Para el estudio de las alturas con precisión son usados los Niveles de Ingeniero
Opticomecánicos y sus Miras, que permiten actualmente un trabajo rápido y con suficiente
exactitud para la mayoría de Levantamientos Topográficos.
En la actualidad se usa normalmente los Niveles Automáticos y Miras Parlante, debido a su
facilidad de uso, pero también pueden ser usados los Niveles Basculantes y miras de tarjeta
que ya están quedando obsoletos.
Nivel Basculante
Se pueden reconocer las siguientes partes:
1) Base Nivelante.- Compuesta por 02 Plataformas de altura Desigual o una plataforma que
puede contener un dispositivo de Rótula, 3 Tornillos Nivelantes o 04 tornillos Nivelantes.
En cualquier caso la función de la base Nivelante es colocar horizontal el instrumento.
2) Limbo Horizontal.- Presente solo en algunos modelos, permite hacer lectura de ángulos
acimutales normalmente con una precisión de 0.5 grados.

3) Nivel de aire esférico.- Que permite nivelar la Base Nivelante.
4) Tornillo Tangencial.- Que hace pequeños movimientos horizontales.
5) Tornillo Basculante.- Que realiza movimientos micrométricos del anteojo en un plano vertical.
6) Nivel de Aire Cilíndrico.- Que es nivelado con el Tornillo Basculante.
7) Un Anteojo.- Que puede ser de imagen invertida o derecha.
8) Un Tornillo para Enfoque de Imagen.- Permite colocar en foco la imagen que nos muestra el
anteojo.
9) Tornillo para enfoque de Hilos.- Coloca nítida la imagen de los hilos del retículo.
Forma de Uso:
Para usar este tipo de nivel hay que realizar lo siguiente:
1) Colocar el trípode del instrumento en terreno firme, y clavar sus patas tratando en lo posible
que la plataforma que recibirá el nivel quede lo más que se pueda horizontal
2) Colocar el instrumento sujetándolo al trípode, luego proceder a nivelarlo por medio de su
Base Nivelante y su nivel de aire esférico, de tal manera que al hacer rotar el anteojo quede en
todo momento el nivel de aire dentro de sus reparos.
3) Buscar con el anteojo la mira, luego hacer coincidir el hilo vertical de la cruz filar con ella.
4) Nivelar el nivel de aire Cilíndrico con el tornillo basculante y proceder a hacer la lectura; por
cada visual si es necesario se tiene que centrar la burbuja del nivel de aire Cilíndrico.
Nivel Automático
Estos Niveles a diferencia de los Basculantes carecen del dispositivo de basculación, pues
resulta innecesario debido a que cuentan con un sistema especial que automáticamente nivela
el instrumento, basta el nivelar su base Nivelante y el resto lo realiza él.
Externamente son similares a los Niveles Basculantes solo no contando con el Nivel de aire
Cilíndrico y el tornillo de basculación.
Forma de Uso:

También resulta parecida a la del nivel basculante, la diferencia está en que solo se nivela la
base nivelante y después se pueden hacer las visuales que se crean convenientes sin
necesidad de preocuparse de la basculación.
Niveles Óptico-mecánicos con que cuenta el gabinete de topografía de la F.I.C.S.A.
Contamos con Niveles Basculantes y Niveles Automáticos, entre los Niveles Basculantes
tenemos modelos que cuentan con tres tipos de bases nivelantes, base de cuatro tornillos, de
tres tornillos y base de sistema de rótula; sus anteojos son de imagen invertida y sus hilos del
retículo cuentan con hilos estadimétricos.
Entre los Niveles Automáticos hay con base nivelante de plataformas desiguales y de tres
tornillos, son todos de imagen directa, y muy precisos.
Miras Parlante
Las miras con que contamos son de madera de dos y tres piezas, graduadas hasta el
centímetro las lecturas en este tipo de miras es directamente por medio del observador que se
encuentra en el Nivel. En los casos de miras para usar con los niveles de imagen invertida se
debe tener presente que en estos casos la lectura de mira se hace de arriba hacia abajo.
Miras de tarjeta o Tablilla
Las miras que usamos son de madera y con lámina de acero también se encuentran
graduadas al centímetro, pero cuentan con la tablilla que contiene una graduación en
milímetros o un vernier, debido a lo trabajoso del uso de estas miras casi no se utilizan y
actualmente han quedado en desuso.
CLASES DE NIVELACÓN GEOMÉTRICA
Nivelación Simplel:
Este tipo de Nivelación Geométrica es usada cuando se puede apreciar a los puntos motivo del
estudio desde un punto intermedio donde colocar el instrumento y la distancia que hay hasta la
mira permite hacer lecturas con la precisión requerida.

La manera de proceder es la siguiente:
1) Realizar el reconocimiento del terreno y determinar la distancia que separa a ambos puntos
a pasos, si no es posible se pueden usar los hilos estadimétricos para encontrarla.
2) Encontrar el punto medio de la distancia entre los puntos analizados y buscar un lugar donde
colocar el trípode del instrumento, sin ser necesario el estar dentro del alineamiento, lo
importante es colocar el trípode del instrumento en terreno firme.
3) Una vez instalado el nivel colocar la mira sobre el primer punto y hacerle una Vista Atrás.
4) Luego colocar la mira en el segundo punto y hacerle una Vista Adelante.
5) Considerando A = Primer Punto y B = Segundo Punto , conociendo la cota de A la cota de B
será:
Cota de B = Cota de A + Vista Atrás - Vista adelante
Nivelación Compuesta:
Se usa si no podemos aplicar una Nivelación Diferencial, por la gran distancia que separa a
ambos puntos, por obstrucciones o por la necesidad de tener que nivelar además otros puntos;
se procede de la siguiente manera:
1) Realizar el reconocimiento de todo el terreno a nivelar para poder establecer las posibles
rutas a seguir.
2) Instalar el Instrumento en un lugar cercano al punto de cota conocida (B.M.), la distancia
entre ellos estará en función de la precisión requerida para el levantamiento.
3) Colocar la mira sobre el punto de cota conocida y realizar una Vista Atrás.
4) Colocar la mira en un punto auxiliar (P1), que se encuentre a la misma distancia del
instrumento que el punto anterior de cota conocida (B.M.) y que nos permita ir acercándonos a
los puntos que deseamos nivelar, luego hacerle una Vista Adelante.
5) Trasladar el instrumento, no sin antes indicar al portamira que el punto donde se encuentra
(P1) será un Punto de Cambio, luego instalar el Nivel en terreno firme y a una distancia de
acuerdo a la precisión necesitada.
6) Hacer una Vista Atrás al punto anterior (P1).

7) Trasladar la mira a un punto auxiliar (P2), teniendo en cuenta que la distancia P1 - Instr. sea
igual a Instr. - P2. Puede ser esta longitud diferente a B.M. - Instr., pues la igualdad entre
distancias solo persigue eliminar los errores por curvatura y refracción y que la diferencia de
nivel entre puntos esté dada por la diferencia entre lecturas de mira.
8) Hacer una Vista Adelante sobre el punto (P2).
9) Si aun nos falta por llegar a los puntos materia del estudio será necesario continuar con
Puntos de cambio, Vistas Atrás y Vistas Adelante hasta alcanzarlos con Vistas Adelante.
10) Para llevar un control del error es preferible regresar al punto de partida (B.M.), así de esta
manera si existe discrepancia entre la Cota real del punto (B.M.) y la Cota que encontramos
para este mismo punto, podremos corregir las alturas.
NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA
Cuando no es posible usar una Nivelación Geométrica ya sea por una topografía muy
accidentada o por terrenos que no permiten colocar los instrumentos, se puede usar una
Nivelación Trigonométrica.
NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA PARA DISTANCIAS NO MUY GRANDES
Cuando la distancia horizontal que separa a los puntos a nivelar no es muy grande, del orden
de los 500 m como máximo se puede proceder de la siguiente manera:
1) Instalar el Teodolito en uno de los dos puntos a nivelar, escogiendo de preferencia el punto
al que se tenga más fácil acceso y suelo firme (puede ser o no el de cota conocida).
2) Medir la altura que existe desde el punto de estación Instrumental hasta el eje de colimación,
estando el anteojo en posición horizontal (i).
3) Colocar una mira sobre el otro punto y visar con el anteojo a ésta de tal manera que sea
cortada por el hilo horizontal en una altura igual a "i".
4) Hacer la lectura angular con el limbo vertical.
5) Realizar la medición de la distancia horizontal con cinta por resaltos horizontales o directo
sobre el suelo, dependiendo del tipo de terreno.
6) Realizar los cálculos correspondientes como son:

- Conversión del ángulo que da el Teodolito a ángulo vertical si es necesario.
- La fórmula que nos dará la cota desconocida estará dada por:
(Siendo "A" cota conocida, "B" cota por conocer)
("D" distancia horizontal y punto de Est.Inst. "A")
cota B = cota A +/- D tang.(ángulo vertical)
(Siendo "B" cota conocida, "A" cota por conocer)
("D" distancia horizontal y punto de Est.Inst. "A")
cota A = cota B -/+ D tang.(ángulo vertical)
NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA PARA DISTANCIAS GRANDES
Si la distancia horizontal entre los puntos a nivelar supera los 500 m hay que proceder de la
siguiente manera:
1) Instalar el teodolito en uno de los puntos (pto A)
2) Medir la altura cabeza de estaca - eje de colimación (i)
3) Colocar la mira en el otro punto (pto B) y visar a ésta a una altura igual a "i".
4) Hacer la lectura del ángulo con el limbo vertical y convertirlo a ángulo vertical (a) de ser
necesario.
5) Determinar la distancia horizontal con cinta como en el caso anterior o por medio de la Barra
Invar.
6) Trasladar el teodolito al otro punto (pto. B) y instalarlo.
7) Medir la altura cabeza de estaca - eje de colimación (j)
8) Colocar la mira en el punto "A" y visar a ésta a una altura igual a "j".
9) Hacer la lectura del ángulo con el limbo vertical y realizar la conversión a ángulo vertical (b)
de ser necesario.
10) La Diferencia de Nivel "H" existente entre los puntos "A" y "B" se encuentra por la fórmula:

("D" es la distancia horizontal)
H = (tang.(a) + tang.(b)) x D/2
11) Para determinar la cota desconocida será necesario sumar o restar la diferencia de nivel,
dependiendo si el punto de cota conocida está más bajo o más alto.
CAP. VI MEDIDA DE ÁNGULOS Y DIRECCIONES
DEFINICIONES
MERIDIANO
Es una línea fija de referencia para la ejecución de un levantamiento topográfico.
Cuando esta línea no tiene conexión con los puntos cardinales se le llama Meridiano
Convencional, si sigue la dirección de las líneas de fuerza magnética terrestres (dirección que
da la brújula), se le denomina Meridiano Magnético y si sigue la dirección definida por los polos
Norte y Sur geográficos se le conoce con el nombre de Meridiano Verdadero o Geográfico.
DECLINACIÓN MAGNÉTICA
Es el ángulo formado por el Meridiano Verdadero y el Meridiano Magnético, si el polo norte de
la aguja magnética apunta un poco hacia el este del meridiano verdadero se dice que la
Declinación es Oriental, y si lo hace hacia el oeste se dice que la Declinación es Occidental.
CONVERGENCIA DE MERIDIANOS
Todos los meridianos geográficos convergen en los polos terrestres Norte y Sur, por lo que dos
puntos situados en diferentes meridianos presentan una diferencia en su dirección, este
pequeño ángulo entre ellos se le denomina Convergencia de Meridianos y será más importante
cuanto más separados en dirección este – oeste se encuentren.
Una fórmula que nos permite determinar su valor con suficiente precisión en Topografía es:
ε = 32.39 D Seno θ Cotangente α

Donde:
ε = Convergencia de los Meridianos en segundos.
Θ = Ángulo en grados medido a partir del meridiano hasta la línea que une los puntos.
α = Colatitud en grados del lugar.
D = Distancia horizontal en kilómetros.
ORIENTACIONES O RUMBOS
Se define de acuerdo al cuadrante en que se encuentre el alineamiento y el ángulo agudo que
forma con el meridiano, ejemplos:
Orientación de AB = N 45°20’ E
Orientación de AC = S 65°25’ E
Orientación de AD = N 85°50’ W
ACIMUTES
Se denomina así al ángulo medido desde el meridiano hasta el alineamiento, en el sentido de
las agujas del reloj, puede tener valores de 0° a 360° y ser medido desde la dirección norte o
sur, sin embargo es costumbre que cuando no se indica dirección se tome el norte; ejemplos
tomando las orientaciones anteriores:
Acimut de AB = 45°20’ (se supone la dirección norte)
Acimut de AC = 155°25’ (se supone la dirección norte)
Acimut desde sur de AD = 94°10’
MEDIDA DE ÁNGULOS HORIZONTALES
Dependiendo de la precisión requerida estos ángulos pueden medirse utilizando los siguientes
procedimientos
MEDICIÓN SIMPLE
Es la forma más común de medición de ángulos horizontales y también la de menor precisión,
consiste en tomar dos lecturas, sobre los alineamientos que definen el ángulo, una lectura

inicial y luego una segunda lectura final, el ángulo quedará definido al operar sobre estas
lecturas, ejemplos:
a) Lectura inicial = 12°30’ Lectura final = 96°40’ Ángulo = 96°40’ - 12°30’ = 84°10’
b) Lectura inicial = 323°15’ Lectura final = 128°37’
Ángulo = (360°00’ - 323°15’) + 128°37’’ = 165°22’
MEDICIÓN POR EL MÉTODO DE REPETICIÓN
Este procedimiento se aplica solo en teodolitos denominados repetidores, ya que estos están
provistos de un sistema que permite la “congelación” de lecturas; consiste en medir el ángulo
varias veces, pero acumulando las lecturas, o sea que las direcciones que definen el ángulo se
vuelven a visar, logrando de esta manera medir en diversas partes del limbo dicho ángulo.
Ejemplo:
Encontrar los ángulos alrededor del vértice B
A
C
B
D
ENTRE POSIC. N LECTURA MEDIA
ESTAC. ANT. REP. ANGULO
======================================================
D 0 00 00' 00"
A-C 1 34 19' 20"
I 10 344 54' 20"
(344 54' 20") 34 29' 26"
------------------------------------------------------------

D 0 344 54' 20"
C-D 1 27 05' 20"
I 10 46 44' 40"
(766 44' 40") 42 11' 02"
------------------------------------------------------------
D 0 46 44'40"
D-A 1 330 03'40"
I 10 359 55'00"
(2879 55'00") 283 19'02"
==============
SUMATORIA 359 59'30"
El error es 360 - 359 59'30" = 00 00'30" (negativo)
La correción por cada ángulo es 00 00'30"/3 = 00 00'10"
Por lo tanto quedan así los angulos compensados por vértice:
34 29'26" + 00 00'10" = 34 29'36"
42 11'02" + 00 00'10" = 42 11'12"
283 19'02" + 00 00'10" = 283 19'12"
De acuerdo a la precisión de los datos los ángulos finales son:
Angulo ABC = 34 29'40"
Angulo CBD = 42 11'10"
Angulo DBA = 283 19'10"
===============
360 00'00"
MEDICIÓN POR EL MÉTODO DE REITERACIÓN

Este procedimiento fue diseñado para trabajarse con los teodolitos denominados reiteradores,
cuya característica es la de carecer del sistema de “congelación” de lecturas, sin embargo con
un teodolito repetidor también se puede aplicar este método.
Los teodolitos óptico mecánicos reiteradores normalmente son más precisos que sus
homólogos repetidores.
Consiste en tomar lecturas a todos los puntos visados partiendo de una lectura inicial, el
sentido de giro con anteojo derecho es el de las agujas del reloj y con anteojo invertido es en
sentido contrario. Se trabaja por series, siendo una serie el grupo de lecturas hechas sobre
cada uno de los puntos vistos con el anteojo derecho e invertido.
La lectura inicial para la primera serie es un ángulo cercano a 0°, y para las series posteriores
se usa la fórmula 180° / n para calcular la lectura inicial de cada una de ellas, donde n es el
número de series previsto, por ejemplo si son tres series las lecturas iniciales serían por cada
serie 0°, 60° y 120°
Ejemplo:
Estación en : A Teodolito reiterador
SERIE PTO POSICION DE
ANTEOJO
PROMEDIO
POR SERIE
PROMEDIO
VISTO DIRECTO INVERTIDO GENERAL REDUCIDO
B 00° 00' 08.4" 180° 00' 06.2" 00° 00' 07.3" 00° 00' 00.0"
C 40 24 16.5 220 24 15.1 40 24 15.8 40 24 08.5
1 D 72 55 40.7 252 55 37.4 72 55 39.1 72 55 31.8
B 00 00 15.1 180 00 08.8 00 00 12.0 00 00 04.7
B 90 00 05.7 270 00 02.5 90 00 04.1 00 00 00.0 00° 00' 00.0"
C 130 24 18.7 310 24 16.4 130 24 17.6 40 24 13.5 40 24 11.0
2 D 162 55 36.9 342 55 30.5 162 55 33.7 72 55 29.6 72 55 30.7
B 90 00 02.0 270 00 00.1 90 00 01.1 359 59 57.0 00 00 00.9
ANG. PROMEDIO CORREGIDO FINALES
BAC 40° 24' 11.0" 40° 24' 10.7" 40° 24' 11"
CAD 32 31 19.7 32 31 19.4 32 31 19
DAB 287 04 30.2 287 04 29.9 287 04 30
B
A
C
D

CAP. VII REDES DE APOYO PLANIMÉTRICO
Se le denomina así a diferentes figuras geométricas que sirven de base para la ubicación de
los diversos puntos topográficos necesarios para la fijación de detalles planimétricos.
POLIGONACIÓN
Puede ser cerrada o abierta dependiendo del terreno a levantar, cuando la poligonal es abierta
no se puede llevar un buen control de los errores
EJEMPLO DE POLIGONAL CERRADA TRABAJADA EN COORDENADAS TOPOGRÁFICAS
EJEMPLO DE CALCULO DE COORDENADAS DE UNA POLIGONAL
Se cuenta con los siguientes datos :
1.- Angulos externos e internos.
(Se hizo compensacion de vértice)
VERT. A N G U L O S
EXTERNOS INTERNOS
----------------------------------------
A 278 20'30" 81 39'30"
B 227 40 00 132 20 00
C 285 20 30 74 39 30
D 257 42 30 102 17 30
E 210 57 00 149 03 00
2.- Longitud promedio de lados.
LADO LONGITUD
----------------------
A-B 313.16 m.
B-C 260.25

C-D 352.32
D-E 236.14
E-A 171.36
3.- Acimut de un lado.
Acimut del lado A-B = 53 50'00"
4.- Coordenas de un Vértice.
Vértice A (X,Y) ( 5000, 10000 )
========================================================
Para la Solución se usará ángulos externos.
1.- Compensacion de ángulos:
Sumatoria de ángulos externos = 1260° 00' 30"
Error = + 30"
Corrección por cada ángulo = - 30" / 5
= - 06"
Entonces:
VERT. ANGULOS EXTERNOS
COMPENSADOS.
A 278 20'24"
B 227 39 54
C 285 20 24
D 257 42 24
E 210 56 54
-----------------------
SUM. 1260° 00'00"
2.- Cálculo de Acimutes y Rumbos:

Ac A-B = 53°50'00" Rumbo A-B = N 53°50'00" E
+ 227 39 54
------------
281 29 54
- 180
------------
Ac B-C = 101 29 54 Rumbo B-C = S 78 30 06 E
+ 285 20 24
------------
26 50 18
+ 180
------------
Ac C-D = 206 50 18 Rumbo C-D = S 26 50 18 W
+ 257 42 24
------------
104 32 42
+ 180
------------
Ac D-E = 284 32 42 Rumbo D-E = N 75 27 18 W
+ 210 56 54
------------
135 29 36
+ 180
------------
Ac E-A = 315 29 36 Rumbo E-A = N 44 30 24 W
+ 278 20 24
------------
233 49 60
- 180

------------
Ac A-B = 53 50 00 (Comprobación)
3.- Cálculo de las proyecciones de los lados
LADO LONGITUD RUMBO PROY. X PROY. Y
A-B 313.16 N 53 50'00" E + 252.82 + 184.81
B-C 260.25 S 78 30 06 E + 255.03 - 51.88
C-D 352.32 S 26 50 18 W - 159.06 - 314.37
D-E 236.14 N 75 27 18 W - 228.57 + 59.30
E-A 171.36 N 44 30 24 W - 120.12 + 122.21
--------------------------
SUMATORIA + 0.10 + 0.07
4.- Cálculo de error de cierre y error relativo.
Ex = + 0.10 , Ey = + 0.07
Error de Cierre = Ec = ( 0.10 ^2 + 0.07 ^2 )^(1/2)
Ec = 0.1220656
Error Relativo = Er = 0.122 / 1333.23
Er = 1 / 10980
(Con el Error Angular y el Error Relativo se puede evaluar la precisión de la Poligonal).
5.- Cálculo de las correcciones de las proyecciones
(Se usará Regla de la Brújula)
LADO CORRECCIONES EN EJE X CORRECCIONES EN EJE Y
A-B -0.10*313.16/1333.23= -0.02 -0.07*313.16/1333.23= -0.02
B-C -0.10*260.25/1333.23= -0.02 -0.07*260.25/1333.23= -0.01
C-D -0.10*352.32/1333.23= -0.03 -0.07*352.32/1333.23= -0.02

D-E -0.10*236.14/1333.23= -0.02 -0.07*236.14/1333.23= -0.01
E-A -0.10*171.36/1333.23= -0.01 -0.07*171.36/1333.23= -0.01
6.- Cálculo de las proyecciones compensadas
LADO EN EL EJE X EN EL EJE Y
A-B +252.82-0.02= +252.80 +184.81-0.02= +184.79
B-C +255.03-0.02= +255.01 -51.88-0.01= -51.89
C-D -159.06-0.03= -159.09 -314.37-0.02= -314.39
D-E -228.57-0.02= -228.59 +59.30-0.01= +59.29
E-A -120.12-0.01= -120.13 +122.21-0.01= +122.20
----------- ------------
Sumatoria 00.00 00.00
7.- Cálculo de las Coordenadas de los Vertices.
VERTICE C O O R D E N A D A S
EN EJE X EN EJE Y
A 5000.00 10000.00
+ 252.80 + 184.79
B 5252.80 10184.79
+ 255.01 - 51.89
C 5507.81 10132.90
- 159.09 - 314.39
D 5348.72 9818.51
- 228.59 + 59.29
E 5120.13 9877.80
- 120.13 + 122.20
A 5000.00 10000.00

CAP. VIII MEDIDA INDIRECTA DE DISTANCIAS
DISTANCIOMETROS
El medir distancias con cinta es relativamente simple, sin embargo es una de las tareas más
difíciles y molestas de la Topografía.
Los Instrumentos Electrónicos para Medición de Distancias (IEMD), permiten determinar
distancias mediante la medición indirecta del tiempo que le toma a la energía electromagnética
de velocidad conocida ir de un extremo a otro de la línea y regresar.
Estos equipos no son nuevos pues en 1948 el físico sueco Erik Bergstrand construyó uno al
que le llamó Geodímetro, este transmitía un rayo de luz visible y era capaz de medir en la
noche distancias hasta de 40 Km.; luego en 1957 el Dr. T. C. Wadley fabricó otro aparato al
que denominó Telurómetro, el cual transmitía microondas y era capaz de medir distancias de
80 Km. de día o de noche.
Estos primeros instrumentos eran pesados, difíciles de transportar y las operaciones de
medición tardaban mucho, hoy en día se han eliminado todas estas deficiencias.
EQUIPOS ACTUALES:
En la actualidad los Distanciómetros Electromagnéticos están basados en métodos que usan la
determinación de diferencias de fase, en un primer momento detectan directamente la fracción
de longitud de onda o desfase de la señal electromagnética básica y para establecer cuantos
ciclos completos o longitudes de ondas completas a pasado la energía que regresa
(ambigüedad del ciclo) se transmiten conjuntamente otras señales de diferente longitud de
onda.
La Fórmula General de los Distanciómetros Electromagnéticos está dada por:
ø  
D = ----- --- + n ---
2() 2 2
Donde:
D = Distancia inclinada.

ø = Diferencia de fase entre la onda transmitida y la reflejada.
 = Longitud de onda.
n = Número entero de medias longitudes de onda.
 = Constante 3.141593...
ø 
El valor ----- --- contiene un error fijo.
2() 2

El valor n --- contiene un error variable.
2
Para determinar el valor de n se tiene en cuenta el concepto de Distancia Límite la que esta
dada por la fórmula:
Dlim = n 1 / 2 = (n+1) 2 / 2 de donde se deduce que el máximo valor de n es:
1 2
n = 2 / ( 1 + 2) y por lo tanto Dlim = --------------
2 (1 - 2)
Se puede notar que cuanto más próximas sean 1 y 2 mayor será la distancia límite, y por lo
tanto mayor la distancia que puede medir el equipo.
Para el cálculo de n y obtener el valor de la distancia el método más usado es el de Diferencia
de Fase. Si se transmite una longitud de onda 1 se tiene que:
Ø1 1 1 1
D = ----- --- + n ---- = L1 + n ------ D < Dlim
2() 2 2 2
Si se transmite otra longitud de onda 2 tan próxima a 1 de tal forma que tengan el mismo
número de semi longitudes de onda en la distancia D se tiene que:
Ø2 2 2 2
D = ----- --- + n ---- = L2 + n ------ D < Dlim
2() 2 2 2

De estas dos ecuaciones eliminando D y despejando n tenemos:
2(L2 - L1)
n = ---------------
1 - 2
Ejemplo:
Determinar la distancia D si 1 = 10.00000000 m. y 2 = 9.975062344 m.
Las diferencias de fase Ø para 1 y 2 permitieron encontrar los valores de
L1 = 0.012060423 m.
L2 = 4.987123301 m.
2 (4.987123301 - 0.012060423 )
Entonces n = -------------------------------------------- = 399.0000428
10.00000000 - 9.975062344
Por lo tanto la distancia es:
D = L1 + n 1 / 2
D = 0.012060423 + 399 x 5.000000000 = 1995.012 m.
Notar que en este caso la Distancia Límite es:
10.00000000 x 9.975062344
Dlim = -------------------------------------------- = 2000.0000 m.
2 (10.00000000 - 9.975062344 )
En apariencia es suficiente para resolver el problema conocer dos longitudes de onda, pero
debido a que la determinación de Ø1 y Ø2 se hace con un comparador de fase o fasímetro,
están afectados de un error. Este error se transmite a L1 y L2. Si trabajamos con más de dos
ondas, podemos establecer relaciones dos a dos entre ellas y obtener varios resultados de D
que luego se promedian mejorando la precisión.
(Tener en cuenta que V =  * f siendo V = velocidad  = longitud de onda y f = frecuencia, la
frecuencia se da en Hercios, siendo un Hercio (Hz) = 1 ciclo u oscilación por segundo. Una 
de 1 nanómetro es aprx. = 300 millones de GHz = 3x10^17 Hz de f )

CLASIFICACION:
Los IEMD podemos clasificarlos en:
INSTRUMENTOS ELECTROOPTICOS.- que transmiten luz con longitud de onda en el
intervalo de 0.7 a 1.2 micrómetros dentro o ligeramente fuera de la región visible del espectro.
INSTRUMENTOS DE MICROONDAS.- Que transmiten ondas de radio con frecuencias en el
intervalo de 3 a 35 GHz correspondientes a una longitud de onda de aproximadamente 100 a
8.6 milímetros.
PRECISION:
La precisión de la medida electrónica de distancias se relaciona con dos errores; uno fijo que
depende de la precisión al determinar la diferencia de fase entre la onda emitida y la onda
reflejada y el otro es un valor variable que depende del número de semilongitudes de onda, es
decir de la distancia.
Por esta razón, la precisión de las medidas se expresa en todos los catálogos de aparatos
mediante un valor fijo y un valor proporcional a la distancia. Por ejemplo:
6 mm + 1ppm (Es decir que para 1km. Tenemos un error de 6mm+1mm)
Dentro de los errores sistemáticos que se producen se encuentra la Refracción Atmosférica. La
humedad de la atmósfera, la temperatura y la presión hacen que el medio en que se propaga la
onda sea distinto al del vacío, que es el medio ideal, y para el que están calculadas las
fórmulas.
Aparece en la atmósfera por tanto un determinado índice de refracción que provoca
precisamente la refracción y la curvatura del rayo.
El índice de refracción atmosférico varía según el lugar en que nos encontremos, con la hora,
la altitud, etc.

Es importante conocer un valor aproximado del índice de refracción para el lugar y momento de
la observación para poder contrarrestar el efecto que provoca en la distancia esta curvatura.
La curvatura es distinta según la longitud de onda empleada, por ejemplo para una distancia de
20km. y microondas el error que provoca la curvatura puede ser de unos 0.8mts., mientras que
para una onda luminosa bajo las mismas condiciones es de 0.45mts.
La corrección a aplicar es siempre negativa puesto que la trayectoria medida (curva) es más
larga que la teórica (recta).
Otros errores son debidos al propio instrumento, a la falta de centrado sobre los puntos de
estación instrumental y a la manipulación.
Libres de errores sistemáticos la precisión de estos instrumentos va desde:
+/- 5mm.+5ppm. hasta 1mm.+1ppm. de EMC.

Bibliografía
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2001
4. Ruiz MM. Manual de geodesia y topografía. España: Proyecto sur; 1991.
5. Kissam CP. Topografía para ingenieros. México: McGraw Hill; 1979.
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ingeniería; 1980.
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España: UNELCO; 1999.
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15. Ashtech. Manual de usuario GPS Locus. USA: Ashtech; 2000
Direcciones de internet:
www.mundogps.com
www.nautigalia.com
www.detectoresderadar.com
www.trimble.com
www.google.com

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