El documento presenta las definiciones y propiedades del máximo entero de un número real. Define el símbolo [x] como la parte entera de x, es decir, el mayor entero que es menor o igual que x. Luego presenta ejemplos y propiedades para resolver ecuaciones que involucren el máximo entero, como cambiar el orden de los términos o multiplicar/dividir por enteros para simplificar la ecuación.

1. ·· · ·. . · · ...··. ·· M' . ·. t. ··: . ·· ·. .:./. ··.: _,. .
•· .. . ... ,. ....... . an,mo en ero . . :'. .... . ·
• < • :O • ). ' ,
1
'1 ' ' ' o , , +,/ ' • 1 • '< ◄ ~ • ' •
Si x E ~' el símbolo [x] denota la parte entera de x; es decir, el mayor de los
enteros que es menor o igual a x. Matemáticamente:
[x]: se lee "máximo entero de x".
Glifüi,,¡;¡:;;.4.-

2. •
Ejemplo :
Resolución.
Recuerde: [;ft;;~
~
?
1~a
!~
a~~;;;~!1l[~
:ff~
~
:1
f:
;,
~
,y;y7:x~t~:-5;~
~
;
i~C
,-r:~;;
Calculamos cada máximo entero:
■ [rr] = 3 ■ [e]= 2 ■ [~=2
■ [rre] =[8,539 ... ] =8
Reemplazamos en J:
■ [rr + e] =[5,859 ... ] =5
3-2+5 6
1-------1
- 8-2 -6-
' -~,, ""-::: • ., ... ,1'"" .,, _. ,..''"""'"''"
Halle el valor de- [
2
x~ 1
] si x:E{?-
;3'}.
Resolución.
Por dato:
Es decir,
Multiplicamos por 2:
Restamos 1:
Invertimos:
Multiplicamos por 5:
X E (2; 3)
2<x<3
4 < 2x < 6
3 < 2x -1 < 5
1 1 1
-<-- <-
5 2x - 1 3
5 5
1<--< -
2x-1 3
..__,
1,6
Por lo tanto, [
5
] =1.
2x- l
Resolución.
Recuerde:
En particular: (x - 1)2 > O; 'vx E IR (en particular para x > O)
Desarrollamos: x2 - 2x + 1 > O
_;,,a;;m,¡¡;:¡41;;4

3. Algebra , · MAXIMD ENTERO · ."
Ejemplo
x 2
+ 1 > 2x
2x
Dividimos entre (x2
+ 1): 1 ~ ---
x2 + 1
1 X
Dividimos entre 2: > --- > O
2 - x2 + 1
X 1]
Es decir, xi + 1
e (O;
2
Por lo tanto, [x2 :
1
] =O.
Resolución.
(pues,x > O)
Esta ecuación no tiene solución, pues se sabe que [3x - 1] e 7l.
[3x - 1] =.../2 (absurdo)
Por lo tanto, CS ={ }.
GMMM,,i;¡:;;,u~

4. ,1
· . .·· MAxlMD ENTERO · . Álgebra
(Esta propiedad nos permite resolver ecuaciones con máximo entero)
Ejemplo
-
Resolución.
Se tiene al ecuación:
Aplicamos la propiedad 2:
Sumamos 1:
Dividimos entre 2:
Por lo tanto, CS =[2:~}-
·Resolución.
[2x -1] = 3
3 < 2x -1 < 4
4 < 2x < 5
5
2<x<-
- 2
Se tiene la ecuación: [lxl -:- 2] =---1
Aplicamos la propiedad 2: ·-1 < lxl - 2 < O
Sumamos 2: 1 < lxl < 2
Es decir: 1 < lxl A lxl < 2 ·
(x ~ ---:1 V X~ 1) A -2 <X< 2
(la representamos en la recta real)
-2 -1 1 2
Por lo tanto, CS =(-2;-1] U [1; 2}.

5. Álgebra . . ·. · MAxlMD ENTERO .
Ejemplo
;.Éj~~plo
Ejemplo
Resolución. . .
Se tienela ecuacion: •.. .[
· Zx~ 1] =X
· 3 ] 2 ·
. Por la propiedad 3.:·
Por la propiedad 2.:
Multiplicamos por 6:
Restamos 3x:
Sumamos 6:
X
··- E Z; es decir, x debe ser múltiplo de 2
2 . . .
X 2X X
2<3- 1 <2+ 1
3x < 4x - 6 < 3x + 6
0<x-6<6
6 < x < 12 / x múltiplo de 2
Luego, las soluciones son: 6; 8 y 10.
Por lo tanto, CS ={6; 8; 10}.
Resolución.
Se tiene la ecuación: [ [.Jx +..J2]] = 1
Aplicamos la propiedad 4: [.Jx +.Jz] =1 y x > O
Aplicamos la propiedad 2: 1 < .Jx + .../2 < 2 y x > O
G 4,ft~

6. -1· ◄
Restamos ./2: 1-./2~-fx<Z-./2 y-{x~o
(-) (+)
Intersectando se obtiene: o~-lx<2--J2
Elevamos al cuadrado:
2
0 <X< (2 - .../2)
Por lo tanto, CS =[O; (2 .,;.;. .../2)
2
) .
Resolución.
Se tiene la ecuación: [-12+ [x]] = 2019
Aplicamos la propiedad 5: [-v'2] + [x] = 2019 (Pues, [x] E Zl)
1 + [x] =2019
[x] = 2018
Aplicamos la propiedad 2: 2018 ~ x < 2019
Por lo tanto, CS = [2018; 2019).
-

7. Álgebra ·· . . · · ·. · . MAxlMD ENTERO .-. .. . · ·
Ejemplo
9 .,
,,•
Resolución.
Se sabe que:
Multiplicamos por -1:
O~ x - [x] < 1 ; Vx E IR
0 ~ [x] - X> -1
Se puede expresar así: -1 < [x] -x < O
Luego, [ [x] _ x] ={-1 s! - 1 < [x] - x < O
0 SI [x] - X= 0
Porlo tanto, Ran(f) ={O; -1}.
Resolución.
Se tiene la ecuación:
Aplicamos la propiedad 8:
Aplicamos la propiedad 2:
Multiplicamos por 10:
Por lo tanto, CS = [20; 30).
Resolución.
[[x]] =2
[10
[;o] =z
. . X
2 < 10 < ~
20 <x < 30
La expresión S se puede expresar así:
S = [✓3 x 4] + [✓4 x s] + [✓s x 6]
3 4 5
GMfüM,,;;¡:¡;,ft-PIIII

8. Aplicando la propiedad anterior se obtiene:
S = 3 + 4 + S = 12
•
•.a...
rn."W11i,.a.· -.., - . -., ~- p - - [2 i
- - . [ ~ [ i]
_ • •• • •- Dada la expres1on maternatica. (xJ = x - xll - x + z.11
Ejemplo
Calcule el valor de P(ne).
< •
Resolución.
Se sabe que: M + [x+½] =[2x]
Pasamos todo al lado derecho: O= [2x] - [x] - [x+ ½]
Pcx)
Es decir, P(x) = O; 't/x E IRL Por lo tanto, P(rce) = O.
Resolución.
Se tiene la ecuación:
Se puede expresar así: [
2
; -½]+ [~ + i]= O
[23x - ½] + [2;+H
= º
r;-½]+ [(2;-½)+½] = º
Si hacemos el cambio:
se obtiene la ecuación:
Aplicamos la propiedad 1O
:
2x 1
---=y
3 3
[y] + [Y +½] =O
[2yD = o
O~ 2y < 1
Elllll3MMki,iif;iffiíffiii1

9. Reemplazamos y:
Dividimos entre 2:
Multiplicamos por 3:
(
2x 1)
o::;2
3 -
3 <1
2x-1 1
O<--<-
- 3 2
3
O< 2x-1 <-
- 2
5
Sumamos 1: · 1 < 2x <-
- 2
Dividimos entre 2:
POr lo tanto, es . H;~)
1 5
-<x<-
2- 4
En general, se tiene la Identidad de Hermite:
., 11 . :
,12· -
Resolución.
Se tiene la ecuación: [x] + [x +½] + [x +¾] =8
Por la propiedad 11: [3x] =8
. Por la propiedad 2: 8 < 3x < 9
8
Dividimos entre 3:
3 < x < 3
·
[ª
Por lo tanto, CS = 3;3)
Gfflfüh,,1;11
14,tt-

10. · ·· · ·_ ._;· · . . .. .' .· MAXIMD ENTERO . . . ·Álgebra
· 13 -
Ejemplo
11111
Resolución.
Nos piden calcular:
s =[v'2] +[{6] +[fil]+ ... +[m:o]
Le damos forma:
S =[vri:z] +[ff-3] +[~ +... + [✓10 · 11]
Aplicando la propiedad anterior con n =10, se obtiene:
S =10(11) = SS
2
Para resolver ecuaciones con máximo entero utilizamos las propiedades vistas
anteriormente. Más que todo, recordar lo siguiente:
't
1

11. Álgebra · . . · MAxlMD ENlERD ·
Ejemplo
Resolución.
Se tiene la ecuación:
Aplicamos el teorema 1:
Sumamos 1:
Dividimos entre 2:
. 5
Por lo tanto, es =[2;
2}
Resolución.
[2x -1] =3
3 < 2x -1 < 4
4 < 2x < 5
2<x<~
~ 2
Se tiene la ecuación: [v'x] =x (x tiene que ser entero)
Se cumple si: x E 71.. / x ~ v'x < x + 1 / x > O
xE'll.. / x<v'x / v'x<x+l / x>O
.
X E 71.. / x 2
< X / X < (x + 1)2
/ X > o
X E 71.. / X < 1 / X < x 2
+ 2x + 1 / X > o
X E 71.. / X < 1 / 0 < X
2
+ X + 1 / X > 0
trinomio (+)
(V)
Intersectando se obtiene:
O<x<l / xE'll..
Es decir, las soluciones son solamente: Oy 1.
Por lo tanto, es ={O; 1}.
Resolución.
Se tiene la ecuación: [3x + 2] =n
Esta ecuación no tiene solución, pues [3x + 2] E 71..; 'vx E ~-
[3x +2] =n (absurdo)
Por lo tanto, CS =</>.
GffiffiM,,UM4,ft-

12. 11
Resolución.
Se tiene la ecuación:
[x] - 1 [x] - 2
2 - 3 =l
Multiplicamos por 6: (
[x] - l [x] - 2)
6
2
-
3
=6(1)
3([x] - 1) - 2([x] - 2) =6
3[x] - 3 - 2[x] +4 =6
[x] + 1 =6
[x] ~ 5
S<x<6
Por lo tanto, es= [5; 6).
Resolución.
Se tiene la ecuación: [x]2
+ 2 = 3[x]
Pasamos todos los términos al lado izquierdo para factorizarlo:
[x]2
- 3[x] +2 =O
[x] --. f ---1
[x]~-2
([x] - l)([x] - 2) =O
[x] - 1 =O V [x] - 2 =O
[x] =1 V [x] = 2
1:s;x<2 V 2:s;x<3
1<x<3
Por lo tanto, es= [1; 3).
Resolución.
Se tiene la ecuación: [x2
- 2x] = -1
-;M{;t;,,¡4:l§üjj .
◄

13. Álgebra · · · . MAxlMO ENTERO .
Por propiedad: -l<x2
-2x<O
Recuerde:
Luego, la inecuación anterior se puede expresar así:
-1 < x2
- 2x / x2
- 2x < O
O < x2
- 2x + 1 / x(x - 2) < O
______,
Trinomio cuadrado Aplicamos el método
perfecto de los puntos críticos
Ü < (X - 1)2
/ Q < X < 2
,-,--_____, .
xEIR{. / 0 ,
<x<2
0<x<2
Por lo tanto, es = (O; 2).
Resolución.
. .
Se tiene la ecuación: 1[2x + 1] --- 3I = O
Recuerde:
Luego, la ecuación es equivalente a:
Restamos 1:
Dividimos entre 2:
Por lo tanto, ·es =[1; ~)
Resolución.
Se tiene la ecuación:
[2x + 1] - 3 =O
[2x + 1] = 3
3 < 2x + 1 < 4
2 < 2x < 3
3
l<x<-
- 2
[x] = lxl
La ecuación tiene sentido si lxl es un número entero. Luego, la
ecuación se cumple si: lxl < x < lxl + 1 / lxl E 'll.
•◄Mm,,;;i:m,u.-m

14. Desdoblamos la inecuación: lxl ~ x A x < lxl +1 A lxl El
(Tiene sentida si x ~ O)
Luego la inecuación se expresa así:
X < X / X < X + 1 A X E ZÓ
.._._..,
x E IRl A X E IRl A X E Zó
X E Zó
Por lo tanto, CS =zt ={O; 1; 2; 3; 4; ...... }.
..................... ...... .. ·•• .. .
Resolución.
Hallamos el CVA: x - 1 > O / 5 - x > O
x~l A S~x
l<x<S
Es decir, el conjunto de valores admisibles (CVA) es: [1; 5].
Se tiene la ecuación: _ [✓x - 1+-V5 - x] =✓x - 1 +-VS - X
Aplicamos el teorema 2: · -vx - 1 + ✓s - x E Z
Esto se cumple si: Jx - 1 E Z y -VS - X E Z
Por lo tanto, CS ~ {1; 5}.
Resolución.
x=l
x=2
x=S
. ., [X+ 3] X+ 2
Se tiene la ecuac10n: - - =·,_
_--
. 2 ., · 3
x~l
x=4
x=S
x+2
Como [a] E Z; 'va E IRl, entonces - - debe ser un entero.
3
x+2
Supongamos que -
3
- = k. Es decir, x + 2 = 3k ➔ x = 3k - 2
C•)
Lo reemplazamos en la ecuación:
e

15. Álgebra ·_ . . · .· · · ·.. · . MAxlMO ENTERO . ··. . · .
[(3k -t+ 3] = k
[3k;1] = k
3k + 1
k<
2
<k+l
Multiplicamos por~: 2k < 3k +1 < 2k +2
2k < 3k + 1 / 3k + 1 < 2k + 2
-1 < k / k < 1
-1 < k < 1
k =-1 V k =O
■ Si k =-1, reemplazando en (*) se obtiene x =-5
■ Si k = O, reemplazando en (*)se obtiene x = -2
Por lo tanto, CS ={-5; -2}.
Para resolver inecuaciones con máximo entero utilizamos las propiedades vistas
anteriormente y los siguientes teoremas.
Para todo n E l, se cumple:
Resolución.
Se tiene la inecuación: [3x - 2D < 5
Aplicamos el teorema 1: 3x - 2 < 5
Sumamos 2: 3x < 7
GMffifii,,¡;

16. Ejemplo
·: ,· '·: ,MAXIMO ENTERO -
Dividimos entre 3:
7
Por lo tanto, es = (-00;
3)
Resolución.
7
x<-
3
Se tiene la inecuación: [x2
- 3x] < -2
Aplicamos el teorema 1: x2
- 3x < -2
x 2
- 3x + 2 < O
Factorizamos por aspa simple: (x - l)(x - 2) < O
Aplicando el método de los puntos críticos se obtiene:
+
Por lo tanto, es =(1; 2).
R~solpción.
...
Se tiene la inecuación:
Aplicamos el teorema 2:
Sumamos 1:
Dividimos entre 4:
[4x-1] < 2
4x -1 < 3
4x < 4
x<l
Por lo tanto, CS =(-oo; 1).
Resolución.
Se tiene la inecuación:
Aplicamos el teorema 2:
Lo factorizamos:
[3x2
- Sx] < 7
3x2
- Sx < 8
3x2
- Sx - 8 < O
3xx-8
X 1
(3x - 8)(x + 1) < O
+
ElllAd&fM@lrtmfflN
Álgebra

17. Aplicando el método de los puntos críticos se obtiene:
+
-1 8/3
8
Por lo tanto, C~ =(-1;
3)
··•··•·· ......................,................. •· ... ....... ........,........ ,................... ·········· ·· •··•• ·•·••···· ··••· •··••· ·'· .......... .
Resolución.
Se tiene la inecuación: [Sx - 8] > 1
AplicaJ?OS el teorema 3: Sx - 8 > 2
Sumamos 8: Sx > 10
Dividimos entre 5: x > 2
Por lo tanto, CS =[2; +oo).
Resolución.
Se tiene la inecuación: [(x - l)(x + 2)(x - 3)] > -1
Aplicamos el teorema 3: (x - l)(x + 2)(x - 3) > O
Aplicapios el método de los puntos críticos:
-2 1
Por lo tanto, CS =[-2; 1] u [3; +oo).
Resolución.
Se tiene la inecuación:
Aplicamos el teorema 4:
Multiplicamos por 2:
r~l] > 4
3x-1
--->4
2 -
3x -1 > 8
3
r,¡;;;;,,;;;114,;;--

18. Sumamos 1: •
Dividimos entre 3:
3x > 9
x>3
Por lo tanto, es= [3; +oo).
Resolución.
Se tiene la inecuación: [l2x - 11- 3] > 8
Aplicamos el teorema 4: l2x - 11 - 3 > 8
Sumamos 3: l2x - 11 > 11
Recuerde:
Luego;
Sumamos 1:
2x - 1 < -11 V 2x - 1 > 11
Zx<-10 V 2x>12
Dividimos entre 2: X < -5 V x > 6
Por lo tanto, es= (-,oo; -5] u [6; +oo).
Resolución.
Se tiene la inecuación: (e[x] - z)(rr[x] - 3).J[x] - x > O
Hallamos el CVA: .J[x] - x está bien definido en Iffi. si:
[x] - X> 0
[x] > x, pero se sabe que: x > [x]; Vx E l. .
Luego, [x] > x > [x]
Es decir, [x] =x
Esto se cumple si x E l. Luego, CVA =I.
Lo reemplazamos en la inecuación:
(ex - 2)(nx - 3)✓x - x > O
(ex - 2)(nx - 3)../o > O
O> O (Verdadero)
Por lo tanto, CS =CVA =l.
e

19. Álgebra ···· ·
-· Ejemplo 1
Resolución.
Se tiene la inecuación: x - 3[x] > 1
Dividimos entre 3:
Es equivalente a:
X -1 > 3[x]
x-1
3 > [x]
x-1
[x] <-3- (x 3
1
tiene que ser entero)
Esta inecuación se verifica si:
x-1 x-1
x<--+1 A --=nE7l
3 3
Multiplicamos por 3: 3x < x - 1 + 3 A x - 1 = 3n
Dividimos entre 3:
2x < 2
X < 1
'----'
3n + 1 < 1
3n < O
A X= 3n + 1
n<O A nE7l
n=-1;-2;-3; ...
Es decir, las soluciones son de la forma:
x = 3n +1 tal que n E {-1; - 2; -3; ... }
(reemplazando los valores a n se obtienen todas las soluciones)
Por lo tanto, CS ={-2; -5; -8; -11; ... }.
Regla de correspondencia:
La gráfica de la función f: Ill -➔ 71. tal que fcx) =[x] =n; n E 7l la obtenemos
dando valores al entero n, pues para cada valor de n se obtiene un intervalo de
valores para x; intervalo en el cual tendremos una función constante de rango {n}.
Recuerde:
Í(x) = [x] =n ~ n < x < n + 1
Luego:
r,¡;;;;.,;;GMtflllllll

20. l MAXIMD ENTERO . . . Álgebra
Sin= -2 --+ Í(x) = -2; -2<x<-1
Si n = -1 --+ Í(x) = -1; -1 <X< 0
Sin= O --+ Í(x) = O; O<x<1
Sin= 1 --+ Í(x) = 1; 1<x<2
Sin= 2 --+ Í(x) = 2; 2<x<3
A continuación se muestra la gráfica de la función Í(x) =[x]:
3 ------- , ---~
1 I 1
1 I 1
2 --- ---~----1
1 ¡ 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 --~--~---~
I 1 1 1
-3 -2 -1 1
1 1 1
1 1 o 1 2 3 4
1 1
1 1
r----------'"'-1
1 ¡, . 1
1 I 1
~---H--- -2
1 I 1
1 I 1
.......,¿____1
____ -3
Para la función Í(x) =[x] se obtiene:
Eje111plo
Dom(f) =Ill y Ran(f) = 7l
Resolución.
1
La función Í(x) =[x] está bien definida en Ii si:
[x] * O
Es equivalente a: ~([x] =O)
~(O< x < 1)
x<O V x>l
Es decir, x E (-oo; O) V x E [1; +oo)
Por lo tant~, Dom([)= (-oo; O) u [1; +oo).
. •·••····· ..,.... . .......,.... ~
·.......~
... .. -·
◄

21. Resolución.
Por dato: Dom(f) =[-1; 1]
El dominio se puede expresar así:
Dom(f) =[-1; O) u [O; 1]
ter caso: x E [.....1; O)
Esto implica que: lxl ..:.. -x. Luego, la función se expresa así:
[
-x - 2] ~~ +2] [ 5]
Í(x) = 3 - X = lix=3 = l +X - 3
Partimos de la desigualdad: -1 < x < O, para formar la función.
Restamos 3: -4 < x - 3 < -3
1 1 1
Invertimos: - - < -- < - -
3 x-3- 4
5 5 5
Multiplicamos por 5: - - < -- < --
3 x-3- 4
2 5 1
Sumamos por 1: --<1+--<--
3 x-3- 4.
Luego, [1 + ~] =-1; 'vx E [-1; O)
Í(x)
2do caso: x E [O; 1]
Esto implica que: lx1=x. Luego, la función se expresa así:
[X- 2] [X - 2] [ 1]
Í(x) = 3 - X = 3 - X = - l + 3 - X
Partimos de la desigualdad: O< x < 1, para formar la función.
Multiplicamos por -1: --1 < -x < O
Sumamos 3: 2 < 3 - x < 3
1 1 1
Invertimos:
3<
3
_ x <
2
2 1 1
Restamos 1: - - < -1 +-- < --
3 - 3-x- 2
r,;;;;¡,,;;¡:¡g.4 -

22. · MAXlMO ENTERO Álgebra ·
Ejemplo
Luego, [-1 + ~] = -1; Vx E [O; 1]
f (x)
De] primer y segundo caso, se obtiene:
fcx) =[';1
_-xz] =-1; Vx E [;-1; l]
Por lo tanto, Ran(f) ={-1}.
-~ ir;{arn,tí .. . é~ó~; f<x) ~· ¡; •
L,. -~~-" ,.dvc•· -~~~~~~,; htet.- ~ ~ ~ "'- - -
Resolución.
Recuerde: [x] =n H n<x <.n_
+ 1; n Ei
La función f se puede expresar de la sig1úente manera:
f(x) =X - n
Luego:
• Sin= -2: f(x) =X+ 2; -2 <X< -1
• Sin= -1: f(x) =X+ 1; -1 <X< 0
• Sin= O: fcx) =x; O<x<l
• Sin= 1: f(x) =X- 1; 1:s;x<2
• Sin= 2: Í(x) =X - 2; 2<x<3
A continuación se muestra la gráfica de la función fcx) =x - [x]:
1
¡---
1
1
...
-3 -2 -1 1 2 3
Para la función Í(x) =x - [x] se obtiene:
Dom(!) =II? y Ran(f) = [O; 1)
i!Wil1mmm1;1,1
,llít