Este documento presenta los resultados de un análisis factorial realizado a cinco variables físico-químicas (solubles, insolubles, acidez, humedad y pH) medidas en tres tipos de café. El análisis concluyó que dos factores explican el 85,96% de la varianza total, agrupando las variables en propiedades químicas (factor 1) y físicas (factor 2) del café.

1. UNIVERSIDAD DE ORIENTE<br />NÚCLEO NUEVA ESPARTA<br />ESCUELA DE HOTELERÍA Y TURISMO<br />LICENCIATURA EN ESTADÍSTICA<br />CÁTEDRA: ANÁLISIS MULTIVARIANTE II<br /> <br /> Bachilleres:<br /> <br /> Br. Velásquez, Anyely C.I: 17.848.310<br />Br. Quijada, Marianny C.I: 18.940.660<br />Guatamare, Marzo del 2011<br />INTRODUCCIÓN<br />El Análisis Factorial según García, Gil y Rodríguez, (2000) “Es una técnica estadística multivariante cuyo principal propósito es sintetizar las interrelaciones observadas entre un conjunto de variables en una forma concisa y segura como una ayuda a la construcción de nuevos conceptos y teorías”. Para ello utiliza un conjunto de variables aleatorias inobservables llamados factores comunes, de forma que todas las covarianzas o correlaciones son explicadas por dichos factores y cualquier porción de la varianza inexplicada por los factores comunes se asigna a términos de error residuales llamados factores únicos o específicos. <br />Este análisis busca el estudio de la estructura de las interrelaciones entre un gran número de variables no exigiendo ninguna distinción entre variables dependientes e independientes. Utilizando esta información, calcula un conjunto de dimensiones latentes, conocidas como factores, que buscan explicar dichas interrelaciones. En esta técnica de reducción de datos si se cumplen sus hipótesis, la información contenida en la matriz de datos puede expresarse, sin mucha distorsión, en un número menor de dimensiones representadas por dichos factores. <br />PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA<br />De cierta industria productora de café, se tomaron 90 datos relacionados con tres condiciones del mismo (óptimo, punto fermento y fermentado), con el fin de llevar un estudio que permita conocer la relación existente de un conjunto de variables físico-químicas: Soluble e Insoluble, Acidez, Humedad y Ph observadas en los tipos del café. Además saber el comportamiento global de estas variables y el efecto que éstas producen en los tipos de café. Para lograr esto se realizará un análisis factorial para posteriormente emitir conclusiones válidas con respecto a la situación de estudio.<br />VARIABLES EN ESTUDIO PARA EL ANÁLISIS FACTORIAL:<br />Variables Físico-QuímicasSolublesInsolublesAcidezHumedadPH<br />OBJETIVOS<br />Aplicar un Análisis Factorial para agrupar variables físico-químicas que estén relacionadas para la condición del café.<br />MARCO TEORICO<br />Análisis factorial <br />El Análisis Factorial es una técnica estadística multivalente cuyo principal propósito es sintetizar las interrelaciones observadas entre un conjunto de variables en una forma concisa y segura como una ayuda a la construcción de nuevos conceptos y teorías. Para ello utiliza un conjunto de variables aleatorias inobservables, que llamaremos factores comunes, de forma que todas las covarianzas o correlaciones son explicadas por dichos factores y cualquier porción de la varianza inexplicada por los factores comunes se asigna a términos de error residuales que llamaremos factores únicos o específicos. El Análisis Factorial puede ser exploratorio o confirmatorio. El análisis exploratorio se caracteriza porque no se conocen a priori el número de factores y es en la aplicación empírica donde se determina este número. Por el contrario, en el análisis de tipo confirmatorio los factores están fijados a priori, utilizándose contrastes de hipótesis para su corroboración.<br /> El modelo matemático del Análisis Factorial es parecido al de la regresión múltiple. Cada variable se expresa como una combinación lineal de factores no directamente observables. <br />Xij = F1i ai1 + F2i ai2+....+Fki aik + Vi<br /> Siendo:<br /> Xij la puntuación del individuo i en la variable j .<br /> Fij son los coeficientes factoriales.<br /> aij son las puntuaciones factoriales.<br /> Vi es el factor único de cada variable.<br />Un análisis factorial resultará adecuado cuando existan altas correlaciones entre las variables, que es cuando podemos suponer que se explican por factores comunes. El análisis de la matriz de correlaciones será pues el primer paso a dar. Analíticamente, podemos comprobar el grado de correlación con las siguientes pruebas o test:<br />Test de esfericidad de Bartlett.<br />Es necesario suponer la normalidad de las variables. Contrasta la H0 de que la matriz de correlaciones es una matriz identidad (incorrelación lineal entre las variables). Si, como resultado del contraste, no pudiésemos rechazar esta H0, y el tamaño de la muestra fuese razonablemente grande, deberíamos reconsiderar la realización de un AF, ya que las variables no están correlacionadas.<br />El estadístico de contraste del test de Bartlett es:<br />B=-(n-1-(2p+5)/6)ln|R* |bajo la hipótesis nula resulta X 2(p2 - p)/2<br />donde:<br />p es el número de variables y<br />| R* | es el determinante de la matriz de correlaciones muestrales.<br />Índice KMO de Kaiser, Meyer y Olkin<br /> El KMO es un índice útil para comparar los valores de los coeficientes de correlación observados con los coeficientes de correlación parcial, de tal forma que valores pequeños indican que el análisis de componentes principales no es aconsejable. George y Mallery (1995) recomiendan como límite de aceptación de este índice KMO valores superiores al 0,5.<br />Índice KMO de Kaiser-Meyer-Olkin: <br />Fórmula KMO= i≠jj≠irij2i≠jj≠irij2+i≠jj≠iaij2<br />donde... <br /> rij= correlación simple. <br /> aij= correlación parcial.<br />Para mayor exactitud Kaiser (1974), propone la siguiente interpretación para los valores KMO: 0,90 maravilloso o muy bueno; 0,80 meritorio; 0,70 medio o normal; 0,60 mediocre; 0,50despreciable o bajo; y un valor menor que 0,50 totalmente inaceptable.<br />Fases del Análisis Factorial<br />Extracción de los factores comunes.<br />Rotación de los factores con objeto de facilitar su interpretación.<br />Puntuaciones factoriales.<br />Extracción de Factores Comunes<br />Existen distintos métodos de estimación de los coeficientes de la matriz factorial: los más comunes (para un AF exploratorio) son el método de las Componentes Principales y el método de Ejes Factoriales.<br />Método 1: AF de Componentes Principales (ACP)<br />El método de componentes principales se basa en suponer que los factores comunes explican el comportamiento de las variables originales en su totalidad.<br />Las comunalidades iniciales de cada variable son igual a 1, porque el 100% de la variabilidad de las p variable se explicará por los p factores. Evidentemente, carecería de interés sustituir las p variables originales por p factores que, en ocasiones, son de difícil interpretación. No obstante, si las correlaciones entre las p variables fuesen muy altas, sería de esperar que unos pocos factores explicasen gran parte de la variabilidad total. Supongamos que decidimos seleccionar r factores. La comunalidad final de cada variable indicará la proporción de variabilidad total que explican los r factores finalmente seleccionados. La estimación de los coeficientes l j se obtiene diagonalizando la matriz de correlaciones.<br />Método 2: AF de Ejes Factoriales (PAF)<br />En este método partimos de la base de que sólo una parte de la variabilidad total de cada variable depende de factores comunes y, por tanto, la comunalidad inicial no será 1. Estima dichas comunalidades mediante los coeficientes de determinación múltiple de cada variable con el resto. Se sustituyen estos valores en la diagonal principal de la matriz R* y se procede a efectuar un ACP. Una vez obtenido el resultado, se estiman de nuevo las comunalidades, se vuelven a sustituir en la diagonal principal de la matriz R* y el proceso se retroalimenta hasta alcanzar un criterio de parada (por ejemplo cuando la diferencia entre lasa comunalidades de dos iteraciones sucesivas sea menor que una cantidad prefijada).<br />La elección de uno u otro método (ACP o PAF) depende de los objetivos del AF. Así el ACP es adecuado cuando el objetivo es resumir la mayoría de la información original (varianza total) con una cantidad mínima de factores con propósitos de predicción. El AFC resulta adecuado para identificar los factores subyacentes o las dimensiones que reflejan qué tienen en común las variables. El inconveniente del método PAF es que el cálculo de las comunalidades requiere mucho tiempo y muchos recursos informáticos y, además, no siempre se pueden estimar o, incluso, pueden ser no válidas (comunalidades menores que 0 o mayores que 1).<br />ANALISIS DE RESULTADOS<br />Para llevar a cabo un análisis factorial se debe verificar la adecuación del modelo y esto se mide a través del indicador KMO.<br />Según el KMO (Tabla Nº 1) se puede aplicar adecuadamente el análisis factorial ya que este se encuentra en el rango de buenos resultados y además el estadístico Ji-Cuadrado es significativo (p<0.05).<br />TABLA Nº 1: Medida de Adecuación de Kaiser-Meyer-Olkin (KMO)<br />Fuente: Salida generada por el paquete de Computo SPSS. Versión 15.0<br />Todas las variables tienen una correlación anti-imagen mayor a 0,5 (Tabla Nº2), es decir, que todas ellas deben permanecer en el análisis. Estas correlaciones se observan en la diagonal de la matriz. <br />-287655531495TABLA Nº 2: Matriz Anti-Imagen<br />Fuente: Salida generada por el paquete de Computo SPSS. Versión 15.0<br />En cuanto a las comunalidades se puede decir que la proporción de varianza explicada por los factores comunes es alta (Tabla Nº 3), con valores que varían entre 0,611 y 0,806. <br />TABLA Nº 3: Comunalidades<br />Fuente: Salida generada por el paquete de Computo SPSS. Versión 15.0<br />Para seleccionar el numero de factores no hay un criterio único, solo hay unos criterios subjetivos. Algunos autores recomiendan como primer paso tomar un conjunto inicial de factores de acuerdo a los criterios de selección de componentes principales. El criterio más usado es que las componentes principales expliquen al menos un 70% de la variabilidad de los datos.<br />De acuerdo a este criterio se toma un factor ya que este explica más del 70% (72,92%), de la varianza inicial de las variables originales. (Tabla Nº 4).<br />TABLA Nº 4: Varianza inicial de las variables originales<br />Fuente: Salida generada por el paquete de Computo SPSS. Versión 15.0<br />Sin embargo a al momento de seleccionar el número de componentes principales se debe tomar en cuenta otros criterios como el de revisar el número de residuales que en valor absoluto sea mayor a 0,05, y establecen que esta cantidad no debe superar al 20%. <br />Debido al porcentaje de residuales no redundantes (Tabla Nº 5), este único factor explicado por el 72, 92% de varianza no es adecuado ya que el porcentaje de estos residuales es mayor (70% > 20%) y hay residuales mayores a 0,05. Por lo tanto se debe incluir otro factor para verificar el comportamiento de estos residuales. <br />TABLA Nº 5: Residuales no Redundantes<br />Fuente: Salida generada por el paquete de Computo SPSS. Versión 15.0<br />Al incluir un segundo factor se observa que el porcentaje de varianza, (Tabla Nº 6) aumentó a 85,96%. <br />TABLA Nº 6: Varianza inicial de las variables originales al incluir un segundo factor<br />Fuente: Salida generada por el paquete de Computo SPSS. Versión 15.0<br />El porcentaje de residuales no redundantes disminuyó a 30% y solo hay 3 residuales mayor a 0,05, lo que indica que sigue superando al 20%. (Tabla Nº 7). Por lo tanto no se puede incluir un tercer factor ya que esto ocasionaría carga alta en una sola variable (> 0,5) y los factores serian triviales. Sin embargo, Dalas Johnson establece otro criterio donde sugiere que no debe haber muchos residuales en valores absolutos mayores a 0,25 o unos cuantos mayores a 0,40. Este criterio si se cumple en estos residuales (hay 18 residuales menores a 0,25), es decir, que es conveniente seleccionar solo dos factores. (Tabla Nº 7).<br />TABLA Nº 7: Residuales no Redundantes al incluir un segundo factor<br />Fuente: Salida generada por el paquete de Computo SPSS. Versión 15.0<br />Al incluirse este segundo factor la proporción de varianza explicada por los factores comunes aumentó con respecto a la primera (Tabla Nº 8), con valores que varían entre 0,821 y 0,901. Es decir, que esta varianza explicada por los factores comunes es alta. <br />TABLA Nº 8: Comunalidades al incluir un segundo factor<br />Fuente: Salida generada por el paquete de Computo SPSS. Versión 15.0<br />Nota: El KMO no aumentó ni disminuyó al incluirse un segundo factor.<br />Para este análisis no existen factores triviales, es decir, carga alta (> 0,5) en una sola variable (Tabla Nº 9). El factor 1 está relacionado con las variables Humedad, Acidez y Ph, con cargas factoriales 0,863; 0,858 y -0,853 respectivamente, donde la variable Humedad y Acidez se contraponen (signos opuestos en las cargas factoriales) con la variable Ph. Este factor indica las propiedades químicas del café.<br />El factor 2 se relaciona con las variables Solubles e insolubles con cargas factoriales altas 0,810 y -0,909 respectivamente, donde la variable soluble se contrapone con la variable insoluble. Este factor indica las propiedades físicas del café. <br />TABLA Nº 9: Matriz de componentes rotados<br />Fuente: Salida generada por el paquete de Computo SPSS. Versión 15.0<br />CONCLUSIÓN<br /> <br />Las variables físico-químicas: Soluble e Insoluble, Acidez, Humedad y Ph resultaron agrupadas en dos (2) factores. Donde el factor 1 representa las propiedades químicas del café (Humedad, Acidez y Ph), mientras que el factor 2 las propiedades físicas.<br />BIBLIOGRAFÍA <br />GARCIA JIMÉNEZ, E.; GIL FLORES, J. y RODRIGUEZ GOMEZ, G. (2000). Análisis Factorial. Cuadernos de Estadística. Editorial La Muralla. WWW.tgrajales.net/estfactorial.pdf<br />JHONSON, D. (1998). “Métodos Multivariados Aplicados al Análisis de Datos”. Internacional Thomson Publishing. Primera Edición.<br />JOHN POULSEN. (2001) “Análisis Multivariante de La Varianza” http://userwww.sfsu.edu/~efc/classes/biol710/manova/manovanew.<br />htm.<br />