Este documento presenta los lineamientos para la realización de una actividad de aprendizaje basada en problemas. Los estudiantes deben trabajar en grupos para analizar una demostración matemática falaz que conduce a la contradicción 1=0. El objetivo es que identifiquen dónde se comete el error a través de consultar definiciones, explicar cada paso, y comparar sus conclusiones. Finalmente deben encontrar ejemplos similares de demostraciones inválidas en libros de álgebra o cálculo.

1. Universidad Tecnológica de Torreón
Lic. Gerardo Edgar Mata Ortiz
Matemáticas
Procesos industriales área manufactura
1° “B”
16 de septiembre del 2013
Presentan:
Mayra Janeth Sifuentes Mtz
Gisela Dibenuhi Reyes Sánchez
Francisco Javier Román Olvera
LINEAMIENTOS PARA LA REALIZACIÓN DE
LA ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE BASADO
EN PROBLEMAS

2. *LINEAMIENTOS PARA LA REALIZACIÓN DE LA
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE BASADO EN
PROBLEMAS
Instrucciones:
El trabajo se realizara en grupos colaborativos de tres personas. Algunas de las
actividades son individuales, deben concluirse para poder participar en las etapas
colaborativas.
CONSULTA LOS SIGUIENTES CONCEPTOS, ANOTA LO QUE DICE EL
DICCIONARIO, Y ENSEGUIDA, COMO LO ENTENDISTE, Y
SOBRETODO, COMO SE RELACIONA CON LA DEMOSTRACIÓN A.
Demostración A
x=3
2x= x + 3
X2
+ 2x= x2
+ x -12
(x – 3) ( x + 5) = (x – 3) (x + 4)
x + 5 = x + 4
1=0
A) Lógica aristotélica
Concepto: Se ocupa del estudio de los conceptos. Se completa con el análisis de
los juicios y de las formas de razonamiento. Prestando especial atención a los
razonamientos deductivos, categóricos o silogismos
Relación: Se puede decir que en dicha demostración se usa la lógica aristotélica,
ya que se está usando el razonamiento en la resolución de la igualdad.
b) Geometría euclidiana
Concepto: Basada en los postulados de Euclides, procede del relativismo al
método matemático.
Relación: No hay relación. Los postulados de Euclides son autoevidentes, por lo
tanto, no requieren demostración.
c) Demostración

3. Concepto: Comprobación de una teoría aplicándola a casos concretos. Se intenta
mostrar algo partiendo de evidencias.
Relación: Es precisamente una demostración en la que se intenta comprobar la
teoría de las propiedades de la igualdad partiendo de
d) Demostración matemática
Concepto: Sucesión coherente de pasos, para demostrar una cantidad, comprobar
que el problema es correcto.
Relación: La demostración A, nos está señalando una sucesión coherente de
pasos para demostrar que x=3, solo que se comete un error y no se comprueba
que el problema es correcto.
e) Argumento
Concepto: Razonamiento usado para probar una proposición o para convencer.
Relación: Hay relación en el hecho de que se está usando un razonamiento para
probar que 1=0.
f) Falaz: Razonamiento no valido con apariencia de razonamiento Correcto.
Relación: La demostración es una falacia, ya que aparentemente el problema está
correcto pero en realidad hay un error.
g) Sofista
Concepto: eran personas muy sabias, que después usaban su conocimiento para
engañar a la gente.
Relación: Con la demostración se intenta de cierta forma engañar con una falacia.
Así como lo hacían los sofistas.
h) Deductivo, inductivo.
Conceptos: Lo deductivo va de lo general a lo particular. Lo inductivo parte de
observaciones particulares concluyendo en situaciones generales.
Relación: En el proceso de está usando la inducción, porque va analizando cada
parte hasta llegar a la conclusión general de que es erróneo el procedimiento.
i) Afirmación desde el punto de vista de la lógica
Concepto: Se encuentra el resultado por la competencia a un método lógico y fácil.

4. j) Afirmación matemática
Concepto: Tener correctamente el problema relacionado.
Relación: No aplica la demostración para ser una afirmación matemática pues el
problema es incorrecto.
k) Operaciones algebraicas básicas
Concepto: Es un proceso que llega a un resultado de una organización aritmética.
Relación: En la demostración se utilizan todos los elementos característicos de las
operaciones algebraicas, literales, variables, exponentes, paréntesis etc.
l) Productos notables y factorización
Conceptos: Productos notables, Resultado que se deduce fácilmente sin
necesidad de hacer operaciones. Factorización, expresar un objeto o numero
como producto de otros más pequeños que al multiplicarlos resulta el original.
Relación: En la demostración se emplean tanto productos notables como
factorización. Los productos notables los podemos encontrar al hacer el paso 2 en
el momento de sustituir es fácil deducir que de ambos lados resultara 6. Y la
factorización en el paso 5.
m) Propiedades de la igualdad, con ejemplos
Concepto: Es una relación de equivalencia entre números.
Ejemplo.- Si a=b entonces b=a  x=2 entonces 2=x
Si a=b entonces a + c= b + c  x=5 entonces x+3=5+3
Relación: En las propiedades de la igualdad se establece que si se aumenta o
disminuye la misma cantidad en ambos miembros, la igualdad se conserva. Es lo
que se intenta señalar en la demostración.

5. CON BASE A LA INFORMACIÓN QUE SE GENERÓ EN LA ETAPA
ANTERIOR, EXPLICA, QUE SE HIZO EN CADA PASO DE LA
DEMOSTRACIÓN A, LA PROPIEDAD ALGEBRAICA QUE SE APLICÓ Y
EL PROCESO DETALLADO QUE SE OMITE EN LA DEMOSTRACIÓN A.
x=3 „x‟ es una variable y por lo tanto puede tomar cualquier valor
En este caso se conserva la igualdad ya que 2x=x+3
Tenemos: 2x=x+3
Si sabemos que x=3, entonces:
2(3)= (3)+3
6=6
Lo cual nos dice que la propiedad de la igualdad permanece.
Tenemos nuestra ecuación original solamente agregamos "x2
" y "-15", de manera
que una vez acomodados lo términos según la ecuación x^2+bx+c obtenemos lo
siguiente:
x2
+2x=x2
+x+3
x2
+2x-15=x2
+x-12
Factorización: Técnica que consiste la descomposición de una expresión
matemática.
Tenemos el problema:
x2
+2x-15=x2
+x-12
Factor izando los dos términos obtenemos:
(x+5)(x-3)=(x+4)(x-3)
Tenemos:
x2
+2x=x2
+x+3
x2
+2x-15=x2
+x-12
Sustituimos - "x=3"
(3)2
+2(3)-15= (3)2
+3-12
9+6-15=9+3-12
15-15=12-12
0=0
Tenemos:
x + 5 = x + 4
Entonces sustituimos
3 + 5= 3 + 4

6. 8=7
1=0
Analiza el procedimiento detallado que se sigue en la demostración A y
determina en cual paso existe un error que conduce a la contradicción final
Aquí en el paso número 6 se produce el error, ya que se rompe la igualdad
después de la sustitución
x + 5 = x + 4
3 + 5= 3 + 4
8=7
1=0
COMPAREN SUS OPINIONES ACERCA DEL ERROR EN EL
PROCEDIMIENTO DE LA DEMOSTRACIÓN. ELABOREN,
COLECTIVAMENTE, LA CONCLUSIÓN DEL EQUIPO ACERCA DEL
ERROR QUE CONTIENE DICHA DEMOSTRACIÓN.
La demostración es una falacia, porque es un procedimiento no valido que parece
un razonamiento correcto a simple vista, pero no lo es, es incorrecto. Ya que no
se cumple la igualdad y se produce una contradicción al final.
CONSULTE EN CUALQUIER LIBRO DE ÁLGEBRA O CÁLCULO
DIFERENCIAL, EJEMPLOS DE DEMOSTRACIONES FALACES
SIMILARES A LA DEMOSTRACIÓN A Y SEÑALA DÓNDE ESTÁ EL
ERROR.
DEMOSTRACIÓN DE QUE 2 EQUIVALE A 1
Sean a y b dos cantidades iguales. Se sigue que:
a = b
a² = ab
a² - b² = ab - b²
(a - b)(a + b) = b(a - b)
a + b = b
b + b = b
2b = b
2 = 1
La falacia se encuentra en la línea 5: el paso de la línea 4 a la 5 implica una
división por a-b, que es cero ya que a equivale a b (por la suposición). Como
la división por cero no está definida, la demostración no es válida."

7. La otra falacia es que también se demostraría que a = 0, pues si: a + b = b => a =
b - b => a = 0
DEMOSTRACIÓN DE QUE A EQUIVALE A B
Comenzamos con
a - b = c
Elevamos al cuadrado ambos lados
a² - 2ab + b² = c²
Como (a - b)(c) = c² = ac - bc, podemos reescribirlo como
a² - 2ab + b² = ac - bc
Si lo reordenamos, obtenemos
a² - ab - ac = ab - b² - bc
Factorizamos ambos miembros
a (a - b - c) = b(a - b - c)
Dividimos ambos miembros por (a - b -c)
a(a - b - c) = b(a - b - c)
Al final a = b
La falacia consiste en que si a - b = c, entonces a - b - c = 0, por lo que hemos
realizado una división por cero, que invalida la demostración.
ANOTEN LA BIBLIOGRAFÍA REALIZADA PARA LA REALIZACIÓN DEL
TRABAJO
http://es.thefreedictionary.com/falaz
http://es.wikipedia.org/wiki/Demostraci%C3%B3n_inv%C3%A1lida
http://www.pps.k12.or.us/district/depts/edmedia/videoteca/curso2/htmlb/SEC_48.H
TM
http://www.webdianoia.com/aristoteles/aristoteles_log.htm
http://www.mathematicsdictionary.com/spanish/vmd/full/e/euclideangeometry.htm