La transformada de Fourier transforma señales entre el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia, descomponiendo funciones en componentes de diferentes frecuencias. Es una aplicación reversible y lineal que mapea funciones de valores complejos al espectro de frecuencias correspondiente. Tiene numerosas aplicaciones en física, ingeniería, procesamiento de señales y otros campos.

1. I.U.P. “Santiago Mariño”
Sylvia Rojas Cisneros
C.I: 26164509
Transformada de Fourier

2. La transformada de Fourier, denominada así por Joseph Fourier, es
una transformación matemática empleada para transformar señales entre el
dominio del tiempo (o espacial) y el dominio de la frecuencia, que tiene muchas
aplicaciones en la física y la ingeniería. Es reversible, siendo capaz de
transformaciones de cualquiera de los dominios al otro. El propio término se
refiere tanto a la operación de transformación como a la función que produce.
En el caso de una función periódica en el tiempo (por ejemplo, un sonido
musical continuo pero no necesariamente sinusoidal), la transformada de
Fourier se puede simplificar para el cálculo de un conjunto discreto de
amplitudes complejas, llamado coeficientes de las series de Fourier. Ellos
representan el espectro de frecuencia de la señal del dominio-tiempo original.
La transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a una
función de valores complejos y definida en la recta, con otra
función definida de la manera siguiente:
Donde es , es decir, tiene que ser una función integrable en el sentido de
la integral de Lebesgue. El factor, que acompaña la integral en definición facilita
el enunciado de algunos de los teoremas referentes a la transformada de
Fourier. Aunque esta forma de normalizar la transformada de Fourier es la más
comúnmente adoptada, no es universal. En la práctica las
variables y suelen estar asociadas a dimensiones como el tiempo —
segundos— y frecuencia —herzios— respectivamente, si se utiliza la fórmula
alternativa:
la constante cancela las dimensiones asociadas a las variables obteniendo
un exponente adimensional.
La transformada de Fourier así definida goza de una serie de propiedades de
continuidad que garantizan que puede extenderse a espacios de funciones
mayores e incluso a espacios de funciones generalizadas.
Sus aplicaciones son muchas, en áreas de la ciencia e ingeniería como
la física, la teoría de los números, la combinatoria, el procesamiento de
señales(electrónica), la teoría de la probabilidad, la estadística, la óptica,
la propagación de ondas y otras áreas. En procesamiento de señales la
transformada de Fourier suele considerarse como la descomposición de una

3. señal en componentes de frecuencias diferentes, es decir, corresponde
al espectro de frecuencias de la señal .
La rama de la matemática que estudia la transformada de Fourier y sus
generalizaciones es denominada análisis armónico.
Son varias las notaciones que se utilizan para la transformada de Fourier de .
He aquí algunas de ellas:
La transformada de Fourier es básicamente el espectro de frecuencias de una
función. Un buen ejemplo de eso es lo que hace el oído humano, ya que recibe
una onda auditiva y la transforma en una descomposición en distintas
frecuencias (que es lo que finalmente se escucha). El oído humano va
percibiendo distintas frecuencias a medida que pasa el tiempo, sin embargo, la
transformada de Fourier contiene todas las frecuencias del tiempo durante el
cual existió la señal; es decir, en la transformada de Fourier se obtiene un sólo
espectro de frecuencias para toda la función.
Definición formal
Sea una función Lebesgue integrable:
La transformada de Fourier de es la función
Esta integral tiene sentido, pues el integrando es una función integrable. Una
estimativa simple demuestra que la transformada de Fourier es una
función acotada. Además por medio del teorema de convergencia
dominada puede demostrarse que es continua.
La transformada de Fourier inversa de una función integrable está definida
por:
Nótese que la única diferencia entre la transformada de Fourier y la
transformada de Fourier inversa es el signo negativo en el exponente del
integrando. El teorema de inversión de Fourier formulado abajo justifica el
nombre de transformada de Fourier inversa dado a esta transformada. El signo
negativo en el exponente del integrado indica la traspolación de complementos

4. yuxtapuestos. Estos complementos pueden ser analizados a través de la
aplicación de la varianza para cada función.
Propiedades Básicas
La transformada de Fourier es una aplicación lineal:
Valen las siguientes propiedades para una función absolutamente integrable :
 Cambio de escala:
 Traslación:
 Traslación en la variable transformada:
 Transformada de la derivada: Si y su derivada son integrables,
 Derivada de la transformada: Si y → son integrables, la
transformada de Fourier es diferenciable
Estas identidades se demuestran por un cambio de variables o integración por
partes.
En lo que sigue, definimos la convolución de dos funciones y en la recta de
la manera siguiente:
Nuevamente la presencia del factor delante de la integral simplifica el
enunciado de los resultados como el que sigue: Si y son funciones

5. absolutamente integrables, la convolución también es integrable, y vale la
igualdad:
También puede enunciarse un teorema análogo para la convolución en la
variable transformada,
pero este exige cierto cuidado con el dominio de definición de la transformada
de Fourier.
Tabla de transformadas Básicas
En algunas ocasiones se define la transformada con un factor multiplicativo
diferente de , siendo frecuente en ingeniería el uso de un factor unidad en
la transformada directa y un factor de en la transformada inversa. A
continuación se lista una tabla de funciones y sus transformadas de Fourier con
un factor unidad. Si se desea utilizar otro factor, sólo debe multiplicar la
segunda columna por ese factor.
Función Transformada
1
(Función unitaria de Heaviside)
1

6. Ejemplo
Encontrar la trasformada de Fourier de la función impulso
Definición de impulso:
y
Ejemplo 1
Encontrar la transformada de Fourier de la siguiente función:
SOLUCIÓN:
Por propiedades del valor absoluto se sabe que:
Entonces:

7. entonces al evaluar estos resultados por sus determinados parámetros se sabe que al
evaluarlo por los límites infinito(00) y menos infinito (-00) el resultado es cero por lo tanto:
Ejemplo 2
Encontrar la transformada de Fourier de la siguiente función: ¿F[f(t)](w)?
SOLUCIÓN:
Ejemplo 3
Encontrar la transformada de Fourier de la siguiente función: ¿F[f(t)](w)?
, donde k y a son constantes

8. SOLUCIÓN:
Por propiedad de la forma exponencial compleja del Seno se sabe que:
por lo tanto al aplicar la identidad anterior al resultado se obtiene:
}
Ejemplo 4
Encuentre la Transformada de Fourier de definida por :
Donde
Solución :
De Acuerdo con :
Se tiene que