Este documento contiene respuestas a ejercicios sobre transformadas de Fourier. En el Ejercicio 5.1, se calculan las transformadas de Fourier de dos señales usando la ecuación de análisis. En el Ejercicio 5.2, se calculan las transformadas de Fourier de dos señales adicionales usando la misma ecuación. Luego, en los Ejercicios 5.3 a 5.6, se calculan más transformadas de Fourier y transformadas inversas aplicando diferentes propiedades de la transformada.

1. Problemas básicos
con respuestas

2. Ejercicio 5.1
Use la ecuación de análisis (5.9) de la transformada de Fourier
para calcular las transformadas de:
• (a)
1
2
𝑛−1
𝑢 𝑛 − 1
• (b)
1
2
|𝑛−1|
Dibuje y marque un periodo de la magnitud de cada
transformada de Fourier.

3. Respuesta 5.1 (a)
• Sea 𝑥 𝑛 = (1/2) 𝑛−1
𝑢[𝑛 − 1] . Usando la ecuación de
análisis de transformada de Fourier (5.9), la transformada de
Fourier 𝑋(𝑒 𝑗𝜔) de la señal es
• 𝑋 𝑒 𝑗𝜔
= 𝑛=−∞
∞
𝑥[𝑛]𝑒−𝑗𝜔𝑛
• = 𝑛=1
∞ 1
2
𝑛−1
𝑒−𝑗𝜔𝑛
• = 𝑛=0
∞ 1
2
𝑛−1
𝑒−𝑗𝜔(𝑛+1)
• = 𝑒−𝑗𝜔 1
(1−(1/2)𝑒−𝑗𝜔)

4. Respuesta 5.1 (b)
• Sea 𝑥 𝑛 = (1/2)|𝑛−1|. Usando la ecuación de análisis de
transformada de Fourier (5.9), la transformada de Fourier
𝑋 𝑒 𝑗𝜔
de la señal es
• 𝑋 𝑒 𝑗𝜔 = 𝑛=−∞
∞ 𝑥[𝑛]𝑒−𝑗𝜔𝑛
• = 𝑛=−∞
0 1
2
−(𝑛−1)
𝑒−𝑗𝜔𝑛
+ 𝑛=1
∞ 1
2
𝑛−1
𝑒−𝑗𝜔𝑛
• la segunda suma en el lado derecho de la ecuación anterior es
exactamente la mismo que el resultado de la parte (a). Ahora,
• = 𝑛=−∞
0 1
2
−(𝑛−1)
𝑒−𝑗𝜔𝑛 = 𝑛=0
0 1
2
𝑛+1
𝑒 𝑗𝜔𝑛 = (1/
2)
1
1−(1/2)𝑒 𝑗𝜔

5. Ejercicio 5.2
Use la ecuación de análisis (5.9) de la transformada de Fourier
para calcular las transformadas de:
• (a) 𝛿 𝑛 − 1 + 𝛿[𝑛 + 1]
• (b) 𝛿 𝑛 + 2 − 𝛿[𝑛 − 2]
Dibuje y marque un periodo de la magnitud de cada
transformada de Fourier.

6. Respuesta 5.2 (a)
Sea 𝑥 𝑛 = 𝛿 𝑛 − 1 + 𝛿 𝑛 + 1 . Usando la ecuación de
análisis de transformada de Fourier (5.9), la transformada de
Fourier 𝑋 𝑒 𝑗𝜔 de la señal es
• 𝑋 𝑒 𝑗𝜔
= 𝑛=−∞
∞
𝑥[𝑛]𝑒−𝑗𝜔𝑛
• = 𝑒−𝑗𝜔
+ 𝑒 𝑗𝜔
= 2 cos 𝜔

7. Respuesta 5.2 (b)
Sea 𝑥 𝑛 = 𝛿 𝑛 + 2 − 𝛿 𝑛 − 2 . Usando la ecuación de
análisis de transformada de Fourier (5.9), la transformada de
Fourier 𝑋 𝑒 𝑗𝜔 de la señal es
• 𝑋 𝑒 𝑗𝜔
= 𝑛=−∞
∞
𝑥[𝑛]𝑒−𝑗𝜔𝑛
• = 𝑒2𝑗𝜔
− 𝑒−2𝑗𝜔
= 2𝑗 sin 𝜔

8. Ejercicio 5.3
Determine la transformada de Fourier para – 𝜋 ≤ 𝜔 ≤ 𝜋 en
cada caso de las siguientes señales periódicas:
• (a) 𝑠𝑒𝑛(
𝜋
3
𝑛 +
𝜋
4
)
• (b) 2 + 𝑐𝑜𝑠(
𝜋
6
𝑛 +
𝜋
8
)

9. Respuesta 5.3
tomamos nota de la sección 5.2 que una señal 𝑥 𝑛 periódica
con representación en la serie de Fourier
• 𝑥 𝑛 = 𝑘=<𝑁> 𝑎 𝑘 𝑒 𝑗𝑘(2𝜋 𝑁)𝑛
• Tiene una transformada de Fourier
• 𝑋 𝑒 𝑗𝜔
= 𝑘=−∞
∞
2𝜋𝑎 𝑘 𝛿(𝜔 −
2𝜋𝑘
𝑁
) .

10. Respuesta 5.3 (a)
Considere la señal 𝑥1 𝑛 = sin(
𝜋
3
𝑛 +
𝜋
4
). Tomamos la nota que el
periodo fundamental de la señal 𝑥1 𝑛 es 𝑁 = 6 La señal puede ser
escrita como
• 𝑥1 𝑛 =
1
2𝑗
𝑒
𝑗
𝜋
3
𝑛+
𝜋
4 −
1
2𝑗
𝑒
−𝑗
𝜋
3
𝑛+
𝜋
4 =
1
2𝑗
𝑒 𝑗
𝜋
4 𝑒 𝑗
2𝜋
6
𝑛
−
1
2𝑗
𝑒−𝑗
𝜋
4 𝑒−𝑗
2𝜋
6
𝑛
• De esto obtenemos los coeficientes no-cero de la serie de Fourier
𝑎 𝑘 𝑑𝑒 𝑥1 𝑛 en el rango −2 ≤ 𝑘 ≤ 3 como
• 𝑎1 =
1
2𝑗
𝑒 𝑗
𝜋
4, 𝑎−1 = −
1
2𝑗
𝑒−𝑗
𝜋
4,
• Por lo tanto, en el rango −𝜋 ≤ 𝜔 ≤ 𝜋, obtenemos
• 𝑋 𝑒 𝑗𝜔 = 2𝜋𝑎1 𝛿 𝜔 −
2𝜋
6
+ 2𝜋𝑎−1 𝛿 𝜔 +
2𝜋
6
• =
𝜋
𝑗
{𝑒
𝑗𝜋
4 𝛿 𝜔 +
2𝜋
6
− 𝑒−
𝑗𝜋
4 𝛿 𝜔 −
2𝜋
6
}

11. Respuesta 5.3 (b)
Considerar la señal 𝑥2 𝑛 = cos(
𝜋
6
𝑛 +
𝜋
8
). Notamos que el periodo
fundamental de la señal 𝑥2 𝑛 es 𝑁 = 12. La señal puede ser escrita como
• 𝑥2 𝑛 = 2 +
1
2𝑗
𝑒
𝑗
𝜋
6
𝑛+
𝜋
8 −
1
2𝑗
𝑒
−𝑗
𝜋
6
𝑛+
𝜋
8 = 2 +
1
2𝑗
𝑒 𝑗
𝜋
8 𝑒 𝑗
2𝜋
12
𝑛
−
1
2𝑗
𝑒−𝑗
𝜋
8 𝑒−𝑗
2𝜋
12
𝑛
•
• De esto, obtenemos los coeficientes no-Cero de la serie de Fourier
𝑎 𝑘 𝑑𝑒 𝑥2 𝑛 en el rango −5 ≤ 𝑘 ≤ 6 como
• 𝑎0 = 2, 𝑎1 =
1
2
𝑒 𝑗
𝜋
6, 𝑎−1 = −
1
2
𝑒−𝑗
𝜋
8,
•
• Por lo tanto, en el rango −𝜋 ≤ 𝜔 ≤ 𝜋 , obtenemos
• 𝑋 𝑒 𝑗𝜔
= 2𝜋𝑎0 𝛿(𝜔) + 2𝜋𝑎1 𝛿 𝜔 −
2𝜋
12
+ 2𝜋𝑎−1 𝛿 𝜔 +
2𝜋
12
• = 4𝜋𝛿 𝜔 + 𝜋{𝑒
𝑗𝜋
8 𝛿 𝜔 −
𝜋
6
− 𝑒−
𝑗𝜋
8 𝛿 𝜔 −
𝜋
6
}

12. Ejercicio 5.4
Use la ecuación de síntesis (5.8) de la transformada de Fourier para calcular las
transformadas inversas de Fourier de:
• (a) 𝑋1 𝑒 𝑗𝜔
= 𝑘=−∞
∞
{2𝜋𝛿 𝜔 − 2𝜋𝑘 + 𝜋𝛿 𝜔 −
𝜋
2
−

13. Respuesta 5.4 (a)
Usando la ecuación de síntesis de la transformada de Fourier
(5.8)
• 𝑥1 𝑛 = (1/2𝜋) −𝜋
𝜋
𝑋1(𝑒 𝑗𝜔
)𝑒 𝑗𝜔𝑛
𝑑𝜔
• = (1/2𝜋) −𝜋
𝜋
[2𝜋𝛿 𝜔 + 𝜋𝛿 𝜔 −
𝜋
2
+ 𝜋𝛿 𝜔 +
𝜋
2
]𝑒 𝑗𝜔𝑛
𝑑𝜔
• 𝑒 𝑗0 +
1
2
𝑒
𝑗
𝜋
2
𝑛
+ (1/2)𝑒
−𝑗
𝜋
2
𝑛
• 1 + cos(𝜋𝑛/2)

14. Respuesta 5.4 (b)
• Usando la ecuación de síntesis de la transformada de Fourier
(5.8)
• 𝑥2 𝑛 = (1/2𝜋) −𝜋
𝜋
𝑋2(𝑒 𝑗𝜔
)𝑒 𝑗𝜔𝑛
𝑑𝜔
• = −
1
2𝜋 −𝜋
0
2𝑗𝑒 𝑗𝜔𝑛
𝑑𝜔 +
1
2𝜋 0
𝜋
2𝑗𝑒 𝑗𝜔𝑛
𝑑𝜔
• = (𝑗/𝜋) −
1−𝑒−𝑗𝑛𝜋
𝑗𝑛
+
𝑒 𝑗𝑛𝜋−1
𝑗𝑛
• = −(4/(𝑛𝜋))𝑠𝑖𝑛2 𝑛𝜋/2

15. Ejercicio 5.5
Use la ecuación de síntesis (5.8) de la transformada de Fourier
para calcular las transformadas inversas de Fourier de 𝑋 𝑒 𝑗𝜔 =
|𝑋 𝑒 𝑗𝜔 |𝑒 𝑗∡𝑋(𝑒 𝑖𝜔) donde
• 𝑋2 𝑒 𝑗𝜔
=
1, 0 ≤ 𝜔 ≤
𝜋
4
0,
𝜋
4
≤ 𝜔 ≤ 𝜋
𝑦 ∡𝑋 𝑒 𝑗𝜔
= −
3𝜔
2
• Use su respuesta para determinar los valores de n para los
cuales 𝑥[𝑛] = 0.

16. Respuesta 5.5
• De la información dada,
• 𝑥 𝑛 = (1/2𝜋) −𝜋
𝜋
𝑋(𝑒 𝑗𝜔
)𝑒 𝑗𝜔𝑛
𝑑𝜔
• = (1/2𝜋) −𝜋
𝜋
|𝑋(𝑒 𝑗𝜔)|𝑒 𝑗∢{𝑋 𝑒 𝑗𝜔 } 𝑒 𝑗𝜔𝑛 𝑑𝜔
• = (1/2𝜋) −𝜋/4
𝜋/4
𝑒(−3/2)𝜔 𝑒 𝑗𝜔𝑛 𝑑𝜔
• =
sin
𝜋
4
𝑛−
3
2
𝜋 𝑛−
3
2
• La señal 𝑥 𝑛 es cero cuando
𝜋
4
𝑛 −
3
2
es un múltiplo entero
no-cero de π o cuando 𝑛 → ∞. El valor de
𝜋
4
𝑛 −
3
2
. Nunca
puede ser tal de que sea un múltiplo entero no cero de pi. Por
lo tanto, 𝑥 𝑛 = 0 sólo para 𝑛 = ±∞.

17. Ejercicio 5.6
Dado que 𝑥[𝑛] tiene transformada de Fourier 𝑋(𝑒 𝑗𝜔
), exprese
las transformadas de Fourier de las siguientes señales en
términos de 𝑋(𝑒 𝑗𝜔
). Puede usar las propiedades de la
transformada de Fourier enumeradas en la tabla 5.1
• (a) 𝑋1 𝑛 = 𝑥 1 − 𝑛 + 𝑥[−1 − 𝑛]
• (b) 𝑋2 𝑛 =
𝑥∗ −𝑛 +𝑥[𝑛]
2
• (c) 𝑋2 𝑛 = (𝑛 − 1)2 𝑥[𝑛]

18. Respuesta 5.6 (a)
A lo largo de este problema, asumimos que
• 𝑥 𝑛
𝐹𝑇
𝑋1 𝑒 𝑗𝜔 .
(a) Usando la propiedad de inversión de tiempo (Sec. 5.3.6), Tenemos
• 𝑥 −𝑛
𝐹𝑇
𝑋 𝑒−𝑗𝜔 .
Usando la propiedad de cambio de tiempo (Sec. 5.3.3) en esto,
obtenemos
• 𝑥 −𝑛 + 1
𝐹𝑇
𝑒−𝑗𝜔𝑛 𝑋 𝑒−𝑗𝜔 and 𝑥 −𝑛 − 1
𝐹𝑇
𝑒 𝑗𝜔𝑛 𝑋 𝑒−𝑗𝜔
• Por lo tanto
• 𝑥1 𝑛 = 𝑥 −𝑛 + 1 + 𝑥 −𝑛 − 1
𝐹𝑇
𝑒−𝑗𝜔𝑛 𝑋 𝑒−𝑗𝜔 +
𝑒 𝑗𝜔𝑛 𝑋 𝑒−𝑗𝜔
•
𝐹𝑇
2𝑋 𝑒−𝑗𝜔
cos 𝜔

19. Respuesta 5.6 (b)
Usando la propiedad de inversión de tiempo (Sec. 5.3.6),
Tenemos
• 𝑥 −𝑛
𝐹𝑇
𝑋 𝑒−𝑗𝜔 .
Usando la propiedad de conjugación en esto, tenemos
• 𝑥∗
−𝑛
𝐹𝑇
𝑋∗
𝑒 𝑗𝜔
.
Entonces,
• 𝑥2 𝑛 =
1
2
𝑥∗
−𝑛 + 𝑥 𝑛
𝐹𝑇 1
2
𝑋 𝑒−𝑗𝜔
+ 𝑋∗
𝑒 𝑗𝜔
•
𝐹𝑇
ℛ𝑒{𝑋 𝑒 𝑗𝜔 }

20. Respuesta 5.6 (c)
• Usando la propiedad de diferenciación en la frecuencia (Sec.
5.3.8), tenemos
• 𝑛𝑥 𝑛
𝐹𝑇
𝑗
𝑑𝑋(𝑒 𝑗𝜔)
𝑑𝜔
• Utilizando misma propiedad por segunda vez,
• 𝑛2
𝑥 𝑛
𝐹𝑇
−
𝑑2 𝑋 𝑒 𝑗𝜔
𝑑2 𝜔
• Por lo tanto,
• 𝑥3 𝑛 = 𝑛2
𝑥 𝑛 − 2 𝑛𝑥 𝑛 + 1
𝐹𝑇
−
𝑑2 𝑋 𝑒 𝑗𝜔
𝑑2 𝜔
− 2 𝑗
𝑑𝑋 𝑒 𝑗𝜔
𝑑𝜔
+
𝑋(𝑒 𝑗𝜔)

21. Ejercicio 5.7
Para cada una de las siguientes transformadas de Fourier, use las
propiedades de la transformada de Fourier (tabla 5.1) para
determinar si la señal correspondiente en el dominio del tiempo
es: (i) real, imaginaria o ni lo uno ni lo otro; (ii) par, impar, o
ninguna de las dos. Haga esto sin evaluar la inversa de las
transformadas dadas.
• (a) 𝑋1(𝑒 𝑗𝜔) = 𝑒−𝑗𝜔
𝑘=1
10
sin 𝑘𝜔
• (b) 𝑋2 𝑒 𝑗𝜔
= 𝑗𝑠𝑒𝑛(𝜔)cos(5ω)
• (c) 𝑋3 𝑒 𝑗𝜔 = 𝐴 𝜔 + 𝑒 𝑗𝐵(𝜔) donde
• 𝐴(𝜔)
1, 0 ≤ |𝜔| ≤ 𝜋
8
0, 𝜋
8
≤ |𝜔| ≤ 0
• 𝐵 𝜔 = −3𝜔
2
+ 𝜋

22. Respuesta 5.7 (a)
Considerar la señal 𝑦1[𝑛] con la transformada de Fourier
• 𝑌1 𝑒 𝑗𝜔
= 𝑘=1
10
sin(𝑘𝜔)
Vemos que 𝑌1 𝑒 𝑗𝜔
es real e impar. De la tabla 5.1 sabemos que
la transformada de Fourier de una señal real e impar es
puramente imaginaria e impar. Por lo tanto, podemos decir que
la transformada de Fourier de una señal puramente imaginaria e
impar es real e impar. Usando esta observación, concluimos que
𝑦1[𝑛] es puramente imaginaria e impar.
Note ahora que
• 𝑋1 𝑒 𝑗𝜔
= 𝑒−𝑗𝜔
𝑌1 𝑒 𝑗𝜔
•
• Por lo tanto, 𝑥1 𝑛 = 𝑦1[𝑛 − 1]. Entonces, 𝑥1 𝑛 es también
puramente imaginara. Pero 𝑥1 𝑛 no es nunca impar.

23. Respuesta 5.7 (b) y (c)
• (b) notamos que 𝑋2 𝑒 𝑗𝜔
es puramente imaginaria e impar.
Por lo tanto, 𝑥2 𝑛 tiene que ser real e impar.
• (c) considere una señal 𝑦3[𝑛] cuya magnitud de la
transformada de Fourier es 𝑌3 𝑒 𝑗𝜔
= 𝐴(𝜔), y cuya fase de
la transformada de Fourier es ∢ 𝑌3 𝑒 𝑗𝜔 = −(3/2)𝜔.
Puesto que 𝑌3 𝑒 𝑗𝜔
= 𝑌3 𝑒−𝑗𝜔
y ∢ 𝑌3 𝑒 𝑗𝜔
=
− ∢ 𝑌3 𝑒 𝑗𝜔 , podemos concluir que la señal 𝑦3 𝑛 es real
(ver tabla 5.1, propiedad 5.3.4).
Ahora, considere la señal 𝑥3[𝑛] con la transformada de
Fourier 𝑋3 𝑒 𝑗𝜔
= 𝑌3 𝑒 𝑗𝜔
𝑒 𝑗𝜔
= −𝑌3 𝑗𝜔 . Usando el
resultado del párrafo previo y la propiedad de linealidad de la
transformada de Fourier, podemos concluir que 𝑥3[𝑛] tiene que
ser real. Ya que la transformada de Fourier 𝑋3 𝑒 𝑗𝜔
no es nunca
puramente imaginaria ni real, la señal 𝑥3[𝑛] no es nunca impar.

24. Ejercicio 5.8
Use las tablas 5.1 y 5.2 para determinar 𝑥[𝑛] cuando su
transformada de Fourier es.
• 𝑋 𝑒 𝑗𝜔
=
1
1−𝑒 𝑗𝜔
𝑠𝑒𝑛
3
2
𝜔
𝑠𝑒𝑛
𝜔
2
+ 5𝜋𝛿 𝜔 , −𝜋 < 𝜔 ≤ 𝜋

25. Respuesta 5.8
considere la señal
• 𝑥1 𝑛 =
1, 𝑛 ≤ 1
0, 𝑛 > 1
De la tabla 5.2, sabemos que
• 𝑥1 𝑛
𝐹𝑇
𝑋1 𝑒 𝑗𝜔
=
sin(3𝜔/2)
sin(𝜔/2)
Usando la propiedad de acumulación (Tabla 5.1, propiedad
5.3.5), tenemos
• 𝑘=−∞
𝑛
𝑥1 𝑘
𝐹𝑇 1
1−𝑒−𝑗𝜔 𝑋1 𝑒 𝑗𝜔
+ 𝜋𝑋1 𝑒 𝑗0
𝑘−∞
∞
𝛿( 𝜔 −

26. Respuesta 5.8 (cont.)
También, en el rango −𝜋 < 𝜔 ≤ 𝜋
• 1
𝐹𝑇
2𝜋𝛿(𝜔)
Por lo tanto en el rango −𝜋 < 𝜔 ≤ 𝜋
• 𝑥 𝑛 = 1 + 𝑘=−∞
𝑛
𝑥1 𝑘
𝐹𝑇 1
1−𝑒−𝑗𝜔 𝑋1 𝑒 𝑗𝜔
+ 5𝜋𝛿(𝜔)
La señal 𝑥 𝑛 tiene la transformada de Fourier deseada.
Podemos expresar 𝑥 𝑛 matemáticamente como
• 𝑥 𝑛 = 1 + 𝑘=−∞
𝑛
𝑥1 𝑘 =
1, 𝑛 ≤ −2
𝑛 + 3, −1 ≤ 𝑛 ≤ 1
4, 𝑛 ≥ 2

27. Ejercicio 5.9
Se dan las siguientes características acerca de una señal
particular 𝑥[𝑛] con transformada de Fourier 𝑋(𝑒 𝑗𝜔)
• 1. 𝑥 𝑛 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 > 0
• 2. 𝑥 0 > 0
• 3. 𝑔𝑚 𝑋 𝑒 𝑗𝜔 = 𝑠𝑒𝑛 𝜔 − 𝑠𝑒𝑛2𝜔
• 4.
1
2𝜋 −𝜋
𝜋
𝑋(𝑒 𝑗𝜔
)
2
𝑑𝜔 = 3
Determine 𝑥[𝑛].

28. Respuesta 5.9
De la propiedad 5.3.4 en la tabla 5.1, sabemos que para una
señal real 𝑥 𝑛 ,
• 𝒪𝒹 𝑥 𝑛
𝐹𝑇
𝒿ℐ𝓂{𝑋 𝑒 𝑗𝜔 }
De la información dada,
• 𝒿ℐ𝓂 𝑋 𝑒 𝑗𝜔 = 𝑗 sin 𝜔 − 𝑗 sin 2𝜔
• = (1/2) 𝑒 𝑗𝜔 − 𝑒−𝑗𝜔 − 𝑒2𝑗𝜔 + 𝑒2𝑗𝜔
Por lo tanto
• 𝒪𝒹 𝑥 𝑛 = ℐℱ𝒯 𝒿ℐ𝓂 𝑋 𝑒 𝑗𝜔
= (1/2)(𝛿 𝑛 + 1 −
𝛿 𝑛 − 1 − 𝛿 𝑛 + 2 + 𝛿[𝑛 + 2])
Sabemos también que
• 𝒪𝒹 𝑥 𝑛 =
𝑥 𝑛 − 𝑥 −𝑛
2

29. Respuesta 5.9 (cont.)
Y que 𝑥 𝑛 = 0 para 𝑛 > 0. Por lo tanto,
• 𝑥 𝑛 = 2 𝒪𝒹 𝑥 𝑛 = 𝛿 𝑛 + 1 − 𝛿 𝑛 + 2 , para 𝑛 < 0
Ahora tenemos que encontrar 𝑥 𝑛 . Usando la relación de
Parseval, obtenemos
•
1
2𝜋 −∞
∞
𝑋 𝑒 𝑗𝜔 2
𝑑𝜔 = 𝑛=−∞
∞ 𝑥[𝑛] 2 .
De la información dada podemos escribir
• 3 = (𝑥[0])2
+ 𝑛=−∞
−1
𝑥[𝑛] 2
= (𝑥[0])2
+2
Esto da 𝑥 𝑛 = ±1. Pero ya que se nos da que 𝑥 𝑛 > 0,
concluimos que 𝑥 𝑛 = 1, por lo tanto.
• 𝑥 𝑛 = 𝛿 𝑛 + 𝛿 𝑛 + 1 − 𝛿[𝑛 + 2]

30. Ejercicio 5.10
Use las tablas 5.1 y 5.2 junto con el hecho de que
• 𝑋 𝑒 𝑖0 = 𝑛=−∞
∞ 𝑥[𝑛]
•
Para determinar el valor numérico de
• 𝐴 = 𝑛=0
∞
𝑛
1
2
𝑛

31. Respuesta 5.10
De la tabla 5.2, sabemos que
• (1/2) 𝑛
𝑢[𝑛]
𝐹𝑇 1
1−
1
2
𝑒−𝑗𝜔
Usando la propiedad 5.3.8, en la tabla 5.1,
• 𝑥 𝑛 = 𝑛(1/2) 𝑛 𝑢 𝑛
𝐹𝑇
𝑋 𝑒 𝑗𝜔 = 𝑗
𝑑
𝑑𝜔
1
1−
1
2
𝑒−𝑗𝜔
=
1
2
𝑒−𝑗𝜔
(1−
1
2
𝑒−𝑗𝜔)2
Por consiguiente,
• 𝑛=0
∞
𝑛(1/2) 𝑛
= 𝑛=−∞
∞
𝑥[𝑛] = 𝑋 𝑒 𝑗0
= 2

32. Ejercicio 5.11
Considere una señal g[n] con transformada de Fourier 𝐺(𝑒 𝑗𝜔
)
Suponga que
• 𝑔 𝑛 = 𝑥(2)[𝑛]
Donde la señal x[n] tiene transformada de Fourier 𝑋(𝑒 𝑗𝜔
).
Determine un número real a tal que 0 < a < 2π y 𝐺 𝑒 𝑗𝜔 =
𝐺(𝑒 𝑗(𝜔−𝑎
)

33. Respuesta 5.11
Sabemos de la propiedad de expansión de tiempo (tabla 5.1
propiedad 5.3.7) que
• 𝑔 𝑛 = 𝑥2
𝐹𝑇
𝐺 𝑒 𝑗𝜔 = 𝑋 𝑒 𝑗2𝜔
Por lo tanto ,𝐺 𝑒 𝑗𝜔
es obtenida por compresión 𝑋 𝑒 𝑗𝜔
por un
factor de 2. Ya que sabemos que 𝑋 𝑒 𝑗𝜔
es periódica con un
periodo de 2π, podemos concluir que 𝐺 𝑒 𝑗𝜔 tiene un periodo
que es
1
2
2𝜋 = 𝜋. Por consiguiente,
• 𝐺 𝑒 𝑗𝜔 = 𝐺 𝑒 𝑗(𝜔−𝜋) y ∝= 𝜋

34. Ejercicio 5.12
Sea
• 𝑦 𝑛 =
𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
𝑛
𝜋𝑛
2
∗
𝑠𝑒𝑛𝜔 𝑐 𝑛
𝜋𝑛
Donde * denota la circunvolución y |ωc|≤π. Determine una
restricción rigurosa en ωc la cual asegure que
• 𝑦 𝑛 =
𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
𝑛
𝜋𝑛
2

35. Respuesta 5.12
Considere la señal
• 𝑥1 𝑛 =
sin
𝜋
4
𝑛
𝜋𝑛
.
De la tabla 5.2, obtenemos la transformada de Fourier de 𝑥1 𝑛
• 𝑋1 𝑒 𝑗𝜔
=
1, 0 < 𝜔 ≤
𝜋
4
0,
𝜋
4
< 𝜔 < 𝜋
La grafica de 𝑋1 𝑒 𝑗𝜔
es como se muestra en la figura S5.12.
ahora considere la señal 𝑥2 𝑛 = 𝑥1 𝑛 2
. Usando la propiedad
e multiplicación (Tabla 5.1, propiedad 5.5), obtenemos que la
transformada de Fourier de 𝑥2 𝑛 es
• 𝑋1 𝑒 𝑗𝜔 =
1
2𝜋
[𝑋1 𝑒 𝑗𝜔 ∗ 𝑋1 𝑒 𝑗𝜔 ]

36. Respuesta 5.12 (Cont.)
• Esta es graficada en la figura S5.13

37. Respuesta 5.12 (Cont.)
• Esta es graficada en la figura S5.13

38. Respuesta 5.12 (Cont.)
• Figura S5.12

39. Respuesta 5.12 (cont.)
De la figura S5.12 está claro que 𝑋2 𝑒 𝑗𝜔
es cero para |𝜔| >
𝜋/2. Por el uso de la propiedad de circunvolución (Taba 5.1,
propiedad 5.4), notamos que
• 𝑌 𝑒 𝑗𝜔 = 𝑋2 𝑒 𝑗𝜔 ℱ𝒯
sin(𝜔 𝑐 𝑛)
𝜋𝑛
La grafica de ℱ𝒯
sin(𝜔 𝑐 𝑛)
𝜋𝑛
se muestra en la figura S5.12. esta
claro que si 𝑌 𝑒 𝑗𝜔 = 𝑋2 𝑒 𝑗𝜔 , entonces −𝜋/2 < 𝜔𝑐 ≤ 𝜋

40. Ejercicio 5.13
Un sistema LTI con respuesta al impulso ℎ1 𝑛 =
1
3
𝑛
𝑢[𝑛] se
conecta en paralelo con otro sistema LTI causal con respuesta al
impulso ℎ2[𝑛]. La interconexión en paralelo que resulta que
tiene la respuesta en frecuencia.
• 𝐻 𝑒 𝑗𝜔 =
−12+5𝑒−𝑗𝜔
12−7𝑒−𝑗𝜔+𝑒−𝑗2𝜔
Determine h2[n].

41. Respuesta 5.13
cuando dos sistemas LTI son conectados en paralelos los impulsos
responsables del sistema total es la suma de los impulsos responsables de
los sistemas individuales. Por lo tanto
• ℎ 𝑛 = ℎ1 𝑛 + ℎ2 𝑛
usando la propiedad 5.3.2 de l atabla 5.1
• 𝐻 𝑒 𝑗𝜔
= 𝐻1 𝑒 𝑗𝜔
+ 𝐻2 𝑒 𝑗𝜔
Dado que ℎ1 𝑛 = 1/2 2
𝑢[𝑛], obtenemos
• 𝐻1 𝑒 𝑗𝜔
=
1
1−
1
2
𝑒−𝑗𝜔
Por lo tanto
• 𝐻2 𝑒 𝑗𝜔
=
−12+5−𝑗𝜔
12−7𝑒−𝑗𝜔+𝑒−2𝑗𝜔 −
1
1−
1
2
𝑒−𝑗𝜔
=
−2
1−
1
4
𝑒−𝑗𝜔
Haciendo la transformada inversa de Fourier
• ℎ2 𝑛 − 2 1
4
𝑛
𝑢[𝑛]

42. Ejercicio 5.14
Suponga que damos los siguientes hechos acerca de un sistema
LTI S con respuesta al impulso h[n] y respuesta en frecuencia
𝐻 𝑒 𝑗𝜔 :
• 1.
1
4
𝑛
𝑢 𝑛 → 𝑔 𝑛 , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑔 𝑛 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 ≥ 2 𝑦 𝑛 < 0.
• 2. 𝐻 𝑒 𝑗 𝜋 2
= 1
• 3.𝐻 𝑒 𝑗𝜔
= 𝐻 𝑒 𝑗(𝜔−𝜋)
Determine h[n].

43. Respuesta 5.14
De la información dada, obtenemos la transformada de Fourier de 𝐺 𝑒 𝑗𝜔
de 𝑔 𝑛
• 𝐺 𝑒 𝑗𝜔
= 𝑔 0 + 𝑔[1]𝑒 𝑗𝜔
También, cuando la entrada al sistema es 𝑥 𝑛 = 1
4
𝑛
𝑢[𝑛], la salida es 𝑔 𝑛 .
Por consiguiente
• 𝐻 𝑒 𝑗𝜔
=
𝐺 𝑒 𝑗𝜔
X 𝑒 𝑗𝜔
De la tabla5.2, obtenemos
• 𝐻 𝑒 𝑗𝜔
= 𝑔 0 + 𝑔[1]𝑒 𝑗𝜔
1 − (1/4)𝑒−𝑗𝜔
= 𝑔 0 + 𝑔 1 −

44. Respuesta 5.14 (cont.)
Vemos que 𝐻 𝑒 𝑗𝜔
= 𝐻 𝑒 𝑗(𝜔−𝜋)
solo si ℎ[1] = 0, también tenemos
• 𝐻 𝑒 𝑗𝜋/2)
= ℎ 0 + ℎ 1 𝑒−
𝑗𝜋
2 + ℎ 2 𝑒−2𝑗𝜋/2)
• = ℎ 0 − ℎ[2]
Ya que también estamos dando que 𝐻 𝑒 𝑗𝜋/2)
= 1, tenemos
• ℎ 0 − ℎ 2 = 1 (S5.14-1)
ahora notamos que
• 𝑔 𝑛 = ℎ 𝑛 ∗ {(1
4
) 𝑛
𝑢[𝑛]}
• = 𝑘=0
2
ℎ 𝑘 {(1
4
) 𝑛−𝑘
𝑢[𝑛 − 𝑘]}
Evaluando esta ecuación a 𝑛 = 2 , obtenemos
• 𝑔 2 = 0 =
1
16
ℎ 0 +
1
4
ℎ 1 + ℎ[2]
Ya que ℎ[1] = 0,
•
1
16
ℎ 0 + ℎ 2 = 0 (S5.14-2)
Al resolver (S5.14-1) y (S5.14-2), obtenemos
• ℎ 0 =
16
17
, y 𝐻 2 = −
1
17
.
Por lo tanto
• ℎ 𝑛 =
16
17
𝛿 𝑛 −
1
17
𝛿 𝑛 − 2 .

45. Ejercicio 5.15
Sea la transformada de Fourier inversa de 𝑌(𝑒 𝑗𝜔
)
• 𝑦 𝑛 =
𝑠𝑒𝑛 𝜔 𝑐 𝑛
𝜋𝑛
2
Donde 0 < 𝜔𝑐 < 𝜋. Determine el valor de 𝜔𝑐 el cual asegure
que
• 𝑌 𝑒 𝑗𝜋 =
1
2

46. Respuesta 5.15
Considere 𝑥[𝑛] = sin 𝜔𝑐 𝑛 /(𝜋𝑛). La transformada de Fourier
𝑋(𝑒 𝑗𝜔
) de 𝑥[𝑛] es mostrada en la figura S5.15. Notamos que la
señal dada 𝑦[𝑛] = 𝑥[𝑛]𝑥[𝑛]. por consiguiente, la transformada
de Fourier 𝑌(𝑒 𝑗𝜔) de 𝑦[𝑛] es
• 𝑌 𝑒 𝑗𝜔
=
1
2𝜋 <2𝜋>
𝑋(𝑒 𝑗𝜃
)𝑋(𝑒 𝑗(𝜔−𝜃)
) 𝑑𝜃
Empleando el enfoque usado en el ejemplo 5.15, podemos
convertir la circunvolución periódica de arriba en una señal
aperiódica por definición
• 𝑋 𝑒 𝑗𝜔
=
𝑋 𝑒 𝑗𝜔 , −𝜋 < 𝜔 ≤ 𝜋
0, otra
Entonces podemos escribir
• 𝑌 𝑒 𝑗𝜔
=
1
2𝜋 −∞
∞
𝑋 𝑒 𝑗𝜃
𝑋(𝑒 𝑗(𝜔−𝜃)
) 𝑑𝜃

47. Respuesta 5.15 (Cont.)
• Esta circunvolución aperiódica del pulso rectangular 𝑋 𝑒 𝑗𝜔
se muestra en la figura S5.15 con el periodo de onda cuadrada
𝑋 𝑒 𝑗𝜔
. El resultado de esta circunvolución es como se
muestra en la figura S5.15

48. Respuesta 5.15 (Cont.)
• De la figura es claro que requerimos −1 + (2𝜔𝑐/𝜋) sea 1/2 ,
por lo tanto 𝜔𝑐 = 3𝜋/4.

49. Ejercicio 5.16
La transformada de Fourier de una señal particular es
• 𝑋 𝑒 𝑗𝜔 = 𝑘=0
3
1
2
𝑘
1−
1
4
𝑒−𝑗(𝜔− 𝜋 2𝑘
Puede demostrarse que
• 𝑥 𝑛 = 𝑔 𝑛 𝑞[𝑛]
Donde 𝑔[𝑛] tenga la forma 𝑎 𝑛
𝑢 𝑛 𝑦 𝑞[𝑛] sea una señal
periódica con periodo N.
• (a) Determine el valor de 𝑎.
• (b) Determine el valor de 𝑁.
• (c) ¿Es 𝑥[𝑛] real?

50. Respuesta 5.16
Podemos escribir
• 𝑋 𝑒 𝑗𝜔 =
1
2𝜋
1
1−
1
4
𝑒−𝑗𝜔
∗ 2𝜋 𝑘=0
3
𝛿 𝜔 −
𝜋𝑘
2
Donde * denota la circunvolución aperiódica. Podemos escribir
también esto como un circunvolución periódica
• 𝑋 𝑒 𝑗𝜔 =
1
2𝜋 0
2𝜋
𝐺(𝑒 𝑗𝜃)𝑄(𝑒 𝑗(𝜔−𝜃))𝑑𝜃
Donde
• 𝐺 𝑒 𝑗𝜔
=
1
1−
1
4
𝑒−𝑗𝜔
Y
• 𝑄 𝑒 𝑗𝜔
= 2𝜋 𝑘=0
3
𝛿 𝜔 −
𝜋𝑘
2
para 0 ≤ 𝜔 < 2𝜋

51. Ejercicio 5.16 (a),(b) y (c)
(a) Haciendo la transformada inversa de Fourier de 𝐺 𝑒 𝑗𝜔
(tabla 5.2), obtenemos 𝑔 𝑛 =
1
4
𝑛
𝑢 𝑛 . Por lo tanto 𝑎 = 1/4.
(b) Haciendo la transformada inversa de Fourier de 𝑄 𝑒 𝑗𝜔
(tabla 5.2), obtenemos
• 𝑞 𝑛 = 1 +
1
2
𝑒 𝑗
𝜋
2
𝑛
+
1
4
𝑒 𝑗𝜋𝑛
+
1
8
𝑒 𝑗
3𝜋
2
𝑛
La señal es periódica con periodo fundamental de 𝑁 = 4
(c) podemos fácilmente mostrar que 𝑋 𝑒 𝑗𝜔 no está conjugada
simétricamente, por lo que x[n] es no real.

52. Ejercicio 5.17
La señal 𝑥 𝑛 = (−1) 𝑛
tiene un periodo fundamental de 2 y los
coeficientes correspondientes de la serie de Fourier 𝑎 𝑘 . Use 1a
dualidad para determinar los coeficientes de la serie de Fourier
𝑏 𝑘de la señal 𝑔 𝑛 = 𝑎 𝑘 con periodo fundamental de 2.

53. Respuesta 5.17
Usando la propiedad de dualidad, obtenemos
{−1} 𝑛
𝐹𝑆
𝑎 𝑘
𝐹𝑆 1
𝑁
(−1)−𝑘
=
1
2
(−1) 𝑘

54. Ejercicio 5.18
Dado el hecho de que
• 𝑎|𝑛|
ℱ 1−𝑎2
1−2 acos 𝜔+𝑎2 , 𝑎 < 1,
Use la dualidad para determinar los coeficientes de la serie de
Fourier de la siguiente señal continua con periodo 𝑇 = 1:
• 𝑥 𝑡 =
1
5−4cos(2𝜋𝑡)

55. Respuesta 5.18
Se sabe que
1
2
|𝑛|
𝐹𝑇 1 −
1
4
1 − cos 𝜔 +
1
4
=
3
5 − 4 cos 𝜔
Podemos usar la ecuación de análisis de la transformada de Fourier para escribir
3
5 − 4 cos 𝜔
=
𝑛=−∞
∞
1
2
|𝑛|
𝑒−𝑗𝜔𝑛
Puesto 𝜔 = −2𝜋𝑡 en la ecuación, y reemplazando la variable 𝑛 por la variable 𝑘
1
5 − 4 cos(2𝜋𝑡)
=
𝑛=−∞
∞
1
3
1
2
|𝑛|
𝑒 𝑗2𝜋𝑘𝑡
Por comparación de ésta con la ecuación de síntesis de la serie de Fourier de
tiempo continuo, resulta inmediatamente evidente que 𝑎 𝑘 =
1
3
1
2
|𝑘|
son los
coeficiente de la serie de Fourier de la señal 1/(5 − 4 𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝑡 )

56. Ejercicio 5.19
Considere un sistema LTI S causal y estable cuya entrada 𝑥[𝑛] y
salida 𝑦[𝑛] estén relacionadas mediante una ecuación de
diferencias de segundo orden
• 𝑦 𝑛 −
1
6
𝑦 𝑛 − 1 −
1
6
𝑦 𝑛 − 2 = 𝑥[𝑛]
(a) Determine la respuesta en frecuencia 𝐻 𝑒 𝑗𝜔
del sistema S.
(b) Determine la respuesta al impulso ℎ[𝑛] del sistema S.

57. Respuesta 5.19 (a)
haciendo la transformada de Fourier de ambos sitios de la
ecuación de diferencias, tenemos
𝑌 𝑒 𝑗𝜔 1 −
1
6
𝑒−𝑗𝜔 −
1
6
𝑒−2𝑗𝜔 = 𝑋 𝑒 𝑗𝜔
Por lo tanto,
• 𝐻 𝑒 𝑗𝜔 =
𝑌 𝑒 𝑗𝜔
𝑋 𝑒 𝑗𝜔 =
1
1−
1
6
𝑒−𝑗𝜔−
1
6
𝑒−2𝑗𝜔
=
1
1−
1
2
𝑒−𝑗𝜔 1−
1
3
𝑒−𝑗𝜔

58. Respuesta 5.19 (b)
usando la expansión de fracciones parciales
𝐻 𝑒 𝑗𝜔 =
3/5
1 −
1
2
𝑒−𝑗𝜔
+
3/5
1 −
1
3
𝑒−𝑗𝜔
Usando la tabla 5.2, y haciendo la transformada inversa de
Fourier, obtenemos
ℎ 𝑛 =
3
5
1
2
𝑛
𝑢 𝑛 +
2
5
−
1
3
𝑛
𝑢[𝑛]

59. Ejercicio 5.20
• Un sistema LTI S causal y estable tiene la propiedad de que
• 𝑋 𝑛 =
4
5
𝑛
𝑢 𝑛 → 𝑛
4
5
𝑛
𝑢 𝑛 = 𝑦[𝑛]
(a) Determine la respuesta en frecuencia 𝐻 𝑒 𝑗𝜔
del sistema S.
(b) Determine una ecuación de diferencias que relacione
cualquier entrada 𝑥[𝑛]
Con la correspondiente salida 𝑦[𝑛].

60. Respuesta 5.20 (a)
ya que los sistemas LTI son causales y estables, una singular entrada-salida par es suficiente
para determinar la frecuencia responsable del sistema. En este caso, la entrada es 𝑥[𝑛] =
4/5 𝑛
𝑢[𝑛] y la salida es 𝑦 𝑛 = 𝑛 4/5 𝑛
𝑢[𝑛], la frecuencia responsable es dada por
𝐻 𝑒 𝑗𝜔
=
𝑌 𝑒 𝑗𝜔
𝑋 𝑒 𝑗𝜔
Donde 𝑋 𝑒 𝑗𝜔
𝑦 𝑌 𝑒 𝑗𝜔
son transformadas de Fourier de 𝑥[𝑛] y 𝑦[𝑛] respectivamente.
Usando la tabla 5.2, tenemos
𝑥 𝑛 =
4
5
𝑛
𝑢 𝑛
𝐹𝑇
𝑋 𝑒 𝑗𝜔
=
1
1 −
4
5
𝑒−𝑗𝜔
Usando la propiedad de frecuencia en la diferenciación (tabla 5.1, propiedad 5.3.8), tenemos
𝑦 𝑛 =
4
5
𝑛
𝑢 𝑛
𝐹𝑇
𝑌 𝑒 𝑗𝜔
= 𝑗
𝑑 𝑋 𝑒 𝑗𝜔
𝑑𝜔
=
(4/5)𝑒−𝑗𝜔
(1 −
4
5
𝑒−𝑗𝜔)2
Entonces no queda
𝐻 𝑒 𝑗𝜔
=
(4/5)𝑒−𝑗𝜔
1 −
4
5
𝑒−𝑗𝜔

61. Respuesta 5.20 (b)
ya que 𝐻 𝑒 𝑗𝜔 =
𝑌 𝑒 𝑗𝜔
𝑋 𝑒 𝑗𝜔 , podemos escribir
𝑌 𝑒 𝑗𝜔 1 −
4
5
𝑒−𝑗𝜔 = 𝑋 𝑒 𝑗𝜔
4
5
𝑒−𝑗𝜔
Haciendo la transformada de Fourier inversa en ambos lados
𝑦 𝑛 −
4
5
𝑦 𝑛 − 1 =
4
5
𝑥[𝑛]