La transformada de Fourier transforma señales entre el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia, lo que tiene muchas aplicaciones en física e ingeniería. Representa cómo una señal en el tiempo puede descomponerse en componentes de diferentes frecuencias a través de una serie de coeficientes. La transformada de Fourier también se utiliza comúnmente en procesamiento digital de imágenes y señales para mejorar las imágenes y analizar el ancho de banda y espectro de frecuencias de las señales.

1. Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño.”
Extensión Porlamar
TRANSFORMADA DE FOURIER
Realizado por:
Bachiller: José Luis Briceño
C.I.: V-14.927.635
Enero, 2016

2. Transformada De Fourier
Transformada de Fourier (pr. fʊrieɪ), denominada transformar señales entre
el dominio del tiempo (o espacial) y el dominio de la frecuencia, que tiene muchas
aplicaciones en la física y la ingeniería. Es reversible, siendo capaz de
transformaciones de cualquiera de los dominios al otro. El propio término se refiere
tanto a la operación de transformación como a la función que produce.
En el caso de una función periódica en el tiempo (por ejemplo, un sonido
musical continuo pero no necesariamente sinusoidal), la transformada de Fourier se
puede simplificar para el cálculo de un conjunto discreto de amplitudes complejas,
llamado coeficientes de las series de Fourier. Ellos representan el espectro de
frecuencia de la señal del dominio-tiempo original.
La transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a una
función de valores complejos y definida en la recta, con otra función definida de
la manera siguiente:
Donde es , es decir, tiene que ser una función integrable en el sentido
de la integral de Lebesgue. El factor, que acompaña la integral en definición facilita
el enunciado de algunos de los teoremas referentes a la transformada de Fourier.
Aunque esta forma de normalizar la transformada de Fourier es la más comúnmente
adoptada, no es universal. En la práctica las variables y suelen estar asociadas a

3. dimensiones como el tiempo —segundos— y frecuencia —herzios—
respectivamente, si se utiliza la fórmula alternativa:
La transformada de Fourier de es la función
Esta integral tiene sentido, pues el integrando es una función integrable. Una
estimativa simple demuestra que la transformada de Fourier es una función
acotada. Además por medio del teorema de convergencia dominada puede
demostrarse que es continua.
La transformada de Fourier inversa de una función integrable está definida
por:
Nótese que la única diferencia entre la transformada de Fourier y la
transformada de Fourier inversa es el signo negativo en el exponente del integrando.
El teorema de inversión de Fourier formulado abajo justifica el nombre de
transformada de Fourier inversa dado a esta transformada. El signo negativo en el
exponente del integrado indica la traspolación de complementos yuxtapuestos. Estos
complementos pueden ser analizados a través de la aplicación de la varianza para
cada función.

4. Propiedades Básicas
La transformada de Fourier es una aplicación lineal:
Valen las siguientes propiedades para una función absolutamente integrable :
 Cambio de escala:
 Traslación:
 Traslación en la variable transformada:
 Transformada de la derivada: Si y su derivada son integrables,
 Derivada de la transformada: Si y → son integrables, la
transformada de Fourier es diferenciable
Estas identidades se demuestran por un cambio de variables o integración por
partes.
En lo que sigue, definimos la convolución de dos funciones y en la recta
de la manera siguiente:

5. Nuevamente la presencia del factor delante de la integral simplifica el
enunciado de los resultados como el que sigue: Si y son funciones absolutamente
integrables, la convolución también es integrable, y vale la igualdad:
También puede enunciarse un teorema análogo para la convolución en la
variable transformada,
pero este exige cierto cuidado con el dominio de definición de la transformada de
Fourier.
Tabla De Transformadas Básicas
En algunas ocasiones se define la transformada con un factor multiplicativo
diferente de , siendo frecuente en ingeniería el uso de un factor unidad en la
transformada directa y un factor de en la transformada inversa. A continuación se
lista una tabla de funciones y sus transformadas de Fourier con un factor unidad. Si se
desea utilizar otro factor, sólo debe multiplicar la segunda columna por ese factor.

6. Función Transformada
(Función unitaria de
Heavisid)e

7. Teorema De Inversión
La idea básica del teorema de inversión es que dada una función , la
transformada de Fourier inversa aplicada a la transformada de Fourier de resulta en
la misma función original, en símbolos:
Sin embargo, el resultado formulado de esta forma no es siempre válido,
porque el dominio de la transformada de Fourier como lo hemos definido en el primer
párrafo de este artículo no es invariante, o sea que la transformada de Fourier de una
función integrable no es necesariamente integrable.
Para formular el teorema de inversión necesitamos encontrar espacios de
funciones que sean invariantes bajo la transformada de Fourier. De hecho, hay
numerosas posibilidades, la más natural del punto de vista técnico siendo el espacio
de Schwartz de funciones φ rápidamente decrecientes. Sin embargo aquí tomamos un
camino más directo para formular un enunciado:
Teorema. El espacio de funciones complejas definidas en la recta tales que
y la transformada de Fourier de sean integrables, es invariante tanto por la
transformada de Fourier que por la transformada de Fourier inversa. Además para una
función en este espacio, vale el teorema de inversión (1).
Otra posibilidad para formular un teorema de inversión se fundamenta en el hecho de
que la transformada de Fourier tiene muchas extensiones naturales.

8. La Transformada De Fourier En El Espacio De Schwartz
El espacio de Schwartz consiste de las funciones φ tomando valores
complejos, definidas en ℝ e infinitamente diferenciables tales que para
todo y enteros no negativos
donde φ(n) es la n-ésima derivada de φ. Denotamos al espacio de Schwartz por el
símbolo .
Teorema
Tanto la transformada de Fourier como la transformada de Fourier inversa son
aplicaciones lineales
Además vale la fórmula de inversión:
El espacio de Schwartz es invariante con respecto a los operadores
diferenciales con coeficientes polinomiales, es decir de la forma
donde Pk son polinomios.
Debido a las propiedades
y

9. la transformada de Fourier es una herramienta muy importante para el estudio de
las ecuaciones diferenciales tanto para la teoría como para su resolución práctica.
Propiedades De Homomorfismo
Debido a que las "funciones base" eikx son homomorfismos de la línea real (más
concretamente, del "grupo del círculo") tenemos ciertas identidades útiles:
1. Si entonces
2. La transformada de Fourier es un morfismo:
Es decir, la transformada de Fourier de una convolución es el producto de las
transformadas de Fourier.
Uso En Ingeniería
La transformada de Fourier se utiliza para pasar una señal al dominio de
frecuencia para así obtener información que no es evidente en el dominio temporal.
Por ejemplo, es más fácil saber sobre qué ancho de banda se concentra la energía de
una señal analizándola en el dominio de la frecuencia.
También sirve para resolver ecuaciones diferenciales con mayor facilidad y,
por consiguiente, se usa para el diseño de controladores clásicos de sistemas
realimentados, si conocemos la densidad espectral de un sistema y la entrada
podemos conocer la densidad espectral de la salida. Esto es muy útil para el diseño de
filtros de radiotransistores.

10. La transformada de Fourier también se utiliza en el ámbito del tratamiento
digital de imágenes, como por ejemplo para mejorar o definir más ciertas zonas de
una imagen fotográfica o tomada con una computadora, véase ondícula (wavelet).
Interpretación Geométrica
Definido el producto escalar entre funciones de la siguiente manera:
La transformada de Fourier se puede entender como el producto escalar entre
la función y la exponencial compleja evaluado sobre todo el rango de
frecuencias . Por la interpretación usual del producto escalar, en aquellas
frecuencias en las que la transformada tiene un valor mayor, más parecido
tiene con una exponencial compleja.
La constante cancela las dimensiones asociadas a las variables obteniendo
un exponente adimensional.
La transformada de Fourier así definida goza de una serie de propiedades de
continuidad que garantizan que puede extenderse a espacios de funciones mayores e
incluso a espacios de funciones generalizadas.
Sus aplicaciones son muchas, en áreas de la ciencia e ingeniería como
la física, la teoría de los números, la combinatoria, el procesamiento de
señales (electrónica), la teoría de la probabilidad, la estadística, la óptica,
la propagación de ondas y otras áreas. En procesamiento de señales la transformada
de Fourier suele considerarse como la descomposición de una señal en componentes
de frecuencias diferentes, es decir, corresponde al espectro de frecuencias de la
señal .

11. La rama de la matemática que estudia la transformada de Fourier y sus
generalizaciones es denominada análisis armónico.
Son varias las notaciones que se utilizan para la transformada de Fourier de .
He aquí algunas de ellas: